Bài 1 · 8.19★★Trang 57— Đếm số đường thẳng, tia, đoạn thẳng tạo bởi một số điểm không thẳng hàng
8.19 (trang 57). Cho bốn điểm phân biệt A, B, C và D, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. a) Có bao nhiêu đường thẳng đi qua hai trong bốn điểm đã cho? Kể tên các đường thẳng đó. b) Có bao nhiêu tia với gốc là một trong bốn điểm đã cho và đi qua một trong ba điểm còn lại? Đó là những tia nào? c) Có bao nhiêu đoạn thẳng có hai mút là hai trong bốn điểm đã cho? Đó là những đoạn thẳng nào?
Kiến thức cần nhớ
Qua hai điểm phân biệt luôn có một và chỉ một đường thẳng.
Đoạn thẳng AB và đoạn thẳng BA là một, nhưng tia AB và tia BA là hai tia khác nhau (khác gốc, khác hướng).
Quy tắc đếm: n điểm không có ba điểm nào thẳng hàng thì có đúng C(n,2) = n(n-1)/2 đường thẳng (hoặc đoạn thẳng) và n(n-1) tia.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho "không có ba điểm nào thẳng hàng" — dấu hiệu để mỗi cặp điểm luôn xác định một đường thẳng riêng, không có đường nào trùng nhau. Đường thẳng và đoạn thẳng không phân biệt thứ tự hai điểm (AB và BA là một), còn tia thì có gốc nên AB và BA là hai tia khác nhau — đây chính là chỗ dễ nhầm nhất khi đếm câu b.
1Cách 1. Liệt kê trực tiếp bằng cách vẽ hình rồi đếm
Định hướng. Vẽ bốn điểm A, B, C, D như hình, lần lượt nối từng cặp điểm và ghi lại tên để không sót, không đếm trùng.
a) Nối lần lượt: AB, AC, AD, BC, BD, CD Không có đường nào trùng vì không có ba điểm thẳng hàng b) Từ mỗi điểm kẻ tia tới ba điểm còn lại: từ A: AB, AC, AD; từ B: BA, BC, BD; từ C: CA, CB, CD; từ D: DA, DB, DC c) Đoạn thẳng có hai mút là hai trong bốn điểm, giống danh sách ở câu a: AB, AC, AD, BC, BD, CD
Vậy có 6 đường thẳng (AB, AC, AD, BC, BD, CD), 12 tia (AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC) và 6 đoạn thẳng (AB, AC, AD, BC, BD, CD).
2Cách 2. Dùng quy tắc đếm (tổ hợp cho đường/đoạn thẳng, chỉnh hợp cho tia)
Định hướng. Đường thẳng và đoạn thẳng không phân biệt thứ tự hai điểm nên đếm bằng tổ hợp chọn 2 trong 4 điểm; tia phân biệt gốc nên đếm bằng chỉnh hợp (có thứ tự).
a) Số đường thẳng = C(4,2) = (4 . 3) : 2 = 6 b) Số tia = 4 . 3 = 12 (mỗi điểm là gốc, có 3 cách chọn điểm tia đi qua) c) Số đoạn thẳng = C(4,2) = 6, cùng danh sách với câu a
Vậy có 6 đường thẳng, 12 tia và 6 đoạn thẳng, đúng bằng Cách 1.
3Cách 3. Đếm bằng quy nạp — thêm dần từng điểm một
Định hướng. Hình dung vẽ lần lượt A, rồi B, rồi C, rồi D; mỗi điểm mới thêm vào tạo thêm đúng một đường thẳng nối với mỗi điểm đã có trước đó.
Điểm A: chưa có đường nào Thêm B: có thêm 1 đường AB Thêm C: có thêm 2 đường AC, BC Thêm D: có thêm 3 đường AD, BD, CD Tổng số đường thẳng = 1 + 2 + 3 = 6
Vậy có 6 đường thẳng (cũng là 6 đoạn thẳng); còn tia thì mỗi điểm trong 4 điểm đều là gốc của 3 tia (tới 3 điểm còn lại) nên có 4 . 3 = 12 tia, khớp hai cách trên.
