Bài 5. Phép nhân và phép chia số tự nhiên

Định hướng. Nhân trực tiếp theo thuật toán đặt tính: nhân thừa số trên với từng chữ số của thừa số dưới rồi cộng các tích riêng đã lệch hàng.

Vậy $834\cdot 57=47538$ và $603\cdot 295=177885$.

Định hướng. Viết $57$ và $295$ theo một số tròn chục, tròn trăm cộng hoặc trừ đi một số nhỏ, để tính nhẩm từng phần rồi gộp lại — cách làm khác hẳn việc đặt tính cột dọc.

Vậy $834\cdot 57=47538$ và $603\cdot 295=177885$.

Nhận xét. Hai cách cho cùng kết quả; Cách 2 tính nhanh hơn khi một thừa số ở gần một số tròn chục, tròn trăm.

Định hướng. Số tiền in cả tập tài liệu bằng giá tiền một trang nhân với tổng số trang.

Vậy bác Thiệp phải trả $87500$ đồng.

Định hướng. Viết $250=25\cdot 10$ rồi dùng tính chất kết hợp, nhân với $10$ ở bước cuối cho gọn.

Vậy bác Thiệp phải trả $87500$ đồng.

Nhận xét. Nhân với $10$ ở bước cuối chỉ cần thêm một chữ số $0$, giúp tính nhẩm nhanh và dễ kiểm tra lại kết quả của Cách 1.

Định hướng. Thay số vào rồi nhân trực tiếp theo hai thứ tự khác nhau của hai thừa số.

Vậy $a\cdot b=b\cdot a=60$.

Định hướng. Xếp $a\cdot b$ thành một mảng $12$ cột, $5$ hàng ô vuông; xoay mảng đó thành $5$ cột, $12$ hàng chính là $b\cdot a$ — tổng số ô vuông không đổi khi xoay.

Vậy $a\cdot b=b\cdot a=60$.

Nhận xét. Đổi chỗ hai thừa số chỉ là xoay mảng ô vuông, số ô vuông (tích) không thay đổi — đó chính là tính chất giao hoán của phép nhân.

Định hướng. $c$ là thừa số chưa biết trong tích $2\cdot c$; tính gọn vế trái thành một số rồi áp dụng quy tắc tìm thừa số chưa biết.

Vậy $c=5$.

Định hướng. Nếu đẳng thức đúng với tính chất kết hợp $(ab)c=a(bc)$ thì $c$ phải bằng đúng thừa số cuối ở vế trái; thử thay $c=5$ để kiểm tra lại cả hai vế.

Vậy $c=5$ thoả mãn đẳng thức đã cho.

Nhận xét. Cách 2 không cần biến đổi, chỉ dựa vào việc nhận ra đẳng thức có đúng dạng tính chất kết hợp rồi thay số kiểm tra lại.

Định hướng. Tính giá trị của mỗi biểu thức theo đúng thứ tự viết ra rồi đối chiếu hai kết quả.

Vậy $3\cdot (2+5)=3\cdot 2+3\cdot 5=21$.

Định hướng. Vẽ một hình chữ nhật $3$ hàng, $(2+5)$ cột rồi chia đôi theo chiều dọc thành phần $2$ cột và phần $5$ cột; tổng ô vuông của cả hình bằng tổng ô vuông hai phần.

Vậy $3\cdot (2+5)=3\cdot 2+3\cdot 5=21$.

Nhận xét. Cắt đôi hình chữ nhật theo chiều dọc chính là minh hoạ cho tính chất phân phối: nhân với cả tổng cũng bằng nhân với từng số hạng rồi cộng lại.

Định hướng. Trong ba thừa số $125$, $8001$, $8$ thì $125$ và $8$ nhân với nhau cho đúng $1000$, nên đổi chỗ và nhóm hai thừa số này lại trước.

Vậy $125\cdot 8001\cdot 8=8001000$.

Định hướng. Không đổi chỗ thừa số nào, cứ nhân lần lượt từ trái sang phải rồi nhân tiếp với thừa số còn lại, dùng để kiểm tra lại Cách 1.

Vậy $125\cdot 8001\cdot 8=8001000$.

Nhận xét. Cách 2 phải nhân với số có bốn chữ số nên chậm hơn hẳn; Cách 1 chỉ cần nhớ $8\cdot 125=1000$ là tính nhẩm được ngay.

Định hướng. Tính tổng số bóng đèn cần thay cho $32$ phòng, sau đó nhân với giá một bóng để ra tổng số tiền.

Vậy nhà trường phải trả $24576000$ đồng.

