Bài 9. Dấu hiệu chia hết

Định hướng. Số $230$ có chữ số tận cùng là $0$, mà $10$ chia hết cho cả $2$ và $5$, nên tách $230$ thành tích có thừa số $10$ là biết ngay kết quả.

Vậy $230$ chia hết cho $2$ và chia hết cho $5$.

Định hướng. Muốn biết một số có chia hết cho $2$ (hay cho $5$) hay không, đem số đó chia trực tiếp rồi xem số dư.

Vậy $230$ chia hết cho $2$ và chia hết cho $5$.

Nhận xét. Cách 1 dùng phép phân tích để thấy ngay lí do, Cách 2 chia trực tiếp cho cùng kết quả và dùng để kiểm chứng lại.

Định hướng. Vì $230$ đã chia hết cho $2$ và cho $5$, nên $n=230+\ast$ chia hết cho $2$ (hay cho $5$) đúng lúc chữ số $\ast$ cũng chia hết cho số đó.

Vậy a) $\ast \in \{0;2;4;6;8\}$ thì $n$ chia hết cho $2$; b) $\ast \in \{0;5\}$ thì $n$ chia hết cho $5$.

Định hướng. Chữ số $\ast$ chỉ có mười khả năng từ $0$ đến $9$, thử lần lượt rồi kiểm tra $n=230+\ast$ có chia hết cho $2$, cho $5$ hay không.

Vậy a) $\ast \in \{0;2;4;6;8\}$ thì $n$ chia hết cho $2$; b) $\ast \in \{0;5\}$ thì $n$ chia hết cho $5$.

Nhận xét. Cách 1 suy luận nhanh nhờ tính chất của tổng; Cách 2 thử từng trường hợp, chậm hơn nhưng chắc chắn không bỏ sót giá trị nào.

Định hướng. Không cần tính ra kết quả, chỉ cần nhìn chữ số tận cùng của từng số hạng rồi áp dụng tính chất chia hết của tổng, hiệu.

Vậy 1a) $1954+1975$ không chia hết cho $2$; 1b) $2020-938$ chia hết cho $2$; 2a) $1945+2020$ chia hết cho $5$; 2b) $1954-1930$ không chia hết cho $5$.

Định hướng. Kiểm tra lại bằng cách tính hẳn ra kết quả rồi xét chữ số tận cùng của kết quả đó.

Vậy 1a) không chia hết cho $2$; 1b) chia hết cho $2$; 2a) chia hết cho $5$; 2b) không chia hết cho $5$.

Nhận xét. Hai cách cho cùng kết quả; Cách 1 đúng tinh thần “không thực hiện phép tính” mà đề yêu cầu, Cách 2 chỉ dùng để kiểm tra lại.

Định hướng. Đem lần lượt bốn số đã cho chia cho $9$, số nào dư $0$ thì xếp vào nhóm chia hết.

Vậy nhóm chia hết cho $9$: $27$; $234$. Nhóm không chia hết cho $9$: $82$; $195$.

Định hướng. Liệt kê một đoạn bội của $9$ quanh các số đã cho rồi đối chiếu trực tiếp, không cần đặt phép chia.

Vậy nhóm chia hết cho $9$: $27$; $234$. Nhóm không chia hết cho $9$: $82$; $195$.

Nhận xét. Cách 1 nhanh gọn nhờ phép chia, Cách 2 trực quan nhưng phải liệt kê dãy dài khi số cần xét lớn.

Định hướng. Cộng các chữ số của mỗi số lại rồi xét tổng đó có chia hết cho $9$ hay không, so sánh với kết quả chia trực tiếp ở Hoạt động 3.

Vậy hai số chia hết cho $9$ ($27$, $234$) đều có tổng các chữ số chia hết cho $9$; hai số không chia hết cho $9$ ($82$, $195$) đều có tổng các chữ số không chia hết cho $9$.

Định hướng. Xếp kết quả của hai nhóm cạnh nhau để thấy rõ quy luật: số chia hết cho $9$ luôn đi cùng tổng chữ số chia hết cho $9$.

Vậy quy luật lặp lại đúng ở cả hai nhóm: chia hết cho $9$ khi và chỉ khi tổng các chữ số chia hết cho $9$.

Nhận xét. Đây chính là dấu hiệu chia hết cho $9$ được phát biểu ngay sau hoạt động này.

Định hướng. Tổng hai chữ số đầu đã cố định là $1+2=3$, nên chỉ cần tìm $\ast$ sao cho $3+\ast$ chia hết cho $9$.

Vậy $\ast =6$, số cần tìm là $126$.

Định hướng. Chữ số $\ast$ chỉ có mười khả năng, thay lần lượt rồi chia thử cho $9$ để tìm đúng giá trị.

