Bài 1. Tập hợp các số hữu tỉ

Định hướng. Chỉ số WHtR của mỗi người đúng bằng thương số đo vòng bụng chia số đo chiều cao, nên lập tỉ số dạng phân số rồi rút gọn là ra ngay.

Vậy chỉ số WHtR của ông An là $\frac{3}{5}=0,6$; chỉ số WHtR của ông Chung là $\frac{7}{16}=0,4375$.

Định hướng. Đề chỉ hỏi giá trị chỉ số nên có thể chia trực tiếp hai số đo mà không cần dừng lại ở phân số trung gian.

Vậy WHtR ông An $=0,6$; WHtR ông Chung $=0,4375$.

Định hướng. Tỉ số giữa hai số đo còn viết được dưới dạng phần trăm bằng cách đưa về phân số có mẫu $100$; dạng này cho biết vòng bụng bằng bao nhiêu phần trăm chiều cao.

Vậy chỉ số WHtR của ông An bằng $\frac{3}{5}=0,6=60\%$; chỉ số WHtR của ông Chung bằng $\frac{7}{16}=0,4375=43,75\%$.

Nhận xét. Cách 1 giữ nguyên phân số nên thấy rõ tỉ số sau khi rút gọn; Cách 2 cho ngay số thập phân, tiện đối chiếu bảng phân loại; Cách 3 viết dưới dạng phần trăm, đúng dạng thường gặp khi đọc các chỉ số sức khoẻ.

Định hướng. Mỗi số đưa được về đúng một phân số gốc; nhân cả tử và mẫu của phân số gốc lần lượt với $2$ rồi $3$ sẽ ra liền ba phân số bằng nhau.

Vậy a) $-2,5=\frac{-5}{2}=\frac{-10}{4}=\frac{-15}{6}$; b) $2\frac{3}{4}=\frac{11}{4}=\frac{22}{8}=\frac{33}{12}$.

Định hướng. Không nhất thiết nhân theo đúng thứ tự $2$ rồi $3$; chọn ba thừa số khác $0$ bất kì, miễn tử và mẫu nhân cùng một số, vẫn ra phân số hợp lệ.

Vậy mỗi số hữu tỉ có vô số cách viết dưới dạng phân số; chỉ cần nhân tử và mẫu của một phân số đại diện với cùng một số nguyên khác $0$.

Định hướng. Thay vì chọn thừa số để nhân, ta chọn trước mẫu số mong muốn rồi lấy số đã cho nhân với mẫu đó để ra tử số, cuối cùng thử lại bằng tích chéo.

Vậy a) $-2,5=\frac{-5}{2}=\frac{-10}{4}=\frac{-20}{8}$; b) $2\frac{3}{4}=\frac{11}{4}=\frac{22}{8}=\frac{55}{20}$.

Nhận xét. Cách 1 nhân dần từ một phân số gốc nên nhanh nhất; Cách 2 cho thấy thừa số nhân có thể âm, đáp án không duy nhất; Cách 3 đi ngược từ mẫu số mong muốn nên rất tiện khi đề bắt viết phân số có mẫu cho trước, lại có sẵn phép tích chéo để thử lại.

Định hướng. Muốn khẳng định một số là số hữu tỉ, chỉ cần viết được nó dưới dạng phân số $\frac{a}{b}$ với $a,b$ nguyên, $b\ne 0$.

Vậy $8$; $-3,3$; $3\frac{2}{3}$ đều là số hữu tỉ vì đều viết được dưới dạng phân số $\frac{a}{b}$ ($a,b\in \mathbb{Z}$, $b\ne 0$). Số đối của $8$ là $-8$; số đối của $-3,3$ là $3,3$; số đối của $3\frac{2}{3}$ là $-3\frac{2}{3}$.

Định hướng. Sách đã nêu sẵn: số nguyên, số thập phân, hỗn số đều là số hữu tỉ, nên chỉ cần gọi đúng tên loại số rồi đổi dấu để tìm số đối.

Vậy cả ba số đều là số hữu tỉ; số đối lần lượt là $-8$; $3,3$; $-3\frac{2}{3}$.

