Bài 8. Quan hệ chia hết và tính chất

Định hướng. Muốn biết một số có chia hết cho số kia hay không thì đem chia trực tiếp, số dư bằng $0$ là chia hết.

Vậy $24⋮6$ ; $45$ không chia hết cho $10$ ; $35⋮5$ ; $42$ không chia hết cho $4$.

Định hướng. Một số chia hết cho $b$ khi và chỉ khi nó có mặt trong dãy bội của $b$, nên chỉ cần liệt kê vài bội gần đó rồi soi.

Vậy $24⋮6$ ; $45$ không chia hết cho $10$ ; $35⋮5$ ; $42$ không chia hết cho $4$.

Nhận xét. Cách 1 nhanh và chắc chắn với mọi số; Cách 2 trực quan hơn khi số chia nhỏ và ta đã thuộc sẵn vài bội đầu.

Định hướng. Đem $15$ chia lần lượt cho $5$ và cho $6$; số dư bằng $0$ thì số đó là ước của $15$.

Vậy bạn Vuông đúng, còn bạn Tròn sai.

Định hướng. Viết hẳn tập hợp Ư$(15)$ ra thì chỉ cần nhìn xem $5$ và $6$ có mặt trong đó hay không.

Vậy bạn Vuông đúng, còn bạn Tròn sai vì $6$ không phải là ước của $15$.

Nhận xét. Liệt kê hẳn Ư$(15)$ còn cho biết đủ TẤT CẢ ước của $15$, không chỉ riêng $5$ và $6$.

Định hướng. Theo đúng chỉ dẫn của đề, đem $12$ chia cho từng số từ $1$ đến $12$, số nào chia hết thì giữ lại.

Vậy Ư$(12)=\{1;2;3;4;6;12\}$.

Định hướng. Mỗi ước của $12$ luôn đi cùng một ước “bạn” sao cho tích của chúng bằng $12$, nên chỉ cần tìm đủ các cặp thừa số.

Vậy Ư$(12)=\{1;2;3;4;6;12\}$.

Nhận xét. Cách 2 nhanh hơn vì mỗi cặp thừa số cho luôn hai ước một lúc, không phải chia thử từng số một.

Định hướng. Nhân $8$ với các số tự nhiên tăng dần cho đến khi tích vượt quá $80$ thì dừng lại, chỉ giữ các tích nhỏ hơn $80$.

Vậy các bội của $8$ nhỏ hơn $80$ là $0;8;16;24;32;40;48;56;64;72$.

Định hướng. Vì hai bội liên tiếp của $8$ luôn cách nhau đúng $8$ đơn vị, ta cộng dồn $8$ từ $0$ cho tới khi chạm mốc $80$.

Vậy các bội của $8$ nhỏ hơn $80$ là $0;8;16;24;32;40;48;56;64;72$.

Nhận xét. Cách 2 không cần thuộc bảng nhân, chỉ cần cộng thêm $8$ mỗi bước nên rất khó tính nhầm khi số bội cần liệt kê nhiều.

Định hướng. Ý a) chia $20$ cho các số từ $1$ đến $20$; ý b) nhân $4$ với $0;1;2;\dots$ tới khi vượt $50$.

Vậy a) Ư$(20)=\{1;2;4;5;10;20\}$ ; b) bội nhỏ hơn $50$ của $4$ là $0;4;8;12;16;20;24;28;32;36;40;44;48$.

Định hướng. Ý a) tách $20$ thành các cặp thừa số cho nhanh gấp đôi; ý b) cộng dồn $4$ mỗi bước để khỏi phải nhân từng lần.

Vậy a) Ư$(20)=\{1;2;4;5;10;20\}$ ; b) bội nhỏ hơn $50$ của $4$ là $0;4;8;12;16;20;24;28;32;36;40;44;48$.

Nhận xét. Với ý a), ghép cặp thừa số giúp không bỏ sót ước vì luôn thấy đủ “hai nửa” của mỗi cặp.

Định hướng. Tập Ư$(12)$ chỉ có $6$ phần tử nên thử lần lượt từng bộ ba số khác nhau là làm xuể.

Vậy ba ước cần tìm là $2$ ; $4$ ; $6$, vì $2+4+6=12$.

Định hướng. Tổng ba số bằng $12$ nên trung bình mỗi số là $12:3=4$; ta tìm quanh giá trị $4$ trong Ư$(12)$.

Vậy ba ước cần tìm là $2$ ; $4$ ; $6$.

Nhận xét. Cách 2 thu hẹp phạm vi thử nhờ mốc trung bình cộng, tránh phải liệt kê hết mọi bộ ba như Cách 1.