Vậy $\ast =6$, số cần tìm là $126$.

Nhận xét. Cách 1 chỉ ra ngay đáp số duy nhất bằng lập luận, Cách 2 phải thử nhiều lần mới chắc chắn không bỏ sót.

Định hướng. Có cây ở cả hai đầu bờ đất nghĩa là chiều dài $108$ m phải chia hết cho khoảng cách $9$ m; kiểm tra bằng dấu hiệu chia hết cho $9$ trước khi tính số cây.

Vậy bác nông dân trồng được, và cần $13$ cây dừa.

Định hướng. Kiểm tra lại bằng cách đặt phép chia $108$ cho $9$ trực tiếp, xem số dư có bằng $0$ hay không.

Vậy bác nông dân trồng được, và cần $13$ cây dừa.

Nhận xét. Cách 1 dùng dấu hiệu chia hết để phán đoán nhanh không cần đặt tính; Cách 2 đặt phép chia trực tiếp cho cùng kết quả, dùng để kiểm chứng.

Định hướng. Đem lần lượt bốn số đã cho chia cho $3$, số nào dư $0$ thì xếp vào nhóm chia hết.

Vậy nhóm chia hết cho $3$: $42$; $234$. Nhóm không chia hết cho $3$: $80$; $191$.

Định hướng. Liệt kê một đoạn bội của $3$ quanh các số đã cho rồi đối chiếu trực tiếp, không cần đặt phép chia.

Vậy nhóm chia hết cho $3$: $42$; $234$. Nhóm không chia hết cho $3$: $80$; $191$.

Nhận xét. Cách 1 nhanh gọn nhờ phép chia, Cách 2 trực quan nhưng phải liệt kê dãy dài khi số cần xét lớn.

Định hướng. Cộng các chữ số của mỗi số lại rồi xét tổng đó có chia hết cho $3$ hay không, so sánh với kết quả chia trực tiếp ở Hoạt động 5.

Vậy hai số chia hết cho $3$ ($42$, $234$) đều có tổng các chữ số chia hết cho $3$; hai số không chia hết cho $3$ ($80$, $191$) đều có tổng các chữ số không chia hết cho $3$.

Định hướng. Xếp kết quả của hai nhóm cạnh nhau để thấy rõ quy luật: số chia hết cho $3$ luôn đi cùng tổng chữ số chia hết cho $3$.

Vậy quy luật lặp lại đúng ở cả hai nhóm: chia hết cho $3$ khi và chỉ khi tổng các chữ số chia hết cho $3$.

Nhận xét. Đây chính là dấu hiệu chia hết cho $3$ được phát biểu ngay sau hoạt động này.

Định hướng. Ba chữ số đã biết có tổng $1+2+5=8$, nên tìm mọi $\ast$ sao cho $8+\ast$ chia hết cho $3$.

Vậy $\ast \in \{1;4;7\}$, các số cần tìm là $1215$; $1245$; $1275$.

Định hướng. Thử lần lượt từng giá trị $\ast$ rồi chia $\overline{12\cdot 5}$ cho $3$ để kiểm chứng.

Vậy $\ast \in \{1;4;7\}$, các số cần tìm là $1215$; $1245$; $1275$.

Nhận xét. Cách 1 dùng lập luận nên tìm đủ ba đáp số ngay từ đầu, Cách 2 phải thử và chia lại từng trường hợp mới chắc chắn.

Định hướng. Lọc trước những ô không chia hết cho $2$ và không chia hết cho $3$ để biết chỗ nào cấm đi qua, sau đó dò đường trong phần lưới còn lại.

Vậy Hà có thể đi theo đúng thứ tự các ô: Hà, $21$, $15$, $2020$, $72$, $123$, $136$, $1245$, Siêu thị.

Định hướng. Ngoài lối đi ở Cách 1, còn một lối khác đi vòng qua hàng dưới trước rồi mới lên hàng trên, vẫn thoả mãn đúng luật của trò chơi.

Vậy lối đi Hà, $12$, $6$, $21$, $15$, $2020$, $72$, $123$, $136$, $1245$, Siêu thị cũng đến được siêu thị, đi qua thêm hai ô $12$ và $6$ so với Cách 1.

Nhận xét. Bài toán có nhiều hơn một lối đi đúng; đoạn cuối cùng luôn phải qua $2020$, $72$, $123$, $136$, $1245$ vì đó là lối duy nhất dẫn tới siêu thị (do $65$ và $77$ đều là ô cấm).

Định hướng. Chỉ cần nhìn đúng chữ số tận cùng của mỗi số, không cần thực hiện phép chia.

Vậy chia hết cho $2$: $324$; $248$; $2020$. Chia hết cho $5$: $2020$; $2025$.

