Chương II. Tính chia hết trong tập hợp các số tự nhiên

Luyện tập chung (trang 54–55)

SGK Toán 6 — Kết nối tri thức, tập 1 · 11 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Bài 1 · Vi du 1★★Trang 54— Tìm ước chung lớn nhất bằng cách phân tích ra thừa số nguyên tố

Ví dụ 1 (trang 54). Tìm ước chung lớn nhất của 60 và 90.

Kiến thức cần nhớ

Phân tích một số ra thừa số nguyên tố là viết số đó thành tích các thừa số nguyên tố.
ƯCLN của hai hay nhiều số là tích các thừa số nguyên tố chung, mỗi thừa số lấy với số mũ NHỎ NHẤT.

1Cách 1. Phân tích ra thừa số nguyên tố

Định hướng. 60 và 90 đều phân tích được gọn ra thừa số nguyên tố, nên chọn thừa số chung với số mũ nhỏ nhất là tìm được ƯCLN.

60 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5

90 = 2 \cdot 3^{2} \cdot 5

Thừa số nguyên tố chung:

2

;

3

;

5

ƯCLN(60; 90)

= 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30

Vậy ƯCLN(60; 90) = 30.

2Cách 2. Thuật toán Euclid (chia liên tiếp)

Định hướng. Không cần phân tích ra thừa số nguyên tố: lấy số lớn chia số nhỏ, rồi lặp lại phép chia với số dư cho đến khi dư bằng 0, số chia cuối cùng chính là ƯCLN.

90 = 60 \cdot 1 + 30

60 = 30 \cdot 2 + 0

ƯCLN(60; 90)

= 30

Vậy ƯCLN(60; 90) = 30.

Nhận xét. Cách 2 không cần phân tích thừa số nguyên tố nên rất tiện khi số quá lớn để phân tích nhanh.

Đáp số. ƯCLN(60; 90) = 30

Sai lầm thường gặp. Chỉ nhân một thừa số chung rồi dừng lại (ví dụ quên nhân thêm 5), hoặc lấy số mũ lớn nhất thay vì nhỏ nhất khi thừa số chung xuất hiện với số mũ khác nhau.

Nguồn: SGK Toán 6 — KNTT, tập 1, trang 54

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Vi du 2★★Trang 54— Tìm số chia lớn nhất qua ƯCLN của ba số

Ví dụ 2 (trang 54). Tìm số tự nhiên

a

lớn nhất sao cho

18 ⋮ a

45 ⋮ a

và

135 ⋮ a

Kiến thức cần nhớ

Số $a$ lớn nhất mà 18, 45, 135 đều chia hết cho $a$ chính là ƯCLN(18; 45; 135).
Với nhiều số, ƯCLN là tích các thừa số nguyên tố chung của TẤT CẢ các số, mỗi thừa số lấy số mũ nhỏ nhất.

1Cách 1. Phân tích ra thừa số nguyên tố

Định hướng. Ba số 18, 45, 135 đều chia hết cho $a$ , mà $a$ cần lớn nhất, nên $a$ chính là ƯCLN của cả ba số; phân tích từng số ra thừa số nguyên tố để tìm thừa số chung.

18 = 2 \cdot 3^{2}

45 = 3^{2} \cdot 5

135 = 3^{3} \cdot 5

Thừa số nguyên tố chung của cả ba số: chỉ có

3

, số mũ nhỏ nhất là

2

ƯCLN(18; 45; 135)

= 3^{2} = 9

Vậy $a = 9$ .

2Cách 2. Liệt kê tập ước của số nhỏ nhất rồi chọn ước chung lớn nhất

Định hướng. Vì 18 là số nhỏ nhất trong ba số nên ước của 18 không nhiều; liệt kê hết ước của 18 rồi kiểm tra ước nào cũng là ước của 45 và của 135.

Ư(18) = {1; 2; 3; 6; 9; 18}

45 = 9 \cdot 5

nên 9 là ước của 45

135 = 9 \cdot 15

nên 9 là ước của 135
18 không là ước của 45

Vậy trong các ước của 18, số lớn nhất vừa là ước của 45 vừa là ước của 135 là 9, tức $a = 9$ .

