Bài tập cuối chương II

Định hướng. Vì $12$, $27$, $20$, $36$ đều đã chia hết cho số chia tương ứng, nên mỗi điều kiện đề cho thực chất chỉ là điều kiện chia hết của chính $x$; chỉ cần soi dấu hiệu chia hết trên sáu số đã cho.

Vậy a) $x\in \{50;108;1234;2020\}$ ; b) $x\in \{108;189;2019\}$ ; c) $x\in \{50;2020\}$ ; d) $x\in \{108;189\}$.

Định hướng. Danh sách chỉ có đúng sáu số, nên có thể xét chữ số tận cùng và tổng các chữ số của từng số một, không cần quy điều kiện về $x$.

Vậy a) $x\in \{50;108;1234;2020\}$ ; b) $x\in \{108;189;2019\}$ ; c) $x\in \{50;2020\}$ ; d) $x\in \{108;189\}$.

Nhận xét. Cách 1 quy gọn điều kiện về đúng dấu hiệu chia hết của $x$ rồi lọc nhanh cả bốn ý; Cách 2 không quy gọn nhưng xét trực tiếp cả sáu số nên dùng để kiểm tra chéo lại Cách 1.

Định hướng. Tính đúng giá trị của biểu thức trước, rồi phân tích riêng kết quả đó ra thừa số nguyên tố bằng cách chia liên tiếp cho các số nguyên tố từ nhỏ đến lớn.

Vậy a) $14^2+5^2+2^2=225=3^2\cdot 5^2$ ; b) $400:5+40=120=2^3\cdot 3\cdot 5$.

Định hướng. Nhân ngược các thừa số nguyên tố dự kiến để kiểm tra xem tích có đúng bằng giá trị biểu thức đã tính ở Cách 1 hay không.

Vậy kết quả phân tích đúng: $225=3^2\cdot 5^2$ và $120=2^3\cdot 3\cdot 5$.

Nhận xét. Cách 1 đi từ giá trị biểu thức để phân tích ra thừa số nguyên tố; Cách 2 nhân ngược thừa số nguyên tố để đối chiếu, giúp tránh sai sót khi chia liên tiếp.

Định hướng. Phân tích cả hai số ra thừa số nguyên tố rồi lấy thừa số chung với số mũ nhỏ nhất để có ƯCLN, lấy mọi thừa số với số mũ lớn nhất để có BCNN.

Vậy a) ƯCLN$(21;98)=7$, BCNN$(21;98)=294$ ; b) ƯCLN$(36;54)=18$, BCNN$(36;54)=108$.

Định hướng. Tìm ƯCLN bằng phép chia liên tiếp (không cần phân tích ra thừa số nguyên tố), sau đó dùng công thức tích hai số bằng ƯCLN nhân BCNN để suy ra BCNN.

Vậy a) ƯCLN$(21;98)=7$, BCNN$(21;98)=294$ ; b) ƯCLN$(36;54)=18$, BCNN$(36;54)=108$.

Nhận xét. Cách 1 tiện khi số dễ phân tích ra thừa số nguyên tố; Cách 2 tiện khi số lớn khó phân tích, chỉ cần phép chia liên tiếp là ra ngay ƯCLN.

Định hướng. Phân tích tử và mẫu ra thừa số nguyên tố để tìm đúng ƯCLN, rồi chia cả tử và mẫu cho ƯCLN đó là được ngay phân số tối giản.

Vậy cả hai phân số đã cho đều CHƯA tối giản: a) $\frac{27}{123}=\frac{9}{41}$ ; b) $\frac{33}{77}=\frac{3}{7}$.

Định hướng. Rút gọn ngay bằng một ước chung dễ nhận ra, rồi kiểm tra lại ƯCLN của cặp tử-mẫu mới bằng $1$ để chắc chắn đã tối giản.

Vậy cả hai phân số đã cho đều CHƯA tối giản: a) $\frac{27}{123}=\frac{9}{41}$ ; b) $\frac{33}{77}=\frac{3}{7}$.

Nhận xét. Cách 1 tìm đúng ƯCLN ngay từ đầu nên chỉ rút gọn một lần; Cách 2 rút gọn theo ước chung dễ thấy rồi kiểm tra lại, phù hợp khi chưa nhìn ra ngay ƯCLN.

Định hướng. Đưa hai phân số về cùng mẫu số là BCNN của hai mẫu ban đầu, khi đó chỉ còn cộng (trừ) tử số và giữ nguyên mẫu chung.

Vậy a) $\frac{5}{12}+\frac{3}{16}=\frac{29}{48}$ ; b) $\frac{4}{15}-\frac{2}{9}=\frac{2}{45}$.

Định hướng. Nhân chéo tử với mẫu kia rồi cộng (trừ) trên mẫu tích $bd$, cách này luôn dùng được với mọi cặp phân số nhưng phải rút gọn kết quả ở bước cuối.

