Luyện tập chung (trang 13–14)

Định hướng. Rút gọn $\frac{4}{120}$ và $\frac{-50}{60}$ về dạng tối giản, sau đó quy đồng ba phân số theo BCNN$(5,30,6)=30$.

Vậy a) $\frac{1}{5}=\frac{6}{30}$; $\frac{4}{120}=\frac{1}{30}$; $\frac{-50}{60}=\frac{-25}{30}$. b) $\frac{-50}{60}<\frac{4}{120}<\frac{1}{5}$.

Định hướng. Lấy luôn BCNN của ba mẫu gốc $5,120,60$ (bằng $120$) làm mẫu chung, không cần rút gọn trước.

Vậy thứ tự vẫn là $\frac{-50}{60}<\frac{4}{120}<\frac{1}{5}$, khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 luôn đúng nhưng mẫu chung $120$ lớn gấp $4$ lần mẫu chung $30$ ở Cách 1 — minh hoạ vì sao nên rút gọn trước khi quy đồng.

Định hướng. Đổi ba phân số ra số thập phân gần đúng để kiểm tra lại thứ tự vừa sắp xếp.

Vậy $\frac{-50}{60}<\frac{4}{120}<\frac{1}{5}$, xác nhận đúng hai cách trên.

Nhận xét. Ước lượng thập phân chỉ dùng để kiểm tra nhanh, không thay được phép so sánh chính xác bằng phân số.

Định hướng. Giá mỗi cái bút trong từng hộp là $\frac{75}{12}$ và $\frac{88}{15}$ (nghìn đồng); quy đồng về mẫu chung $60$ rồi so sánh tử.

Vậy giá mỗi bút ở hộp $12$ cái đắt hơn giá mỗi bút ở hộp $15$ cái, nên bố Mai khuyên đúng.

Định hướng. Thực hiện phép chia $75:12$ và $88:15$ ra số thập phân rồi so sánh ngay.

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: hộp $15$ cái có giá mỗi bút rẻ hơn.

Nhận xét. Cách này nhanh khi có máy tính, nhưng Cách 1 (quy đồng mẫu) cho kết quả chính xác tuyệt đối, không làm tròn.

Định hướng. So sánh $\frac{75}{12}$ với $\frac{88}{15}$ bằng cách so sánh hai tích chéo $75\cdot 15$ và $88\cdot 12$.

Vậy kết quả vẫn khớp hai cách trên: hộp $12$ cái có giá mỗi bút đắt hơn.

Nhận xét. So sánh tích chéo cho kết quả nhanh mà không cần tìm mẫu chung, rất hữu ích khi chỉ cần biết phân số nào lớn hơn.

Định hướng. Áp dụng $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow ad=bc$ với $a=x,b=10,c=-11,d=5$.

Vậy $x=-22$.

Định hướng. Đưa $\frac{-11}{5}$ về mẫu $10$ (cùng mẫu với vế trái) rồi so trực tiếp hai tử số.

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: $x=-22$.

Định hướng. Thay $x=-22$ vào phân số ban đầu, rút gọn để kiểm tra có ra đúng $\frac{-11}{5}$ hay không.

Vậy $\frac{-22}{10}=\frac{-11}{5}$ đúng như đề bài, xác nhận $x=-22$ là đáp số chính xác.

Nhận xét. Phép thử lại bằng rút gọn là cách kiểm tra nhanh sau khi giải xong dạng toán tìm ẩn từ hai phân số bằng nhau.

Định hướng. Rút gọn $\frac{-3}{21}=\frac{-1}{7}$ trước, khi đó chỉ còn hai mẫu $7$ và $15$ nguyên tố cùng nhau nên BCNN$=105$.

Vậy $\frac{5}{7}=\frac{75}{105}$; $\frac{-3}{21}=\frac{-15}{105}$; $\frac{-8}{15}=\frac{-56}{105}$.

Định hướng. Không rút gọn trước, tìm ngay BCNN$(7,21,15)$: vì $21=3\cdot 7$ và $15=3\cdot 5$ nên BCNN$=3\cdot 5\cdot 7=105$, đúng bằng mẫu chung ở Cách 1.

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: $\frac{75}{105}$; $\frac{-15}{105}$; $\frac{-56}{105}$.

Nhận xét. Vì $21$ đã là bội của $7$ nên hai cách cho cùng một mẫu chung $105$; rút gọn trước (Cách 1) chỉ giúp NHÌN RA quan hệ giữa các mẫu dễ hơn.

Định hướng. Rút gọn từng phân số vừa quy đồng để kiểm tra có trở lại đúng phân số ban đầu (hoặc dạng tối giản của nó) hay không.

Vậy cả ba phân số rút gọn ngược đều cho lại đúng phân số ban đầu, xác nhận quy đồng ở Cách 1 là đúng.

Định hướng. Tính diện tích rừng trồng bằng phép trừ, lập phân số rừng trồng trên tổng, rồi rút gọn bằng cách chia cả tử và mẫu cho $100000$ (bỏ bớt các chữ số $0$ chung).

Vậy diện tích rừng trồng chiếm $\frac{43}{146}$ tổng diện tích đất có rừng trên toàn quốc.

Định hướng. Thay vì chia ngay cho $100000$, rút gọn từng bước qua các ước chung nhỏ hơn để dễ kiểm soát.

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: $\frac{43}{146}$.

Nhận xét. Rút gọn từng bước qua các ước chung nhỏ giúp kiểm soát tốt hơn, tránh chia nhầm ở những số có nhiều chữ số $0$.

Định hướng. Đổi phân số vừa tìm ra phần trăm gần đúng để kiểm tra tính hợp lí của kết quả.