Nhận xét. Cách quy nạp 1 + 2 + 3 = 6 chính là cách chứng minh công thức C(n,2) = 1 + 2 + … + (n-1) dùng ở Cách 2.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2: áp dụng thẳng công thức đếm C(4,2) và 4 . 3, ít bước và không sợ liệt kê sót hay đếm trùng như Cách 1.
Đáp số.a) 6 đường thẳng: AB, AC, AD, BC, BD, CD. b) 12 tia: AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC. c) 6 đoạn thẳng: AB, AC, AD, BC, BD, CD.
Sai lầm thường gặp.Nhầm tia AB và tia BA là một (quên tia có gốc và có hướng), dẫn tới đếm tia chỉ ra 6 thay vì 12; hoặc liệt kê thiếu/đếm trùng khi không có quy tắc rõ ràng.
🚀 Mở rộng.Nếu có n điểm phân biệt, không có ba điểm nào thẳng hàng, thì số đường thẳng (đoạn thẳng) là C(n,2) = n(n-1)/2 và số tia là n(n-1); với n = 5 sẽ có 10 đường thẳng và 20 tia.
Bài 2 · 8.20★★★Trang 57— Đếm số đường thẳng khi có ba điểm cùng thuộc một đường thẳng; tìm giao điểm để ba điểm thẳng hàng
8.20 (trang 57). Cho ba điểm A, B, C cùng nằm trên đường thẳng d sao cho B nằm giữa A và C. Hai điểm D và E không thuộc d và không cùng thẳng hàng với điểm nào trong các điểm A, B và C. a) Có bao nhiêu đường thẳng, mỗi đường thẳng đi qua ít nhất hai trong năm điểm đã cho? b) Tìm trên đường thẳng d điểm G sao cho ba điểm D, E, G thẳng hàng. Có phải khi nào cũng tìm được điểm G như thế hay không?
Kiến thức cần nhớ
Nếu ba điểm cùng thuộc một đường thẳng thì mọi cặp điểm trong ba điểm đó đều xác định cùng một đường thẳng duy nhất.
Hai đường thẳng phân biệt không song song thì cắt nhau tại đúng một điểm; nếu song song thì không có điểm chung.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho "A, B, C cùng nằm trên đường thẳng d" — dấu hiệu ba cặp điểm AB, BC, AC chỉ cho ra CÙNG MỘT đường thẳng, khác hẳn tình huống "không ba điểm nào thẳng hàng" ở bài 8.19. Vì vậy phải đếm số đường thẳng bằng cách trừ bớt phần trùng, không được áp dụng thẳng công thức C(5,2). Câu b) là bài toán tìm giao điểm: ba điểm D, E, G thẳng hàng nghĩa là G phải nằm trên đường thẳng DE, mà G lại bắt buộc nằm trên d, nên G chính là giao điểm của DE và d — bẫy ở chỗ giao điểm này không phải lúc nào cũng tồn tại.
1Cách 1. Liệt kê trực tiếp trên hình vẽ
Định hướng. Vẽ hình rồi kể tên từng đường thẳng đi qua ít nhất hai trong năm điểm, chú ý A, B, C chỉ cho một đường thẳng chung.
a) Đường thẳng d (chứa cả A, B, C, chỉ tính 1 lần) Đường thẳng DE Bốn đường nối D hoặc E với từng điểm A, B, C: AD, BD, CD, AE, BE, CE Tổng = 1 + 1 + 6 = 8 b) Kẻ đường thẳng DE, nó cắt d tại một điểm — gọi điểm đó là G
Vậy a) có 8 đường thẳng; b) G là giao điểm của đường thẳng DE với d.
2Cách 2. Đếm bằng công thức tổ hợp rồi trừ phần trùng
Định hướng. Nếu 5 điểm không có ba điểm nào thẳng hàng thì có C(5,2) đường thẳng; nhưng A, B, C thẳng hàng nên ba cặp AB, BC, AC bị trùng thành một đường, phải trừ bớt phần dư.