Định hướng. Số hữu tỉ là số đặt được trên trục số sau khi chia mỗi đơn vị thành những phần bằng nhau; khi đã có điểm rồi thì số đối chính là điểm đối xứng với nó qua gốc $O$.

Vậy $8$; $-3,3$; $3\frac{2}{3}$ đều là số hữu tỉ; số đối lần lượt là $-8$; $3,3$; $-3\frac{2}{3}$.

Nhận xét. Cách 1 bám định nghĩa nên chặt chẽ nhất; Cách 2 ngắn gọn khi chỉ cần kết luận; Cách 3 cho thấy ý nghĩa hình học của số đối — hai điểm đối xứng qua $O$ — nên rất dễ nhớ và dùng lại được ở các bài về trục số.

Định hướng. Trên Hình 1.4, mỗi đơn vị được chia thành $6$ phần bằng nhau; đếm số phần lệch giữa điểm cần đọc với số nguyên đứng gần nó nhất là ra ngay giá trị.

Vậy $A=\frac{5}{3}$; $B=-\frac{5}{6}$; $C=-\frac{13}{6}$.

Định hướng. Có thể bỏ qua các mốc nguyên trung gian, đếm thẳng số phần (kèm dấu) từ gốc $O$ tới mỗi điểm rồi viết thành phân số có mẫu $6$.

Vậy $A=\frac{5}{3}$; $B=-\frac{5}{6}$; $C=-\frac{13}{6}$, khớp với Cách 1.

Định hướng. Sau khi đọc được ba số, đổi mỗi số về hỗn số rồi đối chiếu xem điểm có đúng nằm giữa hai số nguyên như trên hình hay không.

Vậy $A=\frac{5}{3}$; $B=-\frac{5}{6}$; $C=-\frac{13}{6}$.

Nhận xét. Cách 1 nhanh khi điểm ở gần một mốc nguyên; Cách 2 tiện khi điểm ở xa mọi mốc nguyên; Cách 3 không tự tìm ra kết quả mà dùng để thử lại, nhờ hỗn số ta thấy ngay điểm phải nằm giữa hai số nguyên nào.

Định hướng. Mẫu số của $\frac{5}{4}$ là $4$ nên chia đoạn đơn vị thành $4$ phần bằng nhau, lấy một phần làm đơn vị mới rồi đếm đúng $5$ phần.

Vậy điểm $\frac{5}{4}$ và điểm $-\frac{5}{4}$ nằm về hai phía của $O$, mỗi điểm cách $O$ $5$ đơn vị mới (bằng $\frac{1}{4}$ đơn vị cũ).

Định hướng. Tách phần nguyên trước để biết điểm nằm giữa hai số nguyên nào, sau đó dùng phần lẻ để định vị chính xác trong đoạn đó.

Vậy $\frac{5}{4}$ nằm giữa $1$ và $2$ (gần $1$ hơn); $-\frac{5}{4}$ nằm giữa $-2$ và $-1$ (gần $-1$ hơn).

Định hướng. Hai số $\frac{5}{4}$ và $-\frac{5}{4}$ là hai số đối nhau nên hai điểm biểu diễn chúng đối xứng nhau qua gốc $O$; chỉ cần dựng điểm ứng với số dương rồi lấy đối xứng.

Vậy hai điểm $\frac{5}{4}$ và $-\frac{5}{4}$ nằm về hai phía gốc $O$, mỗi điểm cách $O$ đúng $5$ phần khi chia mỗi đơn vị thành $4$ phần bằng nhau.

Nhận xét. Cách 1 đếm phần theo đơn vị mới, đúng quy trình sách trình bày; Cách 2 mượn hỗn số nên dễ hình dung điểm nằm giữa $1$ và $2$; Cách 3 chỉ phải dựng một điểm, điểm còn lại lấy đối xứng nên nhanh và cân đối nhất.

Định hướng. Đưa cả hai số về hai phân số có cùng một mẫu dương thì việc so sánh chỉ còn là so sánh hai tử số.

Vậy a) $-1,5<\frac{5}{2}$; b) $-0,375>-\frac{5}{8}$.

Định hướng. Khi hai số khác dấu, kết luận ngay không cần tính toán; khi hai số cùng âm, so sánh giá trị tuyệt đối rồi đảo chiều.

