Bài 10. Tiên đề Euclid. Tính chất của hai đường thẳng song song

Định hướng. Kiểm nghiệm bằng hình vẽ trước: nếu vẽ nhiều lần mà lần nào cũng ra đúng một nét thì đường thẳng cần tìm là duy nhất.

Vậy chỉ vẽ được một đường thẳng $b$.

Định hướng. Đề đã đặt đúng thế của tiên đề Euclid: một điểm nằm ngoài một đường thẳng, hỏi số đường thẳng song song đi qua điểm đó.

Vậy có đúng một đường thẳng $b$ thoả mãn.

Định hướng. Mọi đường thẳng qua $M$ song song với $a$ đều bị khoá bởi một số đo góc so le trong với cát tuyến, mà tia tạo với một tia cho trước một góc cho trước thì chỉ có một.

Vậy đường thẳng $b$ được xác định duy nhất.

Nhận xét. Ba cách đi ba hướng khác nhau — thực nghiệm, thừa nhận tiên đề, dựng hình — nhưng cùng chỉ về một điều: qua một điểm ở ngoài đường thẳng, chữ 'song song' luôn đi kèm chữ 'duy nhất'.

Định hướng. Làm đúng thao tác đề yêu cầu rồi quan sát kết quả — đây là hoạt động dẫn tới tiên đề nên phải thấy bằng mắt trước.

Vậy hai đường thẳng $b$ và $c$ trùng nhau.

Định hướng. Thay vì tin vào nét vẽ, ta hỏi ngược: nếu $b$ và $c$ khác nhau thì điều gì xảy ra.

Vậy $b$ và $c$ chỉ là một đường thẳng.

Định hướng. Chuyển quan hệ song song thành quan hệ vuông góc với một đường phụ, vì tính duy nhất của đường vuông góc đã học từ Bài 8.

Vậy $b$ và $c$ trùng nhau, hai nét vẽ chồng khít lên nhau.

Nhận xét. Cách 3 mượn trước nhận xét ở trang 53; học hết bài em sẽ thấy chính nhận xét đó cũng được suy ra từ tiên đề Euclid, nên ba cách trên thực chất cùng một gốc.

Định hướng. Tách tiên đề thành hai vế rồi kiểm mỗi phát biểu có đủ cả hai vế và đúng đối tượng hay không.

Vậy chỉ phát biểu (1) diễn đạt đúng nội dung tiên đề Euclid.

Định hướng. Muốn bác một phát biểu thì chỉ cần một trường hợp cụ thể làm nó sai, không cần lập luận dài.

Vậy chỉ còn phát biểu (1).

Định hướng. Tiên đề Euclid nói con số đó bằng đúng $1$; chỉ cần đọc xem mỗi phát biểu khẳng định con số nào.

Vậy phát biểu (1) là phát biểu duy nhất diễn đạt đúng tiên đề Euclid.

Nhận xét. Quy về con số như Cách 3 giúp phân biệt dứt khoát ba mức 'có ít nhất một', 'có đúng một' và 'có vô số' — ba mức này về sau còn gặp lại rất nhiều.

Định hướng. Làm đúng thao tác đề yêu cầu, nhưng phải gọi tên cặp góc trước khi đặt thước để khỏi đo nhầm.

Vậy khi $a\parallel b$ thì hai góc so le trong bằng nhau và hai góc đồng vị bằng nhau.

Định hướng. So hai góc bằng cách đặt chồng khít, cách này tránh được sai số đọc vạch của thước đo góc.

Vậy hai góc so le trong bằng nhau, hai góc đồng vị bằng nhau.

Định hướng. Kết quả đo được có thể chứng minh chứ không phải chuyện may rủi: nếu hai góc so le trong khác nhau thì qua $A$ dựng thêm được một đường thẳng nữa song song với $b$.

Vậy hai góc so le trong bằng nhau và hai góc đồng vị bằng nhau.

Nhận xét. Cách 3 cho thấy tính chất ở trang 52 là hệ quả của tiên đề Euclid chứ không phải kết quả đo may mắn — đúng như câu sách viết 'Sử dụng tiên đề Euclid, người ta suy ra tính chất sau'.

Định hướng. Hai góc phải tìm đều đứng cùng phía cát tuyến với một góc đã biết, nên chỉ việc lấy $180^{\circ }$ trừ đi.

Vậy $\widehat{BMN}=120^{\circ }$ và $\widehat{ACB}=30^{\circ }$.

Định hướng. Chuyển góc lên đỉnh $A$ bằng cặp đồng vị — cặp góc dễ nhìn nhất trên hình — rồi mới hạ về góc cần tìm bằng hai góc kề bù.

Vậy $\widehat{BMN}=120^{\circ }$ và $\widehat{ACB}=30^{\circ }$.

