Bài 2. Cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ

Định hướng. Mẫu $8$ và $12$ đều là ước của $24$ nên đưa cả hai phân số về mẫu chung $24$ là gọn nhất.

Vậy a) $\frac{-7}{8}+\frac{5}{12}=\frac{-11}{24}$; b) $\frac{-5}{7}-\frac{8}{21}=\frac{-23}{21}$.

Định hướng. Nếu kết quả cộng (trừ) là đúng thì lấy kết quả đó trừ (cộng) ngược lại với một số hạng phải quay về đúng số hạng còn lại.

Vậy kết quả ở Cách 1 đều đúng: $\frac{-7}{8}+\frac{5}{12}=\frac{-11}{24}$; $\frac{-5}{7}-\frac{8}{21}=\frac{-23}{21}$.

Định hướng. Khi chưa kịp tìm mẫu chung nhỏ nhất, có thể lấy luôn tích hai mẫu làm mẫu chung: số sẽ to hơn nhưng khỏi phải đi tìm bội chung, cuối cùng rút gọn kết quả là xong.

Vậy a) $\frac{-11}{24}$; b) $\frac{-23}{21}$, trùng khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Cách 1 quy đồng theo mẫu chung nhỏ nhất nên số gọn nhất; Cách 2 thử lại bằng phép tính ngược nên yên tâm về kết quả; Cách 3 khỏi phải tìm bội chung, rất tiện khi hai mẫu số lớn và không nhìn ra ngay bội chung nhỏ nhất, đổi lại phải rút gọn ở bước cuối.

Định hướng. Hỗn số và số thập phân đều đổi được về phân số, nên quy tất cả về một mẫu chung là tính được ngay.

Vậy a) $0,25+1\frac{5}{12}=\frac{5}{3}$; b) $-1,4-\frac{3}{5}=-2$.

Định hướng. $0,25=\frac{1}{4}$ và $\frac{5}{12}$ đều có mẫu chia hết cho $4$, còn $-1,4=\frac{-7}{5}$ và $\frac{3}{5}$ đã sẵn cùng mẫu $5$; tách phần nguyên của hỗn số ra tính riêng cho gọn.

Vậy a) $0,25+1\frac{5}{12}=\frac{5}{3}$; b) $-1,4-\frac{3}{5}=-2$.

Định hướng. Câu a) tách hỗn số thành phần nguyên cộng phần phân số để chỉ phải cộng hai phân số nhỏ; câu b) đổi $\frac{3}{5}$ ra số thập phân rồi trừ hai số thập phân cho nhanh.

Vậy a) $\frac{5}{3}$; b) $-2$, trùng khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Cách 1 đổi hết về phân số nên đúng yêu cầu của đề; Cách 2 nhóm phần thập phân với phần phân số nên tính nhanh; Cách 3 giữ nguyên phần nguyên của hỗn số nên các số phải cộng đều bé, còn câu b) thì đổi ra thập phân là ngắn nhất.

Định hướng. Trừ đi một số âm chính là cộng với số đối dương của nó, nên đưa cả hai câu về phép cộng cho dễ tính.

Vậy a) $(-7)-\left(-\frac{5}{8}\right)=\frac{-51}{8}$; b) $-21,25+13,3=-7,95$.

Định hướng. Đổi $\frac{5}{8}$ sang số thập phân và ngược lại đổi $-21,25;13,3$ sang phân số mẫu $100$ để kiểm tra chéo kết quả của Cách 1.

Vậy hai cách cho cùng kết quả: a) $\frac{-51}{8}$; b) $-7,95$.

Định hướng. Cả hai câu đều đưa được về tổng của hai số khác dấu, khi đó lấy giá trị tuyệt đối lớn trừ giá trị tuyệt đối bé rồi đặt dấu của số có giá trị tuyệt đối lớn hơn.

Vậy a) $\frac{-51}{8}$; b) $-7,95$, trùng khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Cách 1 bám đúng quy tắc trừ hai số hữu tỉ; Cách 2 đưa về cùng một dạng nên dễ đối chiếu; Cách 3 chỉ làm việc với hai số dương rồi đặt dấu ở bước cuối nên gần như không thể sai dấu, rất hợp khi tính nhẩm.

Định hướng. Ngoặc nào ở trong cùng thì bỏ trước; mỗi lần bỏ ngoặc có dấu trừ đằng trước phải đổi dấu toàn bộ các số hạng bên trong.