Vậy a) $\frac{5}{12}+\frac{3}{16}=\frac{29}{48}$ ; b) $\frac{4}{15}-\frac{2}{9}=\frac{2}{45}$.

Nhận xét. Cách 1 dùng mẫu chung nhỏ nhất nên số liệu gọn ngay; Cách 2 dùng mẫu tích luôn đúng với mọi cặp phân số nhưng phải rút gọn thêm một bước ở cuối.

Định hướng. Số túi nhiều nhất mà mỗi túi vẫn có đủ ba loại quả và số quả mỗi loại chia đều được chính là ƯCLN của ba số quả đã cho.

Vậy Mai chia được nhiều nhất $6$ túi quà, mỗi túi có $2$ quả cam, $3$ quả xoài và $5$ quả bơ.

Định hướng. Liệt kê các ước của số quả ít nhất theo thứ tự giảm dần rồi thử xem ước nào cũng chia hết hai số còn lại — ước lớn nhất thoả mãn chính là ƯCLN cần tìm.

Vậy Mai chia được nhiều nhất $6$ túi quà, mỗi túi có $2$ quả cam, $3$ quả xoài và $5$ quả bơ.

Nhận xét. Cách 1 dùng được với số lớn bất kì; Cách 2 chỉ tiện khi số quả ít nhất trong ba loại có ít ước, dễ liệt kê và thử.

Định hướng. Hai việc trùng nhau trở lại sau một số tháng là bội chung của $3$ và $6$; lần gần nhất ứng với BCNN của hai chu kì.

Vậy lần gần nhất tiếp theo bác Nam cùng làm hai việc đó là vào tháng $10$ năm nay.

Định hướng. Liệt kê trực tiếp các tháng của từng việc tính từ tháng $4$ rồi so hai dãy để tìm tháng trùng gần nhất, không cần qua công thức BCNN.

Vậy lần gần nhất tiếp theo bác Nam cùng làm hai việc đó là vào tháng $10$ năm nay.

Nhận xét. Cách 1 nhanh gọn nhờ công thức BCNN; Cách 2 liệt kê trực quan, dùng để kiểm tra lại kết quả của Cách 1.

Định hướng. Hai số nguyên tố khác nhau không có ước chung nào khác $1$, nên ƯCLN của chúng luôn bằng $1$ và BCNN bằng chính tích hai số đó.

Vậy ƯCLN$(79;97)=1$ và BCNN$(79;97)=7663$.

Định hướng. Dùng công thức tích hai số bằng ƯCLN nhân BCNN để thử lại kết quả BCNN đã tìm ở Cách 1.

Vậy ƯCLN$(79;97)=1$ và BCNN$(79;97)=7663$.

Nhận xét. Cách 1 áp dụng thẳng tính chất số nguyên tố; Cách 2 dùng công thức tích để kiểm tra chéo, tránh nhầm khi nhân hai số có ba chữ số.

Định hướng. So sánh số mũ của từng thừa số nguyên tố: ƯCLN lấy số mũ NHỎ hơn, BCNN lấy số mũ LỚN hơn giữa hai số đã cho.

Vậy $a=4$ và $b=3$.

Định hướng. Thay ngược $a=4$, $b=3$ vào hai số ban đầu rồi tính lại ƯCLN, BCNN để kiểm tra có đúng bằng đề bài đã cho hay không.

Vậy $a=4$ và $b=3$ thoả mãn đúng ƯCLN$=3^3\cdot 5^2$ và BCNN$=3^4\cdot 5^3$ đã cho.

Nhận xét. Cách 1 suy luận trực tiếp từ định nghĩa số mũ nhỏ nhất/lớn nhất; Cách 2 thay số cụ thể để thử lại, giúp chắc chắn không nhầm giữa min và max.

Định hướng. Gọi $N$ là số vịt. Ba điều kiện "xếp hàng $2;3;4$ đều dư $1$" gộp lại thành $N-1$ chia hết cho BCNN$(2;3;4)$; sau đó lọc tiếp theo hai điều kiện còn lại để tìm ra đúng một số vịt dưới $200$ con.

Vậy đàn vịt có $49$ con.

Định hướng. Xuất phát từ điều kiện dễ liệt kê nhất — bội của $7$ dưới $200$ con, không có số dư — rồi lần lượt loại bớt theo từng điều kiện dư còn lại cho đến khi chỉ còn đúng một số.

Vậy đàn vịt có $49$ con.

Nhận xét. Cách 1 gộp ba điều kiện cùng dư $1$ bằng BCNN nên lọc nhanh hơn; Cách 2 xuất phát từ bội của $7$ (điều kiện đơn giản nhất) rồi lọc dần — cả hai cùng cho đáp số $49$, dùng để kiểm tra chéo lẫn nhau.