Nhận xét. Cách 2 chỉ cần liệt kê ước của số bé nhất nên nhanh khi số này nhỏ; Cách 1 vẫn dùng tốt dù cả ba số đều lớn.

Đáp số. a = 9

Sai lầm thường gặp. Nhầm giữa BCNN và ƯCLN, đi tìm bội chung nhỏ nhất thay vì ước chung lớn nhất; hoặc quên xét thừa số 3 chung ở cả ba số mà chỉ so hai số đầu.

Nguồn: SGK Toán 6 — KNTT, tập 1, trang 54

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Vi du 3★★★Trang 54— Bài toán thực tế đưa về tìm BCNN của ba số

Ví dụ 3 (trang 54). Có ba loại đèn trang trí, chúng phát sáng cùng lúc vào 6 giờ sáng. Đèn thứ nhất cứ 6 giây phát sáng một lần, đèn thứ hai cứ 8 giây phát sáng một lần và đèn thứ ba cứ 10 giây phát sáng một lần. Hỏi khi nào thì ba đèn cùng phát sáng lần tiếp theo?

Kiến thức cần nhớ

Thời điểm ba sự kiện tuần hoàn lặp lại cùng lúc chính là BCNN của các chu kì.
BCNN của nhiều số là tích các thừa số nguyên tố chung và riêng, mỗi thừa số lấy số mũ LỚN NHẤT.

1Cách 1. Phân tích ra thừa số nguyên tố

Định hướng. Ba đèn lại cùng sáng khi thời gian trôi qua là bội của cả ba chu kì 6 giây, 8 giây, 10 giây, nên thời điểm gần nhất chính là BCNN(6; 8; 10).

6 = 2 \cdot 3

8 = 2^{3}

10 = 2 \cdot 5

BCNN(6; 8; 10)

= 2^{3} \cdot 3 \cdot 5 = 120

120

giây

= 2

phút

Vậy sau 120 giây, tức vào lúc 6 giờ 2 phút, ba đèn lại cùng phát sáng.

2Cách 2. Ghép BCNN dần từng cặp nhờ công thức tích

Định hướng. Có thể tìm BCNN của ba số bằng cách ghép dần từng cặp: tìm BCNN(6; 8) trước, rồi tìm BCNN của kết quả đó với 10, không cần phân tích cả ba số cùng lúc.

ƯCLN(6; 8)

= 2

nên BCNN(6; 8)

= \frac{6 \cdot 8}{2} = 24

ƯCLN(24; 10)

= 2

nên BCNN(24; 10)

= \frac{24 \cdot 10}{2} = 120

120

giây

= 2

phút

Vậy sau 120 giây, tức vào lúc 6 giờ 2 phút, ba đèn lại cùng phát sáng.

Nhận xét. Cách 2 chỉ cần thuộc công thức ƯCLN nhân BCNN bằng tích hai số, không phải phân tích riêng cả ba số 6, 8, 10 cùng lúc.

Đáp số. Sau 120 giây (2 phút), tức vào lúc 6 giờ 2 phút, ba đèn cùng phát sáng lần tiếp theo.

Sai lầm thường gặp. Cộng dồn

6 + 8 + 10 = 24

giây rồi coi đó là đáp số, nhầm phép cộng với việc tìm bội chung nhỏ nhất.

Nguồn: SGK Toán 6 — KNTT, tập 1, trang 54

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 2.45★★Trang 55— Bảng số — kiểm chứng đẳng thức ƯCLN · BCNN = a · b

Bài 2.45 (trang 55). Cho bảng sau:

a	9	34	120	15	2 987
b	12	51	70	28	1
ƯCLN(a; b)	3	?	?	?	?
BCNN(a; b)	36	?	?	?	?
ƯCLN(a; b) · BCNN(a; b)	108	?	?	?	?
a · b	108	?	?	?	?

a) Tìm các số thích hợp thay vào ô trống của bảng;
b) So sánh tích ƯCLN(a; b) · BCNN(a; b) và a · b. Em rút ra kết luận gì?

Kiến thức cần nhớ

Với hai số tự nhiên a, b khác 0, luôn có ƯCLN(a; b) · BCNN(a; b) = a · b.
Nhờ đẳng thức trên, biết ƯCLN có thể suy ra BCNN (và ngược lại) mà không cần phân tích lại từ đầu.

