Bài 21. Hình có trục đối xứng

Định hướng. Thân bướm nằm đúng giữa hai cánh nên gấp hình theo đường thân là cách tự nhiên để so hai cánh.

Vậy khi gập lại theo đường thân bướm, hai cánh bướm chồng khít lên nhau.

Định hướng. So hình dạng và các đốm màu ở vị trí đối xứng của hai cánh mà không cần gấp giấy thật.

Vậy hai cánh bướm là hai phần chồng khít nhau qua đường thân bướm.

Nhận xét. Đường thân bướm chính là hình ảnh đầu tiên của một trục đối xứng.

Định hướng. Gấp đúng theo một đường kính thì khoảng cách từ tâm ra biên luôn bằng bán kính, nên hai bên chắc chắn khớp nhau.

Vậy hai nửa hình tròn sau khi gấp chồng khít lên nhau.

Định hướng. Mọi điểm trên đường tròn cách tâm đúng một bán kính $R$, nên hai nửa qua tâm luôn đối xứng nhau.

Vậy hai nửa hình tròn chồng khít lên nhau khi gấp qua tâm.

Nhận xét. Vì đường kính bất kì cũng qua tâm nên hình tròn có vô số trục đối xứng.

Định hướng. Vì cắt khi giấy đang gấp đôi nên đường cắt tự động lặp lại giống hệt ở cả hai lớp giấy.

Vậy nếp gấp chia hình mới thành hai phần chồng khít lên nhau, giống hệt tính chất của con bướm và hình tròn ở HĐ1, HĐ2.

Định hướng. Không cần biết đường cắt hình dạng ra sao, chỉ cần so hai bên nếp gấp trên hình đã mở.

Vậy hình nhận được có nếp gấp là đường thẳng chia hình thành hai phần chồng khít lên nhau.

Nhận xét. Đây chính là cách tạo ra một hình có trục đối xứng bất kì bằng gấp và cắt giấy.

Định hướng. Với mỗi chữ, thử gấp theo chiều dọc rồi theo chiều ngang xem nét chữ có khớp nhau không.

Vậy các chữ có trục đối xứng là $A,B,H,E$; hai chữ $G,F$ không có trục đối xứng.

Định hướng. Không cần gấp, chỉ cần nhìn xem nửa nào của chữ là ảnh phản chiếu của nửa còn lại.

Vậy $A,B,H,E$ có trục đối xứng ($H$ có tới hai trục); $G,F$ không có trục đối xứng.

Nhận xét. Chữ $H$ đặc biệt vì có cả trục dọc lẫn trục ngang, còn $G$ và $F$ tuy trông cân đối nhưng không hề có trục đối xứng.

Định hướng. Mỗi biển là hình tròn hoặc tam giác cân sẵn có trục riêng, chỉ cần xem hoạ tiết bên trong có giữ được trục đó không.

Vậy biển a) và c) có trục đối xứng; biển b) và d) không có trục đối xứng.

Định hướng. Gấp thử theo phương ngang và phương dọc, quan sát hoạ tiết có chồng khít hay không.

Vậy a), c) có trục đối xứng; b), d) không có trục đối xứng.

Nhận xét. Biển d) tuy quay 180° quanh tâm thì trùng chính nó, nhưng đó là tâm đối xứng chứ không phải trục đối xứng — hai khái niệm khác nhau.

Định hướng. Hình trái tim là hình rất quen thuộc và có thể gấp đôi để kiểm chứng ngay.

Vậy hình trái tim là một hình có trục đối xứng (trục là đường thẳng đứng chính giữa).

Định hướng. Nhiều đồ vật xung quanh cũng có trục đối xứng, chẳng hạn chiếc lá bàng hay mặt trước một quyển vở.

Vậy chiếc lá bàng và mặt đồng hồ tròn cũng là những ví dụ về hình có trục đối xứng.

Nhận xét. Có rất nhiều đáp án đúng cho câu này; miễn hình tìm được gấp đôi theo một đường mà hai phần chồng khít là được.

Định hướng. HĐ2 đã cho thấy gấp theo một đường qua tâm thì hai nửa khớp nhau, nên chỉ cần phát biểu lại đường đó.

Vậy trục đối xứng của hình tròn là mọi đường thẳng đi qua tâm của nó.

Định hướng. Thử gấp theo một đường không qua tâm để thấy vì sao bắt buộc phải qua tâm.

Vậy chỉ những đường thẳng đi qua tâm mới là trục đối xứng của hình tròn.

Nhận xét. Vì có vô số đường thẳng đi qua tâm nên hình tròn có vô số trục đối xứng.