Số cặp điểm: C(5,2) = (5 . 4) : 2 = 10 Ba cặp AB, BC, AC lẽ ra cho 3 đường nhưng chỉ tính 1 đường d Số đường thẳng = 10 - (3 - 1) = 10 - 2 = 8
Vậy có 8 đường thẳng, khớp với Cách 1.
3Cách 3. Phân loại theo nhóm rồi cộng lại
Định hướng. Chia các đường thẳng cần đếm thành ba nhóm tách biệt, không nhóm nào trùng nhóm nào, rồi cộng số đường của từng nhóm.
Nhóm 1 (ba điểm A, B, C thẳng hàng): 1 đường thẳng d Nhóm 2 (hai điểm D, E): 1 đường thẳng DE Nhóm 3 (một điểm thuộc {A, B, C}, một điểm thuộc {D, E}): 3 . 2 = 6 đường Tổng = 1 + 1 + 6 = 8
Vậy a) có 8 đường thẳng.
Nhận xét. Với câu b), vì D và E không thuộc d nên đường thẳng DE và đường thẳng d là hai đường phân biệt; chúng cắt nhau tại đúng một điểm G khi DE không song song với d. Nếu DE song song với d thì không có điểm chung, tức KHÔNG PHẢI lúc nào cũng tìm được G.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 3: chia nhóm rõ ràng, không phải nhớ công thức trừ phức tạp như Cách 2 và không sợ liệt kê sót như Cách 1.
Đáp số.a) 8 đường thẳng. b) G là giao điểm của đường thẳng DE với đường thẳng d; không phải lúc nào cũng tìm được G, vì nếu DE song song với d thì DE và d không có điểm chung.
Sai lầm thường gặp.Áp dụng thẳng công thức C(5,2) = 10 mà quên trừ phần trùng do A, B, C thẳng hàng; hoặc khẳng định chắc chắn luôn tìm được G mà không xét trường hợp DE song song với d.
🚀 Mở rộng.Nếu trên d có k điểm thẳng hàng (thay vì 3) và còn m điểm khác không thẳng hàng với chúng, số đường thẳng tổng quát là 1 + C(m,2) + km.
Bài 3 · 8.21★★★Trang 57— Điểm trên hai tia đối nhau — tính độ dài đoạn thẳng và trung điểm
8.21 (trang 57). Cho điểm M trên tia Om sao cho OM = 5 cm. Gọi N là điểm trên tia đối của tia Om và cách O một khoảng bằng 7 cm. a) Vẽ hình và tính độ dài đoạn thẳng MN. b) Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng MN. Tính độ dài các đoạn thẳng MK và OK. c) Điểm K thuộc tia nào trong hai tia OM và ON?
Kiến thức cần nhớ
Nếu N thuộc tia đối của tia Om thì O nằm giữa M và N, do đó MN = OM + ON.
Trung điểm K của đoạn thẳng MN chia MN thành hai đoạn bằng nhau: MK = NK = MN : 2.
Khi đặt trục số với gốc O, các điểm cùng phía O có toạ độ cùng dấu; khoảng cách giữa hai điểm bằng trị tuyệt đối hiệu hai toạ độ.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho "N trên tia đối của tia Om" — dấu hiệu O nằm giữa M và N, nên MN tính bằng tổng OM + ON chứ không phải hiệu. Dùng trục số đặt O làm gốc, tia Om là chiều dương, là cách an toàn nhất để không nhầm thứ tự các điểm N, K, O, M — đặc biệt K là trung điểm MN nhưng KHÔNG trùng O vì OM ≠ ON.
1Cách 1. Suy luận trực tiếp từ hình vẽ (cộng đoạn thẳng)
Định hướng. M và N nằm trên hai tia đối nhau gốc O nên O nằm giữa M và N; từ đó MN = OM + ON, còn K là trung điểm MN nên tính MK = MN : 2 rồi suy ra OK từ vị trí K so với O.
a) O nằm giữa M và N nên MN = OM + ON MN = 5 + 7 = 12 (cm) b) K là trung điểm MN nên MK = MN : 2 MK = 12 : 2 = 6 (cm) Vì K nằm giữa O và N (do MK = 6 cm > OM = 5 cm nên K ở phía N kể từ O) nên MO + OK = MK OK = MK - OM = 6 - 5 = 1 (cm)
Vậy a) MN = 12 cm; b) MK = 6 cm, OK = 1 cm.
