Bài 1. Tập hợp các số hữu tỉ

Định hướng. Chỉ số WHtR của mỗi người đúng bằng thương số đo vòng bụng chia số đo chiều cao, nên lập tỉ số dạng phân số rồi rút gọn là ra ngay.

Vậy chỉ số WHtR của ông An là $\frac{3}{5}=0,6$; chỉ số WHtR của ông Chung là $\frac{7}{16}=0,4375$.

Định hướng. Đề chỉ hỏi giá trị chỉ số nên có thể chia trực tiếp hai số đo mà không cần dừng lại ở phân số trung gian.

Vậy WHtR ông An $=0,6$; WHtR ông Chung $=0,4375$.

Nhận xét. Hai cách cho cùng kết quả; Cách 1 giữ dạng phân số nên tiện khi cần so với các mốc trong bảng phân loại, Cách 2 tiện khi chỉ cần đọc nhanh giá trị thập phân.

Định hướng. Mỗi số đưa được về đúng một phân số gốc; nhân cả tử và mẫu của phân số gốc lần lượt với $2$ rồi $3$ sẽ ra liền ba phân số bằng nhau.

Vậy a) $-2,5=\frac{-5}{2}=\frac{-10}{4}=\frac{-15}{6}$; b) $2\frac{3}{4}=\frac{11}{4}=\frac{22}{8}=\frac{33}{12}$.

Định hướng. Không nhất thiết nhân theo đúng thứ tự $2$ rồi $3$; chọn ba thừa số khác $0$ bất kì, miễn tử và mẫu nhân cùng một số, vẫn ra phân số hợp lệ.

Vậy mỗi số hữu tỉ có vô số cách viết dưới dạng phân số; chỉ cần nhân tử và mẫu của một phân số đại diện với cùng một số nguyên khác $0$.

Nhận xét. Kết quả không duy nhất — bài chỉ yêu cầu ba phân số bất kì bằng số đã cho, khác đáp án ở Cách 1 vẫn đúng.

Định hướng. Muốn khẳng định một số là số hữu tỉ, chỉ cần viết được nó dưới dạng phân số $\frac{a}{b}$ với $a,b$ nguyên, $b\ne 0$.

Vậy $8$; $-3,3$; $3\frac{2}{3}$ đều là số hữu tỉ vì đều viết được dưới dạng phân số $\frac{a}{b}$ ($a,b\in \mathbb{Z}$, $b\ne 0$). Số đối của $8$ là $-8$; số đối của $-3,3$ là $3,3$; số đối của $3\frac{2}{3}$ là $-3\frac{2}{3}$.

Định hướng. Sách đã nêu sẵn: số nguyên, số thập phân, hỗn số đều là số hữu tỉ, nên chỉ cần gọi đúng tên loại số rồi đổi dấu để tìm số đối.

Vậy cả ba số đều là số hữu tỉ; số đối lần lượt là $-8$; $3,3$; $-3\frac{2}{3}$.

Nhận xét. Cách 1 giải thích tận gốc theo định nghĩa; Cách 2 dùng thẳng kết quả đã học nên nhanh hơn khi chỉ cần kết luận.

Định hướng. Trên Hình 1.4, mỗi đơn vị được chia thành $6$ phần bằng nhau; đếm số phần lệch giữa điểm cần đọc với số nguyên đứng gần nó nhất là ra ngay giá trị.

Vậy $A=\frac{5}{3}$; $B=-\frac{5}{6}$; $C=-\frac{13}{6}$.

Định hướng. Có thể bỏ qua các mốc nguyên trung gian, đếm thẳng số phần (kèm dấu) từ gốc $O$ tới mỗi điểm rồi viết thành phân số có mẫu $6$.

Vậy $A=\frac{5}{3}$; $B=-\frac{5}{6}$; $C=-\frac{13}{6}$, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 nhanh khi điểm ở gần một mốc nguyên; Cách 2 tiện khi điểm ở xa mọi mốc nguyên, không sợ chọn nhầm mốc trung gian.

Định hướng. Mẫu số của $\frac{5}{4}$ là $4$ nên chia đoạn đơn vị thành $4$ phần bằng nhau, lấy một phần làm đơn vị mới rồi đếm đúng $5$ phần.

Vậy điểm $\frac{5}{4}$ và điểm $-\frac{5}{4}$ nằm về hai phía của $O$, mỗi điểm cách $O$ $5$ đơn vị mới (bằng $\frac{1}{4}$ đơn vị cũ).