Định hướng. Hình thoi có bốn cạnh bằng nhau nên gấp theo đường chéo sẽ khiến các cạnh kề chồng lên nhau.

Vậy trục đối xứng của hình thoi là hai đường chéo của nó; hình thoi có 2 trục đối xứng.

Định hướng. Kiểm tra thêm một đường khác (không phải đường chéo) để thấy nó KHÔNG phải là trục đối xứng, từ đó khẳng định chỉ có đúng hai đường chéo.

Vậy hình thoi có đúng 2 trục đối xứng, chính là hai đường chéo.

Nhận xét. Khác với hình chữ nhật, trục đối xứng của hình thoi là đường chéo chứ không phải đường nối trung điểm các cạnh.

Định hướng. Vì hai cạnh đối của hình chữ nhật bằng nhau, gấp theo đường nối trung điểm của chúng sẽ làm hai nửa trùng khít.

Vậy trục đối xứng của hình chữ nhật là hai đường thẳng nối trung điểm các cặp cạnh đối diện; hình chữ nhật có 2 trục đối xứng.

Định hướng. Kiểm tra đường chéo có phải trục đối xứng không, để phân biệt với hình thoi ở HĐ5.

Vậy hình chữ nhật có đúng 2 trục đối xứng, không phải là các đường chéo.

Nhận xét. Hình chữ nhật và hình thoi đều có 2 trục đối xứng nhưng vị trí trục khác nhau: hình thoi là đường chéo, hình chữ nhật là đường nối trung điểm cạnh đối.

Định hướng. Muốn hai nửa đoạn thẳng chồng khít thì hai đầu mút phải trùng nhau sau khi gấp.

Vậy đường trung trực của đoạn thẳng $AB$ là một trục đối xứng của nó.

Định hướng. Sau khi gấp, đo lại để chắc chắn nếp gấp đúng là trung trực chứ không lệch.

Vậy nếp gấp chính là đường trung trực của đoạn thẳng $AB$, đó là trục đối xứng cần tìm.

Nhận xét. Đoạn thẳng còn có một trục đối xứng nữa là chính đường thẳng chứa nó, nhưng đường trung trực mới là trục đáng chú ý vì vuông góc với đoạn thẳng.

Định hướng. Mỗi hình đều có ít nhất một đường nối một đỉnh (hoặc trung điểm cạnh) với điểm đối xứng của nó qua tâm hình.

Vậy mỗi hình trên đều gấp đôi được theo một đường như trên và hai phần chồng khít.

Định hướng. Cách khác để tìm trục là nối trung điểm của hai cạnh đối xứng nhau qua tâm hình.

Vậy mỗi hình có thể có nhiều hơn một trục đối xứng, chỉ cần chỉ ra đúng một trục là đủ theo yêu cầu đề bài.

Nhận xét. Thực ra tam giác đều có 3 trục, hình vuông có 4 trục, hình lục giác đều có 6 trục đối xứng — đúng bằng số cạnh của mỗi hình.

Định hướng. Hình vuông có hai loại đường đặc biệt cho trục đối xứng: hai đường chéo và hai đường nối trung điểm cạnh đối.

Vậy hình vuông có 4 trục đối xứng — cả Tròn và Vuông đều nói sai.

Định hướng. Hình vuông vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi nên có cả trục của hình chữ nhật lẫn trục của hình thoi.

Vậy hình vuông có đúng 4 trục đối xứng; còn hình tròn có vô số trục đối xứng (mỗi đường kính là một trục) — bạn Tròn nói đúng về chính mình.

Nhận xét. Bạn Tròn nói Vuông có \u201chai trục\u201d là còn thiếu, bạn Vuông nói mình có \u201cvô số trục\u201d lại là thừa — số trục đúng của hình vuông là 4, một số hữu hạn.

Định hướng. Chữ $E$ có trục ngang, còn chữ $T$ có trục dọc, nên hướng gấp giấy của hai chữ khác nhau.

Vậy mở giấy ra ta được chữ $E$ (gấp ngang) và chữ $T$ (gấp dọc) hoàn chỉnh.

Định hướng. Cách làm ngược lại: vẽ nửa hình dạng chữ trước, từ đó suy ra phải gấp giấy theo hướng nào để nửa còn lại tự sinh ra khi mở giấy.

Vậy cả hai cách đều cho kết quả là chữ $E$ và chữ $T$ đối xứng hoàn chỉnh sau khi mở giấy.

Nhận xét. Chữ $E$ chỉ có trục ngang, chữ $T$ chỉ có trục dọc — khác với chữ $H$ ở Luyện tập 1 có cả hai trục.