2Cách 2. Đặt trục số với gốc O
Định hướng. Chọn O làm gốc, chiều dương là chiều tia Om; gán toạ độ cho từng điểm rồi tính khoảng cách bằng hiệu toạ độ.
Toạ độ: O = 0; M = 5 (vì M thuộc tia Om, OM = 5) N = -7 (vì N thuộc tia đối, ON = 7) a) MN = |5 - (-7)| = 12 (cm) b) K là trung điểm MN có toạ độ K = (5 + (-7)) : 2 = -1 MK = |5 - (-1)| = 6 (cm) OK = |0 - (-1)| = 1 (cm)
Vậy MN = 12 cm, MK = 6 cm, OK = 1 cm, khớp với Cách 1.
3Cách 3. Dùng công thức trung điểm rồi so sánh vị trí
Định hướng. Áp dụng công thức trung điểm cho MN, sau đó xác định K thuộc đoạn nào (OM hay ON) bằng cách so sánh MK với OM.
MN = OM + ON = 5 + 7 = 12 (cm) MK = NK = MN : 2 = 12 : 2 = 6 (cm) So sánh: MK = 6 cm > OM = 5 cm nên K nằm ngoài đoạn OM, về phía O trên đoạn ON OK = MK - OM = 6 - 5 = 1 (cm)
Vậy MK = 6 cm, OK = 1 cm.
Nhận xét. Vì OK = 1 cm < ON = 7 cm nên K nằm giữa O và N, tức K thuộc tia ON.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2 (đặt trục số): gán toạ độ một lần rồi tính bằng hiệu, tránh phải xét "K nằm giữa ai với ai" bằng lời như Cách 1 nên khó sai hơn.
Đáp số.a) MN = 12 cm. b) MK = 6 cm, OK = 1 cm. c) K thuộc tia ON.
Sai lầm thường gặp.Tính MN = ON - OM = 2 cm do quên O nằm giữa M và N (M, N ở hai phía O); hoặc tính OK = OM + MK = 11 cm do nhầm K nằm cùng phía M so với O.
🚀 Mở rộng.Nếu đổi ON = a (a > OM), làm tương tự sẽ luôn có MN = OM + a, K là trung điểm MN, và K thuộc tia ON khi MN : 2 > OM (tức a > OM), thuộc tia OM khi a < OM.
Bài 4 · 8.22★★Trang 57— Hai điểm cùng nằm trên một tia — tính khoảng cách từ gốc đến trung điểm
8.22 (trang 57). Cho hai điểm phân biệt A và B cùng nằm trên tia Ox sao cho OA = 4 cm, OB = 6 cm. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Tính độ dài đoạn thẳng OM.
Kiến thức cần nhớ
Trên một tia, nếu OA < OB thì A nằm giữa O và B.
Trung điểm M của đoạn AB thoả AM = MB = AB : 2.
Khi A nằm giữa O và B, ta có OM = OA + AM.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho A, B cùng nằm trên tia Ox với OA < OB — dấu hiệu A nằm giữa O và B, nên M (trung điểm AB) cũng nằm giữa O và B. Vì thứ tự các điểm trên tia là O, A, M, B, có thể tính OM bằng cách cộng dồn từng đoạn nhỏ hoặc dùng ngay công thức trung điểm với hai đầu mút OA, OB.
1Cách 1. Tính AB rồi cộng dồn từ O
Định hướng. Vì A nằm giữa O và B nên trước hết tính AB = OB - OA, rồi tìm AM là nửa AB, cuối cùng cộng OA với AM để ra OM.
A nằm giữa O và B nên AB = OB - OA AB = 6 - 4 = 2 (cm) M là trung điểm AB nên AM = AB : 2 AM = 2 : 2 = 1 (cm) A nằm giữa O và M nên OM = OA + AM OM = 4 + 1 = 5 (cm)
Vậy OM = 5 cm.
