Bài 22. Hình có tâm đối xứng

Định hướng. Cứ tưởng tượng ghim mỗi hình tại $O$ rồi xoay đúng nửa vòng, hình nào rơi đúng lại vị trí vạch xanh ban đầu thì hình đó chồng khít.

Vậy hình tròn và chong chóng bốn cánh "chồng khít" sau khi quay nửa vòng quanh $O$; chong chóng ba cánh thì không.

Định hướng. Nửa vòng ứng với góc $180^{\circ }$; một hình có $n$ cánh cách đều nhau thì mỗi cánh cách cánh liền kề $360^{\circ }:n$. Cánh gốc trùng cánh khác sau khi quay $180^{\circ }$ đúng khi $180^{\circ }$ là bội của $360^{\circ }:n$, tức $n$ chẵn.

Vậy hình tròn và chong chóng bốn cánh chồng khít; chong chóng ba cánh không chồng khít.

Nhận xét. Cách 2 giải thích được NGAY cả với chong chóng rất nhiều cánh mà không cần hình vẽ, chỉ cần đếm cánh rồi xét chẵn lẻ.

Định hướng. Với mỗi hình, chọn điểm có vẻ "cân" nhất (trung điểm, giao điểm các nét) rồi quay thử nửa vòng quanh điểm đó.

Vậy ① tâm đối xứng của đoạn thẳng là trung điểm của nó; ② $H,N,X$ có tâm đối xứng, $K,M$ không có; ③ biển a) và c) có tâm đối xứng, biển b) và d) không có.

Định hướng. Một hình có tâm đối xứng khi mọi nét của nó đều ghép được thành từng cặp nét đối xứng nhau qua đúng một điểm; chỉ cần tìm một nét lẻ loi, không có nét đối diện là kết luận ngay "không có".

Vậy kết quả giống Cách 1: $H,N,X$ và biển a), c) có tâm đối xứng; $K,M$ và biển b), d) thì không.

Nhận xét. Cách 2 không cần vẽ hình quay mà chỉ cần "soi cặp nét", làm nhanh hơn khi phải xét nhiều chữ cùng lúc.

Định hướng. Cứ ghim hình tại $O$ rồi xoay đúng nửa vòng, xem 4 cánh hoa có rơi đúng lại 4 vị trí cũ hay không.

Vậy sau khi quay nửa vòng quanh $O$, hình bông hoa bốn cánh chồng khít với chính nó, nên $O$ là tâm đối xứng của hình.

Định hướng. Hình này cũng là một hình nhiều "cánh" xếp đều quanh một điểm như ở HĐ2, nên áp dụng thẳng nhận xét đã có mà không cần quay hình lại từ đầu.

Vậy $O$ là tâm đối xứng của hình bông hoa bốn cánh.

Nhận xét. Nếu gấp giấy đến ba lần rồi cắt thì được hình $8$ cánh, $8$ vẫn là số chẵn nên vẫn có tâm đối xứng tại giao điểm các nếp gấp.

Định hướng. Vì $O$ là trung điểm của cả $AC$ lẫn $BD$, quay nửa vòng quanh $O$ sẽ đưa mỗi đỉnh sang đúng vị trí đỉnh đối diện.

Vậy sau khi quay nửa vòng quanh $O$, hình bình hành $ABCD$ chồng khít với chính nó, nên $O$ là tâm đối xứng của hình bình hành.

Định hướng. Hình bình hành có hai cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau; đó chính là dấu hiệu để hình quay nửa vòng quanh giao điểm hai đường chéo mà vẫn khớp.

Vậy mỗi cạnh đều có một cạnh đối song song, bằng nhau nằm đối xứng qua $O$, nên hình bình hành nhận $O$ làm tâm đối xứng.

Nhận xét. Tính chất "hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường" chính là lí do mọi hình bình hành đều có tâm đối xứng, dù hình có bị "méo" thế nào.

Định hướng. Cả bốn hình đều "cân" quanh một điểm, nên cứ quay nửa vòng quanh giao điểm các đường chéo rồi kiểm tra như đã làm ở HĐ3.

Vậy cả bốn hình đều có tâm đối xứng: với a), b), d) đó là giao điểm hai đường chéo; với c) đó là giao điểm ba đường chéo chính.

