Luyện tập chung (trang 69)

Định hướng. Bỏ ngoặc tròn trước theo quy tắc dấu ngoặc, rồi rút gọn hẳn giá trị trong ngoặc vuông trước khi trừ.

Vậy $A=-70$.

Định hướng. Thay vì rút gọn từng ngoặc, viết $A$ thành một tổng đại số rồi gom tất cả số hạng dương về một nhóm, số hạng âm về một nhóm.

Vậy $A=-70$.

Nhận xét. Cách 1 bám sát quy tắc dấu ngoặc học ngay trước bài này; Cách 2 quy về một tổng đại số rồi gom số dương, số âm, thuận lợi khi biểu thức có rất nhiều dấu ngoặc lồng nhau.

Định hướng. Bốn số hạng chia thành hai cặp có khoảng chênh lệch bằng nhau: $283$ với $83$, $286$ với $86$; ghép mỗi cặp lại để hiệu ra số tròn.

Vậy $283-286-83+86=0$.

Định hướng. Một cách nhóm khác là gom hết các số hạng mang dấu dương lại với nhau, các số hạng mang dấu âm lại với nhau, rồi mới trừ hai tổng.

Vậy $283-286-83+86=0$.

Nhận xét. Hai cách nhóm khác nhau vẫn cho cùng kết quả $0$; nhóm theo dấu ở Cách 2 luôn dùng được mà không cần tìm cặp số gần nhau như Cách 1.

Định hướng. Kính cận và kính lão có tác dụng ngược nhau, nên khi đã quy ước một loại mang dấu dương thì loại còn lại bắt buộc mang dấu âm.

Vậy độ kính của Quang là $-1$ diop, độ kính của ông là $+2$ diop.

Định hướng. Chọn $0$ ứng với mắt không cần đeo kính, chiều dương là hướng kính lão (hội tụ); khi đó vị trí của từng loại kính trên trục số cho ngay dấu cần tìm.

Vậy Quang: $-1$ diop; ông của Quang: $+2$ diop.

Nhận xét. Cả hai cách cùng dựa trên một quy ước: kính cận âm, kính lão dương; Cách 2 gắn thêm hình ảnh trục số giúp không nhầm dấu khi gặp nhiều loại kính khác nhau trong cùng một bài.

Định hướng. Chỉ cần xác định $A$ ở phía nào của $O$ để chọn dấu, rồi ghép với khoảng cách $12$ đơn vị đã cho.

Vậy a) $A$ biểu diễn số $12$; b) $A$ biểu diễn số $-12$.

Định hướng. Nếu $A$ biểu diễn số $a$ thì khoảng cách $12$ đơn vị chính là $|a|=12$; chỉ có hai số nguyên thoả mãn là $12$ và $-12$, sau đó chọn dấu theo phía của $A$.

Vậy a) $A$ biểu diễn số $12$; b) $A$ biểu diễn số $-12$.

Nhận xét. Cách 2 cho thấy ngay vì sao đề chỉ có đúng hai đáp số: một khoảng cách $12$ đơn vị luôn ứng với đúng hai số đối nhau là $12$ và $-12$.

Định hướng. Điều kiện của $S$, $T$ chỉ đúng với hữu hạn số nguyên nên liệt kê hết ra rồi cộng lần lượt là làm được ngay.

Vậy tổng các phần tử của $S$ bằng $3$, tổng các phần tử của $T$ bằng $-20$.

Định hướng. Tập $S$ đối xứng gần quanh $0$ nên ghép từng cặp số đối cho triệt tiêu trước; tập $T$ toàn số âm nên gộp thành một tổng số dương rồi đặt dấu trừ chung.

Vậy tổng các phần tử của $S$ bằng $3$, tổng các phần tử của $T$ bằng $-20$.

Nhận xét. Cách 2 dùng cặp số đối cho tập $S$ đối xứng quanh $0$, còn với tập $T$ toàn số âm thì gộp lại thành một phép cộng các số dương rồi đặt dấu trừ chung, tránh cộng trừ xen kẽ dễ nhầm dấu.

Định hướng. Mỗi ngoặc là một biểu thức độc lập, tính gọn từng ngoặc thành một số rồi mới thực hiện phép trừ hoặc cộng ở ngoài.