Định hướng. Thử gán cho góc phải tìm một số đo khác rồi chỉ ra mâu thuẫn — cách này cho thấy đáp số là bắt buộc chứ không phải một khả năng.

Vậy $\widehat{ACB}=30^{\circ }$ và $\widehat{BMN}=120^{\circ }$.

Nhận xét. Cách 3 tuy dài nhưng cho thấy vì sao đáp số không thể khác: mọi số đo khác đều đẻ ra một đường thẳng thứ hai qua $N$ song song với $BC$.

Định hướng. Chuyển thẳng góc vuông từ đỉnh $A$ xuống đỉnh $B$ bằng cặp góc dễ nhìn nhất trên hình.

Vậy $\widehat{ABy}=90^{\circ }$ và $z{z}^{\prime }\perp y{y}^{\prime }$.

Định hướng. Cặp trong cùng phía cho ngay một phép trừ, khỏi phải xét tia nào trùng tia nào.

Vậy $\widehat{ABy}=90^{\circ }$, do đó $z{z}^{\prime }\perp y{y}^{\prime }$.

Định hướng. Dựng hẳn đường thẳng qua $B$ vuông góc với $z{z}^{\prime }$ rồi chứng tỏ nó chính là $y{y}^{\prime }$ — cách này không cần tới số đo nào.

Vậy $z{z}^{\prime }\perp y{y}^{\prime }$, do đó $\widehat{ABy}=90^{\circ }$.

Nhận xét. Cách 3 chính là cách chứng minh nhận xét in ở trang 53: một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.

Định hướng. Góc $\widehat{mHK}$ và góc đã cho nằm khác phía cát tuyến nên là cặp so le trong; góc còn lại lấy được ngay nhờ hai góc đối đỉnh.

Vậy $\widehat{mHK}=70^{\circ }$ và $\widehat{vHn}=70^{\circ }$.

Định hướng. Đi từ góc $\widehat{vHn}$ trước, vì nó cùng phía cát tuyến và cùng vị trí với góc $70^{\circ }$ nên là cặp đồng vị nhìn thấy ngay.

Vậy $\widehat{mHK}=70^{\circ }$ và $\widehat{vHn}=70^{\circ }$.

Định hướng. Tính trước góc $\widehat{nHK}$ nằm cùng phía với góc đã cho, sau đó hai lần dùng góc kề bù và góc đối đỉnh.

Vậy $\widehat{mHK}=70^{\circ }$ và $\widehat{vHn}=70^{\circ }$.

Nhận xét. Ba cách cùng cho thấy tại mỗi giao điểm chỉ có hai giá trị góc là $70^{\circ }$ và $110^{\circ }$ xen kẽ nhau; nhớ điều đó thì nhìn hình là đọc ra ngay số đo của cả tám góc.

Định hướng. Mỗi câu chỉ cần chỉ đúng một cặp góc: cặp so le trong để kết luận song song, cặp đồng vị để chuyển số đo góc xuống đỉnh $D$.

Vậy $Am\parallel By$ và $\widehat{CDm}=120^{\circ }$.

Định hướng. Chuyển góc $70^{\circ }$ ở $B$ lên phía trên bằng hai góc đối đỉnh để có cặp đồng vị; câu b thì hạ góc $120^{\circ }$ xuống thành góc trong rồi dùng cặp trong cùng phía.

Vậy $Am\parallel By$ và $\widehat{CDm}=120^{\circ }$.

Định hướng. Đổi cặp góc bằng nhau thành cặp góc bù nhau ở câu a; câu b thì đưa góc $120^{\circ }$ vào trong dải giữa hai đường song song bằng hai góc đối đỉnh.

Vậy $Am\parallel By$ và $\widehat{CDm}=120^{\circ }$.

Nhận xét. Ba cách chỉ khác nhau ở chỗ chọn cặp góc nào; điểm chung là câu a luôn đi theo chiều 'góc bằng nhau suy ra song song', còn câu b luôn đi theo chiều 'song song suy ra góc bằng nhau'.

Định hướng. Mỗi câu chọn đúng một cặp góc: cặp đồng vị $65^{\circ }$ trên cát tuyến $t{t}^{\prime }$ để kết luận song song, cặp so le trong trên cát tuyến $v{v}^{\prime }$ để tính góc.

Vậy $x{x}^{\prime }\parallel y{y}^{\prime }$ và $\widehat{MNB}=70^{\circ }$.

Định hướng. Hạ góc $65^{\circ }$ xuống dưới đường $x{x}^{\prime }$ bằng hai góc đối đỉnh để có cặp so le trong; câu b thì đi vòng qua góc trong cùng phía rồi trả về bằng hai góc kề bù.

Vậy $x{x}^{\prime }\parallel y{y}^{\prime }$ và $\widehat{MNB}=70^{\circ }$.

