Bài 3. Thứ tự trong tập hợp các số tự nhiên

Định hướng. Muốn biết điểm nào đứng trước, đứng sau trên tia số, ta chỉ cần so sánh hai số tự nhiên tương ứng.

Vậy điểm $5$ nằm bên trái điểm $8$, điểm $8$ nằm bên phải điểm $5$.

Định hướng. Đánh dấu hai điểm $5$ và $8$ lên tia số gốc $O$ rồi nhìn thứ tự trái phải để trả lời ngay, không cần so sánh số trước.

Vậy điểm $5$ nằm bên trái điểm $8$, điểm $8$ nằm bên phải điểm $5$.

Nhận xét. Hai cách luôn cho cùng một kết quả vì so sánh số và so sánh vị trí trên tia số thực chất là một; Cách 1 nhanh khi chưa có sẵn hình vẽ, Cách 2 trực quan khi đã có tia số.

Định hướng. Số liền trước kém số đã cho đúng $1$ đơn vị, số liền sau hơn số đã cho đúng $1$ đơn vị, nên chỉ cần trừ và cộng $1$ vào $8$.

Vậy điểm $7$ nằm ngay bên trái điểm $8$ ($7$ là số liền trước của $8$), điểm $9$ nằm ngay bên phải điểm $8$ ($9$ là số liền sau của $8$).

Định hướng. Từ điểm $8$ trên tia số, lùi lại $1$ vạch được điểm bên trái, tiến thêm $1$ vạch được điểm bên phải, không cần đặt phép tính.

Vậy điểm $7$ nằm ngay bên trái điểm $8$, điểm $9$ nằm ngay bên phải điểm $8$.

Nhận xét. Số liền trước luôn kém $1$ đơn vị và số liền sau luôn hơn $1$ đơn vị so với số đã cho, dù số đó bé hay rất lớn.

Định hướng. Đề đã cho sẵn điều kiện $n<7$, nên chỉ cần áp quy tắc thứ tự để suy ra ngay vị trí, không cần biết $n$ bằng bao nhiêu.

Vậy điểm $n$ luôn nằm bên trái điểm $7$.

Định hướng. Thay $n$ bởi vài số cụ thể thoả $n<7$ để kiểm tra trực quan trước khi khẳng định điều đúng với mọi $n$.

Vậy dù $n$ nhận giá trị nào trong $\{0;1;2;3;4;5;6\}$, điểm $n$ vẫn luôn nằm bên trái điểm $7$.

Nhận xét. Thử vài giá trị chỉ giúp kiểm tra trực quan; Cách 1 mới thật sự chứng tỏ kết luận đúng với MỌI $n<7$, kể cả khi đổi đề thành $n<1000$.

Định hướng. Hai số $m,n$ đều có $8$ chữ số, nên so sánh lần lượt từng hàng kể từ hàng lớn nhất cho tới khi gặp hàng có chữ số khác nhau.

Vậy $m>n$ (hay $n<m$); do $n<m$ nên trên tia số điểm $n$ nằm trước (bên trái) điểm $m$.

Định hướng. Số nào lớn hơn thì hiệu của nó với số kia là một số dương; phép trừ trực tiếp cho câu trả lời chắc chắn.

Vậy $m>n$; trên tia số, điểm $n$ nằm trước điểm $m$.

Nhận xét. Cách 1 dùng được dù số lớn tới đâu mà chỉ cần so từng hàng, không phải đặt phép trừ; Cách 2 còn cho biết thêm $m$ hơn $n$ đúng $14$ đơn vị.

Định hướng. Ba buổi tương ứng ba số tự nhiên chưa biết giá trị, nên đặt tên chúng rồi dùng tính chất bắc cầu để nối hai điều kiện đề cho lại với nhau.

Vậy số tiền thu được vào buổi sáng nhiều hơn số tiền thu được vào buổi tối.

Định hướng. Xếp cả ba buổi theo thứ tự giảm dần dựa vào hai điều kiện đề cho, rồi đọc trực tiếp quan hệ giữa hai đầu dãy.

Vậy số tiền thu được vào buổi sáng nhiều hơn số tiền thu được vào buổi tối.

Nhận xét. Không cần biết số tiền cụ thể là bao nhiêu, chỉ cần dùng tính chất bắc cầu là so sánh được ngay hai đại lượng không liền kề nhau (sáng và tối), nhờ buổi chiều làm cầu nối.

