Bài 20. Chu vi và diện tích của một số tứ giác đã học

Định hướng. Kẻ đường cao từ một đỉnh xuống cạnh đáy đối diện, đường cao đó chia hình bình hành thành hai mảnh có thể ghép lại thành hình chữ nhật.

Vậy hai mảnh ghép khít thành một hình chữ nhật có chiều dài bằng cạnh đáy $a$ và chiều rộng bằng chiều cao $h$ của hình bình hành.

Định hướng. Trên giấy kẻ ô vuông, dịch chuyển ngang hai đỉnh trên của hình bình hành cùng một số ô như nhau thì diện tích phần hình không đổi.

Vậy bốn đỉnh mới tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng diện tích hình bình hành ban đầu.

Nhận xét. Cách 1 thao tác bằng kéo cắt trực tiếp, Cách 2 suy luận bằng cách dịch điểm trên lưới ô vuông, nhưng cả hai đều cho cùng một hình chữ nhật.

Định hướng. Ở Hoạt động 1, cạnh đáy và chiều cao của hình bình hành biến thành đúng chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật, mà diện tích không đổi qua phép cắt ghép.

Vậy diện tích hình bình hành bằng diện tích hình chữ nhật và bằng $S=ah$.

Định hướng. Với hình bình hành có đáy 5 ô, cao 3 ô trên lưới ô vuông, đếm trực tiếp số ô để kiểm chứng công thức bằng số.

Vậy cả hai hình đều có 15 ô vuông, khớp với công thức $S=ah$.

Nhận xét. Cách 1 suy luận cho mọi hình bình hành bất kì; Cách 2 chỉ kiểm tra trên một ví dụ cụ thể nhưng giúp hình dung rõ vì sao công thức đúng.

Định hướng. Gấp hình thoi làm đôi theo đường chéo ngắn để chồng khít hai nửa, sau đó chỉ cần xử lí một nửa hình thoi.

Vậy hình chữ nhật thu được có chiều dài bằng đường chéo dài, chiều rộng bằng nửa đường chéo ngắn.

Định hướng. Hai đường chéo vuông góc chia hình thoi thành bốn tam giác vuông bằng nhau, bốn tam giác này ghép khít lại được một hình chữ nhật.

Vậy bốn tam giác ghép khít thành một hình chữ nhật có diện tích bằng diện tích hình thoi ban đầu.

Nhận xét. Cách 1 chỉ cắt một nhát theo đường chéo dài; Cách 2 cắt theo cả hai đường chéo nhưng cho thấy rõ bốn tam giác bằng nhau trong hình thoi.

Định hướng. Ở Hoạt động 3, đường chéo dài $a$ trở thành chiều dài hình chữ nhật, còn chiều rộng chỉ bằng nửa đường chéo ngắn $b$.

Vậy diện tích hình thoi bằng diện tích hình chữ nhật và bằng $S=\frac{1}{2}ab$.

Định hướng. Với hình thoi có đường chéo 6 ô và 4 ô trên lưới ô vuông, đếm trực tiếp số ô để kiểm chứng công thức bằng số.

Vậy cả hai cách đều cho 12 ô vuông, khớp với công thức $S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}\times 6\times 4=12$.

Nhận xét. Cách 1 suy luận cho hình thoi bất kì; Cách 2 kiểm tra trên một ví dụ cụ thể bằng cách đếm ô, giúp thấy rõ vì sao có hệ số $\frac{1}{2}$.

Định hướng. Mỗi khung cần một độ dài dây thép đúng bằng chu vi hình chữ nhật đó, nên lấy tổng độ dài dây chia cho chu vi một khung.

Vậy người thợ làm được $200$ khung thép.

Định hướng. Nếu làm được đúng $200$ khung thì tổng độ dài dây dùng hết phải khớp với $260\text{ m}$ đã cho, nên nhân ngược lại để kiểm tra.

Vậy $200\times 1,3=260\text{ m}$ khớp đúng với số dây thép đã cho, nên $200$ khung là đáp số đúng.

Nhận xét. Cách 2 không tính lại từ đầu mà kiểm chứng ngược kết quả của Cách 1 bằng phép nhân.

Định hướng. Khung thép gồm hai phần tách biệt: viền quanh mặt bàn hình thang cân, và bốn chân bàn thẳng đứng ở bốn góc, nên tính riêng từng phần rồi cộng lại.