Vậy a) biểu thức bằng $5$; b) biểu thức bằng $129$.

Định hướng. Bỏ ngoặc ngay từ đầu theo quy tắc dấu ngoặc rồi gom các số hạng thuận lợi cho việc cộng trừ, thay vì rút gọn từng ngoặc trước.

Vậy a) biểu thức bằng $5$; b) biểu thức bằng $129$.

Nhận xét. Cách 1 ít bước biến đổi hơn nên an toàn khi làm nhanh; Cách 2 bỏ ngoặc trước rồi nhóm lại cho ra những cặp số tròn, tiện khi số liệu lớn.

Định hướng. Thay giá trị $x$ vào biểu thức gốc, tính gọn trong ngoặc trước rồi mới trừ với $-314$.

Vậy a) biểu thức bằng $-414$ khi $x=25$; b) biểu thức bằng $-76$ khi $x=-313$.

Định hướng. Bỏ ngoặc ngay trong biểu thức ban đầu để đưa về dạng không còn ngoặc, sau đó chỉ còn phép cộng trừ đơn giản với $x$.

Vậy a) $-414$; b) $-76$.

Nhận xét. Cách 2 chỉ cần rút gọn biểu thức đúng một lần, sau đó thay bao nhiêu giá trị $x$ cũng nhanh, không phải tính lại từ đầu như Cách 1.

Định hướng. Ở ý a), $2834$ với $2833$ và $275$ với $265$ là những cặp gần nhau nên ghép lại cho hiệu tròn; ở ý b), mỗi số hạng của tổng sau trừ đúng một số hạng tương ứng của tổng trước.

Vậy a) $=11$; b) $=30$.

Định hướng. Thay vì ghép từng cặp, gom hẳn các số hạng mang dấu dương ở ý a), hoặc tính hẳn giá trị hai tổng trong ngoặc ở ý b), rồi mới trừ tổng với tổng.

Vậy a) $=11$; b) $=30$.

Nhận xét. Cách 1 lợi khi các số hạng ghép cặp cho ra số tròn; Cách 2 luôn dùng được kể cả khi không thấy cặp số nào gần nhau, chỉ cần cộng gộp theo dấu hoặc theo ngoặc có sẵn.

Định hướng. Ba hộp đang lệch nhau nên trước tiên tính tổng chung và tổng đích của mỗi hộp, từ đó xem hộp nào thiếu bao nhiêu, hộp nào thừa bấy nhiêu để tìm đúng miếng bìa cần chuyển.

Vậy chuyển miếng bìa ghi số $2$ từ hộp thứ ba sang hộp thứ nhất thì cả ba hộp đều có tổng bằng $4$.

Định hướng. Sau khi đoán miếng bìa cần chuyển, cách chắc chắn nhất là tính lại tổng của cả ba hộp mới và đối chiếu xem có bằng nhau không.

Vậy cả ba hộp đều có tổng bằng $4$, đúng như yêu cầu của đề bài.

Nhận xét. Cách 1 tính hiệu để tìm ra đúng miếng bìa cần chuyển, còn Cách 2 chỉ kiểm tra lại phương án đã chọn; nên dùng cả hai: Cách 1 để tìm, Cách 2 để chắc chắn không sai.

Định hướng. Tập hợp cho từ $-25$ đến $25$ chứa đủ mọi số nguyên cùng số đối của nó, nên ghép cặp đối nhau là triệt tiêu gần hết, chỉ còn đúng một số $0$ lẻ loi.

Vậy Minh trả lời đúng: tổng của tất cả các số trong tập hợp đó bằng $0$.

Định hướng. Tách tập hợp thành phần số âm, số $0$ và số dương; tổng các số âm luôn là số đối của tổng các số dương nên cộng lại triệt tiêu ngay.

Vậy tổng bằng $0$, Minh trả lời đúng.

Nhận xét. Không cần tính cụ thể $1+2+\cdots +25$ bằng bao nhiêu, chỉ cần nhận ra tổng các số dương và tổng các số âm là hai số đối nhau thì tổng chung lập tức bằng $0$ — đây chính là mẹo Minh đã dùng để trả lời ngay.