Nhận xét. Cách 1 bám sát quy tắc dấu ngoặc học ngay trước bài này; Cách 2 quy về một tổng đại số rồi gom số dương, số âm, thuận lợi khi biểu thức có rất nhiều dấu ngoặc lồng nhau.
Đáp số.A=−70
Sai lầm thường gặp.Bỏ ngoặc mà quên đổi dấu số hạng trong ngoặc có dấu trừ đằng trước, dẫn tới các biến thể sai dấu như 25−115−315−105.
Bài 3 · 3.24★Trang 69— Dùng số nguyên âm/dương biểu diễn đại lượng thực tế
Bài 3.24 (trang 69). Dùng số nguyên âm hoặc số nguyên dương để diễn tả các thông tin sau: a) Khi đọc sách, bạn Quang thường đưa trang sách lại quá gần mắt. Bạn ấy đã phải mang kính cận 1 diop. b) Ông của bạn Quang đã già nên phải dùng kính lão 2 diop để đọc sách báo.
Kiến thức cần nhớ
Trong quang học, kính cận (thấu kính phân kì) được quy ước ghi độ bằng số nguyên âm, kính lão (thấu kính hội tụ) ghi độ bằng số nguyên dương.
Số nguyên âm dùng để diễn tả đại lượng ngược hướng hoặc đối lập với đại lượng đã chọn làm chuẩn dương.
1Cách 1. Đối chiếu trực tiếp với quy ước dấu của từng loại kính
Định hướng. Kính cận và kính lão có tác dụng ngược nhau, nên khi đã quy ước một loại mang dấu dương thì loại còn lại bắt buộc mang dấu âm.
a) Kính cận dùng thấu kính phân kì, độ kính mang dấu âm a) Độ kính của Quang: −1 (diop) b) Kính lão dùng thấu kính hội tụ, độ kính mang dấu dương b) Độ kính của ông: +2 (diop)
Vậy độ kính của Quang là −1 diop, độ kính của ông là +2 diop.
2Cách 2. Đặt lên trục số quy ước rồi đọc dấu theo phía
Định hướng. Chọn 0 ứng với mắt không cần đeo kính, chiều dương là hướng kính lão (hội tụ); khi đó vị trí của từng loại kính trên trục số cho ngay dấu cần tìm.
Chọn gốc 0: mắt không cần đeo kính Chiều dương: hướng kính lão (hội tụ) Quang đeo kính cận nên nằm phía âm: −1 (diop) Ông đeo kính lão nên nằm phía dương: +2 (diop)
Vậy Quang: −1 diop; ông của Quang: +2 diop.
Nhận xét. Cả hai cách cùng dựa trên một quy ước: kính cận âm, kính lão dương; Cách 2 gắn thêm hình ảnh trục số giúp không nhầm dấu khi gặp nhiều loại kính khác nhau trong cùng một bài.
Đáp số.Kính cận của Quang: −1 (diop) · Kính lão của ông: +2 (diop)
Sai lầm thường gặp.Ghi cả hai loại kính cùng dấu dương vì chỉ nhớ số đo mà quên quy ước dấu, hoặc đổi ngược dấu của hai loại kính cho nhau.
Bài 4 · 3.25★Trang 69— Biểu diễn điểm trên trục số theo khoảng cách đến gốc
Bài 3.25 (trang 69). Điểm A nằm trên trục số và cách gốc O một khoảng bằng 12 đơn vị (trục số nằm ngang và có chiều dương từ trái sang phải). Hỏi điểm A biểu diễn số nguyên nào nếu: a) A nằm ở bên phải gốc O; b) A nằm ở bên trái gốc O.
Kiến thức cần nhớ
Trên trục số nằm ngang có chiều dương từ trái sang phải, điểm nằm bên phải gốc O biểu diễn số dương, điểm nằm bên trái gốc O biểu diễn số âm.
Khoảng cách từ một điểm đến gốc O chính là giá trị tuyệt đối của số mà điểm đó biểu diễn.