Định hướng. Tách phần nguyên trước để biết điểm nằm giữa hai số nguyên nào, sau đó dùng phần lẻ để định vị chính xác trong đoạn đó.

Vậy $\frac{5}{4}$ nằm giữa $1$ và $2$ (gần $1$ hơn); $-\frac{5}{4}$ nằm giữa $-2$ và $-1$ (gần $-1$ hơn).

Nhận xét. Hai điểm $\frac{5}{4}$ và $-\frac{5}{4}$ là hai số đối nhau nên đối xứng với nhau qua gốc $O$.

Định hướng. Đưa cả hai số về hai phân số có cùng một mẫu dương thì việc so sánh chỉ còn là so sánh hai tử số.

Vậy a) $-1,5<\frac{5}{2}$; b) $-0,375>-\frac{5}{8}$.

Định hướng. Khi hai số khác dấu, kết luận ngay không cần tính toán; khi hai số cùng âm, so sánh giá trị tuyệt đối rồi đảo chiều.

Vậy a) $-1,5<\frac{5}{2}$; b) $-0,375>-\frac{5}{8}$.

Nhận xét. Với hai số cùng âm, số có trị tuyệt đối lớn hơn lại là số nhỏ hơn — Cách 2 tận dụng ngay điều này mà không cần quy đồng mẫu.

Định hướng. HĐ3 đã so sánh xong hai số này, chỉ cần áp dụng ngay quy tắc thứ tự trên trục số là có câu trả lời.

Vậy điểm $-1,5$ nằm trước điểm $\frac{5}{2}$ trên trục số.

Định hướng. Không cần so sánh số trước, chỉ cần nhận ra một điểm ở phía âm và một điểm ở phía dương của $O$ là kết luận được ngay vị trí trước sau.

Vậy điểm $-1,5$ (phía âm) nằm trước điểm $\frac{5}{2}$ (phía dương) trên trục số.

Nhận xét. Cách 2 cho câu trả lời ngay cả khi chưa quy đồng để so sánh số, miễn nhận ra được dấu của mỗi số.

Định hướng. Bốn số có ba dạng viết khác nhau (hỗn số, số nguyên, số thập phân, phân số); đưa hết về số thập phân để so sánh trên cùng một thang.

Vậy thứ tự tăng dần: $-2;-\frac{3}{2};3,125;5\frac{1}{4}$.

Định hướng. Vì mọi số âm đều nhỏ hơn mọi số dương, tách sẵn hai nhóm rồi chỉ cần so sánh trong nội bộ từng nhóm, giảm bớt số phép so sánh.

Vậy thứ tự tăng dần: $-2;-\frac{3}{2};3,125;5\frac{1}{4}$.

Nhận xét. Tách nhóm âm - dương trước giúp so sánh nhanh hơn khi dãy có nhiều số hạng.

Định hướng. HĐ1 đã tính xong hai chỉ số WHtR, chỉ cần so từng giá trị với bốn mốc $0,42$; $0,52$; $0,57$; $0,63$ để xác định đúng mức.

Vậy tính theo chỉ số WHtR, ông Chung có sức khoẻ tốt hơn ông An.

Định hướng. Không cần xếp đủ cả năm mức, chỉ cần so hai chỉ số với mốc trên cùng của mức Tốt ($0,52$) là đủ để biết ai an toàn hơn.

Vậy ông Chung có chỉ số WHtR nhỏ hơn và còn trong mức Tốt, nên sức khoẻ của ông Chung tốt hơn ông An.

Nhận xét. Chỉ số WHtR càng thấp (trong giới hạn hợp lí) thì nguy cơ béo phì, bệnh tim mạch càng thấp; bảng phân loại xếp mức Gầy ở khoảng thấp nhất và Béo phì ở khoảng cao nhất.

Định hướng. Muốn xét một khẳng định thuộc/không thuộc $\mathbb{Q}$, chỉ cần viết được số đó dưới dạng phân số là kết luận được ngay.

Vậy a) đúng; b) đúng; c) sai.

Định hướng. Không cần viết lại phân số, chỉ cần gọi đúng tên loại số (nguyên, thập phân, phân số) rồi áp dụng Nhận xét đã học.

Vậy a) đúng; b) đúng; c) sai.

Nhận xét. Mọi số nguyên đều là số hữu tỉ nên câu c) chắc chắn sai ngay từ đầu, không cần viết lại phân số.