Định hướng. Không cần cắt giấy quay lại từ đầu: hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi vốn đã là hình bình hành nên áp dụng thẳng kết luận của HĐ3; lục giác đều thì ghép từ sáu tam giác đều quanh tâm.

Vậy a), b), d) có tâm đối xứng tại giao điểm hai đường chéo; c) có tâm đối xứng tại giao điểm ba đường chéo chính.

Nhận xét. Đây cũng là nội dung được chốt lại trong khung Nhận xét của SGK trang 105.

Định hướng. Chỉ cần lấy điểm đối xứng của TỪNG đỉnh đã cho qua $O$, các điểm mới đó chính là các đỉnh còn thiếu của hình cần vẽ.

Vậy hình vẽ thêm (nét đứt hồng) là ảnh đối xứng của phần đã cho qua $O$; ghép hai phần lại được hình nhận $O$ làm tâm đối xứng.

Định hướng. Thay vì tính từng toạ độ, có thể hình dung xoay cả tờ giấy đã vẽ nửa vòng quanh $O$ rồi đồ lại đúng nét cũ ở vị trí mới, đó chính là phần hình cần vẽ thêm.

Vậy phần đồ thêm sau khi quay nửa vòng chính là phần hình cần vẽ, và theo cách dựng, hình mới chắc chắn nhận $O$ làm tâm đối xứng.

Nhận xét. Cách 2 trực quan, không cần đếm ô, nhưng Cách 1 (đếm ô rồi nối điểm) chính xác hơn khi vẽ trên giấy kẻ ô vuông.

Định hướng. Vì đường cắt được lặp lại giống hệt nhau ở cả 4 lớp giấy chồng khít lúc gấp, nên khi mở ra, 4 lớp đó biến thành 4 cánh giống hệt nhau xếp quanh giao điểm hai nếp gấp.

Vậy hình cỏ bốn lá có tâm đối xứng, tâm đối xứng chính là điểm $O$ — giao điểm hai nếp gấp.

Định hướng. Không cần dựng lại từ đầu, chỉ cần nhận ra đây cũng là một hình 4 cánh xếp đều quanh một điểm, giống hệt dạng đã xét ở HĐ2 và Thực hành 1.

Vậy $O$ là tâm đối xứng của hình cỏ bốn lá.

Nhận xét. Nếu chỉ gấp một lần (không gấp đủ hai lần vuông góc) thì hình cắt ra chỉ có trục đối xứng, không chắc có tâm đối xứng.

Định hướng. Áp dụng đúng nhận xét đã đúc kết từ HĐ2: hình xếp đều quanh một điểm với số cánh chẵn thì có tâm đối xứng tại điểm đó.

Vậy cả ba hình đều có tâm đối xứng, tâm chính là điểm chính giữa hình (giao điểm các trục/tâm hình tròn bao quanh).

Định hướng. Kiểm tra lại dự đoán bằng cách hình dung quay nửa vòng quanh điểm chính giữa mỗi hình.

Vậy cả ba hình đều chồng khít sau khi quay nửa vòng quanh điểm chính giữa, xác nhận cả ba đều có tâm đối xứng tại đó.

Nhận xét. Đây cũng là ba ví dụ về tâm đối xứng gặp trong quốc huy, biểu tượng và tự nhiên mà SGK nhắc tới ngay đầu bài học.

Định hướng. Áp dụng đúng nhận xét ở HĐ2: số cánh xếp đều quanh tâm phải là số chẵn thì mới có tâm đối xứng.

Vậy chỉ hình a) (cỏ bốn lá) có tâm đối xứng; các hình b), c), d) không có tâm đối xứng.

Định hướng. Kiểm tra lại bằng cách hình dung quay mỗi hình nửa vòng quanh điểm chính giữa của nó.

Vậy chỉ hình a) chồng khít sau khi quay nửa vòng, xác nhận chỉ hình a) có tâm đối xứng.

Nhận xét. Cả bốn hình đều có trục đối xứng (vì cánh hoa nào cũng "cân" hai bên), nhưng chỉ hình có SỐ CÁNH CHẴN mới có thêm tâm đối xứng.

Định hướng. Luôn quay quanh ĐÚNG điểm $O$ được đánh dấu trong hình, không quay quanh tâm hình học "nhìn có vẻ cân" của toàn hình.

Vậy cả bốn trường hợp, điểm $O$ đều KHÔNG phải là tâm đối xứng của hình.