1Cách 1. Dùng trực tiếp quy ước chiều dương, âm của trục số
Định hướng. Chỉ cần xác định A ở phía nào của O để chọn dấu, rồi ghép với khoảng cách 12 đơn vị đã cho.
a) A ở bên phải O nên A biểu diễn số dương a) A cách O đúng 12 đơn vị a) A biểu diễn số 12 b) A ở bên trái O nên A biểu diễn số âm b) A cách O đúng 12 đơn vị b) A biểu diễn số −12
Vậy a) A biểu diễn số 12; b) A biểu diễn số −12.
2Cách 2. Dùng giá trị tuyệt đối rồi chọn dấu theo phía
Định hướng. Nếu A biểu diễn số a thì khoảng cách 12 đơn vị chính là ∣a∣=12; chỉ có hai số nguyên thoả mãn là 12 và −12, sau đó chọn dấu theo phía của A.
∣a∣=12 nên a=12 hoặc a=−12 a) A ở bên phải O: chọn a=12 b) A ở bên trái O: chọn a=−12
Vậy a) A biểu diễn số 12; b) A biểu diễn số −12.
Nhận xét. Cách 2 cho thấy ngay vì sao đề chỉ có đúng hai đáp số: một khoảng cách 12 đơn vị luôn ứng với đúng hai số đối nhau là 12 và −12.
Đáp số.a) A biểu diễn số 12 · b) A biểu diễn số −12
Sai lầm thường gặp.Chỉ nêu một đáp số duy nhất mà quên rằng khoảng cách 12 đơn vị ứng với hai điểm khác nhau, một bên phải và một bên trái O.
Bài 5 · 3.26★★Trang 69— Liệt kê tập hợp số nguyên theo bất đẳng thức rồi tính tổng
Bài 3.26 (trang 69). Liệt kê các phần tử của tập hợp sau rồi tính tổng của chúng: a) S={x∈Z∣−3<x≤3}; b) T={x∈Z∣−7<x≤−2}.
Kiến thức cần nhớ
Với x∈Z, điều kiện a<x≤b nghĩa là liệt kê các số nguyên từ a+1 đến b (không lấy a, có lấy b).
Muốn tính nhanh tổng nhiều số nguyên liên tiếp, có thể ghép cặp đối nhau hoặc gộp theo dấu trước khi cộng phần còn lại.
1Cách 1. Liệt kê hết rồi cộng trực tiếp theo thứ tự
Định hướng. Điều kiện của S, T chỉ đúng với hữu hạn số nguyên nên liệt kê hết ra rồi cộng lần lượt là làm được ngay.
a) S={−2;−1;0;1;2;3} a) Tổng =−2−1+0+1+2+3 a) Tổng =3 b) T={−6;−5;−4;−3;−2} b) Tổng =−6−5−4−3−2 b) Tổng =−20
Vậy tổng các phần tử của S bằng 3, tổng các phần tử của T bằng −20.
2Cách 2. Ghép cặp số đối nhau hoặc gộp theo dấu
Định hướng. Tập S đối xứng gần quanh 0 nên ghép từng cặp số đối cho triệt tiêu trước; tập T toàn số âm nên gộp thành một tổng số dương rồi đặt dấu trừ chung.
a) S={−2;−1;0;1;2;3} a) (−2+2)+(−1+1)+0+3 a) Tổng =0+0+0+3=3 b) T={−6;−5;−4;−3;−2} gồm 5 số hạng b) Tổng =−(6+5+4+3+2) b) Tổng =−20
Vậy tổng các phần tử của S bằng 3, tổng các phần tử của T bằng −20.
Nhận xét. Cách 2 dùng cặp số đối cho tập S đối xứng quanh 0, còn với tập T toàn số âm thì gộp lại thành một phép cộng các số dương rồi đặt dấu trừ chung, tránh cộng trừ xen kẽ dễ nhầm dấu.
