Bài 18. Hình tam giác đều. Hình vuông. Hình lục giác đều

Định hướng. Tam giác đều nhìn cân đối cả ba phía, nên chỉ cần nhìn hình dáng mỗi hình là loại được ngay những hình lệch.

Vậy hình b là tam giác đều; hình a và hình c không phải tam giác đều.

Định hướng. Đặt thước đo lần lượt ba cạnh của từng hình để có căn cứ chắc chắn, không chỉ dựa vào mắt nhìn.

Vậy chỉ hình b có ba cạnh bằng nhau, đó là tam giác đều.

Nhận xét. Cách 1 nhanh để loại trước những hình lệch rõ; cách 2 dùng thước mới chắc chắn với những hình gần giống tam giác đều.

Định hướng. Cứ theo đúng ba đỉnh đã cho trong hình mà gọi tên, sau đó đặt thước và thước đo góc để lấy số liệu thật.

Vậy trong tam giác đều $ABC$, ba cạnh bằng nhau và ba góc bằng nhau, cùng bằng 60°.

Định hướng. Cắt rời tam giác $ABC$ ra giấy rồi gấp đỉnh nọ chồng lên đỉnh kia; nếp gấp trùng khít chứng tỏ hai cạnh, hai góc bằng nhau mà không cần con số đo.

Vậy ba cạnh của tam giác $ABC$ bằng nhau và ba góc bằng nhau.

Nhận xét. Cách 1 cho ngay con số đo (3 cm, 60°...); cách 2 không cần dụng cụ đo mà vẫn khẳng định được sự bằng nhau nhờ gấp giấy trùng khít.

Định hướng. Hai góc 60° dựng ở hai đầu đoạn $AB$ sẽ ép điểm cắt $C$ cách đều $A$ và $B$ đúng 3 cm, vì tổng ba góc tam giác luôn bằng 180°.

Vậy tam giác $ABC$ có ba góc đều bằng 60° nên là tam giác đều cạnh 3 cm.

Định hướng. Compa giữ đúng bán kính 3 cm nên hai cung tròn tâm $A$, tâm $B$ cắt nhau tại điểm cách đều hai đầu đoạn $AB$ một khoảng 3 cm.

Vậy $AB=BC=CA=3$ cm, đo lại bằng thước đo góc cũng thấy ba góc đều bằng 60° nên $ABC$ là tam giác đều.

Nhận xét. Cách 1 dùng êke góc 60° cho ngay ba góc bằng nhau; cách 2 dùng compa cho ngay ba cạnh bằng nhau — hai cách bổ sung cho nhau khi kiểm tra lại hình vừa vẽ.

Định hướng. Nhìn quanh phòng học, những vật có bốn cạnh bằng nhau, bốn góc vuông chính là hình ảnh của hình vuông.

Vậy có thể kể ra bàn cờ vua, viên gạch lát nền, khăn mùi soa, ô cửa sổ là những hình ảnh của hình vuông.

Định hướng. Mở rộng phạm vi tìm kiếm sang các công trình lớn và vật dụng kỹ thuật để có thêm ví dụ khác với Cách 1.

Vậy đáy Kim tự tháp Kê-ốp, nắp cống, khung ảnh cũng là hình ảnh của hình vuông.

Nhận xét. Cách 1 tìm trong tầm mắt gần; cách 2 tìm ở quy mô lớn hơn — cả hai đều dựa trên đúng một dấu hiệu: bốn cạnh bằng nhau, bốn góc vuông.

Định hướng. Theo đúng bốn đỉnh đã cho mà gọi tên đủ cạnh, đường chéo, rồi đo bằng thước thẳng và thước đo góc để lấy số liệu.

Vậy bốn cạnh của hình vuông $ABCD$ bằng nhau, hai đường chéo bằng nhau, bốn góc bằng nhau và bằng 90°.

Định hướng. Hai đường chéo cắt nhau tại tâm $O$; từng cặp cạnh, cặp góc đối xứng nhau qua $O$ nên chỉ cần đo một nửa là suy ra được cả hình.

Vậy bốn cạnh của hình vuông bằng nhau và hai đường chéo bằng nhau, đúng như đo trực tiếp ở Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 chỉ cần đo một nửa số cạnh và một nửa mỗi đường chéo (nhờ tính đối xứng qua $O$) mà vẫn suy ra được kết quả đầy đủ như Cách 1.

