Bài tập cuối chương IV

Định hướng. Hình vuông lớn được chia bởi 2 đường thẳng thành 4 ô bằng nhau, nên chỉ có 2 cỡ hình vuông xuất hiện: cỡ ô nhỏ và cỡ cả hình lớn.

Vậy trong hình có tất cả 5 hình vuông.

Định hướng. Xét hết các cách gộp những ô liền kề với nhau, hình nào có 4 cạnh bằng nhau mới giữ lại.

Vậy trong hình có tất cả 5 hình vuông.

Nhận xét. Cách 2 xét đủ mọi khả năng nên chắc chắn không bỏ sót, còn Cách 1 nhanh hơn vì đã nhìn ra ngay chỉ có hai cỡ hình vuông.

Định hướng. Tam giác lớn được chia thành 4 tam giác đều bằng nhau: (1) ở đỉnh trên, (2) ở góc trái dưới, (3) ở góc phải dưới, (4) ở giữa (tam giác lộn ngược); từ 4 mảnh này ghép ra mọi hình cần đếm.

Vậy có 5 hình tam giác đều, 1 hình thang cân và 3 hình thoi.

Định hướng. Mỗi cạnh của tam giác (4) đều là đường trung bình của tam giác lớn nên song song và bằng nửa cạnh đáy tương ứng; nhờ đó suy ra ngay hình dạng của các mảnh ghép mà không cần vẽ thêm.

Vậy có 5 hình tam giác đều, 1 hình thang cân và 3 hình thoi.

Nhận xét. Hai cách cho cùng một kết quả; Cách 2 giải thích được VÌ SAO các hình ghép đúng là hình thoi, hình thang cân chứ không chỉ dựa vào quan sát bằng mắt.

Định hướng. Dùng compa để dựng các đoạn bằng nhau, không cần đo góc trực tiếp.

Vậy a) $ABC$ là tam giác đều cạnh $5\text{ cm}$; b) $MNQP$ là hình vuông cạnh $6\text{ cm}$; c) $EFGH$ là hình chữ nhật $4\text{ cm}\times 3\text{ cm}$.

Định hướng. Dựng trực tiếp số đo góc đặc trưng của mỗi hình rồi đo cạnh, không cần vẽ cung tròn.

Vậy a) tam giác $ABC$ cân tại $A$ có góc $60^{\circ }$ nên là tam giác đều; b) $MNQP$ là hình vuông cạnh $6\text{ cm}$; c) $EFGH$ là hình chữ nhật $4\text{ cm}\times 3\text{ cm}$.

Nhận xét. Cách 1 chỉ cần compa nên dựng nhanh và chính xác; Cách 2 cần thêm thước đo góc nhưng trực quan hơn khi kiểm tra lại hình đã vẽ.

Định hướng. Cả hai hình đều có các cạnh với độ dài xác định, nên dùng compa quay 2 cung tròn giao nhau để tìm đỉnh còn thiếu.

Vậy a) $ABCD$ là hình bình hành có $AB=4\text{ cm}$, $AD=3\text{ cm}$; b) $ABCD$ là hình thoi cạnh $3\text{ cm}$.

Định hướng. Thay vì dùng compa, dựng trực tiếp theo đặc điểm cạnh đối song song (hình bình hành) và đường chéo vuông góc tại trung điểm (hình thoi).

Vậy a) $ABCD$ là hình bình hành vì có 2 cặp cạnh đối song song; b) $ABCD$ là hình thoi vì có 2 đường chéo vuông góc tại trung điểm mỗi đường.

Nhận xét. Cách 1 nhanh và chắc tay hơn với compa; Cách 2 giúp hiểu rõ vì sao hình vẽ được đúng là hình bình hành, hình thoi dựa trên tính chất đường chéo.

Định hướng. Đề đã cho sẵn chiều dài và chiều rộng nên thay thẳng vào công thức chu vi, diện tích hình chữ nhật.

Vậy chu vi hình chữ nhật là $22\text{ cm}$, diện tích là $30{\text{ cm}}^2$.

Định hướng. Kiểm tra lại bằng cách không dùng công thức: cộng thẳng 4 cạnh để ra chu vi, chia hình thành các ô vuông cạnh $1\text{ cm}$ để đếm diện tích.

Vậy chu vi hình chữ nhật là $22\text{ cm}$, diện tích là $30{\text{ cm}}^2$.