Định hướng. Đổi cặp góc bằng nhau thành cặp góc bù nhau ở câu a; câu b chuyển góc $70^{\circ }$ xuống hẳn đỉnh $N$ bằng cặp đồng vị rồi lật sang góc đối đỉnh.

Vậy $x{x}^{\prime }\parallel y{y}^{\prime }$ và $\widehat{MNB}=70^{\circ }$.

Nhận xét. Câu a chỉ dùng cát tuyến $t{t}^{\prime }$, câu b chỉ dùng cát tuyến $v{v}^{\prime }$ — hai con số $65^{\circ }$ và $70^{\circ }$ hoàn toàn không dính dáng gì tới nhau, đó là ý đồ ra đề.

Định hướng. Mỗi góc phải tìm đều nằm ở một đầu cát tuyến, đầu kia là góc đã biết — chỉ cần gọi đúng tên cặp góc.

Vậy $\widehat{ADC}=90^{\circ }$ và $\widehat{ABC}=50^{\circ }$.

Định hướng. Câu đầu không cần tính: đường thẳng vuông góc với một trong hai đường song song thì vuông góc với đường kia; câu sau đi vòng qua góc $\widehat{BCD}$.

Vậy $\widehat{ADC}=90^{\circ }$ và $\widehat{ABC}=50^{\circ }$.

Định hướng. Giả sử góc phải tìm mang một số đo khác rồi dựng thử một tia mới: sẽ sinh ra đường thẳng thứ hai qua $B$ song song với $Dy$.

Vậy $\widehat{ADC}=90^{\circ }$ và $\widehat{ABC}=50^{\circ }$.

Nhận xét. Cách 3 giải thích vì sao đáp số không thể khác: mọi số đo khác đều đẻ ra một đường thẳng thứ hai qua $B$ song song với $Dy$.

Định hướng. Hai góc $45^{\circ }$ nằm khác phía cát tuyến $AB$ nên là cặp so le trong; câu b chỉ cần một câu chữ chuyển vuông góc từ $x{x}^{\prime }$ sang $By$.

Vậy $A{x}^{\prime }\parallel By$ và $By\perp HK$.

Định hướng. Đổi cặp góc bằng nhau thành cặp góc bù nhau; câu b thì tính hẳn số đo $\widehat{HKy}$ để thấy nó bằng $90^{\circ }$.

Vậy $A{x}^{\prime }\parallel By$ và hai đường thẳng $By$, $HK$ cắt nhau tạo thành góc vuông nên $By\perp HK$.

Định hướng. Dựng hẳn đường thẳng qua $A$ song song với $By$ và đường thẳng qua $K$ vuông góc với $HK$, rồi chứng tỏ chúng trùng với các đường đã có trên hình.

Vậy $By\perp HK$.

Nhận xét. Cách 3 dùng đúng hai công cụ gốc của bài: tiên đề Euclid và tính duy nhất của tia tạo với một tia cho trước một góc cho trước.

Định hướng. Tiên đề Euclid chỉ dùng được khi điểm nằm ngoài đường thẳng, nên phải kiểm điều kiện ấy trước khi kết luận.

Vậy chỉ vẽ được một đường thẳng $a$ và một đường thẳng $b$.

Định hướng. Nhìn vào chính thao tác vẽ: mỗi bước dựng đều bị khoá bởi một số đo góc, mà tia tạo với một tia cho trước một góc cho trước thì chỉ có một.

Vậy mỗi đường thẳng $a$, $b$ chỉ có đúng một.

Định hướng. Chuyển quan hệ song song thành quan hệ vuông góc với một đường phụ, rồi dùng tính duy nhất của đường vuông góc đã học ở Bài 8.

Vậy chỉ vẽ được một đường thẳng $a$ và một đường thẳng $b$.

Nhận xét. Ba cách đều quay về một điểm tựa: qua một điểm ở ngoài một đường thẳng, mọi cách dựng đường song song đều cho ra cùng một kết quả.

Định hướng. Mỗi câu chỉ cần chỉ đúng một cặp góc bằng nhau kèm tên cát tuyến; riêng câu c không cần góc nào.

Vậy $MN\parallel EF$, $HK\parallel EF$ và $HK\parallel MN$.

Định hướng. Biến mỗi cặp góc bằng nhau thành một cặp góc bù nhau bằng hai góc kề bù; câu c thì kẻ một đường vuông góc chung để dùng dấu hiệu vuông góc.

Vậy $HK\parallel MN$.

Định hướng. Dựng hẳn đường thẳng qua $N$ (qua $K$) song song với $EF$ rồi chứng tỏ nó chính là $MN$ (là $HK$); câu c dùng phản chứng.

Vậy $MN\parallel EF$, $HK\parallel EF$ và $HK\parallel MN$.

Nhận xét. Câu c là ví dụ đẹp của nhận xét trang 53 — hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau; gốc của nhận xét ấy chính là tiên đề Euclid.