Bài 23. Mở rộng khái niệm phân số. Phân số bằng nhau

Định hướng. Đối chiếu tử và mẫu của mỗi cách viết với điều kiện $a,b\in \mathbb{Z}$, $b\ne 0$.

Vậy $\frac{0}{7}$ và $\frac{3}{-8}$ là phân số; $\frac{0}{7}$ có tử $0$, mẫu $7$; $\frac{3}{-8}$ có tử $3$, mẫu $-8$. Hai cách viết $\frac{2,5}{-4}$ và $\frac{4}{0}$ không phải phân số.

Định hướng. Một phân số phải vi phạm điều kiện thì bị loại — gom nhóm theo “lỗi tử không nguyên” và “lỗi mẫu bằng 0” sẽ loại nhanh hơn kiểm tra tuần tự.

Vậy $\frac{0}{7}$ (tử $0$, mẫu $7$) và $\frac{3}{-8}$ (tử $3$, mẫu $-8$) là phân số.

Định hướng. Số bị chia lên tử, số chia xuống mẫu, giữ nguyên dấu.

Vậy $4:9=\frac{4}{9}$; ​ $(-2):7=\frac{-2}{7}$; ​ $8:(-3)=\frac{8}{-3}$.

Định hướng. Viết xong, nhân phân số với mẫu để chắc chắn quay lại đúng số bị chia — cách này giúp phát hiện lỗi đặt sai tử/mẫu.

Vậy $4:9=\frac{4}{9}$; ​ $(-2):7=\frac{-2}{7}$; ​ $8:(-3)=\frac{8}{-3}$.

Định hướng. Lấy vài số nguyên đại diện (dương, âm, $0$) rồi viết mỗi số dưới dạng phân số có mẫu $1$.

Vậy cả ba số nguyên dương, âm, $0$ đều viết được dưới dạng phân số — Vuông đúng, Tròn sai.

Định hướng. Thay vì thử từng số, viết chung một công thức cho MỌI số nguyên $n$ rồi đối chiếu với định nghĩa.

Vậy mọi số nguyên $n$ đều là một phân số (dạng $\frac{n}{1}$) — Vuông đúng, Tròn sai.

Định hướng. Đếm số ô đã tô màu và tổng số ô của từng hình rồi lập tỉ số.

Vậy hình a) biểu thị bởi $\frac{3}{4}$, hình b) biểu thị bởi $\frac{6}{8}$.

Định hướng. Hai hình chữ nhật cùng kích thước; hình b) chia mỗi phần của hình a) thành $2$ phần nhỏ hơn, nên cả số phần tô màu lẫn tổng số phần đều nhân đôi.

Vậy hình a) biểu thị bởi $\frac{3}{4}$, hình b) biểu thị bởi $\frac{6}{8}$.

Định hướng. Đưa hai phân số về cùng mẫu số chung, khi đó chỉ cần so tử số.

Vậy $\frac{3}{4}=\frac{6}{8}$.

Định hướng. Hai phân số $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ khi $a\cdot d=b\cdot c$; áp dụng trực tiếp cho $\frac{3}{4}$ và $\frac{6}{8}$.

Vậy $\frac{3}{4}=\frac{6}{8}$.

Định hướng. Rút gọn $\frac{6}{8}$ bằng cách chia cả tử và mẫu cho ước chung $2$, so trực tiếp với $\frac{3}{4}$.

Vậy $\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$, hai phân số ở Hoạt động 1 bằng nhau.

Nhận xét. Cả ba cách đều khẳng định $\frac{3}{4}=\frac{6}{8}$ — đúng với quan sát trực quan trên hình, vì hai hình cùng kích thước và phần tô màu chiếm tỉ lệ diện tích như nhau.

Định hướng. Đưa mỗi phân số về dạng tối giản, phân số nào có cùng dạng tối giản thì bằng nhau.

Vậy $\frac{2}{5}=\frac{4}{10}$ và $\frac{1}{3}=\frac{3}{9}$.

Định hướng. Dựa vào hình dáng gần giống để chọn cặp nghi ngờ trước ($\frac{2}{5}$ với $\frac{4}{10}$, $\frac{1}{3}$ với $\frac{3}{9}$), rồi kiểm bằng quy tắc $a\cdot d=b\cdot c$.

Vậy $\frac{2}{5}=\frac{4}{10}$ và $\frac{1}{3}=\frac{3}{9}$.