Vậy hai giá trị ước lượng khớp nhau, xác nhận $\frac{43}{146}$ là đáp số đúng.

Nhận xét. Rừng trồng chiếm gần $30\%$ tổng diện tích đất có rừng — con số hợp lí về mặt thực tế, không phải một tỉ lệ phi lí (quá $0$ hay quá $1$).

Định hướng. Rút gọn từng phân số trong mỗi cặp bằng cách chia cả tử và mẫu cho ước chung của chúng; nếu cùng ra một kết quả thì hai phân số bằng nhau.

Vậy a) cả hai phân số đều bằng $\frac{2}{3}$ nên $\frac{20}{30}=\frac{30}{45}$; b) cả hai phân số đều bằng $\frac{-5}{7}$ nên $\frac{-25}{35}=\frac{-55}{77}$.

Định hướng. Thay vì rút gọn, nhân cả tử và mẫu của mỗi phân số cho một số thích hợp để hai phân số trong cùng một cặp có chung mẫu.

Vậy hai phân số trong mỗi cặp đều đưa về cùng một phân số ($\frac{60}{90}$ và $\frac{-275}{385}$), xác nhận chúng bằng nhau — khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 minh hoạ đúng chiều "nhân" của tính chất cơ bản, còn Cách 1 minh hoạ chiều "chia" — cả hai đều là hai mặt của cùng một tính chất.

Định hướng. So sánh tử và mẫu của từng phân số dương với $1$; với $\frac{-3}{7}$ mang dấu âm thì loại ngay vì luôn nhỏ hơn $1$.

Vậy hai phân số lớn hơn $1$ là $\frac{15}{8}=1\frac{7}{8}$ và $\frac{47}{4}=11\frac{3}{4}$.

Định hướng. Tính hiệu mỗi phân số trừ đi $1$; hiệu dương thì phân số lớn hơn $1$, hiệu âm thì nhỏ hơn $1$.

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: chỉ $\frac{15}{8}$ và $\frac{47}{4}$ lớn hơn $1$.

Định hướng. Chia tử cho mẫu ra số thập phân, so trực tiếp với $1$.

Vậy hai phân số lớn hơn $1$ vẫn là $\frac{15}{8}$ và $\frac{47}{4}$, khớp hai cách trên.

Nhận xét. Phần nguyên của số thập phân ($1$ và $11$) đúng bằng thương của phép chia có dư dùng để viết hỗn số ở Cách 1.

Định hướng. Thay đúng $a,b,c$ của từng hỗn số vào công thức $a\frac{b}{c}=\frac{a\cdot c+b}{c}$.

Vậy $4\frac{1}{13}=\frac{53}{13}$ và $2\frac{2}{5}=\frac{12}{5}$.

Định hướng. Hiểu $a\frac{b}{c}$ nghĩa là $a+\frac{b}{c}$, đổi phần nguyên $a$ thành phân số mẫu $c$ rồi cộng hai phân số cùng mẫu.

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: $\frac{53}{13}$ và $\frac{12}{5}$.

Nhận xét. Cách 2 lí giải VÌ SAO công thức ở Cách 1 đúng, dựa trên đúng nghĩa của kí hiệu hỗn số.

Định hướng. Lấy tử chia cho mẫu của phân số vừa tìm được, thương và dư phải khớp đúng phần nguyên và tử của hỗn số ban đầu.

Vậy cả hai phép chia có dư đều cho lại đúng hỗn số ban đầu, xác nhận hai phân số ở Cách 1 là đúng.

Định hướng. Áp dụng $ad=bc$ với $a=-6,b=x,c=30,d=60$ (điều kiện $x\ne 0$).

Vậy $x=-12$ (thoả mãn điều kiện $x\ne 0$).

Định hướng. Rút gọn $\frac{30}{60}=\frac{1}{2}$ trước để số liệu nhân chéo nhỏ gọn hơn hẳn.

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: $x=-12$.

Nhận xét. Rút gọn phân số đã biết trước khi nhân chéo (Cách 2) cho số liệu nhỏ hơn hẳn so với dùng thẳng mẫu gốc $60$ (Cách 1).

Định hướng. Thay $x=-12$ vào phân số ban đầu, rút gọn để kiểm tra có ra đúng $\frac{30}{60}$ hay không.

Vậy $\frac{-6}{-12}=\frac{30}{60}$ đúng như đề bài, xác nhận $x=-12$ là đáp số chính xác.

Định hướng. Vì $10,5,2$ đều là ước của $10$ nên lấy ngay mẫu chung $10$, quy đồng cả năm phân số rồi so tử.

Vậy thứ tự từ lớn đến bé là $\frac{3}{2}>\frac{6}{5}>\frac{9}{10}>\frac{4}{5}>\frac{1}{2}$ (cm).

Định hướng. Chia tử cho mẫu ra số thập phân, so sánh năm số thập phân với nhau.

Vậy thứ tự vẫn là $\frac{3}{2}>\frac{6}{5}>\frac{9}{10}>\frac{4}{5}>\frac{1}{2}$, khớp Cách 1.

Định hướng. Chia năm phân số thành hai nhóm: lớn hơn $1$ ($\frac{3}{2},\frac{6}{5}$) và nhỏ hơn $1$ ($\frac{9}{10},\frac{4}{5},\frac{1}{2}$), rồi so sánh trong từng nhóm bằng mẫu chung $10$.

Vậy thứ tự đầy đủ vẫn là $\frac{3}{2}>\frac{6}{5}>\frac{9}{10}>\frac{4}{5}>\frac{1}{2}$, khớp hai cách trên.

Nhận xét. Tách nhóm theo mốc $1$ trước giúp giảm số lượng phân số cần so sánh cùng lúc, hữu ích khi danh sách dài hơn $5$ số.