Định hướng. Chọn hai số bất kì đều chia hết cho $5$, cộng lại rồi chia thử cho $5$.

Vậy với $10$ và $20$, tổng $30$ chia hết cho $5$.

Định hướng. Vì hai số đã chọn đều chia hết cho $5$ nên viết được dưới dạng $5$ nhân với một số tự nhiên, từ đó gộp chung thành một bội của $5$.

Vậy tổng $10+20=5\times 6$ chia hết cho $5$; nói chung hai số cùng chia hết cho $5$ thì tổng của chúng cũng chia hết cho $5$.

Nhận xét. Cách 2 giải thích được lí do vì sao tổng luôn chia hết cho $5$, không chỉ đúng với riêng cặp số $10$ và $20$.

Định hướng. Chọn ba số đều chia hết cho $7$, cộng lại rồi chia thử cho $7$.

Vậy với $7$, $14$, $21$, tổng $42$ chia hết cho $7$.

Định hướng. Viết mỗi số đã chọn dưới dạng $7$ nhân với một số tự nhiên rồi gộp chung, tổng sẽ hiện ra là một bội của $7$.

Vậy tổng $7+14+21=7\times 6$ chia hết cho $7$; nói chung ba số cùng chia hết cho $7$ thì tổng của chúng cũng chia hết cho $7$.

Nhận xét. Cách làm này áp dụng được cho bất kì ba số nào cùng chia hết cho $7$, không riêng gì $7,14,21$.

Định hướng. Xét từng số hạng có chia hết cho số đã cho hay không, rồi dùng Tính chất 1 để kết luận cho cả tổng, hiệu mà không cần tính giá trị cụ thể.

Vậy a) $24+48$ chia hết cho $4$ ; b) $48+12-36$ chia hết cho $6$.

Định hướng. Ngoài suy luận bằng tính chất, ta có thể tính thẳng ra kết quả rồi chia thử để kiểm tra lại câu trả lời.

Vậy a) $72$ chia hết cho $4$ ; b) $24$ chia hết cho $6$, khớp với kết luận ở Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 không cần tính số cụ thể nên nhanh hơn nhiều khi các số hạng lớn; Cách 2 chỉ nên dùng để kiểm tra lại.

Định hướng. Vì $21$ đã chia hết cho $7$, muốn tổng cũng chia hết cho $7$ thì $x$ bắt buộc phải chia hết cho $7$; chỉ cần lọc trong tập đã cho.

Vậy $x=14$ hoặc $x=28$.

Định hướng. Thay lần lượt từng giá trị của $x$ vào $21+x$ rồi chia thử cho $7$ để kiểm tra.

Vậy $x=14$ hoặc $x=28$.

Nhận xét. Cách 1 dùng tính chất nên gọn hơn hẳn Cách 2, không phải cộng rồi chia thử từng trường hợp.

Định hướng. Chọn một số chia hết cho $5$ và một số không chia hết cho $5$, cộng lại rồi chia thử cho $5$.

Vậy với $10$ và $7$, tổng $17$ không chia hết cho $5$.

Định hướng. Viết số chia hết cho $5$ dưới dạng $5k$, số còn lại dưới dạng $5h+r$ với $r$ là số dư khác $0$; cộng lại thì phần dư $r$ vẫn còn nguyên.

Vậy tổng $10+7=5\times 3+2$ có dư $2$ nên không chia hết cho $5$.

Nhận xét. Số dư $2$ của $7$ vẫn còn nguyên trong tổng, đây chính là lí do tổng luôn không chia hết cho $5$ trong trường hợp này.

Định hướng. Chọn hai số chia hết cho $4$ và một số không chia hết cho $4$, cộng cả ba rồi chia thử cho $4$.

Vậy với $8$, $12$, $6$, tổng $26$ không chia hết cho $4$.

Định hướng. Hai số chia hết cho $4$ viết được dưới dạng $4k$, số còn lại viết dưới dạng $4h+r$ với $r\ne 0$; khi cộng lại, số dư $r$ vẫn giữ nguyên.

Vậy tổng $8+12+6=4\times 6+2$ có dư $2$ nên không chia hết cho $4$.

Nhận xét. Dù có tới hai số hạng chia hết cho $4$, chỉ cần một số hạng không chia hết là cả tổng cũng không chia hết.

Định hướng. Xét từng số hạng có chia hết cho số đã cho hay không rồi áp dụng Tính chất 2, không cần tính giá trị cụ thể.

Vậy a) $20+81$ không chia hết cho $5$ ; b) $34+28-12$ không chia hết cho $4$.

Định hướng. Tính thẳng ra kết quả của tổng, hiệu rồi chia thử để kiểm tra lại kết luận đã suy ra bằng tính chất.