Định hướng. Đưa cả bốn phân số về mẫu chung $90$ (bội chung của $5,3,9,10$) rồi so tử số.

Vậy $\frac{2}{5}=\frac{4}{10}\left(=\frac{36}{90}\right)$ và $\frac{1}{3}=\frac{3}{9}\left(=\frac{30}{90}\right)$.

Nhận xét. Cách 3 tuy chắc chắn tìm đủ mọi cặp bằng nhau nhưng phải tính mẫu chung khá lớn; Cách 1 rút gọn trước là nhanh nhất với bài này.

Định hướng. Với cặp $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, tính $a\cdot d$ và $b\cdot c$ rồi so sánh.

Vậy ở cả hai cặp, tích chéo bằng nhau: $2\cdot 10=5\cdot 4$ và $1\cdot 9=3\cdot 3$.

Định hướng. Vì $\frac{4}{10}$ có được bằng cách nhân cả tử và mẫu của $\frac{2}{5}$ với $2$, thay trực tiếp $c=2m$, $d=5m$ để thấy vì sao tích chéo luôn bằng nhau.

Vậy $a\cdot d=b\cdot c$ luôn đúng khi phân số này có được từ phân số kia bằng cách nhân cả tử và mẫu với cùng một số.

Định hướng. Áp dụng $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ nếu $a\cdot d=b\cdot c$ cho từng cặp.

Vậy cả hai cặp đều bằng nhau: $\frac{-3}{5}=\frac{9}{-15}$ và $\frac{-1}{-4}=\frac{1}{4}$.

Định hướng. Nhân cả tử và mẫu với $-1$ để mẫu dương, khi đó chỉ cần so sánh hai phân số cùng mẫu dương bằng mắt.

Vậy a) $\frac{9}{-15}=\frac{-3}{5}$ nên $\frac{-3}{5}=\frac{9}{-15}$; b) $\frac{-1}{-4}=\frac{1}{4}$.

Định hướng. Rút gọn từng phân số về tối giản (mẫu dương), phân số nào cùng dạng tối giản thì bằng nhau.

Vậy a) $\frac{-3}{5}=\frac{9}{-15}$; b) $\frac{-1}{-4}=\frac{1}{4}$.

Nhận xét. Ba cách đều cho cùng kết luận: cả hai cặp đều là các cặp phân số bằng nhau.

Định hướng. Rút gọn $\frac{2}{4}$ và $\frac{8}{16}$ về tối giản; sau đó lấy tỉ số tử (hoặc mẫu) giữa hai phân số liên tiếp để tìm số cần điền.

Vậy a) $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{8}{16}$; b) hai ô “?” đầu điền $2$, hai ô “?” sau điền $4$.

Định hướng. Kiểm tra bằng nhau bằng $a\cdot d=b\cdot c$; số cần điền chính là thương giữa hai mẫu (hoặc hai tử) liên tiếp.

Vậy a) ba phân số bằng nhau; b) các ô “?” lần lượt là $2$ và $4$.

Định hướng. Nhìn mẫu $2\to 4$ đoán ngay hệ số nhân là $2$, mẫu $4\to 16$ đoán hệ số nhân là $4$; áp dụng tính chất 1 cho tử rồi kiểm tra lại bằng phép nhân.

Vậy a) $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{8}{16}$; b) các ô “?” là $2$ và $4$.

Nhận xét. Cả ba cách đều xác nhận: nhân cả tử và mẫu của $\frac{1}{2}$ với $2$ rồi với $4$ sẽ lần lượt ra $\frac{2}{4}$ và $\frac{8}{16}$ — đúng nội dung tính chất cơ bản của phân số sắp học.

Định hướng. Nhân tử và mẫu với $-5$, sau đó dùng quy tắc bằng nhau để xác nhận.

Vậy $\frac{-3}{2}=\frac{15}{-10}$, hai phân số bằng nhau.

Định hướng. Tính chất cơ bản 1 đã đảm bảo $\frac{a}{b}=\frac{a\cdot m}{b\cdot m}$ với $m\ne 0$, nên chỉ cần tính rồi kết luận ngay, không cần nhân chéo kiểm tra.

Vậy $\frac{-3}{2}=\frac{15}{-10}$, hai phân số bằng nhau vì đây chính là kết quả áp dụng tính chất cơ bản 1.

