Bài 19. Hình chữ nhật. Hình thoi. Hình bình hành. Hình thang cân

Định hướng. Hình chữ nhật có sẵn trên giấy nên chỉ cần gọi đúng tên đỉnh, cạnh, đường chéo rồi đo bằng dụng cụ là có kết quả.

Vậy hình chữ nhật $ABCD$ có 4 góc bằng nhau và bằng $90^{\circ }$; các cạnh đối bằng nhau; hai đường chéo bằng nhau.

Định hướng. Gắn tọa độ cho 4 đỉnh để tính độ dài bằng công thức, thay cho việc đo trực tiếp trên hình.

Vậy $AB=CD$, $BC=AD$, $AC=BD$ — trùng khớp với kết quả đo trực tiếp ở Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 trực quan, phù hợp khi có hình vẽ sẵn; Cách 2 dùng được cả khi đề bài chỉ cho số liệu mà không có hình.

Định hướng. Làm đúng trình tự dựng hai đường vuông góc với $AB$ tại $A$ và tại $B$ thì $AD$, $BC$ tự động song song với nhau, khép kín thành hình chữ nhật.

Vậy các cạnh đối của hình chữ nhật vừa vẽ bằng nhau và bốn góc đều bằng nhau (bằng $90^{\circ }$).

Định hướng. Ngoài đo cạnh và góc, có thể kiểm tra thêm hai đường chéo bằng công thức Pythagore vì $ABCD$ đã có sẵn hai góc vuông tại $A$, $B$.

Vậy $AC=BD=\sqrt{34}$ cm, hai đường chéo bằng nhau — khớp với tính chất hình chữ nhật.

Nhận xét. Cách 2 dùng định lí Pythagore để kiểm tra mà không cần đo trực tiếp bằng thước, hữu ích khi vẽ trên giấy không có ô li.

Định hướng. Hình thoi có bốn cạnh bằng nhau, hình dạng như một ô vuông bị kéo xiên — chỉ có mặt đá trên chiếc nhẫn khớp với hình dạng đó.

Vậy trong ba đồ vật ở Hình 4.9, chiếc nhẫn có mặt đá dạng hình thoi.

Định hướng. Thay vì tìm đúng ngay, ta loại bỏ những hình rõ ràng không phải hình thoi (sai số cạnh hoặc sai hình dạng) để còn lại đáp án đúng.

Vậy chiếc nhẫn (đồ vật thứ hai) có dạng hình thoi.

Nhận xét. Cách 2 nhanh hơn khi có nhiều đồ vật cần xét cùng lúc vì loại bớt dần thay vì so từng đặc điểm.

Định hướng. Dùng compa hoặc thước đo góc trực tiếp trên hình đã cho để đọc ra từng tính chất một.

Vậy hình thoi $ABCD$ có bốn cạnh bằng nhau, hai đường chéo vuông góc, các cạnh đối song song, các góc đối bằng nhau.

Định hướng. Gắn tọa độ để tính độ dài cạnh và kiểm tra vuông góc bằng tích vô hướng, thay cho việc đo trực tiếp.

Vậy bốn cạnh đều bằng $5$ và $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}=0$ nên $AC\perp BD$ — khớp với kết quả đo trực tiếp ở Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 kiểm tra vuông góc chắc chắn bằng số (tích vô hướng bằng $0$), tránh sai số khi đo bằng mắt.

Định hướng. Tứ giác $ABEF$ luôn là hình bình hành khi $F$ trên $AD$, $E$ trên $BC$ và $AF=BE$ (vì $AD\parallel BC$); muốn hình bình hành đó trở thành hình thoi thì chỉ cần thêm điều kiện cạnh kề $AF$ bằng $AB$.

Vậy lấy $F$ trên $AD$ với $AF=AB$ và $E$ trên $BC$ với $BE=AB$ (dùng compa) thì tứ giác $ABEF$ là hình thoi.

Định hướng. Gắn tọa độ theo đúng lưới ô vuông của hình vẽ để tính vị trí chính xác của $E$, $F$ bằng số.

Vậy $F\approx (2,7;2,1)$ trên $AD$ và $E\approx (4,7;4,1)$ trên $BC$ cho $ABEF$ là hình thoi, khớp với cách dựng bằng compa ở Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 dựng được bằng compa mà không cần tính toán; Cách 2 cho tọa độ chính xác, tiện khi cần vẽ lại trên phần mềm hoặc kiểm tra bằng số.

Định hướng. Vì đã lấy $BC=AB=3$ cm ngay từ đầu và dựng $ABCD$ là hình bình hành (các cặp cạnh đối song song), nên chỉ cần đo lại là thấy đủ bốn cạnh bằng nhau.