Định hướng. Chỉ cần lấy đối xứng phần đã cắt qua đường nếp gấp là dựng lại được chữ hoàn chỉnh.

Vậy a) là chữ $T$, b) là chữ $M$, c) là chữ $E$.

Định hướng. So hình dạng nửa mảnh giấy với nửa của các chữ quen thuộc đã biết có trục đối xứng ở Luyện tập 1.

Vậy a) $T$, b) $M$, c) $E$ — đúng như dự đoán ở Cách 1.

Nhận xét. Ba chữ $T$, $M$, $E$ đều có trục đối xứng nên đều gấp giấy cắt được theo đúng cách này; những chữ như $G$, $F$ (Luyện tập 1) thì không thể cắt theo cách gấp đôi.

Định hướng. Cả hai hình đều được thiết kế cân đối nên chỉ cần tìm đường thẳng đứng (hoặc các đường qua tâm) chia đôi hình.

Vậy Tháp Chàm có trục đối xứng là đường thẳng đứng qua đỉnh tháp; ngôi sao sáu cánh có trục đối xứng.

Định hướng. Ngôi sao sáu cánh được ghép từ hai tam giác đều lồng nhau, mỗi tam giác đều có 3 trục nên cần gộp lại và loại trục trùng.

Vậy ngôi sao sáu cánh có 6 trục đối xứng; Tháp Chàm có 1 trục đối xứng là đường thẳng đứng qua đỉnh.

Nhận xét. Không phải hình nào cũng gấp giấy được, nhưng ta vẫn xác định trục đối xứng bằng cách hình dung và quan sát tính cân đối của hình.

Định hướng. Vì hai cạnh bên hình thang cân bằng nhau và đối xứng nhau, gấp theo đường nối trung điểm hai đáy sẽ khiến chúng chồng khít.

Vậy trục đối xứng của hình thang cân là đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy.

Định hướng. Kiểm tra thêm bằng góc: hình thang cân có hai góc kề một đáy bằng nhau nên hai bên đường $MN$ luôn đối xứng.

Vậy đường thẳng $MN$ chia hình thang cân thành hai phần đối xứng — đó là trục đối xứng của hình.

Nhận xét. Hình thang thường (không cân) không có trục đối xứng nào, vì hai cạnh bên không bằng nhau.

Định hướng. Lục giác đều có 6 đỉnh chia thành 3 cặp đỉnh đối diện, và 6 cạnh chia thành 3 cặp cạnh đối diện.

Vậy hình lục giác đều có 6 trục đối xứng.

Định hướng. Đa giác đều $n$ cạnh luôn có đúng $n$ trục đối xứng, chỉ cần thay $n=6$.

Vậy hình lục giác đều có 6 trục đối xứng.

Nhận xét. Quy tắc này khớp với các hình đã học: tam giác đều ($n=3$) có 3 trục, hình vuông ($n=4$) có 4 trục.

Định hướng. Với mỗi hình, tìm chi tiết trung tâm (ngôi sao, vạch cấm, cuống lá) rồi xem có đường nào chia đôi chi tiết đó và cả nền xung quanh hay không.

Vậy các hình a), c), d) có trục đối xứng; hình b) không có trục đối xứng.

Định hướng. Kiểm chứng lại bằng cách gấp thử đúng theo đường đã chọn ở Cách 1, xem hai phần có chồng khít không.

Vậy a), c), d) có trục đối xứng; riêng b) không có trục đối xứng nào.

Nhận xét. Trục đối xứng không nhất thiết phải nằm ngang hay thẳng đứng — ở hình d), trục chính là đường chéo chứa vạch cấm.

Định hướng. Dùng lưới ô vuông để đếm chính xác khoảng cách từ mỗi đỉnh tới đường nghi ngờ là trục, hai bên phải bằng nhau tuyệt đối.

Vậy a) không có trục đối xứng: Hình c; b) chỉ có một trục: Hình a, Hình d; c) có hai trục: Hình b.

Định hướng. Với mỗi hình, thử gấp lần lượt theo phương ngang, phương dọc và hai phương chéo, ghi lại phương nào cho hai phần chồng khít.

Vậy Hình c không có trục đối xứng; Hình a và Hình d mỗi hình có đúng một trục; Hình b có hai trục đối xứng.

Nhận xét. Hình b có tới hai trục vì đó là một hình \u201cthoi cong\u201d cân đối theo cả hai đường chéo, giống hình thoi ở HĐ5 nhưng với cạnh cong.