Nhận xét. Hai cách cho cùng kết quả; đếm ô vuông trực tiếp chỉ dùng được với số đo nguyên nhỏ, còn công thức ở Cách 1 dùng được với mọi số đo.

Định hướng. Tứ giác $ABOF$ có 2 đường chéo là $AO$ và $BF$ vuông góc với nhau, nên tính diện tích bằng công thức đường chéo; lục giác gồm đúng 3 hình thoi như vậy ghép quanh tâm $O$.

Vậy a) $S_{ABOF}=31,2{\text{ cm}}^2$; b) $S_{ABCDEF}=93,6{\text{ cm}}^2$.

Định hướng. Vì $OA=OB=AB=6\text{ cm}$ nên $OAB$ là tam giác đều; hình thoi $ABOF$ gồm 2 tam giác đều như vậy, còn cả lục giác gồm 6 tam giác đều ghép quanh tâm $O$ — dùng công thức diện tích tam giác đều để kiểm tra lại.

Vậy a) $S_{ABOF}\approx 31,2{\text{ cm}}^2$; b) $S_{ABCDEF}\approx 93,6{\text{ cm}}^2$, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Số $10,4$ chỉ là giá trị gần đúng của $6\sqrt{3}$ nên hai cách cho kết quả xấp xỉ nhau; Cách 2 cho thấy rõ vì sao lục giác đều lại gấp đúng 3 lần diện tích hình thoi $ABOF$.

Định hướng. Cạnh trên cùng và cạnh bên trái chưa cho số đo, cần suy ra trước từ các cạnh đã biết rồi mới chia hình thành 3 dải hình chữ nhật nằm ngang để cộng diện tích.

Vậy diện tích mảnh vườn là $69{\text{ m}}^2$.

Định hướng. Vẽ thêm hình chữ nhật nhỏ nhất bao trọn cả mảnh vườn, khi đó mảnh vườn chính là hình chữ nhật đó trừ đi 2 góc bị khuyết ở phía trên bên phải và phía dưới bên trái.

Vậy diện tích mảnh vườn là $69{\text{ m}}^2$.

Nhận xét. Cách 1 cộng dần từng dải, Cách 2 trừ ngược từ hình bao ngoài; cả hai cùng cho $69{\text{ m}}^2$ nên kết quả đáng tin cậy.

Định hướng. Vì chiều dài gấp đôi chiều rộng nên hình chữ nhật chính là 2 hình vuông cạnh $4\text{ cm}$ ghép cạnh nhau; cắt mỗi hình vuông theo 1 đường chéo rồi chụm các đỉnh góc vuông vào một điểm sẽ dựng lại được đúng 1 hình vuông lớn.

Vậy ghép được hình vuông cạnh $4\sqrt{2}\text{ cm}$ (xem hình minh hoạ ở trên).

Định hướng. Cắt ghép không làm tăng hay giảm diện tích, nên chỉ cần tìm cạnh $s$ của hình vuông sao cho $s^2$ đúng bằng diện tích hình chữ nhật, rồi đối chiếu với cách ghép ở Cách 1.

Vậy hình vuông cần dựng có cạnh $4\sqrt{2}\text{ cm}$, diện tích $32{\text{ cm}}^2$ bằng đúng diện tích hình chữ nhật ban đầu, khớp với cách cắt ghép ở Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 giải thích vì sao cách cắt theo đường chéo ở Cách 1 là đúng, chứ không chỉ dựa vào hình vẽ.

Định hướng. Đề đã cho đủ 2 đáy và chiều cao của hình thang nên tính diện tích trước, rồi đổi ra số phần $9{\text{ dm}}^2$ để nhân với đơn giá.

Vậy chi phí làm cả hiên nhà là $32445$ nghìn đồng, tức $32445000$ đồng.

Định hướng. Dựng hình chữ nhật nhỏ nhất bao quanh hình thang (một cạnh bằng đáy lớn, cạnh kia bằng chiều cao), khi đó hình thang chính là hình chữ nhật đó trừ đi 2 tam giác vuông ở 2 góc trên.

Vậy chi phí làm cả hiên nhà là $32445$ nghìn đồng, tức $32445000$ đồng, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 không cần nhớ công thức hình thang, chỉ cần biết diện tích hình chữ nhật và tam giác, nên dùng được cả khi lỡ quên công thức ở Cách 1.