Định hướng. Xét lần lượt bốn số đã cho với hai điều kiện $x\ge 5$ và $x\le 5$ để biết mỗi số thuộc tập nào.

Vậy các số thuộc $A$ là $5;8;9$; các số thuộc $B$ là $3;5$.

Định hướng. Trong bốn số đã cho, gom riêng những số $\ge 5$ vào một nhóm và những số $\le 5$ vào nhóm còn lại.

Vậy các số thuộc $A$ là $5;8;9$; các số thuộc $B$ là $3;5$.

Nhận xét. Số $5$ là điểm chung của hai tập vì dấu "=" được tính vào cả hai kí hiệu $\ge$ và $\le$; đây là điểm khác biệt so với hai kí hiệu $>$, $<$ vốn không có phần tử chung ngay tại chính điểm mốc.

Định hướng. Với mỗi số đã cho, trừ $1$ được số liền trước, cộng $1$ được số liền sau; gộp cả sáu số lại rồi sắp theo thứ tự tăng dần.

Vậy sáu số theo thứ tự từ bé đến lớn là $3528;3529;3530;3531;3532;3533$.

Định hướng. Vì $3529$ và $3532$ chỉ hơn kém nhau $3$ đơn vị, sáu số cần tìm chính là một đoạn số tự nhiên liên tiếp, không cần tính riêng từng số.

Vậy sáu số theo thứ tự từ bé đến lớn là $3528;3529;3530;3531;3532;3533$.

Nhận xét. Vì $3529$ và $3532$ khá gần nhau nên sáu số thêm ra vừa khít lấp đầy một đoạn số tự nhiên liên tiếp, không số nào bị trùng hay bị bỏ sót.

Định hướng. Kết hợp hai dữ kiện: $b$ nằm giữa $a,c$ và $a$ nhỏ nhất, ta xác định được thứ tự cả ba điểm trên tia số.

Vậy $a<b<c$. Ví dụ: $a=2$, $b=5$, $c=9$, ta có $2<5<9$.

Định hướng. "$b$ nằm giữa $a,c$" có hai khả năng thứ tự; dùng giả thiết $a$ nhỏ nhất để loại bớt một khả năng sai.

Vậy $a<b<c$. Ví dụ: $a=2$, $b=5$, $c=9$, ta có $2<5<9$.

Nhận xét. Cách 2 chắc chắn hơn vì xét đủ cả hai khả năng rồi loại bỏ khả năng sai bằng chính giả thiết của đề, tránh bỏ sót trường hợp.

Định hướng. Mỗi tập hợp chỉ khác nhau ở khoảng giá trị và ở việc có lấy số $0$ hay không, nên đọc kĩ điều kiện rồi liệt kê từng tập.

Vậy $M=\{10;11;12;13;14\}$; $K=\{1;2;3\}$; $L=\{0;1;2;3\}$.

Định hướng. Đánh dấu khoảng giá trị của mỗi tập lên tia số rồi đọc thẳng các điểm được đánh dấu (chấm đặc) ra thành danh sách phần tử.

Vậy $M=\{10;11;12;13;14\}$; $K=\{1;2;3\}$; $L=\{0;1;2;3\}$.

Nhận xét. Hai tập $K$ và $L$ chỉ khác nhau đúng một phần tử là số $0$, vì ${\mathbb{N}}^{\ast }$ chính là $\mathbb{N}$ bỏ đi số $0$.

Định hướng. So sánh trực tiếp ba số đo $150$, $153$, $148$ để biết ai thấp nhất, ai cao nhất, rồi đối chiếu với chiều từ gốc sào đi lên.

Vậy Cường giải thích SAI. Thứ tự điểm từ dưới lên đúng phải ứng với Cường, An, Bắc (không phải An, Bắc, Cường).

Định hướng. Giả sử lời Cường nói là đúng, dịch nó thành một bất đẳng thức giữa ba số đo rồi đối chiếu với số liệu thật để tìm mâu thuẫn.

Vậy Cường giải thích SAI. Thứ tự điểm từ dưới lên đúng phải ứng với Cường, An, Bắc.

Nhận xét. Cách 2 không cần tính toán gì thêm, chỉ cần đối chiếu điều Cường nói với chính ba số đo đã cho là lộ ngay chỗ vô lí.