Định hướng. Chia cả tử và mẫu của phân số mới cho $-5$ (chính là phép ngược của phép nhân vừa làm), nếu quay lại đúng $\frac{-3}{2}$ thì hai phân số bằng nhau.

Vậy chia phân số mới cho $-5$ ta quay lại đúng $\frac{-3}{2}$, vậy $\frac{-3}{2}=\frac{15}{-10}$.

Định hướng. Kiểm tra $7$ là ước chung của $28$ và $21$, chia cả tử và mẫu cho $7$, rồi xác nhận bằng quy tắc bằng nhau.

Vậy $\frac{-28}{21}=\frac{-4}{3}$, hai phân số bằng nhau.

Định hướng. Vì $7$ là ước chung của $-28$ và $21$, tính chất cơ bản 2 đảm bảo ngay phân số sau khi chia vẫn bằng phân số ban đầu, không cần kiểm tra lại.

Vậy $\frac{-28}{21}=\frac{-4}{3}$, hai phân số bằng nhau theo tính chất cơ bản 2.

Định hướng. Tìm ƯCLN$(28,21)$ rồi rút gọn một lần về dạng tối giản, so với kết quả chia cho $7$ ở trên.

Vậy $\frac{-28}{21}=\frac{-4}{3}$ và $\frac{-4}{3}$ chính là dạng tối giản của $\frac{-28}{21}$, vì $7$ chia được cho ta ĐÚNG bằng ƯCLN$(28,21)$.

Định hướng. Rút gọn $\frac{-10}{55}$ và $\frac{3}{15}$ về dạng tối giản bằng tính chất cơ bản 2, so với $\frac{1}{5}$ và $\frac{-2}{11}$ đã cho.

Vậy $\frac{1}{5}=\frac{3}{15}$ và $\frac{-10}{55}=\frac{-2}{11}$.

Định hướng. Chọn cặp có tử/mẫu cùng bội (nghi ngờ bằng nhau trước), kiểm tra bằng $a\cdot d=b\cdot c$.

Vậy $\frac{1}{5}=\frac{3}{15}$ và $\frac{-10}{55}=\frac{-2}{11}$.

Định hướng. Với mỗi cặp nghi ngờ, tìm số $m$ sao cho nhân cả tử và mẫu của phân số này với $m$ ra đúng phân số kia — đây là cách giải thích khớp thẳng với yêu cầu đề bài.

Vậy $\frac{1}{5}=\frac{3}{15}$ (theo tính chất cơ bản 1 với $m=3$) và $\frac{-10}{55}=\frac{-2}{11}$ (theo tính chất cơ bản 1 với $m=5$, chiều ngược).

Nhận xét. Cách 3 vừa tìm ra cặp bằng nhau vừa nêu rõ luôn “nhân với số nào” — đúng trọng tâm “giải thích bằng tính chất cơ bản” mà đề yêu cầu.

Định hướng. Tính ƯCLN$(|$tử$|,|$mẫu$|)$; bằng $1$ thì tối giản, khác $1$ thì chia cả tử và mẫu cho ƯCLN đó.

Vậy $\frac{11}{23}$ là phân số tối giản; $\frac{-24}{15}$ chưa tối giản, rút gọn được $\frac{-24}{15}=\frac{-8}{5}$.

Định hướng. Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố, thừa số chung chính là điều cần tìm.

Vậy $\frac{11}{23}$ tối giản; $\frac{-24}{15}$ rút gọn thành $\frac{-8}{5}$.

Định hướng. Thử xem $2,3,5,7,\dots$ có là ước chung của tử và mẫu hay không, dừng lại khi vượt quá căn bậc hai của số nhỏ hơn.

Vậy $\frac{11}{23}$ là phân số tối giản; $\frac{-24}{15}$ rút gọn còn $\frac{-8}{5}$ (đã tối giản vì ƯCLN$(8,5)=1$).

Định hướng. Rút gọn $\frac{-3}{4}$ (đã tối giản) và rút gọn lần lượt từng ô trên sơ đồ bằng ƯCLN của tử, mẫu; ô nào rút gọn ra đúng $\frac{-3}{4}$ mới được đi qua.

Vậy đường đi đúng là: Bắt đầu $\to \frac{-9}{12}\to \frac{-15}{20}\to \frac{-33}{44}\to$ Kho báu.

