Bài 1 · 3.50★Trang 76— Diễn tả các đại lượng ngược chiều nhau bằng số nguyên âm
Bài 3.50 (trang 76). Dùng số âm để diễn tả các thông tin sau: a) Ở nơi lạnh nhất thế giới, nhiệt độ có thể xuống đến 60∘C dưới 0∘C. b) Do dịch bệnh, một công ty trong một tháng đã bị lỗ 2 triệu đồng.
Kiến thức cần nhớ
Số nguyên âm dùng để diễn tả các đại lượng ngược chiều với một chiều đã chọn làm chiều dương.
Nhiệt độ dưới 0∘C và số tiền lỗ (ngược với lãi) đều được ghi bằng số âm.
1Cách 1. Chọn chiều dương rồi đối chiếu chiều ngược lại
Định hướng. Ở câu a) chiều dương là nhiệt độ trên 0∘C, ở câu b) chiều dương là số tiền lãi; hễ ngược chiều dương thì ghi bằng số âm.
a) Nhiệt độ 60∘C dưới 0∘C là ngược chiều dương Nhiệt độ đó được ghi là −60∘C b) Lỗ 2 triệu đồng là ngược chiều dương (lãi) Số tiền đó được ghi là −2 triệu đồng
Vậy nhiệt độ đó là −60∘C, số tiền đó là −2 triệu đồng.
2Cách 2. Đối chiếu với tình huống ngược lại (trên 0°C, có lãi)
Định hướng. Nếu nhiệt độ trên 0∘C và tiền lãi được ghi bằng số dương, thì nhiệt độ dưới 0∘C và tiền lỗ phải ghi bằng số đối của chúng, tức số âm.
a) Trên 0∘C60 độ ghi là +60∘C Số đối của +60∘C là −60∘C b) Lãi 2 triệu đồng ghi là +2 triệu đồng Số đối của +2 triệu đồng là −2 triệu đồng
Vậy nhiệt độ đó là −60∘C, số tiền đó là −2 triệu đồng.
Nhận xét. Cách 2 cho thấy số âm luôn là số đối của số dương diễn tả chiều ngược lại, dùng được cho mọi cặp đại lượng trái chiều khác như trên/dưới mực nước biển.
Đáp số.−60∘C ; −2 triệu đồng
Sai lầm thường gặp.Viết thiếu dấu trừ (chỉ ghi 60∘C hoặc 2 triệu đồng) khiến không phân biệt được với chiều dương.
Bài 3 · 3.52★★Trang 76— Liệt kê phần tử số nguyên theo điều kiện rồi tính tổng
Bài 3.52 (trang 76). Liệt kê các phần tử của tập hợp sau rồi tính tổng của chúng: a) S={x∈Z∣−5<x≤5}; b) T={x∈Z∣−7≤x<1}.
Kiến thức cần nhớ
Kí hiệu Z là tập hợp số nguyên, gồm số nguyên âm, số 0 và số nguyên dương.
Dấu < ở đầu mút nghĩa là KHÔNG lấy số đó, dấu ≤ nghĩa là CÓ lấy số đó.
1Cách 1. Liệt kê rồi cộng lần lượt từ trái sang phải
Định hướng. Viết hết các số nguyên thoả điều kiện theo thứ tự tăng dần rồi cộng trực tiếp.
a) −5<x≤5 nên S={−4;−3;−2;−1;0;1;2;3;4;5} Tổng: (−4)+(−3)+(−2)+(−1)+0+1+2+3+4+5=5 b) −7≤x<1 nên T={−7;−6;−5;−4;−3;−2;−1;0} Tổng: (−7)+(−6)+(−5)+(−4)+(−3)+(−2)+(−1)+0=−28
VậyS={−4;−3;−2;−1;0;1;2;3;4;5} có tổng bằng 5; T={−7;−6;−5;−4;−3;−2;−1;0} có tổng bằng −28.
2Cách 2. Dùng công thức tổng dãy số nguyên liên tiếp
Định hướng. Các số hạng tăng đều 1 đơn vị nên tổng bằng (số hạng đầu cộng số hạng cuối) nhân số lượng số hạng, rồi chia 2.
a) Từ −4 đến 5 có 5−(−4)+1=10 số hạng Tổng S=2(−4+5)⋅10=21⋅10=5 b) Từ −7 đến 0 có 0−(−7)+1=8 số hạng Tổng T=2(−7+0)⋅8=2(−7)⋅8=−28
Vậy tổng S=5 và tổng T=−28, trùng với Cách 1.