1Cách 1. Phân tích a, b ra thừa số nguyên tố

Định hướng. Với mỗi cột còn thiếu, phân tích cả a và b ra thừa số nguyên tố; ƯCLN lấy thừa số chung với số mũ nhỏ nhất, BCNN lấy thừa số chung và riêng với số mũ lớn nhất, rồi so sánh với tích a · b.

34 = 2 \cdot 17

51 = 3 \cdot 17

: ƯCLN

= 17

, BCNN

= \frac{34 \cdot 51}{17} = 102

120 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 5

70 = 2 \cdot 5 \cdot 7

: ƯCLN

= 2 \cdot 5 = 10

, BCNN

= \frac{120 \cdot 70}{10} = 840

15 = 3 \cdot 5

28 = 2^{2} \cdot 7

: ƯCLN

= 1

, BCNN

= 15 \cdot 28 = 420

ƯCLN(2987; 1)

= 1

, BCNN(2987; 1)

= 2987

Vậy bảng được điền đầy đủ; ở mọi cột đều có ƯCLN(a; b) · BCNN(a; b) = a · b.

2Cách 2. Dùng thuật toán Euclid tìm ƯCLN rồi suy ra BCNN

Định hướng. Không cần phân tích a, b ra thừa số nguyên tố: chia liên tiếp để tìm ƯCLN, sau đó suy ra BCNN từ đẳng thức ƯCLN(a; b) · BCNN(a; b) = a · b.

51 = 34 \cdot 1 + 17

;

34 = 17 \cdot 2 + 0

nên ƯCLN(34; 51)

= 17

, BCNN

= \frac{34 \cdot 51}{17} = 102

120 = 70 \cdot 1 + 50

;

70 = 50 \cdot 1 + 20

;

50 = 20 \cdot 2 + 10

;

20 = 10 \cdot 2 + 0

nên ƯCLN(120; 70)

= 10

, BCNN

= \frac{120 \cdot 70}{10} = 840

28 = 15 \cdot 1 + 13

;

15 = 13 \cdot 1 + 2

;

13 = 2 \cdot 6 + 1

;

2 = 1 \cdot 2 + 0

nên ƯCLN(15; 28)

= 1

, BCNN

= 15 \cdot 28 = 420

ƯCLN(2987; 1)

= 1

, BCNN(2987; 1)

= 2987 \cdot 1 = 2987

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: ƯCLN(a; b) · BCNN(a; b) = a · b luôn đúng.

Nhận xét. Đẳng thức này đúng với mọi hai số tự nhiên khác 0, nên biết ba trong bốn đại lượng a, b, ƯCLN, BCNN thì suy ra ngay đại lượng còn lại.

Đáp số. Cột (34; 51): ƯCLN=17, BCNN=102, tích=1734=34·51. Cột (120; 70): ƯCLN=10, BCNN=840, tích=8400=120·70. Cột (15; 28): ƯCLN=1, BCNN=420, tích=420=15·28. Cột (2987; 1): ƯCLN=1, BCNN=2987, tích=2987. b) Luôn có ƯCLN(a; b) · BCNN(a; b) = a · b.

Sai lầm thường gặp. Tính đúng ƯCLN nhưng lấy nhầm BCNN bằng thương a : ƯCLN(a; b) thay vì (a · b) : ƯCLN(a; b); hoặc quên rằng cột cuối (2987; 1) vẫn phải theo đúng quy tắc dù b = 1.

Nguồn: SGK Toán 6 — KNTT, tập 1, trang 55

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 2.46★★Trang 55— Tìm ƯCLN, BCNN khi các số đã phân tích sẵn ra thừa số nguyên tố

Bài 2.46 (trang 55). Tìm ƯCLN và BCNN của:
a)

3 \cdot 5^{2}

và

5^{2} \cdot 7

;
b)

2^{2} \cdot 3 \cdot 5

;

3^{2} \cdot 7

và

3 \cdot 5 \cdot 11

Kiến thức cần nhớ

Khi các số đã cho dưới dạng phân tích ra thừa số nguyên tố, ƯCLN lấy thừa số chung với số mũ nhỏ nhất, BCNN lấy thừa số chung và riêng với số mũ lớn nhất.
Thừa số không xuất hiện ở một số nào đó thì coi như vắng mặt, không được đưa vào ƯCLN.

