Luyện tập chung (trang 108–109)

Định hướng. Ngôi sao có 4 trục đối xứng nên chỉ cần gấp đôi liên tiếp theo đúng các trục ấy, hình sẽ thu nhỏ dần thành các lớp chồng khít, và một nhát cắt trên lớp nhỏ nhất sẽ lặp lại giống hệt trên mọi lớp khi mở ra.

Vậy gấp giấy hình vuông theo 4 trục đối xứng của ngôi sao thành $1/8$ hình rồi cắt một nhát thẳng, mở ra được đúng ngôi sao bốn cánh như Hình 5.10.

Định hướng. Kiểm tra lại bằng cách đếm xem 3 lần gấp đôi tạo ra bao nhiêu lớp giấy chồng khít, để chắc chắn một nhát cắt duy nhất có tác dụng y hệt trên toàn bộ 8 phần bằng nhau của ngôi sao.

Vậy một nhát cắt thẳng trên phần giấy đã gấp thành $1/8$ là đủ để khi mở ra ta được trọn vẹn ngôi sao bốn cánh, không cần cắt thêm.

Nhận xét. Số trục đối xứng của hình quyết định số lần gấp đôi cần dùng; hình càng nhiều trục đối xứng thì càng cắt được bằng ít nhát hơn.

Định hướng. Xét lần lượt bốn hình, với mỗi hình kiểm tra xem có đường gấp nào chia hình thành hai phần chồng khít (trục đối xứng) và có tâm quay nào giữ nguyên hình sau khi quay $180^{\circ }$ (tâm đối xứng) hay không.

Vậy a) hình có tâm đối xứng: cánh quạt; b) hình có trục đối xứng: tam giác đều, trái tim, cánh diều.

Định hướng. Kiểm tra lại bằng cách bắt cặp từng điểm của hình với ảnh của nó qua tâm hoặc qua trục, thay vì chỉ nhìn hình dạng chung.

Vậy a) tâm đối xứng: cánh quạt; b) trục đối xứng: tam giác đều, trái tim, cánh diều — khớp với kết quả ở Cách 1.

Nhận xét. Cánh quạt chỉ có tâm đối xứng mà không có trục đối xứng, vì mỗi cánh bị vặn lệch cùng một chiều nên gấp đôi không thể chồng khít, dù quay vẫn khớp.

Định hướng. Mỗi biểu tượng được thiết kế dựa trên một hình cơ bản lặp lại hoặc gập đôi, nên chỉ cần nhìn cách các chi tiết được sắp xếp quanh một đường thẳng hay một điểm là xác định được loại đối xứng.

Vậy cả ba biểu tượng đều có trục đối xứng (WFP và UNESCO: 1 trục; SEA Games: 11 trục); không biểu tượng nào có tâm đối xứng.

Định hướng. Kiểm tra lại tâm đối xứng bằng một quy tắc số học: hình gồm $n$ chi tiết giống hệt nhau xếp cách đều quanh tâm chỉ chồng khít sau khi quay $180^{\circ }$ khi $180^{\circ }$ chia hết cho góc chia $\frac{360^{\circ }}{n}$, tức khi $n$ là số chẵn.

Vậy cả ba biểu tượng đều không có tâm đối xứng, khớp với kết quả ở Cách 1.

Nhận xét. Với hình xếp vòng tròn quanh tâm gồm $n$ chi tiết, hễ $n$ lẻ thì chắc chắn không có tâm đối xứng dù vẫn có $n$ trục đối xứng.

Định hướng. Vì $d$ là trục đối xứng cần có, mỗi đỉnh của phần đã cho phải có một đỉnh ảnh nằm đối diện qua $d$, cách $d$ đúng bằng số ô như đỉnh gốc; nối các đỉnh ảnh theo đúng thứ tự là được nửa hình còn thiếu.

Vậy vẽ thêm nửa hình đối xứng qua $d$ (phần nét đứt trong hình) ta được hình nhận $d$ làm trục đối xứng.