Định hướng. Đổi thứ tự nhóm phép tính: tính số tiền mua bóng đèn cho đúng một phòng trước, rồi nhân với số phòng — dùng tính chất kết hợp để kiểm tra lại Cách 1.

Vậy nhà trường phải trả $24576000$ đồng.

Nhận xét. Hai cách chỉ khác nhau ở thứ tự nhóm ba thừa số $32$, $8$, $96000$ nhưng đều cho cùng một kết quả nhờ tính chất kết hợp.

Định hướng. Đặt tính chia theo cột, chia lần lượt từng chữ số của số bị chia cho số chia.

Vậy $196:7=28$ và $215:18=11$ (dư $17$).

Định hướng. Ước lượng thương rồi nhân ngược lại với số chia để kiểm tra xem có đúng bằng (hoặc gần nhất và nhỏ hơn) số bị chia hay không.

Vậy $196:7=28$ và $215:18=11$ (dư $17$).

Nhận xét. Cách 2 giúp kiểm tra lại thương của Cách 1 bằng phép nhân ngược, đồng thời cho thấy vì sao thương không thể lớn hơn $11$.

Định hướng. Từ kết quả HĐ4, xét số dư của mỗi phép chia bằng $0$ hay khác $0$ để xếp loại rồi liệt kê đủ bốn thành phần.

Vậy $196:7$ là phép chia hết, còn $215:18$ là phép chia có dư.

Định hướng. Viết mỗi phép chia dưới dạng $a=bq+r$ với $0\le r<b$; nhìn giá trị $r$ trong công thức là phân loại được ngay.

Vậy $196:7$ là phép chia hết (thương $28$); $215:18$ là phép chia có dư (thương $11$, dư $17$).

Nhận xét. Công thức $a=bq+r$ ở Cách 2 dùng chung được cho cả hai loại phép chia, chỉ khác nhau ở giá trị của $r$.

Định hướng. Đặt tính chia theo cột như Ví dụ 3 rồi trừ dần đến khi hết chữ số của số bị chia.

Vậy $945:45=21$ và $3121:51=61$ (dư $10$).

Định hướng. Sau khi ước lượng thương, nhân ngược lại với số chia rồi cộng số dư (nếu có) — kết quả phải khớp đúng số bị chia ban đầu.

Vậy $945:45=21$ và $3121:51=61$ (dư $10$).

Nhận xét. Phép thử lại ở Cách 2 áp dụng đúng công thức $a=bq+r$, dùng để phát hiện ngay nếu Cách 1 đặt tính bị sai ở đâu đó.

Định hướng. Tính tổng số tiền mua $10$ kg gạo trước, sau đó lấy số tiền đó chia cho $50$ nghìn đồng để ra số tờ cần đưa.

Vậy mẹ em phải đưa $4$ tờ $50$ nghìn đồng.

Định hướng. Làm việc với đơn vị nghìn đồng ngay từ đầu để các số nhỏ gọn hơn, tránh phải viết nhiều chữ số $0$.

Vậy mẹ em phải đưa $4$ tờ $50$ nghìn đồng.

Nhận xét. Đổi cùng về đơn vị nghìn đồng giúp phép tính gọn hơn hẳn mà vẫn ra đúng kết quả như Cách 1.

Định hướng. Áp dụng đúng thuật toán đặt tính nhân đã học ở Ví dụ 1 cho cả bốn phép tính.

Vậy $951\cdot 23=21873$; $47\cdot 273=12831$; $845\cdot 253=213785$; $1356\cdot 125=169500$.

Định hướng. Viết thừa số còn lại thành tổng các số tròn chục, tròn trăm rồi nhân phân phối — không cần đặt tính lệch hàng như Cách 1.

Vậy $951\cdot 23=21873$; $47\cdot 273=12831$; $845\cdot 253=213785$; $1356\cdot 125=169500$.

Nhận xét. Ở câu d), tách $125=100+25$ cho các số tròn chục tròn trăm dễ nhân nhẩm hơn hẳn so với tách theo hàng đơn vị, hàng chục thông thường.

Định hướng. Hai câu a), b) áp dụng thẳng quy tắc nhân với $10$, $100$; hai câu c), d) nhóm hai thừa số cho tích tròn để tính nhẩm nhanh.

Vậy a) $1250$; b) $202100$; c) $199100$; d) $3025000$.

Định hướng. Nhân trực tiếp theo thứ tự viết ra, không nhóm thừa số nào, để đối chiếu lại với kết quả tính nhẩm ở Cách 1.

Vậy a) $1250$; b) $202100$; c) $199100$; d) $3025000$.