1Cách 1. Xét từng thừa số nguyên tố, so sánh số mũ

Định hướng. a) Hai số $3 \cdot 5^{2}$ và $5^{2} \cdot 7$ chỉ có đúng một thừa số chung là 5. b) Ba số chỉ có đúng thừa số 3 xuất hiện ở CẢ BA số, còn BCNN thì gom đủ mọi thừa số của cả ba số với số mũ lớn nhất.

3 \cdot 5^{2} = 75

;

5^{2} \cdot 7 = 175

a) Thừa số chung:

5

với số mũ nhỏ nhất

2

nên ƯCLN

= 5^{2} = 25

a) BCNN

= 3 \cdot 5^{2} \cdot 7 = 525

b) Thừa số

3

có mặt ở cả ba số với số mũ nhỏ nhất

1

nên ƯCLN

= 3

b) Số mũ lớn nhất của từng thừa số:

2^{2}

;

3^{2}

;

5

;

7

;

11

b) BCNN

= 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 = 13860

Vậy a) ƯCLN $= 25$ , BCNN $= 525$ . b) ƯCLN $= 3$ , BCNN $= 13860$ .

2Cách 2. Kiểm tra lại bằng phép chia

Định hướng. Kiểm tra lại kết quả Cách 1 bằng cách chia BCNN vừa tìm cho từng số ban đầu; nếu mọi phép chia đều hết thì kết quả đúng.

525 : 75 = 7

(chia hết) ;

525 : 175 = 3

(chia hết)
a)

75 \cdot 175 = 13125 = 25 \cdot 525

(đúng đẳng thức ƯCLN · BCNN = tích)
b)

13860 : 60 = 231

(chia hết)
b)

13860 : 63 = 220

(chia hết)
b)

13860 : 165 = 84

(chia hết)

Vậy cả hai kết quả ở Cách 1 đều được xác nhận đúng.

Nhận xét. Cách 2 không tự tìm ra kết quả mà dùng để kiểm tra lại Cách 1, rất hữu ích khi làm bài thi.

Đáp số. a) ƯCLN = 25, BCNN = 525. b) ƯCLN = 3, BCNN = 13860.

Sai lầm thường gặp. Ở câu b) lấy thêm thừa số 2, 5, 7 hoặc 11 vào ƯCLN dù thừa số đó không có mặt ở cả ba số; hoặc khi tính BCNN lại lấy số mũ nhỏ nhất thay vì lớn nhất.

Nguồn: SGK Toán 6 — KNTT, tập 1, trang 55

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 2.47★Trang 55— Nhận biết phân số tối giản và rút gọn

Bài 2.47 (trang 55). Các phân số sau đã tối giản chưa? Nếu chưa, hãy rút gọn về phân số tối giản.
a)

\frac{15}{17}

;
b)

\frac{70}{105}

Kiến thức cần nhớ

Phân số tối giản là phân số mà tử và mẫu chỉ có ước chung là 1, tức ƯCLN(tử; mẫu) = 1.
Muốn rút gọn một phân số về dạng tối giản, chia cả tử và mẫu cho ƯCLN của chúng.

1Cách 1. Tìm ƯCLN của tử và mẫu

Định hướng. Một phân số tối giản khi và chỉ khi ƯCLN của tử và mẫu bằng 1, nên chỉ cần tính ƯCLN rồi so sánh với 1.

17

là số nguyên tố,

15

không chia hết cho

17

nên ƯCLN(15; 17)

= 1

70 = 2 \cdot 5 \cdot 7

;

105 = 3 \cdot 5 \cdot 7

nên ƯCLN(70; 105)

= 5 \cdot 7 = 35

\frac{70}{105} = \frac{70 : 35}{105 : 35} = \frac{2}{3}

Vậy a) $\frac{15}{17}$ đã tối giản. b) $\frac{70}{105}$ chưa tối giản, rút gọn được $\frac{2}{3}$ .