Nhận xét. Cách 2 tính nhanh hơn hẳn khi tập hợp có rất nhiều phần tử, ví dụ tổng các số nguyên từ −100 đến 100.
Đáp số.S={−4;−3;−2;−1;0;1;2;3;4;5}, tổng =5 ; T={−7;−6;−5;−4;−3;−2;−1;0}, tổng =−28
Sai lầm thường gặp.Lấy nhầm cả −5 vào S hoặc cả 1 vào T vì đọc dấu < thành ≤.
Bài 4 · 3.53★★Trang 76— Tính hợp lí bằng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng, trừ
Bài 3.53 (trang 76). Tính một cách hợp lí: a) 15⋅(−236)+15⋅235; b) 237⋅(−28)+28⋅137; c) 38⋅(27−44)−27⋅(38−44).
Kiến thức cần nhớ
Tính chất phân phối: a⋅b+a⋅c=a⋅(b+c) và a⋅b−a⋅c=a⋅(b−c).
Đặt đúng thừa số chung ra ngoài dấu ngoặc thì phép tính bên trong ngoặc mới đơn giản.
1Cách 1. Đặt thừa số chung ra ngoài dấu ngoặc
Định hướng. Ba biểu thức đều có một thừa số lặp lại, đặt thừa số đó ra ngoài để phép tính bên trong ngoặc chỉ còn vài chục.
a) 15⋅(−236)+15⋅235=15⋅(−236+235)=15⋅(−1)=−15 b) 237⋅(−28)+28⋅137=(−28)⋅237+28⋅137=28⋅(−237+137)=28⋅(−100)=−2800 c) 38⋅(27−44)−27⋅(38−44)=38⋅27−38⋅44−27⋅38+27⋅44 =(38⋅27−27⋅38)+(27⋅44−38⋅44)=0+44⋅(27−38)=44⋅(−11)=−484
Vậy a) bằng −15; b) bằng −2800; c) bằng −484.
2Cách 2. Tính trực tiếp theo đúng thứ tự phép tính
Định hướng. Không dùng tính chất phân phối, cứ tính từng tích rồi cộng trừ sau, kết quả dùng để kiểm tra lại Cách 1.
a) 15⋅(−236)=−3540 và 15⋅235=3525 −3540+3525=−15 b) 237⋅(−28)=−6636 và 28⋅137=3836 −6636+3836=−2800 c) 27−44=−17 và 38−44=−6 38⋅(−17)=−646 và 27⋅(−6)=−162 −646−(−162)=−646+162=−484
Vậy a) bằng −15; b) bằng −2800; c) bằng −484, trùng với Cách 1.
Nhận xét. Cách 1 nhanh và gọn nhờ đặt thừa số chung; Cách 2 tính trực tiếp từng bước, dùng để kiểm tra lại kết quả.
Đáp số.a) −15 · b) −2800 · c) −484
Sai lầm thường gặp.Quên đổi dấu khi đưa số hạng ra ngoài ngoặc có dấu trừ đằng trước, ví dụ viết nhầm −27⋅(38−44)=−27⋅38−27⋅44 thay vì −27⋅38+27⋅44.
Bài 6 · 3.55★★★Trang 76— Xét tính chất của hiệu hai số nguyên qua bất đẳng thức
Bài 3.55 (trang 76). Có hay không hai số nguyên a và b mà hiệu a−b: a) lớn hơn cả a và b? b) lớn hơn a nhưng nhỏ hơn b? Trong mỗi trường hợp, hãy cho ví dụ minh hoạ bằng số.
Kiến thức cần nhớ
Muốn a−b lớn hơn a thì cần −b>0, tức b<0 (b là số âm).
Muốn a−b lớn hơn b thì cần a>2b; muốn a−b nhỏ hơn b thì cần a<2b.