Định hướng. Hai đoạn $AD$, $BC$ cùng dài 4 cm và cùng vuông góc với $AB$ nên song song với nhau; nối $C$ với $D$ khép kín thành bốn cạnh bằng nhau, bốn góc vuông.

Vậy $ABCD$ có $AB=BC=CD=DA=4$ cm và bốn góc đều bằng 90°: đúng là hình vuông.

Định hướng. Gấp một góc của tờ giấy chữ nhật sao cho cạnh ngắn trùng lên cạnh dài, phần gấp chồng khít tạo ra hình vuông; hai đường chéo của hình vuông đó luôn chia nó thành bốn tam giác vuông cân bằng nhau.

Vậy từ một hình vuông ban đầu, cắt theo hai đường chéo rồi ghép lại được đúng hai hình vuông nhỏ bằng nhau.

Nhận xét. Cách 1 dựng hình vuông bằng dụng cụ đo góc vuông; Cách 2 tạo hình vuông chỉ bằng gấp giấy, không cần thước đo góc, rồi khai thác đường chéo để ghép hình mới.

Định hướng. Mỗi cạnh ngoài của lục giác chính là một cạnh tam giác đều, mỗi góc của lục giác là tổng hai góc 60° của hai tam giác kề nhau tại đỉnh đó.

Vậy sáu cạnh của lục giác đều $ABCDEF$ bằng nhau, sáu góc bằng nhau và mỗi góc bằng 120°.

Định hướng. Tổng số đo góc trong của một lục giác luôn cố định; lục giác đều lại có sáu góc bằng nhau nên chỉ việc chia đều tổng đó cho sáu.

Vậy mỗi góc của lục giác đều $ABCDEF$ bằng 120°, đúng như kết quả đếm ở Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 gắn liền với việc ghép hình bằng tay; Cách 2 dùng công thức tổng góc nên áp dụng được cho mọi đa giác đều mà không cần ghép hình thật.

Định hướng. Với sáu đỉnh $A,B,C,D,E,F$, mỗi đỉnh có đúng một đỉnh nằm đối diện (cách nó ba cạnh); nối các cặp đó được các đường chéo chính.

Vậy ba đường chéo chính là $AD$, $BE$, $CF$ và chúng bằng nhau.

Định hướng. Sáu đỉnh của lục giác đều cách đều tâm $O$ (cùng nằm trên một đường tròn), nên mỗi đường chéo chính đi qua $O$ và có độ dài gấp đôi bán kính đó.

Vậy ba đường chéo chính $AD$, $BE$, $CF$ bằng nhau, cùng đi qua tâm $O$.

Nhận xét. Cách 2 giải thích được VÌ SAO ba đường chéo chính bằng nhau (đều gấp đôi cùng một bán kính), còn Cách 1 chỉ đo và ghi nhận kết quả.

Định hướng. Nhìn vào các đoạn đã kẻ từ tâm $O$ và các đường chéo phụ để chỉ ra hết những tam giác có vẻ ngoài cân đối, ba cạnh bằng nhau.

Vậy ngoài sáu tam giác $OAB,OBC,OCD,ODE,OEF,OFA$, trong hình còn có hai tam giác đều $ACE$ và $BDF$.

Định hướng. Ba cạnh của tam giác $ACE$ đều là đường chéo phụ của lục giác đều, mà các đường chéo phụ đã biết là bằng nhau, nên không cần đo cũng suy ra được tam giác đều.

Vậy tam giác $ACE$ và tam giác $BDF$ đều là tam giác đều.

Nhận xét. Cách 2 không cần nhìn hình mà vẫn chứng minh được nhờ dùng lại tính chất đường chéo phụ bằng nhau đã biết, chắc chắn hơn Cách 1 chỉ dựa vào quan sát.

Định hướng. Những hộp, khay có sáu cạnh bằng nhau và sáu góc bằng nhau thường gặp trong dịp lễ, Tết là ví dụ gần gũi nhất.

Vậy hộp mứt Tết, gạch lát nền, mặt cắt bút chì là hình ảnh của lục giác đều.

Định hướng. Trong tự nhiên và kỹ thuật, hình lục giác đều được dùng vì xếp khít, không hở, nên tìm thêm ở tổ ong và các chi tiết cơ khí.

Vậy tổ ong, đầu bu-lông, gạch lát sân cũng là hình ảnh của lục giác đều.