2Cách 2. Thử lần lượt các số nguyên tố nhỏ

Định hướng. Không cần phân tích đầy đủ ra thừa số nguyên tố, chỉ cần thử xem tử và mẫu có cùng chia hết cho 2, 3, 5, 7, … hay không.

15

chia hết cho

3

và

5

, còn

17

thì không chia hết cho cả hai số đó
b)

70

và

105

đều chia hết cho

5

70 : 5 = 14

;

105 : 5 = 21

14

và

21

đều chia hết cho

7

14 : 7 = 2

;

21 : 7 = 3

\frac{70}{105} = \frac{2}{3}

Vậy a) $\frac{15}{17}$ tối giản. b) $\frac{70}{105} = \frac{2}{3}$ .

Nhận xét. Cách 2 rút gọn dần từng bước nên không cần nhớ trước ƯCLN, nhưng phải thử đủ số nguyên tố nhỏ để không bỏ sót thừa số chung.

Đáp số. a) 15/17 đã tối giản. b) 70/105 = 2/3.

Sai lầm thường gặp. Thấy 70 và 105 cùng chia hết cho 5 rồi dừng lại ở 14/21 và coi đó là kết quả cuối, quên rằng 14 và 21 vẫn còn chia hết cho 7.

Nguồn: SGK Toán 6 — KNTT, tập 1, trang 55

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 2.48★★★Trang 55— Bài toán thực tế đưa về tìm BCNN của hai số

Bài 2.48 (trang 55). Hai vận động viên chạy xung quanh một sân vận động. Hai vận động viên xuất phát tại cùng một thời điểm, cùng vị trí và chạy cùng chiều. Vận động viên thứ nhất chạy một vòng sân hết 360 giây, vận động viên thứ hai chạy một vòng sân mất 420 giây. Hỏi sau bao nhiêu phút họ gặp lại nhau, biết tốc độ di chuyển của họ không đổi?

Kiến thức cần nhớ

Hai chuyển động tuần hoàn xuất phát cùng lúc, cùng chỗ sẽ cùng trở về đúng vị trí xuất phát tại các thời điểm là bội chung của hai chu kì.
Thời điểm gần nhất họ cùng có mặt lại ở vạch xuất phát chính là BCNN của hai chu kì.

1Cách 1. Phân tích ra thừa số nguyên tố

Định hướng. Hai vận động viên cùng trở lại vạch xuất phát vào các thời điểm là bội chung của 360 giây và 420 giây, nên thời điểm gần nhất là BCNN(360; 420).

360 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5

420 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7

BCNN(360; 420)

= 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5 \cdot 7 = 2520

2520

giây

= 42

phút

Vậy sau 42 phút, hai vận động viên gặp lại nhau tại vạch xuất phát.

2Cách 2. Dùng ƯCLN rồi suy ra BCNN theo công thức tích

Định hướng. Tìm ƯCLN(360; 420) bằng thuật toán Euclid trước, rồi suy ra BCNN từ đẳng thức ƯCLN nhân BCNN bằng tích hai số, không cần phân tích cả hai số ra thừa số nguyên tố.

420 = 360 \cdot 1 + 60

360 = 60 \cdot 6 + 0

ƯCLN(360; 420)

= 60

BCNN(360; 420)

= \frac{360 \cdot 420}{60} = 2520

2520

giây

= 42

phút

Vậy sau 42 phút, hai vận động viên gặp lại nhau tại vạch xuất phát.

Nhận xét. Cách 2 nhanh hơn khi số đã cho khó phân tích ngay ra thừa số nguyên tố.

Đáp số. Sau 2520 giây, tức 42 phút, hai vận động viên gặp lại nhau.

Sai lầm thường gặp. Lấy ƯCLN(360; 420) = 60 giây rồi coi đó là đáp số, nhầm thời điểm gặp lại nhau (cần bội chung) với ước chung.