Vậy $5920\text{ mm}=5,92\text{ m}$ thép để làm một chiếc khung bàn.

Định hướng. Đổi tất cả các số đo sang mét trước, rồi cộng thẳng cả tám đoạn thép (bốn cạnh mặt bàn và bốn chân bàn) trong một dòng duy nhất để đối chiếu với Cách 1.

Vậy cần $5,92\text{ m}$ thép, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 đổi đơn vị ngay từ đầu nên phép cộng cuối cùng cho luôn kết quả theo mét, không phải đổi lại như Cách 1.

Định hướng. Thửa ruộng vốn đã được vẽ tách thành hai phần rõ rệt — phần thang phía trên và phần chữ nhật phía dưới — nên tính diện tích từng phần rồi cộng lại.

Vậy thửa ruộng thu hoạch được $920\text{ kg}$ thóc.

Định hướng. Nếu kéo hai cạnh xiên của hình thang thẳng lên, thửa ruộng nằm trọn trong một hình chữ nhật lớn; phần thừa ra ở hai góc trên là hai tam giác vuông bằng nhau cần trừ đi.

Vậy thửa ruộng thu hoạch được $920\text{ kg}$ thóc, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 chia nhỏ hình rồi cộng lại; Cách 2 bao trong một hình lớn rồi trừ phần khuyết — hai cách khác nhau về bản chất nhưng cho cùng một kết quả.

Định hướng. Cả sợi dây nhôm chỉ chia thành hai phần: phần uốn thành hình thang cân và phần còn lại uốn thành móc, nên lấy tổng độ dài trừ đi phần hình thang cân.

Vậy phần còn lại làm móc treo dài $6\text{ cm}$.

Định hướng. Nếu phần móc dài $6\text{ cm}$ thì cộng ngược với chu vi hình thang cân phải đúng bằng tổng độ dài dây ban đầu là $60\text{ cm}$.

Vậy $54+6=60\text{ cm}$ khớp đúng với độ dài dây nhôm ban đầu, nên phần móc dài $6\text{ cm}$ là đáp số đúng.

Nhận xét. Cách 2 không tính lại từ đầu mà kiểm chứng ngược kết quả của Cách 1 bằng phép cộng.

Định hướng. Hình bình hành $AMCN$ có đáy $AN$ nằm trên cạnh $AD$ và chiều cao chính là chiều rộng $AB$ của mảnh đất, nên áp dụng thẳng công thức $S=ah$.

Vậy tổng số tiền công cần chi trả là $5400000$ đồng.

Định hướng. Hình bình hành $AMCN$ chính là hình chữ nhật $ABCD$ đã bỏ đi hai tam giác vuông $ABM$ và $NDC$ ở hai góc, nên lấy diện tích lớn trừ hai phần khuyết đó.

Vậy tổng số tiền công cần chi trả là $5400000$ đồng, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 dùng thẳng công thức hình bình hành; Cách 2 lấy hình chữ nhật lớn trừ hai tam giác khuyết ở góc — hai cách khác bản chất nhưng cùng một kết quả.

Định hướng. Hai đường chéo của hình thoi chính là chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn, nên áp dụng thẳng công thức diện tích hình thoi.

Vậy cần $80$ cây hoa hồng.

Định hướng. Phần đất ngoài hình thoi gồm bốn tam giác vuông bằng nhau ở bốn góc mảnh vườn, nên lấy diện tích mảnh vườn trừ đi bốn tam giác đó.

Vậy cần $80$ cây hoa hồng, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 cho thấy hình thoi luôn chiếm đúng nửa diện tích hình chữ nhật ngoại tiếp nó, một cách nhìn khác với việc áp dụng công thức ở Cách 1.

Định hướng. Đề đã cho sẵn hai cạnh $AB$, $BC$ nên chỉ cần thay số vào công thức chu vi và diện tích hình chữ nhật.

Vậy $ABCD$ có chu vi $20\text{ cm}$ và diện tích $24{\text{ cm}}^2$.

Định hướng. Chu vi cũng bằng tổng độ dài cả bốn cạnh; đường chéo $AC$ chia hình chữ nhật thành hai tam giác vuông bằng nhau nên diện tích cũng bằng hai lần diện tích một tam giác.

Vậy $ABCD$ có chu vi $20\text{ cm}$ và diện tích $24{\text{ cm}}^2$, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 dùng đường chéo chia đôi hình chữ nhật thành hai tam giác vuông, khác với việc áp dụng thẳng công thức $S=ab$ ở Cách 1.