Vậy hình vừa vẽ có bốn cạnh bằng nhau, đúng là một hình thoi cạnh 3 cm.

Định hướng. Chọn góc $\widehat{ABC}=110^{\circ }$ rồi đặt tọa độ để tính tọa độ đỉnh $D$, từ đó tính lại bốn cạnh bằng công thức khoảng cách.

Vậy bốn cạnh đều xấp xỉ $3$ cm — khớp với kết quả đo trực tiếp ở Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 nhanh và không cần tính toán vì đã tận dụng sẵn tính chất hình bình hành; Cách 2 hữu ích khi cần vẽ hình chính xác trên phần mềm.

Định hướng. Chỉ cần dựng đúng MỘT hình thoi mẫu rồi tịnh tiến nó liên tiếp sang phải, mỗi lần dịch đúng bằng nửa chiều ngang của hình thoi, là được cả dải trang trí.

Vậy ta được dải trang trí gồm 5 hình thoi bằng nhau nối tiếp nhau, đối xứng qua đường nằm ngang giữa dải.

Định hướng. Thay vì vẽ từng hình thoi, kẻ hẳn một lưới các đoạn chéo cắt nhau đều đặn trong khung chữ nhật, các hình thoi sẽ tự hiện ra ở phần giao nhau.

Vậy cách kẻ lưới chéo cũng cho ra đúng dải hình thoi lặp lại như Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 dễ hình dung từng hình một; Cách 2 vẽ nhanh cả dải cùng lúc nhưng cần kẻ chính xác các điểm chia đều.

Định hướng. Dấu hiệu quyết định của hình bình hành là hai cặp cạnh đối song song với nhau; xét lần lượt ba hình ảnh theo đúng dấu hiệu này.

Vậy hình bình hành có trong hình a) mặt bàn và hình c) tay vịn cầu thang; hình b) con diều không phải hình bình hành.

Định hướng. Đối chiếu hình dạng của từng đồ vật với các hình tứ giác đặc biệt đã học (hình chữ nhật, hình thoi kiểu cánh diều, hình bình hành) để suy ra hình nào thuộc nhóm hình bình hành.

Vậy a) và c) là hình bình hành, còn b) thì không.

Nhận xét. Cả hai cách đều dựa trên dấu hiệu song song của cạnh đối; điểm mấu chốt là phân biệt "cạnh đối song song" (hình bình hành) với "cạnh kề bằng nhau" (hình dạng cánh diều).

Định hướng. Dùng thước thẳng và ê ke đo trực tiếp từng cặp cạnh, từng đoạn OA, OC, OB, OD và từng cặp góc đối trên hình đã cho.

Vậy hình bình hành $ABCD$ có các cạnh đối bằng nhau và song song, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, các góc đối bằng nhau.

Định hướng. Gắn tọa độ cho bốn đỉnh, tính độ dài cạnh và tọa độ trung điểm của hai đường chéo để kiểm tra bằng số thay vì đo bằng mắt.

Vậy $AB=DC$, và trung điểm của $AC$ trùng với trung điểm của $BD$ (đều là điểm $O(4;1,5)$), nghĩa là hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường — khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 chứng minh chắc chắn bằng số rằng $O$ là trung điểm chung của cả hai đường chéo, đây chính là cách kiểm tra nhanh nhất một tứ giác có phải hình bình hành hay không.

Định hướng. Vì $D$ là giao điểm của đường qua $A$ song song $BC$ và đường qua $C$ song song $AB$, nên $ABCD$ tự động có hai cặp cạnh đối song song.

Vậy $ABCD$ là hình bình hành với $AB=DC=5$ cm, $BC=AD=3$ cm.

Định hướng. Trong hình bình hành $ABCD$, luôn có $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$, nên tọa độ $D$ tính được ngay từ tọa độ $A$, $B$, $C$ mà không cần dựng hình.

Vậy $D\approx (1,3;2,7)$, và $AD=BC\approx 3$ cm — khớp với hình vẽ ở Cách 1.

Nhận xét. Công thức $D=A+\overrightarrow{BC}$ ở Cách 2 cho kết quả nhanh mà không cần vẽ hai đường song song, rất tiện khi vẽ trên phần mềm tọa độ.

Định hướng. Gọi tên các yếu tố theo đúng hình vẽ rồi đo bằng compa và ê ke để so sánh từng cặp.

Vậy hình thang cân $ABCD$ có hai cạnh bên bằng nhau, hai đường chéo bằng nhau, hai đáy song song, hai góc kề một đáy bằng nhau.