Nguồn: SGK Toán 6 — KNTT, tập 1, trang 55

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 2.49★★Trang 55— Quy đồng mẫu số dựa trên BCNN

Bài 2.49 (trang 55). Quy đồng mẫu các phân số sau:
a)

\frac{4}{9}

và

\frac{7}{15}

;
b)

\frac{5}{12}

\frac{7}{15}

và

\frac{4}{27}

Kiến thức cần nhớ

Quy đồng mẫu nhiều phân số là biến đổi chúng thành các phân số có cùng một mẫu, mẫu chung thường chọn là BCNN của các mẫu.
Nhân cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số khác 0 thì được phân số bằng phân số ban đầu.

1Cách 1. Chọn mẫu chung là BCNN rồi nhân cả tử và mẫu

Định hướng. Chọn mẫu chung nhỏ nhất là BCNN của các mẫu đã cho, rồi nhân cả tử và mẫu mỗi phân số với lượng còn thiếu để đưa về mẫu chung đó.

9 = 3^{2}

;

15 = 3 \cdot 5

nên BCNN(9; 15)

= 3^{2} \cdot 5 = 45

\frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 5}{9 \cdot 5} = \frac{20}{45}

\frac{7}{15} = \frac{7 \cdot 3}{15 \cdot 3} = \frac{21}{45}

12 = 2^{2} \cdot 3

;

15 = 3 \cdot 5

;

27 = 3^{3}

nên BCNN(12; 15; 27)

= 2^{2} \cdot 3^{3} \cdot 5 = 540

\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 45}{12 \cdot 45} = \frac{225}{540}

\frac{7}{15} = \frac{7 \cdot 36}{15 \cdot 36} = \frac{252}{540}

\frac{4}{27} = \frac{4 \cdot 20}{27 \cdot 20} = \frac{80}{540}

Vậy a) $\frac{4}{9} = \frac{20}{45}$ và $\frac{7}{15} = \frac{21}{45}$ . b) $\frac{5}{12} = \frac{225}{540}$ , $\frac{7}{15} = \frac{252}{540}$ , $\frac{4}{27} = \frac{80}{540}$ .

2Cách 2. Kiểm tra lại bằng cách rút gọn ngược

Định hướng. Sau khi quy đồng, rút gọn từng phân số mới về dạng ban đầu để chắc chắn phép quy đồng không làm sai giá trị phân số.

a) ƯCLN(20; 45)

= 5

nên

\frac{20 : 5}{45 : 5} = \frac{4}{9}

a) ƯCLN(21; 45)

= 3

nên

\frac{21 : 3}{45 : 3} = \frac{7}{15}

b) ƯCLN(225; 540)

= 45

nên

\frac{225 : 45}{540 : 45} = \frac{5}{12}

b) ƯCLN(252; 540)

= 36

nên

\frac{252 : 36}{540 : 36} = \frac{7}{15}

b) ƯCLN(80; 540)

= 20

nên

\frac{80 : 20}{540 : 20} = \frac{4}{27}

Vậy cả năm phân số quy đồng đều rút gọn về đúng phân số ban đầu, khớp Cách 1.

Nhận xét. Rút gọn ngược là cách kiểm tra nhanh và chắc chắn nhất sau khi quy đồng, tránh nhân nhầm khi tìm lượng còn thiếu.

Đáp số. a) 4/9 = 20/45 ; 7/15 = 21/45. b) 5/12 = 225/540 ; 7/15 = 252/540 ; 4/27 = 80/540.

Sai lầm thường gặp. Chọn mẫu chung không phải là bội chung của tất cả các mẫu (ví dụ chỉ lấy tích hai mẫu đầu mà quên mẫu thứ ba), hoặc nhân tử mà quên nhân mẫu (hay ngược lại).

Nguồn: SGK Toán 6 — KNTT, tập 1, trang 55

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 2.50★★★Trang 55— Bài toán thực tế đưa về tìm ƯCLN của ba số

Bài 2.50 (trang 55). Từ ba tấm gỗ có độ dài là 56 dm, 48 dm và 40 dm, bác thợ mộc muốn cắt thành các thanh gỗ có độ dài như nhau mà không để thừa mẩu gỗ nào. Hỏi bác cắt như thế nào để được các thanh gỗ có độ dài lớn nhất có thể?

Kiến thức cần nhớ

Độ dài lớn nhất để cắt vừa hết nhiều tấm gỗ có độ dài khác nhau thành các thanh bằng nhau (không thừa) chính là ƯCLN của các độ dài đó.
Số thanh cắt được từ mỗi tấm gỗ bằng độ dài tấm gỗ đó chia cho độ dài mỗi thanh.