Vậy a) $-1,5<\frac{5}{2}$; b) $-0,375>-\frac{5}{8}$.

Định hướng. Câu a) hai số khác dấu nên lấy số $0$ làm trung gian; câu b) hai mẫu số đều đổi được ra số thập phân hữu hạn nên so sánh thẳng hai số thập phân.

Vậy a) $-1,5<\frac{5}{2}$; b) $-0,375>-\frac{5}{8}$.

Nhận xét. Cách 1 quy đồng nên đúng yêu cầu của đề là viết dưới dạng phân số rồi so sánh; Cách 2 tách riêng dấu và giá trị tuyệt đối nên hợp với hai số cùng dấu; Cách 3 nhanh nhất nhưng câu b) chỉ dùng được vì mẫu $8$ đổi ra được số thập phân hữu hạn.

Định hướng. HĐ3 đã so sánh xong hai số này, chỉ cần áp dụng ngay quy tắc thứ tự trên trục số là có câu trả lời.

Vậy điểm $-1,5$ nằm trước điểm $\frac{5}{2}$ trên trục số.

Định hướng. Không cần so sánh số trước, chỉ cần nhận ra một điểm ở phía âm và một điểm ở phía dương của $O$ là kết luận được ngay vị trí trước sau.

Vậy điểm $-1,5$ (phía âm) nằm trước điểm $\frac{5}{2}$ (phía dương) trên trục số.

Định hướng. Viết cả hai số thành phân số mẫu $2$, chia mỗi đơn vị thành hai phần bằng nhau rồi đếm số phần kể từ gốc $O$ để biết điểm nào bên trái, điểm nào bên phải.

Vậy điểm $-1,5$ nằm trước điểm $\frac{5}{2}$ trên trục số.

Nhận xét. Cách 1 dùng lại kết quả so sánh có sẵn nên ngắn nhất; Cách 2 đo theo khoảng cách tới gốc; Cách 3 đưa về cùng mẫu nên đếm được số phần chính xác, rất hợp khi phải vẽ hình cho đúng tỉ lệ.

Định hướng. Bốn số có ba dạng viết khác nhau (hỗn số, số nguyên, số thập phân, phân số); đưa hết về số thập phân để so sánh trên cùng một thang.

Vậy thứ tự tăng dần: $-2;-\frac{3}{2};3,125;5\frac{1}{4}$.

Định hướng. Vì mọi số âm đều nhỏ hơn mọi số dương, tách sẵn hai nhóm rồi chỉ cần so sánh trong nội bộ từng nhóm, giảm bớt số phép so sánh.

Vậy thứ tự tăng dần: $-2;-\frac{3}{2};3,125;5\frac{1}{4}$.

Định hướng. Bốn số đều viết được thành phân số có mẫu $8$, khi đó việc sắp xếp chỉ còn là so sánh bốn tử số nguyên với nhau.

Vậy $-2<-\frac{3}{2}<3,125<5\frac{1}{4}$.

Nhận xét. Cách 1 đổi ra số thập phân nên nhẩm nhanh; Cách 2 tách nhóm âm, nhóm dương nên ít phép so sánh nhất; Cách 3 quy về cùng mẫu nên chính xác tuyệt đối, dùng được cả khi các số không đổi ra được số thập phân hữu hạn.

Định hướng. HĐ1 đã tính xong hai chỉ số WHtR, chỉ cần so từng giá trị với bốn mốc $0,42$; $0,52$; $0,57$; $0,63$ để xác định đúng mức.

Vậy tính theo chỉ số WHtR, ông Chung có sức khoẻ tốt hơn ông An.

Định hướng. Không cần xếp đủ cả năm mức, chỉ cần so hai chỉ số với mốc trên cùng của mức Tốt ($0,52$) là đủ để biết ai an toàn hơn.

Vậy ông Chung có chỉ số WHtR nhỏ hơn và còn trong mức Tốt, nên sức khoẻ của ông Chung tốt hơn ông An.

Định hướng. Thay vì tính chỉ số rồi tra bảng, ta nhân chiều cao của mỗi người với các mốc trong bảng để biết vòng bụng bao nhiêu thì rơi vào mức nào, rồi so số đo thật với các mốc vừa tìm.