Đáp số.a) S={−2;−1;0;1;2;3}, tổng =3 · b) T={−6;−5;−4;−3;−2}, tổng =−20
Sai lầm thường gặp.Ở ý a) lấy nhầm cả x=−3 vì đọc "−3<x" thành "−3≤x". Ở ý b) cộng nhiều số âm liên tiếp mà quên đặt dấu trừ chung, ra kết quả dương.
Bài 8 · 3.29★★Trang 69— Tính hợp lí bằng cách nhóm các số hạng
Bài 3.29 (trang 69). Tính một cách hợp lí: a) 2834+275−2833−265; b) (11+12+13)−(1+2+3).
Kiến thức cần nhớ
Phép cộng các số nguyên có tính chất giao hoán, kết hợp nên được phép đổi chỗ, nhóm lại các số hạng.
Có thể ghép từng cặp số hạng gần nhau, hoặc gộp hẳn các số hạng cùng dấu, tuỳ theo biểu thức.
1Cách 1. Ghép cặp số hạng có giá trị gần nhau
Định hướng. Ở ý a), 2834 với 2833 và 275 với 265 là những cặp gần nhau nên ghép lại cho hiệu tròn; ở ý b), mỗi số hạng của tổng sau trừ đúng một số hạng tương ứng của tổng trước.
a) 2834+275−2833−265=(2834−2833)+(275−265) a) =1+10=11 b) (11+12+13)−(1+2+3)=(11−1)+(12−2)+(13−3) b) =10+10+10=30
Vậy a) =11; b) =30.
2Cách 2. Gộp hẳn các số hạng cùng dấu hoặc cùng ngoặc
Định hướng. Thay vì ghép từng cặp, gom hẳn các số hạng mang dấu dương ở ý a), hoặc tính hẳn giá trị hai tổng trong ngoặc ở ý b), rồi mới trừ tổng với tổng.
a) 2834+275=3109 a) 2833+265=3098 a) 2834+275−2833−265=3109−3098=11 b) 11+12+13=36 b) 1+2+3=6 b) 36−6=30
Vậy a) =11; b) =30.
Nhận xét. Cách 1 lợi khi các số hạng ghép cặp cho ra số tròn; Cách 2 luôn dùng được kể cả khi không thấy cặp số nào gần nhau, chỉ cần cộng gộp theo dấu hoặc theo ngoặc có sẵn.
Đáp số.a) 11 · b) 30
Sai lầm thường gặp.Trừ liên tiếp từ trái sang phải mà không nhóm, dễ cộng nhầm dấu ở số hạng thứ ba, thứ tư.
Bài 9 · 3.30★★★Trang 69— Toán thực tế: cân bằng tổng bằng cách chuyển phần tử
Bài 3.30 (trang 69). Có ba chiếc hộp đựng những miếng bìa. Trên mỗi miếng bìa có ghi một số: hộp thứ nhất có các số 6, −1, −3; hộp thứ hai có các số 5, −4, 3; hộp thứ ba có các số −5, 9, 2. Hãy chuyển một miếng bìa từ hộp này sang hộp khác sao cho tổng các số ghi trên các miếng bìa trong mỗi hộp đều bằng nhau.
Kiến thức cần nhớ
Muốn ba tổng bằng nhau, trước hết tính tổng chung rồi chia đều cho số hộp để biết mỗi hộp cần đạt bao nhiêu.
Khi chuyển một miếng bìa mang số v từ hộp này sang hộp khác, hộp mất đi v còn hộp nhận thêm v.
1Cách 1. Tính tổng đích rồi dò tìm miếng bìa cần chuyển
Định hướng. Ba hộp đang lệch nhau nên trước tiên tính tổng chung và tổng đích của mỗi hộp, từ đó xem hộp nào thiếu bao nhiêu, hộp nào thừa bấy nhiêu để tìm đúng miếng bìa cần chuyển.
