Luyện tập chung (trang 43)

Định hướng. Xếp $36$ bạn thành các hàng đều nhau nên số bạn mỗi hàng phải là ước của $36$; ta liệt kê hết các ước rồi giữ lại những ước nằm trong đoạn từ $3$ đến $12$.

Vậy có $5$ cách xếp: mỗi hàng $3$ bạn ($12$ hàng); mỗi hàng $4$ bạn ($9$ hàng); mỗi hàng $6$ bạn ($6$ hàng); mỗi hàng $9$ bạn ($4$ hàng); mỗi hàng $12$ bạn ($3$ hàng).

Định hướng. Thay vì liệt kê hết ước của $36$ rồi lọc, ta thử lần lượt từng số từ $3$ đến $12$ xem có chia hết $36$ hay không, dùng để kiểm tra chéo Cách 1.

Vậy chỉ các số $3;4;6;9;12$ cho dư $0$, tức là đúng $5$ cách xếp giống Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 nhanh vì đã biết cách tìm ước; Cách 2 chậm hơn nhưng chắc chắn không bỏ sót số nào trong đoạn đã cho.

Định hướng. Mỗi phép chia hết cho $2;3;5;9;10$ đều có dấu hiệu riêng dựa vào chữ số tận cùng hoặc tổng các chữ số, nên chỉ cần soi đúng dấu hiệu là trả lời được ngay mà không cần chia thật.

Vậy $1872$ chia hết cho $2$; $3$; $9$ và không chia hết cho $5$; $10$.

Định hướng. Cách khác là đem $1872$ chia thật cho từng số $2;3;5;9;10$, nhìn số dư để đối chiếu ngược lại với dấu hiệu chia hết vừa dùng ở Cách 1.

Vậy $1872$ chia hết cho $2$; $3$; $9$ (dư $0$) và không chia hết cho $5$; $10$ (dư khác $0$), khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 nhanh vì không cần chia thật; Cách 2 chắc chắn đúng nhưng số càng lớn thì phép chia càng vất vả hơn.

Định hướng. Ta tách $140$ thành tích của hai thừa số bất kì rồi tiếp tục tách các thừa số chưa phải số nguyên tố, cho đến khi mọi nhánh cuối đều là số nguyên tố.

Vậy $140=2^2\cdot 5\cdot 7$.

Định hướng. Ở sơ đồ cột, ta chia $140$ liên tiếp cho các số nguyên tố từ nhỏ đến lớn, mỗi lần lấy thương để chia tiếp cho đến khi thương bằng $1$.

Vậy $140=2^2\cdot 5\cdot 7$, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Sơ đồ cây trực quan khi tách số theo nhiều nhánh; sơ đồ cột gọn hơn khi trình bày thẳng một cột trên giấy.

Định hướng. Ý a) xét dấu hiệu chia hết cho $5$ ở chữ số tận cùng trước rồi mới xếp hai chữ số đầu; ý b) chọn ra bộ ba chữ số có tổng chia hết cho $3$ trước rồi mới xếp thứ tự.

Vậy a) có $10$ số chia hết cho $5$: $105;130;135;150;305;310;315;350;510;530$; b) có $10$ số chia hết cho $3$: $105;135;150;153;315;351;501;510;513;531$.

Định hướng. Trước tiên liệt kê toàn bộ số có $3$ chữ số khác nhau lập từ $4$ chữ số đã cho, sau đó lọc riêng theo từng dấu hiệu chia hết để đối chiếu với Cách 1.

Vậy kết quả trùng khớp với Cách 1: a) $10$ số chia hết cho $5$; b) $10$ số chia hết cho $3$.

Nhận xét. Cách 1 chọn trực tiếp nên nhanh hơn; Cách 2 liệt kê hết rồi lọc chậm hơn nhưng chắc chắn không bỏ sót số nào, dùng để kiểm tra lại Cách 1.