Định hướng. Với mỗi ô $\frac{a}{b}$, kiểm tra $a\cdot 4=b\cdot (-3)$ để xác định có bằng $\frac{-3}{4}$ hay không, rồi dò đường trên các ô thoả điều kiện.

Vậy đường đi đúng là: Bắt đầu $\to \frac{-9}{12}\to \frac{-15}{20}\to \frac{-33}{44}\to$ Kho báu.

Định hướng. Từ phân số đã cho, đọc tên và chỉ ra tử số, mẫu số theo đúng định nghĩa.

Vậy hai dòng đầu của bảng: $\frac{5}{7}$ (năm phần bảy, tử $5$, mẫu $7$) và $\frac{-6}{11}$ (âm sáu phần mười một, tử $-6$, mẫu $11$).

Định hướng. Dòng 3 cho sẵn cách đọc “âm hai phần ba”, dòng 4 cho sẵn tử $9$ và mẫu $-11$ — dựng lại phân số rồi đọc/ghi đủ ô còn thiếu.

Vậy hai dòng sau của bảng: $\frac{-2}{3}$ (âm hai phần ba, tử $-2$, mẫu $3$) và $\frac{9}{-11}$ (chín phần âm mười một, tử $9$, mẫu $-11$).

Định hướng. So hai mẫu (hoặc hai tử) đã biết để tìm hệ số nhân $m$, rồi nhân cùng hệ số đó cho thành phần còn lại.

Vậy a) $?=4$; ​ b) $?=-27$.

Định hướng. Áp dụng $a\cdot d=b\cdot c$ để lập đẳng thức rồi giải tìm số còn thiếu.

Vậy a) $?=4$; ​ b) $?=-27$.

Định hướng. Rút gọn phân số đã cho đủ tử và mẫu về tối giản, sau đó nhân/chia để khớp với thành phần đã biết ở phân số kia.

Vậy a) $?=4$; ​ b) $?=-27$.

Định hướng. Áp dụng tính chất cơ bản 1 với $m=-1$ cho cả hai phân số.

Vậy $\frac{8}{-11}=\frac{-8}{11}$ và $\frac{-5}{-9}=\frac{5}{9}$.

Định hướng. Sau khi đổi dấu, dùng $a\cdot d=b\cdot c$ để chắc chắn phân số mới vẫn bằng phân số ban đầu.

Vậy $\frac{8}{-11}=\frac{-8}{11}$ và $\frac{-5}{-9}=\frac{5}{9}$, đã kiểm chứng bằng quy tắc bằng nhau.

Định hướng. Tính ƯCLN$(|$tử$|,|$mẫu$|)$ rồi chia cả tử và mẫu cho ƯCLN đó.

Vậy $\frac{-12}{-4}=3$; ​ $\frac{7}{-35}=\frac{-1}{5}$; ​ $\frac{-9}{27}=\frac{-1}{3}$.

Định hướng. Chia liên tiếp cho các ước chung nhỏ (không cần biết ngay ƯCLN) cho tới khi tối giản.

Vậy $\frac{-12}{-4}=3$; ​ $\frac{7}{-35}=\frac{-1}{5}$; ​ $\frac{-9}{27}=\frac{-1}{3}$.

Định hướng. Viết tử và mẫu (theo giá trị tuyệt đối) thành tích các thừa số nguyên tố, triệt tiêu thừa số chung.

Vậy $\frac{-12}{-4}=3$; ​ $\frac{7}{-35}=\frac{-1}{5}$; ​ $\frac{-9}{27}=\frac{-1}{3}$.

Nhận xét. Cả ba cách đều đưa được về đúng một kết quả tối giản duy nhất — nên chọn cách nào tìm ƯCLN nhanh nhất tuỳ số cụ thể.

Định hướng. Viết mỗi số phút trên $60$ (vì $1$ giờ $=60$ phút), sau đó rút gọn về tối giản.

Vậy $15$ phút $=\frac{1}{4}$ giờ; ​ $90$ phút $=\frac{3}{2}$ giờ.

Định hướng. Nhận ra $60$ chia hết cho $15$ (được $4$ phần) và $90$ tách được thành $60$ phút $+30$ phút để suy ra phân số của giờ mà không cần rút gọn số lớn.

Vậy $15$ phút $=\frac{1}{4}$ giờ; ​ $90$ phút $=\frac{3}{2}$ giờ.