2Cách 2. Dùng công thức trung điểm trực tiếp
Định hướng. Vì A nằm giữa O và B nên trung điểm M của AB cũng chính là điểm cách đều O và B; khoảng cách OM bằng trung bình cộng của OA và OB.
Định hướng. Gán toạ độ các điểm trên tia Ox theo khoảng cách tới O, rồi tính toạ độ trung điểm M và suy ra OM.
Toạ độ: O = 0; A = 4; B = 6 Toạ độ M = (4 + 6) : 2 = 5 OM = |5 - 0| = 5 (cm)
Vậy OM = 5 cm.
Nhận xét. Vì OA = 4 cm < OM = 5 cm < OB = 6 cm nên đúng như hình vẽ, thứ tự các điểm trên tia là O, A, M, B.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2: công thức OM = (OA + OB) : 2 áp dụng ngay khi A nằm giữa O và B, chỉ một dòng tính, nhanh hơn hẳn Cách 1.
Đáp số.OM = 5 cm.
Sai lầm thường gặp.Tính nhầm OM = OB - AM = 6 - 1 = 5 cm nhưng lại đặt sai vai trò các điểm; hoặc quên A nằm giữa O, B nên tính AB = OA + OB = 10 cm (sai dấu).
🚀 Mở rộng.Nếu đổi thành OA = a, OB = b với a < b (A, B cùng trên tia Ox), luôn có OM = (a + b) : 2, không phụ thuộc việc a, b là số cụ thể nào.
Bài 5 · 8.23★Trang 57— Liệt kê các bộ ba điểm thẳng hàng khi biết nhiều điểm cùng nằm trên một đường thẳng
8.23 (trang 57). Trong hình vẽ dưới đây, em hãy liệt kê tất cả các bộ ba điểm thẳng hàng. (Hình vẽ: đường thẳng a đi qua bốn điểm A, C, N, B theo đúng thứ tự đó.)
Kiến thức cần nhớ
Nếu nhiều điểm cùng nằm trên một đường thẳng thì mọi bộ ba điểm lấy trong số đó đều là ba điểm thẳng hàng.
🧠 Phân tích tư duy
Hình cho biết cả bốn điểm A, C, N, B đều nằm trên cùng đường thẳng a — dấu hiệu để nhận ra MỌI cách chọn ba điểm trong bốn điểm này đều là bộ ba thẳng hàng, không cần xét thêm điều kiện gì khác. Chỉ cần liệt kê đủ, không sót, không lặp.
1Cách 1. Liệt kê trực tiếp theo thứ tự trên hình
Định hướng. Nhìn hình, cả bốn điểm A, C, N, B đều thuộc đường thẳng a, nên lần lượt chọn từng bộ ba trong bốn điểm và ghi lại.
Bỏ lần lượt một điểm trong bốn điểm A, C, N, B, giữ lại ba điểm còn lại: Bỏ B, giữ A, C, N Bỏ N, giữ A, C, B Bỏ C, giữ A, N, B Bỏ A, giữ C, N, B
Vậy có 4 bộ ba điểm thẳng hàng: (A, C, N); (A, C, B); (A, N, B); (C, N, B).
2Cách 2. Đếm bằng công thức tổ hợp rồi liệt kê theo công thức
Định hướng. Vì bốn điểm đều thẳng hàng, số bộ ba điểm thẳng hàng chính là số cách chọn 3 điểm trong 4 điểm, tính bằng tổ hợp C(4,3).
Số bộ ba điểm thẳng hàng = C(4,3) = C(4,1) (vì chọn 3 trong 4 cũng là bỏ ra 1 trong 4) = 4
Vậy có đúng 4 bộ ba điểm thẳng hàng, trùng khớp Cách 1: (A, C, N); (A, C, B); (A, N, B); (C, N, B).
3Cách 3. Liệt kê theo thứ tự chữ cái trong bảng (chống sót, chống trùng)
Định hướng. Xếp bốn điểm theo đúng thứ tự A, C, N, B như trên hình rồi duyệt tuần tự các bộ ba liên tiếp trong bảng liệt kê để chắc chắn không bỏ sót và không đếm trùng.