Nhận xét. Sở dĩ lục giác đều được dùng nhiều vì các lục giác đều xếp liền kề nhau vừa khít, không chừa khoảng trống, tiết kiệm vật liệu.

Định hướng. Ghi lại tính chất cạnh, góc của từng hình đã học rồi so sánh ba dòng đó với nhau để tìm ra đặc điểm lặp lại ở cả ba.

Vậy cả ba hình đều có đặc điểm chung: tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau.

Định hướng. Dùng công thức tổng góc trong đa giác $n$ cạnh để tính lại số đo một góc của cả ba hình, xem có khớp với điều đã nêu ở Cách 1 không.

Vậy cả ba kết quả đều khớp với số đo đã biết, khẳng định lại đặc điểm chung: mọi cạnh của mỗi hình bằng nhau, mọi góc của mỗi hình bằng nhau.

Nhận xét. Đây chính là đặc điểm định nghĩa của một "đa giác đều": có các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau.

Định hướng. Cứ nối $O$ với các mốc trên biên (đỉnh, rồi trung điểm cạnh) là chia được bánh thành các phần bằng nhau, số phần tăng gấp đôi mỗi lần chia thêm.

Vậy a) cắt theo 6 bán kính; b) cắt theo 12 nửa-bán kính (đỉnh và trung điểm cạnh); c) gộp mỗi 3 miếng của câu b) thành 4 phần bằng nhau.

Định hướng. Coi cả cái bánh là 1 đơn vị diện tích; mỗi cách chia ứng với một phân số bằng nhau của cái bánh, cộng đúng số phần phải bằng 1.

Vậy a) mỗi bạn nhận $\frac{1}{6}$ bánh; b) mỗi bạn nhận $\frac{1}{12}$ bánh; c) mỗi bạn nhận $\frac{1}{4}$ bánh.

Nhận xét. Cách 2 kiểm tra lại bằng số: $6\times \frac{1}{6}=1$, $12\times \frac{1}{12}=1$, $4\times \frac{1}{4}=1$, khớp với cả cái bánh, nên cách chia ở Cách 1 là đúng.

Định hướng. Xếp ví dụ theo từng hình để không bỏ sót hình nào, ưu tiên những vật quen thuộc trong nhà và lớp học.

Vậy mỗi hình đều có ví dụ quen thuộc trong đời sống hằng ngày.

Định hướng. Mở rộng sang công trình kiến trúc và hoạ tiết trang trí để có bộ ví dụ khác với Cách 1, tránh trùng lặp.

Vậy ba hình đã học đều gắn liền với kiến trúc và hoạ tiết trang trí quen thuộc.

Nhận xét. Kim tự tháp Kê-ốp xuất hiện ở cả hai loại hình (đáy hình vuông, mặt bên hình tam giác đều), cho thấy một công trình có thể chứa nhiều đa giác đều cùng lúc.

Định hướng. Áp dụng đúng cách dựng đã học ở Thực hành 1, chỉ thay số đo cạnh thành 2 cm.

Vậy tam giác $ABC$ có ba góc bằng 60° nên là tam giác đều cạnh 2 cm.

Định hướng. Hai cung tròn cùng bán kính 2 cm, tâm là hai đầu đoạn $AB$, cắt nhau tại điểm cách đều $A$ và $B$ đúng 2 cm.

Vậy $AB=BC=CA=2$ cm nên tam giác $ABC$ là tam giác đều cạnh 2 cm.

Nhận xét. Hai cách cho cùng một tam giác đều; nên đo lại bằng thước đo góc để chắc chắn ba góc đều đúng 60°.

Định hướng. Áp dụng đúng cách dựng đã học, chỉ thay số đo cạnh thành 5 cm.

Vậy $ABCD$ có bốn cạnh bằng 5 cm và bốn góc vuông, đúng là hình vuông.

Định hướng. Sau khi dựng bốn cạnh, vẽ thêm đường chéo $AC$ để kiểm tra lại: hình vuông luôn có hai đường chéo bằng nhau.

Vậy hai đường chéo $AC=BD$ đúng như tính chất hình vuông, xác nhận $ABCD$ dựng đúng là hình vuông cạnh 5 cm.

Nhận xét. Cách 2 dùng thêm một phép đo (đường chéo) để tự kiểm tra lại hình vừa dựng ở Cách 1, tránh sai sót khi đặt êke lệch.