Định hướng. Gắn tọa độ đối xứng qua một trục thẳng đứng (đúng tính chất hình thang cân) rồi tính độ dài cạnh bên và đường chéo bằng công thức khoảng cách.

Vậy $AB\parallel DC$, $AD=BC=\sqrt{13}$, $AC=BD=3\sqrt{5}$ — khớp với kết quả đo trực tiếp ở Cách 1.

Nhận xét. Việc chọn $A$, $B$ đối xứng qua trục thẳng đứng qua trung điểm $DC$ giúp hai cạnh bên và hai đường chéo tự động bằng nhau, không cần đo lại.

Định hướng. Với hình vẽ trên lưới ô vuông, chỉ cần đếm số ô theo hai chiều ngang, dọc của mỗi cạnh là biết ngay cạnh nào song song, cạnh nào bằng nhau, không cần đo bằng thước.

Vậy chỉ có tứ giác $MNPQ$ là hình thang cân (đáy lớn $QP$, đáy nhỏ $MN$, hai cạnh bên $QM=NP$); $JHKI$ chỉ là hình thang thường, còn $DEFG$ không phải là hình thang.

Định hướng. Hình thang cân luôn có một trục đối xứng đi qua trung điểm hai đáy; gấp thử hình theo trục thẳng đứng giữa hai đáy để xem hai nửa có trùng khít nhau không.

Vậy chỉ có $MNPQ$ có trục đối xứng đúng kiểu hình thang cân — cùng một kết luận với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 dùng được ngay trên lưới ô vuông; Cách 2 trực quan hơn khi không có sẵn lưới, chỉ cần gấp hình để kiểm tra đối xứng.

Định hướng. Không cần đo đạc, chỉ cần nhận ra nếp gấp chính là trục đối xứng của tờ giấy để suy ra hình cắt được cũng đối xứng qua trục đó.

Vậy hình nhận được có hai đáy song song và hai cạnh bên bằng nhau, đúng là một hình thang cân.

Định hướng. Chọn tọa độ cụ thể cho hình chữ nhật và đường cắt để tính lại độ dài hai cạnh bên bằng công thức, khẳng định chắc chắn kết quả ở Cách 1.

Vậy $PS=QR=\sqrt{17}$ và $PQ\parallel SR$, đúng là một hình thang cân — khớp với lập luận đối xứng ở Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 giải thích được cho MỌI đường cắt bất kì; Cách 2 chỉ minh họa cho một đường cắt cụ thể nhưng cho thấy rõ vì sao hai cạnh bên bằng nhau bằng con số.

Định hướng. Áp dụng đúng cách vẽ đã học ở Thực hành 1: dựng hai đường vuông góc tại hai đầu mút của cạnh gốc $AB=6$ cm rồi lấy $AD=BC=4$ cm.

Vậy ta được hình chữ nhật $ABCD$ với $AB=DC=6$ cm, $AD=BC=4$ cm, bốn góc vuông.

Định hướng. Sau khi vẽ xong, tính trước độ dài đường chéo bằng định lí Pythagore rồi đo lại bằng thước để kiểm tra hình đã vẽ đúng hay chưa.

Vậy nếu đo đường chéo được đúng $2\sqrt{13}$ cm thì hình đã vẽ chính xác, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 là một mẹo tự kiểm tra hình vẽ có đúng góc vuông hay không mà không cần thước đo góc.

Định hướng. Lặp lại đúng cách vẽ hình thoi đã học: lấy hai cạnh $AB=BC=4$ cm rồi dựng hai đường thẳng song song để có đỉnh $D$.

Vậy hình thoi $ABCD$ có $AB=BC=CD=DA=4$ cm.

Định hướng. Sau khi vẽ, kiểm tra thêm tính chất hai đường chéo vuông góc bằng ê ke để chắc chắn hình vẽ ra đúng là hình thoi chứ không phải hình bình hành thường.

Vậy nếu $AC\perp BD$ tại giao điểm thì hình vừa vẽ đúng là hình thoi, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 là bước kiểm tra bổ sung: một tứ giác có bốn cạnh bằng nhau chắc chắn là hình thoi, nên hai đường chéo của nó luôn vuông góc — có thể dùng điều này để tự kiểm tra hình vẽ.

Định hướng. Lặp lại cách vẽ hình bình hành đã học: lấy $AB=6$ cm, $BC=3$ cm rồi dựng hai đường song song để tìm $D$.

Vậy hình bình hành $ABCD$ có $AB=DC=6$ cm, $BC=AD=3$ cm.