Định hướng. Mỗi thừa số $4$; $6$; $9$; $15$ đều chưa phải số nguyên tố, nên ta phân tích riêng từng thừa số rồi dùng công thức luỹ thừa để gộp các cơ số giống nhau.

Vậy $A=2^7\cdot 3^3$ và $B=3^6\cdot 5^2$.

Định hướng. Cách khác là tính hẳn giá trị của $A$, $B$ rồi chia liên tiếp cho các số nguyên tố tăng dần, dùng để kiểm tra lại kết quả luỹ thừa ở Cách 1.

Vậy kết quả trùng với Cách 1: $A=2^7\cdot 3^3$ ; $B=3^6\cdot 5^2$.

Nhận xét. Cách 1 dùng công thức luỹ thừa nên nhanh gọn; Cách 2 chia trực tiếp số lớn nên vất vả hơn nhưng thấy được toàn bộ phép chia để kiểm tra chắc chắn.

Định hướng. Cả hai ý đều đưa về việc nhận ra số đã cho ($100$ hoặc $18+90$) chia hết cho $4$ (hoặc $9$), từ đó suy ra ngay điều kiện của $x$.

Vậy a) $x\in \{0;4;8;12;16;20\}$; b) $x\in \{0;9;18\}$.

Định hướng. Ta thay từng giá trị $x$ vừa tìm được ở Cách 1 ngược lại biểu thức ban đầu, tính ra kết quả cụ thể để xác nhận kết quả đó thật sự chia hết cho $4$ (hoặc $9$).

Vậy mọi kết quả đều là bội của $4$ (ý a) hoặc bội của $9$ (ý b), khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 dùng tính chất chia hết nên nhanh và không bỏ sót giá trị; Cách 2 thay số trực tiếp giúp kiểm tra lại từng đáp số một cách chắc chắn.

Định hướng. Chia đều $40$ học sinh thành các nhóm nên số học sinh mỗi nhóm phải là ước của $40$; ta lọc lại các ước lớn hơn $3$, đồng thời phải còn từ hai nhóm trở lên.

Vậy mỗi nhóm có thể có $4$; $5$; $8$; $10$ hoặc $20$ học sinh.

Định hướng. Thay vì xét số người mỗi nhóm, ta xét số nhóm $k$ — cũng phải là một ước của $40$ và $k\ge 2$ — rồi suy ngược ra số người mỗi nhóm bằng phép chia $40:k$.

Vậy mỗi nhóm có thể có $20;10;8;5;4$ học sinh, cùng tập kết quả với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 duyệt trên số người mỗi nhóm, Cách 2 duyệt trên số nhóm — hai cách nhìn khác nhau nhưng cùng cho một đáp số, giúp kiểm tra chéo lẫn nhau.

Định hướng. Ta liệt kê hết các số nguyên tố nhỏ hơn $40$ rồi xét hiệu của hai số nguyên tố liền kề trong danh sách, giữ lại các cặp có hiệu đúng bằng $2$.

Vậy các cặp số nguyên tố sinh đôi nhỏ hơn $40$ là: $(3;5)$ ; $(5;7)$ ; $(11;13)$ ; $(17;19)$ ; $(29;31)$.

Định hướng. Ngược lại, ta duyệt trực tiếp từng cặp số lẻ hơn kém nhau $2$ đơn vị trong đoạn từ $3$ đến $39$, rồi kiểm tra xem cả hai số trong cặp có phải số nguyên tố hay không.

Vậy các cặp số nguyên tố sinh đôi nhỏ hơn $40$ là: $(3;5)$ ; $(5;7)$ ; $(11;13)$ ; $(17;19)$ ; $(29;31)$, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 tìm nguyên tố trước rồi mới ghép cặp nên gọn hơn; Cách 2 duyệt hết mọi cặp hơn kém $2$ đơn vị nên chắc chắn không bỏ sót, dùng để kiểm tra chéo Cách 1.