Vậy ông An ở mức Thừa cân, ông Chung ở mức Tốt; theo chỉ số WHtR thì sức khoẻ của ông Chung tốt hơn ông An.

Nhận xét. Cách 1 dùng lại kết quả HĐ1 nên đúng mạch bài học; Cách 2 chỉ cần một mốc $0,52$ nên nhẩm rất nhanh; Cách 3 cho ra số đo vòng bụng chuẩn của từng người nên có ý nghĩa thực tế: ông An phải giảm vòng bụng xuống dưới $102,6$ cm mới thoát mức Thừa cân.

Định hướng. Muốn xét một khẳng định thuộc/không thuộc $\mathbb{Q}$, chỉ cần viết được số đó dưới dạng phân số là kết luận được ngay.

Vậy a) đúng; b) đúng; c) sai.

Định hướng. Không cần viết lại phân số, chỉ cần gọi đúng tên loại số (nguyên, thập phân, phân số) rồi áp dụng Nhận xét đã học.

Vậy a) đúng; b) đúng; c) sai.

Nhận xét. Mọi số nguyên đều là số hữu tỉ nên câu c) chắc chắn sai ngay từ đầu, không cần viết lại phân số.

Định hướng. Số đối của một số hữu tỉ chỉ khác số ban đầu ở dấu, nên đổi dấu ngay trên cách viết đã cho là xong.

Vậy số đối của $-0,75$ là $0,75$; số đối của $6\frac{1}{5}$ là $-6\frac{1}{5}$.

Định hướng. Viết số đã cho dưới dạng phân số, đổi dấu tử số, rồi cộng thử với số ban đầu để chắc chắn kết quả đúng.

Vậy số đối của $-0,75$ là $0,75$; số đối của $6\frac{1}{5}$ là $-6\frac{1}{5}$.

Định hướng. Trên trục số, hai số đối nhau ứng với hai điểm đối xứng nhau qua gốc $O$, nên chỉ cần lấy đối xứng điểm đã cho là đọc ra số đối.

Vậy số đối của $-0,75$ là $0,75$; số đối của $6\frac{1}{5}$ là $-6\frac{1}{5}$.

Nhận xét. Cách 1 đổi dấu tại chỗ nên nhanh nhất; Cách 2 có thêm bước thử lại bằng tổng bằng $0$; Cách 3 giải thích ý nghĩa hình học của số đối, nhờ đó nhớ luôn rằng hai số đối nhau cách đều gốc $O$.

Định hướng. Mỗi đơn vị trên Hình 1.7 được chia thành $6$ phần bằng nhau; đếm số phần lệch giữa mỗi điểm với số nguyên gần nó nhất là đọc được giá trị.

Vậy $A=-\frac{7}{6}$; $B=-\frac{1}{3}$; $C=\frac{1}{2}$; $D=\frac{4}{3}$.

Định hướng. Đếm đúng số vạch (kèm dấu) kể từ gốc $O$ tới mỗi điểm rồi viết thành phân số có mẫu $6$ và rút gọn.

Vậy $A=-\frac{7}{6}$; $B=-\frac{1}{3}$; $C=\frac{1}{2}$; $D=\frac{4}{3}$, khớp với Cách 1.

Định hướng. Bốn điểm trên hình cách đều nhau, mỗi khoảng đúng $5$ phần tức $\frac{5}{6}$ đơn vị, nên chỉ cần đọc thật chắc một điểm rồi cộng hoặc trừ dần $\frac{5}{6}$ là ra ba điểm còn lại.

Vậy $A=-\frac{7}{6}$; $B=-\frac{1}{3}$; $C=\frac{1}{2}$; $D=\frac{4}{3}$.

Nhận xét. Cách 1 và Cách 2 đọc riêng từng điểm nên bốn lần đều có thể đếm nhầm; Cách 3 chỉ phải đọc chắc một điểm, ba điểm còn lại suy ra bằng phép cộng nên vừa nhanh vừa tự kiểm tra được tính cách đều của hình.

Định hướng. Viết $-0,625$ về phân số tối giản $-\frac{5}{8}$, rồi rút gọn từng phân số đã cho để đối chiếu trực tiếp.