Định hướng. Cắt đúng theo viền hình khai triển rồi gấp từng ô vuông theo cạnh chung với ô ở giữa để khép kín thành hộp.

Vậy gấp đúng theo các nếp sẽ được một hình hộp có nắp với sáu mặt vuông bằng nhau.

Định hướng. Trước khi gấp, đếm xem hình khai triển có đủ số mặt của một hình hộp có nắp hay không, tránh cắt thiếu hoặc thừa ô vuông.

Vậy hình khai triển đã cho có đủ và đúng sáu mặt vuông bằng nhau để gấp thành hộp có nắp.

Nhận xét. Cách 2 giúp kiểm tra trước khi cắt, tránh mất công cắt xong mới phát hiện thiếu mặt.

Định hướng. Hai đường chéo của hình vuông luôn cắt nhau tại tâm và chia hình vuông thành bốn tam giác vuông cân bằng nhau, mỗi tam giác tô một hoạ tiết đối xứng.

Vậy chỉ với hai đường chéo đã trang trí được hình vuông thành bốn phần đối xứng đều nhau.

Định hướng. Vẽ thêm hai đoạn nối trung điểm các cặp cạnh đối diện, kết hợp với hai đường chéo, được nhiều phần nhỏ hơn để hoạ tiết thêm cầu kỳ.

Vậy tám tam giác bằng nhau quanh tâm $O$ cho một hoạ tiết cân đối và cầu kỳ hơn Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 chia nhỏ hơn Cách 1 (8 phần so với 4 phần) nên hoạ tiết trang trí được nhiều màu, nhiều chi tiết hơn.

Định hướng. Ba ô vuông nhỏ nằm chéo nhau từ $A$ đến $B$ vừa vặn ba đường chéo cùng hướng, là đường đi ngắn nhất có thể.

Vậy con kiến có thể bò từ $A$ đến $B$ theo 3 đường chéo liên tiếp cùng một hướng.

Định hướng. Thay vì đi thẳng, con kiến có thể rẽ sang ô bên cạnh rồi vòng trở lại, miễn tổng các bước vẫn đưa nó từ $A$ đến đúng $B$.

Vậy con kiến cũng có thể bò từ $A$ đến $B$ theo một đường díc dắc gồm 5 đường chéo.

Nhận xét. Cách 1 là đường đi ngắn nhất (3 đoạn); Cách 2 dài hơn (5 đoạn) nhưng vẫn hợp lệ vì mỗi đoạn đều là đường chéo của đúng một ô vuông nhỏ.

Định hướng. Làm đúng ba bước theo thứ tự đã hướng dẫn, mỗi nếp gấp là một phép đối xứng nên hai bên nếp gấp luôn khớp nhau tuyệt đối.

Vậy mở tờ giấy ra được một hình tam giác có ba cạnh bằng nhau, tức là tam giác đều.

Định hướng. Sau khi cắt xong, dùng thước thẳng và thước đo góc kiểm tra lại hình vừa cắt, đối chiếu với Nhận xét đã học ở mục 1.

Vậy tam giác cắt được có ba cạnh bằng nhau và ba góc bằng 60°, đúng là tam giác đều.

Nhận xét. Cách 2 không cần biết trước bản chất phép gấp, chỉ cần đo lại là đủ căn cứ xác nhận kết quả của Cách 1.

Định hướng. Ba đường chéo chính bằng nhau và cắt nhau tại tâm $O$, mỗi đường chéo lại bị $O$ chia đôi, nên khoảng cách từ $O$ đến từng đỉnh đều bằng nhau.

Vậy đặt trạm biến áp tại tâm $O$ (giao điểm ba đường chéo chính) thì khoảng cách từ $O$ đến sáu ngôi nhà bằng nhau.

Định hướng. Sáu đỉnh của lục giác đều luôn nằm trên một đường tròn duy nhất; tâm của đường tròn đó chính là điểm cách đều cả sáu đỉnh cần tìm.

Vậy điểm $O$ xác định bằng giao điểm hai đường trung trực chính là vị trí đặt trạm biến áp.

Nhận xét. Hai cách đều dẫn đến cùng một điểm $O$ — chính là tâm của lục giác đều — cho thấy tâm của lục giác đều luôn là điểm cách đều mọi đỉnh của nó.