Danh sách bốn điểm theo thứ tự: A, C, N, B Các bộ ba lấy theo thứ tự đó: (A, C, N); (A, C, B); (A, N, B); (C, N, B) Kiểm tra: không còn tổ hợp nào khác vì đã dùng hết 4 điểm
Vậy có 4 bộ ba điểm thẳng hàng: (A, C, N); (A, C, B); (A, N, B); (C, N, B), khớp hai cách trên.
Nhận xét. Cả bốn bộ ba đều thẳng hàng vì tất cả bốn điểm A, C, N, B cùng thuộc đường thẳng a — không cần kiểm tra riêng từng bộ ba bằng thước.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2 (công thức C(4,3) = 4): khẳng định ngay số lượng bộ ba trước khi liệt kê, tránh đếm thiếu hoặc đếm thừa khi hình có nhiều điểm hơn.
Đáp số.Có 4 bộ ba điểm thẳng hàng: (A, C, N); (A, C, B); (A, N, B); (C, N, B).
Sai lầm thường gặp.Chỉ liệt kê 1–2 bộ ba rồi dừng lại vì nghĩ chỉ cần nêu ví dụ, quên yêu cầu "liệt kê tất cả"; hoặc liệt kê trùng một bộ ba hai lần với thứ tự chữ khác nhau (ví dụ viết cả (A, C, N) và (N, C, A)).
🚀 Mở rộng.Nếu đường thẳng a có n điểm cùng nằm trên nó (n ≥ 3), số bộ ba điểm thẳng hàng lấy từ n điểm đó là C(n,3) = n(n-1)(n-2) : 6.
Bài 6 · 8.24★★★★Trang 57— Dựng hình 7 điểm và 6 đường thẳng ba điểm bằng tam giác, trung điểm và trọng tâm
8.24 (trang 57). Em hãy vẽ 7 điểm trên một tờ giấy trắng sao cho có thể kẻ được 6 đường thẳng mà mỗi đường thẳng đều đi qua 3 trong 7 điểm đó.
Kiến thức cần nhớ
Trung điểm của một cạnh cùng nằm trên đường thẳng chứa cạnh đó với hai đỉnh của cạnh — mỗi cạnh tam giác cho 1 đường thẳng ba điểm.
Ba đường trung tuyến của một tam giác luôn đồng quy tại một điểm gọi là trọng tâm; mỗi trung tuyến (đỉnh – trọng tâm – trung điểm cạnh đối diện) là một đường thẳng ba điểm.
🧠 Phân tích tư duy
Yêu cầu "6 đường thẳng, mỗi đường qua đúng 3 trong 7 điểm" là dấu hiệu của một cấu hình đặc biệt chứ không thể vẽ tuỳ ý: 7 điểm và 6 đường phải khớp một tính chất hình học đã học (trung điểm, trọng tâm). Hướng an toàn nhất là dùng một tam giác cùng ba trung điểm cạnh (tạo ra 3 đường là 3 cạnh) và trọng tâm (tạo thêm 3 đường là 3 trung tuyến) — vì trọng tâm luôn thẳng hàng với một đỉnh và trung điểm cạnh đối diện, đây chính là chỗ dễ bỏ sót nếu không nhớ tính chất trung tuyến.
1Cách 1. Dựng trực tiếp bằng tam giác, trung điểm và trọng tâm
Định hướng. Vẽ một tam giác bất kì, lấy trung điểm ba cạnh và trọng tâm — đúng 7 điểm, sau đó kiểm đếm lại 6 đường thẳng ba điểm.
Vẽ tam giác ABC (3 điểm) Lấy D, E, F lần lượt là trung điểm BC, CA, AB (thêm 3 điểm, tổng 6 điểm) Lấy G là trọng tâm — giao điểm ba trung tuyến AD, BE, CF (thêm 1 điểm, tổng 7 điểm) Ba đường thẳng chứa cạnh: (A, F, B), (B, D, C), (C, E, A) Ba đường thẳng chứa trung tuyến: (A, G, D), (B, G, E), (C, G, F) Tổng cộng: 3 + 3 = 6 (đường thẳng)
Vậy hình gồm 7 điểm A, B, C, D, E, F, G và đúng 6 đường thẳng, mỗi đường qua 3 điểm.
