Luyện tập chung (trang 57)

Định hướng. Vẽ bốn điểm A, B, C, D như hình, lần lượt nối từng cặp điểm và ghi lại tên để không sót, không đếm trùng.

Vậy có 6 đường thẳng (AB, AC, AD, BC, BD, CD), 12 tia (AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC) và 6 đoạn thẳng (AB, AC, AD, BC, BD, CD).

Định hướng. Đường thẳng và đoạn thẳng không phân biệt thứ tự hai điểm nên đếm bằng tổ hợp chọn 2 trong 4 điểm; tia phân biệt gốc nên đếm bằng chỉnh hợp (có thứ tự).

Vậy có 6 đường thẳng, 12 tia và 6 đoạn thẳng, đúng bằng Cách 1.

Định hướng. Hình dung vẽ lần lượt A, rồi B, rồi C, rồi D; mỗi điểm mới thêm vào tạo thêm đúng một đường thẳng nối với mỗi điểm đã có trước đó.

Vậy có 6 đường thẳng (cũng là 6 đoạn thẳng); còn tia thì mỗi điểm trong 4 điểm đều là gốc của 3 tia (tới 3 điểm còn lại) nên có 4 . 3 = 12 tia, khớp hai cách trên.

Nhận xét. Cách quy nạp 1 + 2 + 3 = 6 chính là cách chứng minh công thức C(n,2) = 1 + 2 + … + (n-1) dùng ở Cách 2.

Định hướng. Vẽ hình rồi kể tên từng đường thẳng đi qua ít nhất hai trong năm điểm, chú ý A, B, C chỉ cho một đường thẳng chung.

Vậy a) có 8 đường thẳng; b) G là giao điểm của đường thẳng DE với d.

Định hướng. Nếu 5 điểm không có ba điểm nào thẳng hàng thì có C(5,2) đường thẳng; nhưng A, B, C thẳng hàng nên ba cặp AB, BC, AC bị trùng thành một đường, phải trừ bớt phần dư.

Vậy có 8 đường thẳng, khớp với Cách 1.

Định hướng. Chia các đường thẳng cần đếm thành ba nhóm tách biệt, không nhóm nào trùng nhóm nào, rồi cộng số đường của từng nhóm.

Vậy a) có 8 đường thẳng.

Nhận xét. Với câu b), vì D và E không thuộc d nên đường thẳng DE và đường thẳng d là hai đường phân biệt; chúng cắt nhau tại đúng một điểm G khi DE không song song với d. Nếu DE song song với d thì không có điểm chung, tức KHÔNG PHẢI lúc nào cũng tìm được G.

Định hướng. M và N nằm trên hai tia đối nhau gốc O nên O nằm giữa M và N; từ đó MN = OM + ON, còn K là trung điểm MN nên tính MK = MN : 2 rồi suy ra OK từ vị trí K so với O.

Vậy a) MN = 12 cm; b) MK = 6 cm, OK = 1 cm.

Định hướng. Chọn O làm gốc, chiều dương là chiều tia Om; gán toạ độ cho từng điểm rồi tính khoảng cách bằng hiệu toạ độ.

Vậy MN = 12 cm, MK = 6 cm, OK = 1 cm, khớp với Cách 1.

Định hướng. Áp dụng công thức trung điểm cho MN, sau đó xác định K thuộc đoạn nào (OM hay ON) bằng cách so sánh MK với OM.

Vậy MK = 6 cm, OK = 1 cm.

Nhận xét. Vì OK = 1 cm < ON = 7 cm nên K nằm giữa O và N, tức K thuộc tia ON.

Định hướng. Vì A nằm giữa O và B nên trước hết tính AB = OB - OA, rồi tìm AM là nửa AB, cuối cùng cộng OA với AM để ra OM.

Vậy OM = 5 cm.

Định hướng. Vì A nằm giữa O và B nên trung điểm M của AB cũng chính là điểm cách đều O và B; khoảng cách OM bằng trung bình cộng của OA và OB.

Vậy OM = 5 cm, khớp với Cách 1.

Định hướng. Gán toạ độ các điểm trên tia Ox theo khoảng cách tới O, rồi tính toạ độ trung điểm M và suy ra OM.

Vậy OM = 5 cm.

Nhận xét. Vì OA = 4 cm < OM = 5 cm < OB = 6 cm nên đúng như hình vẽ, thứ tự các điểm trên tia là O, A, M, B.

Định hướng. Nhìn hình, cả bốn điểm A, C, N, B đều thuộc đường thẳng a, nên lần lượt chọn từng bộ ba trong bốn điểm và ghi lại.

Vậy có 4 bộ ba điểm thẳng hàng: (A, C, N); (A, C, B); (A, N, B); (C, N, B).

Định hướng. Vì bốn điểm đều thẳng hàng, số bộ ba điểm thẳng hàng chính là số cách chọn 3 điểm trong 4 điểm, tính bằng tổ hợp C(4,3).

Vậy có đúng 4 bộ ba điểm thẳng hàng, trùng khớp Cách 1: (A, C, N); (A, C, B); (A, N, B); (C, N, B).

Định hướng. Xếp bốn điểm theo đúng thứ tự A, C, N, B như trên hình rồi duyệt tuần tự các bộ ba liên tiếp trong bảng liệt kê để chắc chắn không bỏ sót và không đếm trùng.

Vậy có 4 bộ ba điểm thẳng hàng: (A, C, N); (A, C, B); (A, N, B); (C, N, B), khớp hai cách trên.

Nhận xét. Cả bốn bộ ba đều thẳng hàng vì tất cả bốn điểm A, C, N, B cùng thuộc đường thẳng a — không cần kiểm tra riêng từng bộ ba bằng thước.

Định hướng. Vẽ một tam giác bất kì, lấy trung điểm ba cạnh và trọng tâm — đúng 7 điểm, sau đó kiểm đếm lại 6 đường thẳng ba điểm.

Vậy hình gồm 7 điểm A, B, C, D, E, F, G và đúng 6 đường thẳng, mỗi đường qua 3 điểm.

Định hướng. Thay vì chỉ vẽ và quan sát, dùng tính chất đã biết "trọng tâm chia mỗi trung tuyến theo tỉ số 2 : 1 tính từ đỉnh" để khẳng định chắc chắn ba điểm A, G, D thẳng hàng (và tương tự cho B, G, E và C, G, F) mà không cần đo đạc.

Vậy cả 6 bộ ba (A, F, B), (B, D, C), (C, E, A), (A, G, D), (B, G, E), (C, G, F) đều thẳng hàng, đúng 6 đường thẳng ba điểm.

Định hướng. Gán toạ độ cho ba đỉnh tam giác trên lưới ô vuông, tính toạ độ trung điểm và trọng tâm bằng công thức, rồi kiểm tra ba điểm thẳng hàng bằng tính toán thay vì chỉ nhìn hình.

Vậy bằng tính toán toạ độ, cả 6 bộ ba đều thẳng hàng — xác nhận đúng cấu hình 7 điểm, 6 đường thẳng.

Nhận xét. Cách dựng này đúng với MỌI tam giác (không cần tam giác đều), vì tính chất trung điểm và trọng tâm không phụ thuộc hình dạng tam giác.