Vậy a) $101$ không chia hết cho $5$ ; b) $50$ không chia hết cho $4$, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 đúng với tinh thần “không thực hiện phép tính” mà đề yêu cầu; Cách 2 chỉ dùng để tự kiểm tra lại.

Định hướng. Vì $20$ và $45$ đều đã chia hết cho $5$, muốn tổng không chia hết cho $5$ thì $x$ bắt buộc phải không chia hết cho $5$.

Vậy $x=39$ hoặc $x=54$.

Định hướng. Thay lần lượt từng giá trị của $x$ vào $20+45+x$ rồi chia thử cho $5$ để kiểm tra.

Vậy $x=39$ hoặc $x=54$.

Nhận xét. Cách 1 dùng tính chất nên không cần cộng số lớn như $20+45+54$, làm nhanh và ít sai sót hơn Cách 2.

Định hướng. Chỉ cần tìm được hai số cùng không chia hết cho $4$ mà tổng của chúng lại chia hết cho $4$ là đủ để bác bỏ câu nói của bạn Vuông.

Vậy câu nói của bạn Vuông là SAI; bạn Tròn nói đúng.

Định hướng. Mỗi số không chia hết cho $4$ đều có số dư là $1$, $2$ hoặc $3$ khi chia cho $4$; nếu tổng hai số dư đó lại chia hết cho $4$ thì tổng hai số ban đầu cũng chia hết cho $4$.

Vậy vì tổng hai số dư ($4$) chia hết cho $4$ nên tổng $6+10$ cũng chia hết cho $4$; câu nói của bạn Vuông không đúng với mọi trường hợp.

Nhận xét. Tính chất 1, 2 chỉ đúng khi CÁC SỐ HẠNG CÒN LẠI đều chia hết cho $m$; ở đây cả hai số hạng đều không chia hết cho $4$ nên hai tính chất đó không áp dụng được, kết quả tổng có thể chia hết hoặc không tuỳ từng trường hợp.

Định hướng. Với mỗi số, chia lần lượt cho các số tự nhiên từ $1$ trở đi, số nào chia hết thì giữ lại làm ước.

Vậy Ư$(30)=\{1;2;3;5;6;10;15;30\}$ ; Ư$(35)=\{1;5;7;35\}$ ; Ư$(17)=\{1;17\}$.

Định hướng. Phân tích mỗi số thành các cặp thừa số, mỗi cặp cho ngay hai ước cùng lúc.

Vậy Ư$(30)=\{1;2;3;5;6;10;15;30\}$ ; Ư$(35)=\{1;5;7;35\}$ ; Ư$(17)=\{1;17\}$.

Nhận xét. Số $17$ chỉ tách được đúng một cặp thừa số ($1\times 17$) nên chỉ có $2$ ước — đây chính là dấu hiệu của một số nguyên tố.

Định hướng. Đem từng số chia cho $4$, số nào chia hết (dư $0$) thì là bội của $4$.

Vậy $16$ và $24$ là bội của $4$; $35$ không phải là bội của $4$.

Định hướng. Liệt kê vài bội đầu của $4$ rồi soi xem $16$, $24$, $35$ có mặt trong dãy đó không.

Vậy $16$ và $24$ là bội của $4$; $35$ không phải là bội của $4$.

Nhận xét. Cách 2 tiện khi cần kiểm tra nhiều số cùng lúc vì chỉ phải viết dãy bội một lần.

Định hướng. Viết hẳn tập $B(7)$ và tập Ư$(50)$, sau đó giữ lại đúng những phần tử thoả điều kiện đề cho.

Vậy a) $x\in \{0;7;14;21;28;35;42;49;56;63\}$ ; b) $y\in \{10;25;50\}$.

Định hướng. Ý a) tính trước xem $7$ nhân với số nào thì chạm mốc $70$ để biết dừng ở đâu; ý b) loại thẳng những ước nhỏ hơn hoặc bằng $5$ khỏi Ư$(50)$.

Vậy a) $x\in \{0;7;14;21;28;35;42;49;56;63\}$ ; b) $y\in \{10;25;50\}$.

Nhận xét. Cách 2 giúp kiểm soát được đúng SỐ LƯỢNG phần tử cần liệt kê ($10$ giá trị ở ý a), tránh liệt kê thừa hoặc thiếu.

Định hướng. Kiểm tra từng số hạng có chia hết cho $5$ hay không (dựa vào chữ số tận cùng là $0$ hoặc $5$), rồi áp dụng đúng Tính chất 1 hoặc Tính chất 2.