Vậy a) các phân số biểu diễn $-0,625$ là $\frac{5}{-8}$; $\frac{20}{-32}$; $\frac{-10}{16}$; $\frac{-25}{40}$. b) Vì $-0,625=-\frac{5}{8}$, chia đơn vị thành $8$ phần bằng nhau, điểm $-0,625$ nằm trước $O$, cách $O$ $5$ phần mới.

Định hướng. Vì $-0,625$ đã cho ở dạng số thập phân, chia thẳng tử cho mẫu của từng phân số rồi so sánh, không cần rút gọn trung gian.

Vậy a) các phân số biểu diễn $-0,625$ là $\frac{5}{-8}$; $\frac{20}{-32}$; $\frac{-10}{16}$; $\frac{-25}{40}$. b) điểm $-0,625$ nằm trước $O$, quá nửa đoạn từ $O$ tới $-1$.

Định hướng. Đổi $-0,625$ về phân số $\frac{-5}{8}$, rồi với mỗi phân số đã cho chỉ cần so hai tích chéo: hai tích bằng nhau thì hai phân số bằng nhau.

Vậy a) bốn phân số $\frac{5}{-8}$; $\frac{20}{-32}$; $\frac{-10}{16}$; $\frac{-25}{40}$ biểu diễn số hữu tỉ $-0,625$; b) điểm $-0,625$ nằm bên trái $O$ và cách $O$ đúng $5$ phần.

Nhận xét. Cách 1 rút gọn từng phân số nên phải tìm ước chung sáu lần; Cách 2 chia ra số thập phân, nhanh nhưng phải cẩn thận với phần thập phân dài; Cách 3 chỉ dùng phép nhân số nguyên nên vừa nhanh vừa chính xác tuyệt đối.

Định hướng. Câu a) hai số cùng âm nên so giá trị tuyệt đối; câu b) hai số khác dấu nên kết luận được ngay không cần tính toán.

Vậy a) $-2,5<-2,125$; b) $-\frac{1}{10000}<\frac{1}{23456}$.

Định hướng. Có thể kiểm lại câu a) bằng quy đồng mẫu số $1000$, và giải câu b) bằng tính chất bắc cầu với mốc $0$ để khỏi quy đồng hai mẫu rất lớn.

Vậy a) $-2,5<-2,125$; b) $-\frac{1}{10000}<\frac{1}{23456}$.

Định hướng. Hình dung vị trí của mỗi số trên trục số: điểm nào nằm bên trái thì số đó nhỏ hơn, khỏi phải tính toán gì thêm.

Vậy a) $-2,5<-2,125$; b) $-\frac{1}{10000}<\frac{1}{23456}$.

Nhận xét. Cách 1 dùng quy tắc dấu và giá trị tuyệt đối, ngắn nhất khi làm bài; Cách 2 quy đồng nên chắc chắn nhưng câu b) số quá lớn; Cách 3 nhìn bằng hình nên hiểu được vì sao phải đảo chiều với hai số âm, rất hợp để giải thích cho bạn cùng lớp.

Định hướng. Ba nước cho sẵn số thập phân hoặc số nguyên, hai nước còn lại cho dạng hỗn số; đổi hết về thập phân để so sánh trên cùng một thang.

Vậy thứ tự tăng dần: Mỹ; Anh; Pháp; Australia; Tây Ban Nha.

Định hướng. Giữ nguyên dạng phân số, quy đồng tất cả năm số về mẫu $10$ rồi so sánh năm tử số cùng lúc.

Vậy thứ tự tăng dần: Mỹ; Anh; Pháp; Australia; Tây Ban Nha.

Định hướng. Tách mỗi số thành phần nguyên và phần lẻ; số nào có phần nguyên lớn hơn thì lớn hơn, chỉ khi phần nguyên bằng nhau mới phải so đến phần lẻ.

Vậy thứ tự tuổi thọ trung bình dự kiến từ nhỏ đến lớn: Mỹ, Anh, Pháp, Australia, Tây Ban Nha.

Nhận xét. Cách 1 đổi hết ra số thập phân nên dễ nhìn; Cách 2 quy đồng về mẫu $10$ nên chính xác tuyệt đối; Cách 3 chỉ so phần nguyên là loại được gần hết, đây là lối so sánh nhanh nhất khi bảng có nhiều số liệu.