Định hướng. Sau khi vẽ, đo lại hai cạnh còn lại $DC$, $AD$ để chắc chắn chúng bằng đúng $AB$, $BC$ đã cho.

Vậy hai cạnh đối bằng nhau đúng như tính chất hình bình hành, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Việc đo lại cạnh đối là cách đơn giản nhất để tự kiểm tra hình bình hành đã vẽ có chính xác hay không.

Định hướng. Nhờ lục giác đều có trục đối xứng qua từng cặp đỉnh đối diện, cứ lấy 4 đỉnh liên tiếp là được một hình thang cân; còn muốn có hình chữ nhật thì cần thêm một góc vuông, ta thử với các đường chéo chính.

Vậy có 6 hình thang cân: $ABCD,BCDE,CDEF,DEFA,EFAB,FABC$; và 3 hình chữ nhật: $ACDF,BDEA,CEFB$.

Định hướng. Gắn tọa độ lục giác đều bán kính $1$ tâm $O(0;0)$ để tính chính xác độ dài và kiểm tra vuông góc bằng số, thay cho quan sát bằng mắt.

Vậy $ABCD$ có $AD\parallel BC$, $AD\ne BC$, $AB=CD$ nên là hình thang cân; $ACDF$ có góc $C$ vuông và là hình bình hành nên là hình chữ nhật — khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 dùng tích vô hướng để khẳng định chắc chắn góc vuông bằng số $0$, tránh nhầm lẫn khi ước lượng góc bằng mắt trên hình vẽ.

Định hướng. Muốn biết $I$ có phải trung điểm hay không, chỉ cần đo và so sánh từng cặp đoạn $IA$ với $IC$, $IB$ với $ID$ bằng compa.

Vậy $IA=IC$ và $IB=ID$, nghĩa là $I$ là trung điểm của cả $AC$ và $BD$.

Định hướng. Gắn tọa độ bốn đỉnh của hình bình hành rồi tính trực tiếp tọa độ trung điểm mỗi đường chéo để so sánh với tọa độ giao điểm $I$.

Vậy trung điểm của $AC$ và trung điểm của $BD$ đều là điểm $(3;1,5)$, chính là điểm $I$ — khớp với kết quả đo bằng compa ở Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 tính chính xác tuyệt đối bằng số, trong khi Cách 1 phụ thuộc vào độ chính xác khi mở compa; hai cách bổ sung cho nhau khi kiểm tra hình vẽ.

Định hướng. Vì hai đường chéo hình thoi vuông góc và cắt nhau tại trung điểm, bốn mảnh cắt ra là 4 tam giác vuông hoàn toàn bằng nhau nên có thể xoay ghép lại thành hình chữ nhật.

Vậy bốn mảnh cắt theo hai đường chéo của hình thoi ghép lại được một hình chữ nhật có kích thước $\frac{d_1}{2}\times d_2$.

Định hướng. Chọn một hình thoi có hai đường chéo cụ thể rồi tính diện tích trước và sau khi ghép để kiểm tra diện tích không đổi, khẳng định việc ghép ở Cách 1 là hợp lí.

Vậy $S=S^{\prime }=24$, diện tích không đổi sau khi cắt và ghép — xác nhận cách ghép ở Cách 1 là đúng.

Nhận xét. Cách 2 dùng con số cụ thể để kiểm chứng nhanh, trong khi Cách 1 giải thích được cho MỌI hình thoi bất kì bằng lập luận tổng quát.

Định hướng. Dựng hai lục giác đều đồng tâm, cùng hướng, một lớn (vành ngoài mặt bàn) và một nhỏ (vành trong); mỗi "múi" giữa hai lục giác chính là một hình thang cân, và sáu múi như vậy khít nhau khắp một vòng quanh tâm.

Vậy chỉ cần cắt 6 hình thang cân bằng nhau theo đúng cách dựng trên rồi xếp quanh tâm, mỗi hình xoay $60^{\circ }$ so với hình trước, là ghép được mặt bàn hình vành lục giác đều như đề bài.

Định hướng. Sau khi cắt 6 mảnh giấy, xếp chồng từng cặp lên nhau để kiểm tra chúng thật sự bằng nhau trước khi ghép, tránh mặt bàn bị vênh do mảnh cắt sai kích thước.

Vậy nếu cả 6 mảnh xếp chồng trùng khít nhau và ướm quanh tâm khớp đủ một vòng, ta ghép được đúng mặt bàn hình vành lục giác đều — khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 giải thích được VÌ SAO việc ghép luôn khép kín (dựa vào tổng góc quay $360^{\circ }$); Cách 2 là thao tác tay đơn giản để tự kiểm tra khi thực hành cắt giấy.