Nhận xét. Cách 2 phải nhân với số có hai, ba chữ số nên chậm hơn hẳn Cách 1 — đó là lý do nên nhóm thừa số cho tích tròn trước khi tính nhẩm.

Định hướng. Tách $101$ thành $100+1$ và $49$ thành $50-1$ như đề gợi ý, rồi dùng tính chất phân phối để tính nhẩm.

Vậy $125\cdot 101=12625$ và $21\cdot 49=1029$.

Định hướng. Thay vì tách $101$ và $49$ như hướng dẫn, tách thừa số kia ($125$ và $21$) để kiểm tra lại kết quả bằng một đường tính khác hẳn.

Vậy $125\cdot 101=12625$ và $21\cdot 49=1029$.

Nhận xét. Cách 1 (tách $101$, $49$) cho phép tính gọn hơn Cách 2 (tách $125$, $21$) vì chỉ phải nhân với $1$ ở một số hạng, đúng như gợi ý của đề bài.

Định hướng. Tính tổng số bộ bàn ghế của cả trường trước, sau đó nhân với số học sinh một bộ có thể xếp.

Vậy trường có thể nhận nhiều nhất $2200$ học sinh.

Định hướng. Đổi thứ tự nhóm: tính số học sinh ngồi vừa đúng một phòng trước, rồi nhân với tổng số phòng — dùng tính chất kết hợp để kiểm tra lại Cách 1.

Vậy trường có thể nhận nhiều nhất $2200$ học sinh.

Nhận xét. Hai cách chỉ khác nhau ở thứ tự nhóm ba thừa số $50$, $11$, $4$ nhưng đều cho cùng kết quả nhờ tính chất kết hợp của phép nhân.

Định hướng. Đặt tính chia theo cột như đã học rồi đọc trực tiếp thương và số dư.

Vậy $1092:91=12$ (dư $0$) và $2059:17=121$ (dư $2$).

Định hướng. Dùng công thức $a=bq+r$ để kiểm tra: lấy thương nhân với số chia rồi cộng số dư dự đoán, kết quả phải khớp đúng số bị chia.

Vậy $1092:91=12$ (dư $0$) và $2059:17=121$ (dư $2$).

Nhận xét. Phép thử lại ở Cách 2 áp dụng đúng công thức $a=bq+r$, giúp phát hiện ngay nếu đặt tính ở Cách 1 bị sai.

Định hướng. Tính số dân Bắc Giang nhân đôi trước, sau đó cộng thêm đúng $32228$ người theo đúng nghĩa của lời văn “kém hơn”.

Vậy tỉnh Thanh Hoá có $3640128$ người.

Định hướng. Từ số dân Thanh Hoá vừa tìm được, trừ đi $32228$ người rồi chia cho $2$; kết quả phải khớp đúng số dân Bắc Giang đã cho trong đề.

Vậy tỉnh Thanh Hoá có $3640128$ người.

Nhận xét. Cách 2 làm ngược lại toàn bộ các phép tính ở Cách 1 (trừ rồi chia thay vì nhân rồi cộng), nên chỉ đúng khi Cách 1 đã tính chính xác.

Định hướng. Chia tổng số học sinh cho số chỗ một ghế; nếu còn dư thì phải thêm một ghế nữa mới đủ chỗ cho tất cả.

Vậy cần ít nhất $200$ ghế băng.

Định hướng. Kiểm tra xem $199$ ghế đã đủ chưa; nếu chưa đủ thì thử tiếp $200$ ghế xem có đủ chỗ cho toàn bộ $997$ học sinh hay không.

Vậy cần ít nhất $200$ ghế băng.

Nhận xét. Cách 2 thử trực tiếp hai mốc liền nhau để khẳng định chắc chắn $200$ là số ghế nhỏ nhất đủ chỗ, không cần qua phép chia có dư như Cách 1.

Định hướng. Chia tổng số kiện hàng cho số kiện một chuyến chở được; nếu còn dư thì phải thêm một chuyến nữa mới chở hết.

Vậy cần ít nhất $29$ chuyến xe.

Định hướng. Kiểm tra $28$ chuyến đã chở hết chưa; nếu chưa thì thử tiếp $29$ chuyến xem đã chở hết toàn bộ $1290$ kiện hàng hay không.

Vậy cần ít nhất $29$ chuyến xe.

Nhận xét. Cách 2 thử trực tiếp hai mốc liền nhau để khẳng định chắc chắn $29$ là số chuyến nhỏ nhất đủ chở hết hàng, không cần qua phép chia có dư như Cách 1.