Định hướng. Số đối của một số hữu tỉ chỉ khác số ban đầu ở dấu, nên đổi dấu ngay trên cách viết đã cho là xong.

Vậy số đối của $-0,75$ là $0,75$; số đối của $6\frac{1}{5}$ là $-6\frac{1}{5}$.

Định hướng. Viết số đã cho dưới dạng phân số, đổi dấu tử số, rồi cộng thử với số ban đầu để chắc chắn kết quả đúng.

Vậy số đối của $-0,75$ là $0,75$; số đối của $6\frac{1}{5}$ là $-6\frac{1}{5}$.

Nhận xét. Tổng một số hữu tỉ với số đối của nó luôn bằng $0$; đây là cách kiểm tra nhanh kết quả vừa tìm được.

Định hướng. Mỗi đơn vị trên Hình 1.7 được chia thành $6$ phần bằng nhau; đếm số phần lệch giữa mỗi điểm với số nguyên gần nó nhất là đọc được giá trị.

Vậy $A=-\frac{7}{6}$; $B=-\frac{1}{3}$; $C=\frac{1}{2}$; $D=\frac{4}{3}$.

Định hướng. Đếm đúng số vạch (kèm dấu) kể từ gốc $O$ tới mỗi điểm rồi viết thành phân số có mẫu $6$ và rút gọn.

Vậy $A=-\frac{7}{6}$; $B=-\frac{1}{3}$; $C=\frac{1}{2}$; $D=\frac{4}{3}$, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 tiện khi điểm ở gần một mốc nguyên; Cách 2 tiện khi cần một công thức chung, không phụ thuộc mốc trung gian.

Định hướng. Viết $-0,625$ về phân số tối giản $-\frac{5}{8}$, rồi rút gọn từng phân số đã cho để đối chiếu trực tiếp.

Vậy a) các phân số biểu diễn $-0,625$ là $\frac{5}{-8}$; $\frac{20}{-32}$; $\frac{-10}{16}$; $\frac{-25}{40}$. b) Vì $-0,625=-\frac{5}{8}$, chia đơn vị thành $8$ phần bằng nhau, điểm $-0,625$ nằm trước $O$, cách $O$ $5$ phần mới.

Định hướng. Vì $-0,625$ đã cho ở dạng số thập phân, chia thẳng tử cho mẫu của từng phân số rồi so sánh, không cần rút gọn trung gian.

Vậy a) các phân số biểu diễn $-0,625$ là $\frac{5}{-8}$; $\frac{20}{-32}$; $\frac{-10}{16}$; $\frac{-25}{40}$. b) điểm $-0,625$ nằm trước $O$, quá nửa đoạn từ $O$ tới $-1$.

Nhận xét. Cách 2 làm đúng theo gợi ý của SGK: hai số hữu tỉ đã ở dạng thập phân thì so sánh trực tiếp, không cần quy đồng mẫu.

Định hướng. Câu a) hai số cùng âm nên so giá trị tuyệt đối; câu b) hai số khác dấu nên kết luận được ngay không cần tính toán.

Vậy a) $-2,5<-2,125$; b) $-\frac{1}{10000}<\frac{1}{23456}$.

Định hướng. Có thể kiểm lại câu a) bằng quy đồng mẫu số $1000$, và giải câu b) bằng tính chất bắc cầu với mốc $0$ để khỏi quy đồng hai mẫu rất lớn.

Vậy a) $-2,5<-2,125$; b) $-\frac{1}{10000}<\frac{1}{23456}$.

Nhận xét. Với hai số khác dấu như câu b), chỉ cần nhận ra dấu là kết luận được ngay, không cần quy đồng hai mẫu số lớn $10000$ và $23456$.

Định hướng. Ba nước cho sẵn số thập phân hoặc số nguyên, hai nước còn lại cho dạng hỗn số; đổi hết về thập phân để so sánh trên cùng một thang.

Vậy thứ tự tăng dần: Mỹ; Anh; Pháp; Australia; Tây Ban Nha.

Định hướng. Giữ nguyên dạng phân số, quy đồng tất cả năm số về mẫu $10$ rồi so sánh năm tử số cùng lúc.

Vậy thứ tự tăng dần: Mỹ; Anh; Pháp; Australia; Tây Ban Nha.

Nhận xét. Quy đồng về cùng mẫu $10$ giúp so sánh năm số cùng lúc mà không sợ đọc nhầm khi đổi thập phân từng số một.