Định hướng. Kiểm tra lại bằng cách chia trực tiếp từng số cho $2$ và cho $5$, xem số dư.

Vậy chia hết cho $2$: $324$; $248$; $2020$. Chia hết cho $5$: $2020$; $2025$.

Nhận xét. Cách 2 chậm hơn nhiều so với Cách 1 vì phải đặt tính cho từng số, trong khi Cách 1 chỉ cần nhìn một chữ số.

Định hướng. Cộng các chữ số của từng số rồi xét tổng đó chia hết cho $3$, cho $9$ hay không.

Vậy chia hết cho $3$: $450$; $123$; $2019$; $2025$ (cả bốn số). Chia hết cho $9$: $450$; $2025$.

Định hướng. Kiểm tra lại bằng cách chia trực tiếp từng số cho $9$, xem số dư.

Vậy chia hết cho $9$: $450$; $2025$, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Bốn số đều chia hết cho $3$ nhưng chỉ hai trong số đó chia hết cho $9$, vì điều kiện chia hết cho $9$ chặt hơn điều kiện chia hết cho $3$.

Định hướng. Chỉ cần cộng các chữ số của $290$ rồi xét tổng đó có chia hết cho $9$ hay không.

Vậy cô không thể chia đều $290$ học sinh thành $9$ nhóm bằng nhau.

Định hướng. Đặt phép chia $290$ cho $9$ trực tiếp để thấy rõ số dư.

Vậy cô không thể chia đều $290$ học sinh thành $9$ nhóm bằng nhau.

Nhận xét. Số dư $2$ ở Cách 2 cho biết rõ thừa ra $2$ học sinh không xếp được vào nhóm nào, còn Cách 1 chỉ cần cộng ba chữ số là kết luận được ngay.

Định hướng. Cộng các chữ số của $162$ rồi xét tổng đó có chia hết cho $9$ hay không, từ đó suy ra số đội.

Vậy $162$ học sinh chia đúng thành $18$ đội, mỗi đội đủ $9$ học sinh, không có đội nào thiếu.

Định hướng. Đặt phép chia $162$ cho $9$ trực tiếp để kiểm tra lại số dư và số đội.

Vậy $162$ học sinh chia đúng thành $18$ đội, không có đội nào thiếu.

Nhận xét. Cách 1 chỉ cần cộng ba chữ số là biết ngay không có đội thiếu người, Cách 2 đặt hẳn phép chia mới ra số đội cụ thể.

Định hướng. Ý a, c dùng chữ số tận cùng; ý b, d dùng tổng các chữ số $3+4+5+\ast =12+\ast$.

Vậy a) $\ast \in \{0;2;4;6;8\}$; b) $\ast \in \{0;3;6;9\}$; c) $\ast \in \{0;5\}$; d) $\ast =6$.

Định hướng. Thay lần lượt $\ast =0,\dots ,9$ vào $\overline{345\ast }$ rồi kiểm tra từng số với cả bốn dấu hiệu.

Vậy a) $\ast \in \{0;2;4;6;8\}$; b) $\ast \in \{0;3;6;9\}$; c) $\ast \in \{0;5\}$; d) $\ast =6$.

Nhận xét. Cách 2 phải liệt kê và chia thử nhiều lần, Cách 1 dùng dấu hiệu để chỉ ra ngay tập nghiệm của từng ý.

Định hướng. Liệt kê hết các số ba chữ số khác nhau lập được từ $3;0;4$ (chữ số hàng trăm khác $0$), sau đó lọc theo từng dấu hiệu.

Vậy a) $304$; $340$; $430$. b) $340$; $430$.

Định hướng. Vì điều kiện nằm ở chữ số tận cùng, chọn chữ số tận cùng phù hợp trước, rồi xếp hai chữ số còn lại vào hai vị trí đầu.

Vậy a) $304$; $340$; $430$. b) $340$; $430$.

Nhận xét. Cách 2 xếp có định hướng nên không bỏ sót và không viết thừa số nào, Cách 1 phải liệt kê hết rồi lọc lại.

Định hướng. Từ bốn chữ số $5;0;4;2$, mỗi lần chỉ dùng đúng ba chữ số; chọn trước bộ ba có tổng chia hết cho $3$ thì mọi số xếp từ bộ đó đều chia hết cho $3$.

Vậy có $8$ số thoả mãn: $204$; $240$; $402$; $420$; $405$; $450$; $504$; $540$.

Định hướng. Kiểm tra lại toàn bộ tám số vừa tìm bằng cách cộng trực tiếp ba chữ số của từng số.

Vậy cả $8$ số đều chia hết cho $3$, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 chọn bộ chữ số trước nên không bỏ sót và không thử thừa; Cách 2 kiểm tra lại từng số một để chắc chắn kết quả đúng.