1Cách 1. Phân tích ra thừa số nguyên tố

Định hướng. Thanh gỗ dài nhất có thể mà không để thừa mẩu nào chính là ƯCLN của ba độ dài 56, 48, 40; phân tích từng số ra thừa số nguyên tố để tìm ƯCLN đó.

56 = 2^{3} \cdot 7

48 = 2^{4} \cdot 3

40 = 2^{3} \cdot 5

Thừa số chung của cả ba số: chỉ có

2

, số mũ nhỏ nhất là

3

ƯCLN(56; 48; 40)

= 2^{3} = 8

56 : 8 = 7

;

48 : 8 = 6

;

40 : 8 = 5

Vậy bác thợ cắt mỗi thanh dài 8 dm; tấm 56 dm được 7 thanh, tấm 48 dm được 6 thanh, tấm 40 dm được 5 thanh.

2Cách 2. Thử dần độ dài từ lớn xuống, kiểm tra chia hết cả ba tấm

Định hướng. Độ dài mỗi thanh phải là ước chung của 56, 48, 40; thử lần lượt các ước lớn của tấm ngắn nhất (40 dm) từ lớn xuống nhỏ đến khi tìm được ước chia hết cả ba tấm.

Ước của

40

xếp từ lớn:

40

;

20

;

10

;

8

;

5

; …

56 : 40

có dư nên loại

40

56 : 20

có dư nên loại

20

56 : 10

có dư nên loại

10

56 : 8 = 7

;

48 : 8 = 6

;

40 : 8 = 5

(cả ba đều chia hết)

Vậy độ dài lớn nhất thoả cả ba tấm là 8 dm, khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 phải thử theo đúng thứ tự từ lớn xuống nhỏ mới chắc chắn tìm ra ngay ước chung lớn nhất ở lần thử đúng đầu tiên.

Đáp số. Mỗi thanh dài 8 dm; tấm 56 dm cắt được 7 thanh, tấm 48 dm cắt được 6 thanh, tấm 40 dm cắt được 5 thanh.

Sai lầm thường gặp. Tìm BCNN thay vì ƯCLN nên ra một số lớn hơn cả ba tấm gỗ, không thể cắt được; hoặc chỉ kiểm tra hai trong ba tấm rồi kết luận vội.

Nguồn: SGK Toán 6 — KNTT, tập 1, trang 55

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 2.51★★★Trang 55— Bài toán thực tế đưa về tìm bội chung nhỏ nhất thoả điều kiện

Bài 2.51 (trang 55). Học sinh lớp 6A khi xếp thành hàng 2, hàng 3, hàng 7 đều vừa đủ hàng. Hỏi số học sinh lớp 6A là bao nhiêu, biết rằng số học sinh nhỏ hơn 45?

Kiến thức cần nhớ

Số học sinh xếp vừa đủ hàng 2, hàng 3, hàng 7 nghĩa là số đó chia hết cho cả 2, 3 và 7, tức là bội chung của 2; 3; 7.
Trong các bội chung, số thoả thêm điều kiện của đề bài thường chỉ ứng với đúng một giá trị.

1Cách 1. Tìm BCNN(2; 3; 7) rồi liệt kê bội nhỏ hơn 45

Định hướng. Sĩ số lớp 6A phải chia hết cho cả 2, 3, 7 nên là bội chung của ba số này; tìm BCNN rồi xét bội nào của nó còn nhỏ hơn 45.

2

;

3

;

7

đôi một không có thừa số nguyên tố chung
BCNN(2; 3; 7)

= 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42

Các bội của

42

42

;

84

;

126

; …
Trong các bội đó, chỉ có

42 < 45

Vậy sĩ số lớp 6A là 42 học sinh.

2Cách 2. Thử trực tiếp các số nhỏ hơn 45 chia hết cho cả 2, 3, 7

Định hướng. Vì đề đã giới hạn sĩ số nhỏ hơn 45, có thể thử trực tiếp từng bội của 7 rồi kiểm tra tiếp chia hết cho 2 và cho 3.