Hộp 1: 6+(−1)+(−3)=2 Hộp 2: 5+(−4)+3=4 Hộp 3: (−5)+9+2=6 Tổng chung: 2+4+6=12 Tổng đích mỗi hộp: 12:3=4 Hộp 1 thiếu 4−2=2 ; Hộp 3 thừa 6−4=2 Chuyển miếng bìa số 2 từ Hộp 3 sang Hộp 1
Vậy chuyển miếng bìa ghi số 2 từ hộp thứ ba sang hộp thứ nhất thì cả ba hộp đều có tổng bằng 4.
2Cách 2. Thử chuyển rồi tính lại tổng ba hộp để kiểm tra
Định hướng. Sau khi đoán miếng bìa cần chuyển, cách chắc chắn nhất là tính lại tổng của cả ba hộp mới và đối chiếu xem có bằng nhau không.
Chuyển số 2 từ Hộp 3 sang Hộp 1 Hộp 1 mới: 6+(−1)+(−3)+2=4 Hộp 2 giữ nguyên: 5+(−4)+3=4 Hộp 3 mới: (−5)+9=4
Vậy cả ba hộp đều có tổng bằng 4, đúng như yêu cầu của đề bài.
Nhận xét. Cách 1 tính hiệu để tìm ra đúng miếng bìa cần chuyển, còn Cách 2 chỉ kiểm tra lại phương án đã chọn; nên dùng cả hai: Cách 1 để tìm, Cách 2 để chắc chắn không sai.
Đáp số.Chuyển miếng bìa ghi số 2 từ hộp thứ ba sang hộp thứ nhất; khi đó cả ba hộp đều có tổng bằng 4.
Sai lầm thường gặp.Chỉ tính tổng ba hộp ban đầu mà không chia cho 3 để tìm tổng đích, nên chuyển nhầm miếng bìa không đưa các hộp về cùng một tổng.
Bài 10 · 3.31★★★Trang 69— Vận dụng tính đối xứng của tập số nguyên qua 0
Bài 3.31 (trang 69). Trong một trò chơi, bạn Minh nhận được yêu cầu: "Hãy tính tổng của tất cả các số trong tập hợp {x∈Z∣−25≤x≤25}". Minh trả lời ngay: "Bằng 0". Em có thể giải thích tại sao Minh tính nhanh thế không?
Kiến thức cần nhớ
Với mọi số nguyên k=0 ta có k+(−k)=0; k và −k gọi là hai số đối nhau.
Một tập hợp đối xứng qua 0 (chứa đủ cặp số đối nhau) luôn có tổng các phần tử bằng 0.
1Cách 1. Ghép từng cặp số đối nhau
Định hướng. Tập hợp cho từ −25 đến 25 chứa đủ mọi số nguyên cùng số đối của nó, nên ghép cặp đối nhau là triệt tiêu gần hết, chỉ còn đúng một số 0 lẻ loi.
Vậy Minh trả lời đúng: tổng của tất cả các số trong tập hợp đó bằng 0.
2Cách 2. Tách tổng thành số dương, số 0 và số âm
Định hướng. Tách tập hợp thành phần số âm, số 0 và số dương; tổng các số âm luôn là số đối của tổng các số dương nên cộng lại triệt tiêu ngay.
Tổng các số dương: 1+2+⋯+25 Tổng các số âm: (−1)+(−2)+⋯+(−25)=−(1+2+⋯+25) Tổng cả tập hợp: [1+2+⋯+25]+[−(1+2+⋯+25)]+0 =0+0=0
Vậy tổng bằng 0, Minh trả lời đúng.
Nhận xét. Không cần tính cụ thể 1+2+⋯+25 bằng bao nhiêu, chỉ cần nhận ra tổng các số dương và tổng các số âm là hai số đối nhau thì tổng chung lập tức bằng 0 — đây chính là mẹo Minh đã dùng để trả lời ngay.
Đáp số.Tổng bằng 0 vì tập hợp gồm các cặp số đối nhau (−k và k với k=1,2,…,25) cùng số 0.
Sai lầm thường gặp.Cố cộng lần lượt từng số một theo thứ tự liệt kê, vừa mất thời gian vừa dễ cộng nhầm dấu, mà không nhận ra các cặp số đối nhau tự triệt tiêu.