Định hướng. Bốn cạnh của hình thoi bằng nhau nên chu vi bằng bốn lần độ dài một cạnh.

Vậy hình thoi $MNPQ$ có chu vi $24\text{ cm}$.

Định hướng. Vì cả bốn cạnh $MN$, $NP$, $PQ$, $QM$ đều dài $6\text{ cm}$ như nhau, có thể cộng trực tiếp bốn số hạng bằng nhau thay vì nhân.

Vậy hình thoi $MNPQ$ có chu vi $24\text{ cm}$, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 cộng bốn số hạng bằng nhau, về bản chất là phép kiểm tra lại cho phép nhân ở Cách 1.

Định hướng. Hàng rào chạy quanh cả khu vườn, chỉ bị ngắt một đoạn đúng bằng bề rộng cổng, nên lấy chu vi trừ đi bề rộng cổng.

Vậy hàng rào của khu vườn dài $45\text{ m}$.

Định hướng. Hàng rào gồm ba cạnh nguyên vẹn của hình chữ nhật cùng với phần còn lại của cạnh có cổng, nên cộng thẳng từng đoạn đó.

Vậy hàng rào của khu vườn dài $45\text{ m}$, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 dựng hàng rào từ các đoạn còn nguyên, khác với việc lấy chu vi rồi trừ đi ở Cách 1.

Định hướng. Đề đã cho đủ hai đáy và chiều cao của hình thang nên thay thẳng vào công thức tính diện tích.

Vậy a) diện tích mảnh ruộng là $200{\text{ m}}^2$; b) sản lượng thóc là $160\text{ kg}$.

Định hướng. Hình thang vuông này có thể tách thành một hình chữ nhật ở bên trái và một tam giác vuông ở bên phải, nên tính riêng hai phần rồi cộng lại.

Vậy a) diện tích mảnh ruộng là $200{\text{ m}}^2$; b) sản lượng thóc là $160\text{ kg}$, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 chia nhỏ hình thang thành hình chữ nhật và tam giác rồi cộng lại, khác bản chất với việc áp dụng thẳng công thức ở Cách 1.

Định hướng. Mặt sàn được chia sẵn thành bốn phòng hình chữ nhật, nên tính diện tích từng phòng theo kích thước đã cho rồi cộng lại.

Vậy diện tích mặt sàn của ngôi nhà là $112{\text{ m}}^2$.

Định hướng. Gộp các phòng theo hai dãy ngang — dãy trên gồm phòng khách và phòng ăn, dãy dưới gồm hành lang và WC — rồi cộng diện tích hai dãy để kiểm tra lại theo một trật tự khác.

Vậy diện tích mặt sàn là $112{\text{ m}}^2$, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 gộp các phòng theo từng dãy trước khi cộng, một cách nhóm số hạng khác với việc cộng lần lượt từng phòng ở Cách 1.

Định hướng. Diện tích hình chữ nhật $ABED$ đã biết và một cạnh $AB=10\text{ m}$, nên suy ra chiều cao $AD$, đó cũng chính là chiều cao của cả hình thang $ABCD$.

Vậy diện tích mảnh đất hình thang $ABCD$ là $262,5{\text{ m}}^2$.

Định hướng. Hình thang $ABCD$ chính là hình chữ nhật $ABED$ ghép thêm tam giác vuông $BEC$ ở bên phải, nên cộng diện tích hai phần đó lại.

Vậy diện tích mảnh đất hình thang $ABCD$ là $262,5{\text{ m}}^2$, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 chia hình thang thành hình chữ nhật và tam giác rồi cộng lại, khác bản chất với việc áp dụng thẳng công thức hình thang ở Cách 1.

Định hướng. Đưa tất cả số đo về cùng đơn vị mét, tính diện tích nền và diện tích một viên gạch rồi lấy diện tích nền chia cho diện tích một viên.

Vậy gia đình cần mua $300$ viên gạch.

Định hướng. Vì gạch hình vuông cạnh $30\text{ cm}$ xếp khít thành lưới, có thể đếm riêng số viên theo chiều rộng và theo chiều dài rồi nhân lại.

Vậy gia đình cần mua $300$ viên gạch, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 đếm trực tiếp số hàng, số cột viên gạch, khác bản chất với việc chia tổng diện tích ở Cách 1.