Bội của

7

nhỏ hơn

45

7

;

14

;

21

;

28

;

35

;

42

Trong các số đó, số chia hết cho

2

14

;

28

;

42

Trong các số đó, số chia hết thêm cho

3

: chỉ có

42

Vậy sĩ số lớp 6A là 42 học sinh, khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 phù hợp khi đề đã giới hạn nhỏ nên số cần thử không nhiều; Cách 1 vẫn là cách tổng quát khi giới hạn lớn hơn nhiều.

Đáp số. Lớp 6A có 42 học sinh.

Sai lầm thường gặp. Chỉ xét chia hết cho hai trong ba số 2, 3, 7 rồi kết luận vội, ví dụ chọn số 14 (chia hết 2 và 7) nhưng quên kiểm tra chia hết cho 3.

Nguồn: SGK Toán 6 — KNTT, tập 1, trang 55

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 2.52★★★★Trang 55— Tìm số còn lại khi biết ƯCLN, BCNN và một số

Bài 2.52 (trang 55). Hai số có BCNN là

2^{3} \cdot 3 \cdot 5^{3}

và ƯCLN là

2^{2} \cdot 5

. Biết một trong hai số bằng

2^{2} \cdot 3 \cdot 5

, tìm số còn lại.

Kiến thức cần nhớ

Với hai số tự nhiên a, b khác 0, luôn có ƯCLN(a; b) · BCNN(a; b) = a · b.
Với mỗi thừa số nguyên tố, số mũ ở ƯCLN là số mũ nhỏ hơn giữa hai số, số mũ ở BCNN là số mũ lớn hơn giữa hai số.

1Cách 1. Dùng đẳng thức ƯCLN · BCNN = a · b

Định hướng. Vì tích của ƯCLN và BCNN luôn bằng tích hai số ban đầu, nên số còn lại bằng tích đó chia cho số đã biết.

ƯCLN

\cdot

BCNN

= 2^{2} \cdot 5 \cdot 2^{3} \cdot 3 \cdot 5^{3} = 2^{5} \cdot 3 \cdot 5^{4}

a = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5

b = \frac{2 ^{5} \cdot 3 \cdot 5 ^{4}}{2 ^{2} \cdot 3 \cdot 5} = 2^{3} \cdot 5^{3}

b = 8 \cdot 125 = 1000

Vậy số còn lại là $b = 1000$ .

2Cách 2. Xét riêng từng thừa số nguyên tố theo quy tắc số mũ

Định hướng. Với mỗi thừa số nguyên tố, số mũ ở ƯCLN là số mũ nhỏ hơn giữa hai số, số mũ ở BCNN là số mũ lớn hơn; so sánh với số mũ đã biết của $a$ để suy ra số mũ tương ứng của $b$ .

Thừa số

2

: ƯCLN có mũ

2

, BCNN có mũ

3

;

a

có mũ

2

(bằng ƯCLN) nên

b

có mũ

3

(bằng BCNN)
Thừa số

3

: ƯCLN có mũ

0

, BCNN có mũ

1

;

a

có mũ

1

(bằng BCNN) nên

b

có mũ

0

(bằng ƯCLN)
Thừa số

5

: ƯCLN có mũ

1

, BCNN có mũ

3

;

a

có mũ

1

(bằng ƯCLN) nên

b

có mũ

3

(bằng BCNN)

b = 2^{3} \cdot 5^{3} = 1000

Vậy số còn lại là $b = 1000$ , khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 xét trực tiếp từng thừa số nguyên tố, không cần nhân chia số lớn, giúp kiểm tra chéo lại Cách 1 rất nhanh.

Đáp số. Số còn lại là b = 2³ · 5³ = 1000.

Sai lầm thường gặp. Cộng hoặc trừ số mũ một cách máy móc thay vì đối chiếu đúng quy tắc số mũ nhỏ hơn (ƯCLN) — số mũ lớn hơn (BCNN); hoặc quên rằng thừa số 3 phải có số mũ 0 ở b vì a đã giữ trọn số mũ lớn nhất của thừa số này.

Nguồn: SGK Toán 6 — KNTT, tập 1, trang 55

Mở bài này trong app ↗