2Cách 2. Chứng minh bằng tính chất trọng tâm chia trung tuyến theo tỉ số 2 : 1
Định hướng. Thay vì chỉ vẽ và quan sát, dùng tính chất đã biết "trọng tâm chia mỗi trung tuyến theo tỉ số 2 : 1 tính từ đỉnh" để khẳng định chắc chắn ba điểm A, G, D thẳng hàng (và tương tự cho B, G, E và C, G, F) mà không cần đo đạc.
D, E, F là trung điểm BC, CA, AB nên A, F, B; B, D, C; C, E, A hiển nhiên thẳng hàng (định nghĩa trung điểm) G là giao điểm hai trung tuyến AD và BE nên theo tính chất trọng tâm: G nằm trên cả AD và BE Suy ra A, G, D thẳng hàng và B, G, E thẳng hàng Trung tuyến thứ ba CF cũng đi qua G (ba trung tuyến đồng quy) nên C, G, F thẳng hàng
Vậy cả 6 bộ ba (A, F, B), (B, D, C), (C, E, A), (A, G, D), (B, G, E), (C, G, F) đều thẳng hàng, đúng 6 đường thẳng ba điểm.
3Cách 3. Toạ độ hoá để kiểm chứng bằng tính toán
Định hướng. Gán toạ độ cho ba đỉnh tam giác trên lưới ô vuông, tính toạ độ trung điểm và trọng tâm bằng công thức, rồi kiểm tra ba điểm thẳng hàng bằng tính toán thay vì chỉ nhìn hình.
Chọn A(280; 60), B(80; 320), C(480; 320) trên lưới ô vuông D = trung điểm BC = (280; 320); E = trung điểm CA = (380; 190); F = trung điểm AB = (180; 190) G = trọng tâm = ((280+80+480):3; (60+320+320):3) = (280; 233) Kiểm tra A, G, D: cả ba điểm có cùng hoành độ 280 nên thẳng hàng (cùng nằm trên đường thẳng đứng) Kiểm tra B, G, E và C, G, F bằng hệ số góc: hai đoạn BG và GE có cùng hệ số góc nên B, G, E thẳng hàng; tương tự C, G, F thẳng hàng
Vậy bằng tính toán toạ độ, cả 6 bộ ba đều thẳng hàng — xác nhận đúng cấu hình 7 điểm, 6 đường thẳng.
Nhận xét. Cách dựng này đúng với MỌI tam giác (không cần tam giác đều), vì tính chất trung điểm và trọng tâm không phụ thuộc hình dạng tam giác.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: vẽ trực tiếp tam giác cùng ba trung điểm và trọng tâm là cách nhanh nhất để tạo ra hình, Cách 2 và Cách 3 dùng để giải thích/kiểm chứng vì sao hình đó đúng yêu cầu.
Đáp số.7 điểm là ba đỉnh A, B, C của một tam giác, ba trung điểm D, E, F của ba cạnh BC, CA, AB và trọng tâm G; 6 đường thẳng ba điểm là (A, F, B), (B, D, C), (C, E, A), (A, G, D), (B, G, E), (C, G, F).
Sai lầm thường gặp.Vẽ 7 điểm rải rác không theo cấu trúc nào rồi cố kẻ đủ 6 đường, dễ bị thừa/thiếu điểm trên mỗi đường; hoặc quên trọng tâm phải là giao điểm CẢ BA trung tuyến (không phải chỉ hai) nên vẽ G sai vị trí, làm trung tuyến thứ ba không đi qua G.
🚀 Mở rộng.Đây là một ví dụ nhỏ của bài toán cấu hình điểm–đường thẳng (configuration) trong hình học tổ hợp; cấu hình 7 điểm – 6 đường ba điểm dựa trên tam giác và trọng tâm này còn được gọi là hình đơn giản nhất minh hoạ tính đồng quy của ba trung tuyến.