Vậy tổng ở ý a) không chia hết cho $5$; tổng ở ý b) chia hết cho $5$.

Định hướng. Một số chia hết cho $5$ khi và chỉ khi chữ số tận cùng là $0$ hoặc $5$; nhìn thẳng chữ số cuối của mỗi số hạng để phân loại nhanh.

Vậy tổng ở ý a) không chia hết cho $5$ (vì có $2019$); tổng ở ý b) chia hết cho $5$ (vì cả bốn số hạng đều chia hết cho $5$).

Nhận xét. Nhìn chữ số tận cùng cho kết quả nhanh hơn hẳn việc chia thử, đặc biệt với các số lớn như $2019$, $2050$.

Định hướng. Kiểm tra riêng số bị trừ và số trừ có chia hết cho $8$ hay không, rồi áp dụng tính chất cho hiệu.

Vậy a) $100-40$ không chia hết cho $8$ ; b) $80-16$ chia hết cho $8$.

Định hướng. Tính thẳng hiệu rồi chia thử cho $8$ để đối chiếu với kết luận đã suy ra từ tính chất.

Vậy a) $60$ không chia hết cho $8$ ; b) $64$ chia hết cho $8$, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 làm đúng yêu cầu “không thực hiện phép tính” của đề, Cách 2 chỉ nên dùng để tự kiểm tra.

Định hướng. Mỗi khẳng định đều có dạng một tích cộng một số; xét xem tích đó và số cộng thêm có cùng chia hết cho số đã cho hay không.

Vậy khẳng định a) SAI; khẳng định b) ĐÚNG.

Định hướng. Tính thẳng ra giá trị của mỗi biểu thức rồi chia thử để kiểm tra lại hai khẳng định.

Vậy $1541$ không chia hết cho $7$ nên khẳng định a) sai; $105$ chia hết cho $3$ nên khẳng định b) đúng — khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 không cần nhân số lớn như $219\cdot 7$ nên nhanh và ít sai sót hơn hẳn Cách 2.

Định hướng. Mỗi hàng đã biết một trong hai giá trị (số nhóm hoặc số người); lấy $40$ chia cho giá trị đã biết là ra giá trị còn lại, nếu không chia hết thì bỏ trống.

Vậy bảng hoàn chỉnh: $4$ nhóm — $10$ người ; $5$ nhóm — $8$ người ; $6$ nhóm — bỏ trống ; $8$ nhóm — $5$ người ; $10$ nhóm — $4$ người.

Định hướng. Chỉ những số thuộc Ư$(40)$ mới chia đều được $40$ học sinh; liệt kê sẵn tập này rồi ghép cặp ước với ước “bạn” của nó.

Vậy bảng hoàn chỉnh: $4$ nhóm — $10$ người ; $5$ nhóm — $8$ người ; $6$ nhóm — bỏ trống ; $8$ nhóm — $5$ người ; $10$ nhóm — $4$ người.

Nhận xét. Cách 2 cho thấy ngay lí do vì sao $6$ nhóm không chia được: $6$ đơn giản là không có mặt trong Ư$(40)$.

Định hướng. Viết hẳn tập hợp Ư$(45)$ ra, sau đó chỉ giữ lại những ước nằm trong khoảng từ $2$ đến $10$ theo đúng yêu cầu của huấn luyện viên.

Vậy có thể chia mỗi nhóm $3$ người ($15$ nhóm), $5$ người ($9$ nhóm), hoặc $9$ người ($5$ nhóm).

Định hướng. Xét lần lượt số người mỗi nhóm từ $2$ đến $10$, chia thử $45$ cho từng số đó để xem có chia hết hay không.

Vậy chỉ có $3$, $5$, $9$ người mỗi nhóm là chia đều được, tương ứng $15$, $9$, $5$ nhóm.

Nhận xét. Cách 1 tìm thẳng qua Ư$(45)$ nên nhanh hơn Cách 2 (không phải chia thử cả $9$ trường hợp).

Định hướng. Vì $56$ và $60$ đều đã chia hết cho số đã cho, dùng Tính chất 1, Tính chất 2 để suy ra điều kiện của $x$ rồi lọc trong tập cho sẵn.

Vậy a) $x=24$ ; b) $x=22$ hoặc $x=45$.

Định hướng. Thay lần lượt từng giá trị của $x$ vào biểu thức $56-x$ hoặc $60+x$ rồi chia thử để kiểm tra.

Vậy a) $x=24$ ; b) $x=22$ hoặc $x=45$.

Nhận xét. Cách 1 dùng tính chất nên không cần tính hết $4$ trường hợp mỗi ý, chỉ cần kiểm tra $x$ có chia hết cho số đã cho hay không.