1Cách 1. Suy luận từ bất đẳng thức tổng quát rồi chọn ví dụ
Định hướng. Đặt các điều kiện của đề bài thành bất đẳng thức đơn giản chỉ chứa a, b, từ đó chọn được một cặp số nguyên thoả mãn.
a) a−b>a đúng khi −b>0, tức b<0 a−b>b đúng khi a>2b Chọn b=−1 và a=0 (thoả a>2b=−2) a−b=0−(−1)=1; kiểm tra 1>0=a và 1>−1=b đều đúng b) a−b>a vẫn cần b<0 a−b<b đúng khi a<2b Chọn b=−1 và a=−3 (thoả a<2b=−2) a−b=−3−(−1)=−2; kiểm tra −2>−3=a và −2<−1=b đều đúng
Vậy CÓ hai số nguyên thoả mãn: a) a=0, b=−1 cho a−b=1 lớn hơn cả a và b; b) a=−3, b=−1 cho a−b=−2 lớn hơn a nhưng nhỏ hơn b.
2Cách 2. Thử trực tiếp một vài cặp số nguyên âm
Định hướng. Không lập bất đẳng thức tổng quát, cứ thử vài cặp số nguyên rồi kiểm tra trực tiếp điều kiện của đề bài.
a) Thử a=2, b=−3: a−b=2−(−3)=5 Kiểm tra 5>2=a đúng, 5>−3=b đúng b) Thử a=−5, b=−2: a−b=−5−(−2)=−3 Kiểm tra −3>−5=a đúng, −3<−2=b đúng
Vậy CÓ hai số nguyên thoả mãn cả hai trường hợp, ví dụ a) a=2, b=−3; b) a=−5, b=−2.
Nhận xét. Cách 1 chỉ ra điều kiện chung (b phải âm) để luôn tìm được ví dụ; Cách 2 chỉ thử một vài số cụ thể nên có thể may rủi, nhưng nhanh khi chỉ cần một ví dụ.
Đáp số.a) Có, ví dụ a=0, b=−1, khi đó a−b=1 · b) Có, ví dụ a=−3, b=−1, khi đó a−b=−2
Sai lầm thường gặp.Cho rằng hiệu hai số nguyên luôn nhỏ hơn số bị trừ giống số tự nhiên, nên vội kết luận KHÔNG tồn tại các cặp số như vậy.
Bài 7 · 3.56★★★★Trang 76— Suy luận dấu của tích nhiều số nguyên qua cách chia nhóm
Bài 3.56 (trang 76). Cho 15 số có tính chất: Tích của 5 số bất kì trong chúng đều âm. Hỏi tích của 15 số đó mang dấu gì?
Kiến thức cần nhớ
Tích của một số chẵn thừa số âm là số dương; tích của một số lẻ thừa số âm là số âm.
Có thể chia các số thành từng nhóm rồi dùng tích của các nhóm để suy ra tích của tất cả.
1Cách 1. Chia 15 số thành 3 nhóm, mỗi nhóm 5 số
Định hướng. 15 số chia đúng thành 3 nhóm 5 số; theo đề bài mỗi nhóm 5 số có tích âm, nên tích của cả 15 số bằng tích của 3 số âm đó.
Chia 15 số thành 3 nhóm liên tiếp, mỗi nhóm 5 số Tích của nhóm 1 là số âm (theo đề bài) Tích của nhóm 2 là số âm (theo đề bài) Tích của nhóm 3 là số âm (theo đề bài) Tích của 15 số = (tích nhóm 1) ⋅ (tích nhóm 2) ⋅ (tích nhóm 3) = (âm) ⋅ (âm) ⋅ (âm) = âm, vì có 3 thừa số âm và 3 là số lẻ
Vậy tích của 15 số đó là số âm.
2Cách 2. Kiểm tra lại bằng một bộ 15 số cụ thể
Định hướng. Chọn 15 số cụ thể thoả điều kiện đề bài rồi tính trực tiếp để đối chiếu với kết luận ở Cách 1.
Chọn cả 15 số đều bằng −1 Tích của 5 số bất kì: (−1)5=−1, là số âm, thoả điều kiện đề bài Tích của cả 15 số: (−1)15=−1, là số âm
Vậy tích của 15 số đó là số âm, trùng với Cách 1.
Nhận xét. Cách 1 chứng tỏ kết luận đúng với MỌI bộ 15 số thoả điều kiện; Cách 2 chỉ kiểm tra trên một bộ số cụ thể nhưng cho kết quả khớp với Cách 1.
Đáp số.Tích của 15 số đó là số âm.
Sai lầm thường gặp.Đếm nhầm 15 là số chẵn nên cho rằng tích mang dấu dương; thực ra 15 là số lẻ.