Định hướng. Với hình vuông, hình thoi hay bốn mũi tên đều — nếu hình THẬT SỰ có tâm đối xứng thì tâm đó là DUY NHẤT (giao điểm các đường chéo/trục); chỉ cần so sánh $O$ với điểm duy nhất đó.

Vậy cả a), b), c), d) đều cho kết luận giống Cách 1: điểm $O$ không phải là tâm đối xứng.

Nhận xét. Bài này nhắc ta: phải KIỂM TRA bằng phép quay chứ không được đoán bằng mắt, vì điểm đánh dấu có thể cố tình đặt lệch một chút so với tâm thật.

Định hướng. Với mỗi hình, chọn điểm "có vẻ cân" nhất trước — thường là điểm chung của các trục hoặc giao các đường chéo — rồi quay thử nửa vòng quanh điểm đó.

Vậy chỉ hình a) có tâm đối xứng, tâm chính là điểm chung của hai hình elip; các hình b), c), d) không có tâm đối xứng.

Định hướng. Dùng lại quy tắc đã có: hình gồm các phần bằng nhau xếp đều (hoặc lồng nhau) quanh một điểm có tâm đối xứng khi số phần đó chẵn hoặc khi ghép đúng cặp đối xứng qua điểm đó.

Vậy chỉ a) có tâm đối xứng (tại tâm chung của hai elip); b), c), d) đều không có.

Nhận xét. Ngũ giác đều tuy có tới $5$ trục đối xứng (rất "cân") nhưng vẫn KHÔNG có tâm đối xứng — trục đối xứng và tâm đối xứng là hai điều hoàn toàn khác nhau.

Định hướng. Làm giống hệt Thực hành 2, chỉ thay đường cắt cong bằng đường cắt thẳng để tạo góc bát giác thay vì cánh hoa tròn.

Vậy sau khi mở, được hình gồm bốn hình bát giác nối với nhau quanh điểm $O$, chính giữa để hở một lỗ nhỏ hình thoi.

Định hướng. Không cần thao tác lại, chỉ cần lí giải bằng đúng nhận xét "gấp hai lần vuông góc — cắt một lần" đã dùng ở Thực hành 2.

Vậy hình bốn bát giác nối nhau nhận được chắc chắn có tâm đối xứng, tâm chính là điểm $O$ — giao điểm hai nếp gấp.

Nhận xét. Muốn hình có lỗ hình thoi ở giữa, đường cắt tạo góc vát phải chừa lại một đoạn nhỏ gần góc $O$ chứ không cắt sát hẳn vào đỉnh.

Định hướng. Áp dụng đúng cách đã làm ở Luyện tập 2: tìm ảnh đối xứng của từng đỉnh của hình đã cho qua $O$.

Vậy hình vẽ thêm (nét đứt hồng) là ảnh đối xứng qua $O$ của hình đã cho; ghép hai phần được hình nhận $O$ làm tâm đối xứng.

Định hướng. Hình dung xoay cả tờ giấy đã vẽ đúng nửa vòng quanh $O$, nét vẽ ở vị trí mới chính là phần cần vẽ thêm.

Vậy phần đồ thêm sau khi quay nửa vòng chính là phần hình cần vẽ, và hình ghép hai phần chắc chắn nhận $O$ làm tâm đối xứng theo đúng cách dựng.

Nhận xét. Kết quả Cách 1 và Cách 2 phải trùng nhau; nếu lệch thì một trong hai bước đếm ô hoặc quay hình đã bị nhầm.

Định hướng. Mở lần lượt từng nếp gấp một, mỗi lần mở nhân đôi phần đã cắt bằng một ảnh đối xứng qua nếp gấp đó.

Vậy mở mảnh a) An được hình gần giống chữ $H$; mở mảnh b) An được hình gần giống chữ $O$.

Định hướng. Không cần mở tưởng tượng từng bước, chỉ cần biết chắc hình cuối cùng có cả hai trục đối xứng lẫn tâm đối xứng, rồi so hình dạng với các chữ cái đã học có tính chất này.

Vậy a) An nhận được chữ $H$; b) An nhận được chữ $O$.

Nhận xét. Điều chắc chắn về mặt Toán học là: hình nhận được ở cả hai câu LUÔN có tâm đối xứng, vì được tạo từ hai nếp gấp vuông góc nhau.