Định hướng. Kiểm tra lại hình vừa vẽ bằng thao tác gấp thật: nếu tô đậm phần đã cho rồi gấp tờ giấy đúng theo $d$, vết mực in sang phía bên kia phải khớp với phần vừa vẽ thêm.

Vậy phần vẽ thêm ở Cách 1 là đúng, vì gấp giấy theo $d$ thì hai nửa hình chồng khít lên nhau.

Nhận xét. Cách gấp giấy tuy chậm hơn nhưng kiểm tra được bằng mắt ngay lập tức, không phải đếm lại từng ô vuông.

Định hướng. Hình đã cho là nửa hình quạt nằm giữa hai đường tròn đồng tâm $O$; muốn có tâm đối xứng thì nửa còn lại phải là ảnh của nửa đã cho qua phép đối xứng tâm $O$, tức mọi đoạn thẳng phải được kéo thẳng qua $O$ sang phía đối diện với cùng độ dài.

Vậy vẽ thêm nửa hình đối xứng với nửa đã cho qua tâm $O$ (phần nét đứt) ta được hình nhận $O$ làm tâm đối xứng.

Định hướng. Kiểm tra lại phần vừa vẽ bằng phép quay: nếu quay toàn bộ nửa hình đã cho đúng $180^{\circ }$ quanh $O$, nó phải trùng khít với phần vừa vẽ thêm.

Vậy phần vẽ thêm ở Cách 1 là đúng, vì quay $180^{\circ }$ quanh $O$ thì hai nửa hình trùng khít lên nhau.

Nhận xét. Hai đường tròn đồng tâm luôn sẵn nhận $O$ làm tâm đối xứng; việc còn lại chỉ là vẽ đối xứng đúng các chi tiết bên trong.

Định hướng. Mỗi cụm chữ chỉ giữ được loại đối xứng mà tất cả các chữ cái trong cụm cùng có, nên trước tiên xét riêng từng chữ cái, sau đó xét cách sắp xếp cả cụm có giữ được loại đối xứng ấy hay không.

Vậy a) SOS có tâm đối xứng, không có trục đối xứng; b) VTV có trục đối xứng, không có tâm đối xứng.

Định hướng. Kiểm tra lại bằng cách hình dung thao tác thật trên cả cụm chữ, thay vì suy luận qua từng chữ cái riêng lẻ.

Vậy kết quả kiểm tra khớp với Cách 1: SOS chỉ có tâm đối xứng, VTV chỉ có trục đối xứng.

Nhận xét. Đây là lí do nhiều tín hiệu như SOS được viết đối xứng tâm, để đọc đúng dù nhìn xoay ngược $180^{\circ }$.

Định hướng. Bốn đoạn đã cho là 4 trong số 12 cạnh của một lưới gồm 2 hàng, 2 cột ô vuông cạnh $1$ cm; vẽ thêm đúng 8 cạnh còn lại của lưới ấy sẽ được một hình vừa có trục vừa có tâm đối xứng, vì bản thân một lưới ô vuông hoàn chỉnh luôn đối xứng.

Vậy hình nhận được có trục đối xứng là đường thẳng đi qua $F$, $C$, $D$ và có tâm đối xứng là điểm $C(1;1)$.

Định hướng. Kiểm tra lại hình vừa dựng bằng cách lấy đối xứng lần lượt từng đoạn qua trục $FD$ và qua tâm $C$, xem có đúng khớp với các đoạn đã vẽ hay không.

Vậy mọi đoạn của hình đều có đoạn đối xứng qua trục $FD$ và qua tâm $C$ nằm sẵn trong hình, nên hình nhận được có cả trục đối xứng và tâm đối xứng như đã dựng ở Cách 1.

Nhận xét. Cách dựng bằng lưới ô vuông ở Cách 1 luôn cho hình có cả trục và tâm đối xứng, vì bản thân một lưới ô vuông hoàn chỉnh sẵn có đầy đủ hai loại đối xứng ấy.