Vậy a) $\frac{9}{10}-\left(\frac{6}{5}-\frac{7}{4}\right)=\frac{29}{20}$; b) $6,5+\left[0,75-(8,25-1,75)\right]=0,75$.

Định hướng. Vì trong ngoặc chỉ có một phép trừ nên tính gọn giá trị của ngoặc đó trước, sau đó thay hẳn một số vào biểu thức ngoài.

Vậy hai cách cho cùng kết quả: a) $\frac{29}{20}$; b) $0,75$.

Định hướng. Câu a) ba phân số đều đổi ra số thập phân hữu hạn nên tính nhẩm được ngay; câu b) sau khi bỏ ngoặc thì $6,5$ và $1,75$ ghép lại vừa đúng $8,25$ nên triệt tiêu với số hạng $-8,25$.

Vậy a) $\frac{29}{20}$; b) $0,75$, trùng khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Cách 1 bỏ ngoặc theo đúng quy tắc, an toàn nhất khi mới học; Cách 2 tính gọn từng ngoặc nên ít nhầm dấu; Cách 3 mượn số thập phân và mẹo ghép cặp tròn nên nhẩm được, nhưng chỉ dùng được vì các mẫu ở đây đều đổi ra thập phân hữu hạn.

Định hướng. Từ 100 gam khoai tây khô, mỗi lần trừ đi khối lượng một chất đã biết thì phần còn lại chính là khối lượng của các chất chưa kể tới.

Vậy khối lượng các chất khác trong 100 gam khoai tây khô là $7$ gam.

Định hướng. Áp dụng tính chất giao hoán, kết hợp để cộng gộp bốn khối lượng đã biết thành một số duy nhất rồi mới trừ, tránh trừ nhiều lần dễ sai số thập phân.

Vậy khối lượng các chất khác là $7$ gam.

Định hướng. Gọi $x$ (gam) là khối lượng các chất khác trong $100$ gam khoai tây khô; khi đó $x$ là số hạng chưa biết trong tổng khối lượng của tất cả các thành phần.

Vậy $x=7$, trong $100$ gam khoai tây khô có $7$ gam các chất khác.

Nhận xét. Cách 1 trừ dần từng chất, dễ hiểu nhưng bốn phép trừ liên tiếp; Cách 2 cộng gộp rồi trừ một lần nên nhanh nhất; Cách 3 đặt chữ cho đại lượng phải tìm nên dùng lại được cho cả bài hỏi ngược, chẳng hạn cho biết phần các chất khác rồi tìm lượng glucid.

Định hướng. Đưa số thập phân và hỗn số về phân số, sau đó áp dụng đúng quy tắc nhân hoặc chia phân số.

Vậy a) $0,36\cdot \frac{-5}{9}=\frac{-1}{5}$; b) $\frac{-7}{6}:1\frac{5}{7}=\frac{-49}{72}$.

Định hướng. Trước khi nhân các tử và các mẫu, tìm ước chung của một tử với một mẫu để rút gọn ngay, tránh nhân ra số lớn rồi mới rút gọn.

Vậy a) $\frac{-1}{5}$; b) $\frac{-49}{72}$, khớp với Cách 1.

Định hướng. Câu a) tách phép nhân với phân số thành phép chia rồi phép nhân để tính nhẩm bằng số thập phân; câu b) nhân thương vừa tìm với số chia, ra đúng số bị chia thì kết quả chắc chắn đúng.

Vậy a) $\frac{-1}{5}$; b) $\frac{-49}{72}$, phép nhân ngược ở câu b) cho lại đúng số bị chia $\frac{-7}{6}$.

Nhận xét. Cách 1 làm đúng trình tự sách nêu; Cách 2 rút gọn trước nên số nhỏ nhất; Cách 3 không thay thế được hai cách trên mà là bước thử lại, đặc biệt đáng làm với phép chia vì đó là chỗ hay sai nhất.

Định hướng. Xác định dấu của kết quả trước theo quy tắc dấu, sau đó nhân (chia) các giá trị tuyệt đối.

Vậy a) $\left(-\frac{9}{13}\right)\cdot \left(-\frac{4}{5}\right)=\frac{36}{65}$; b) $-0,7:\frac{3}{2}=\frac{-7}{15}$.

Định hướng. Nếu tích (thương) đã tìm là đúng thì lấy kết quả chia (nhân) ngược lại cho một thừa số phải quay về đúng thừa số còn lại.

Vậy hai kết quả ở Cách 1 đều đúng: a) $\frac{36}{65}$; b) $\frac{-7}{15}$.

Định hướng. Câu a) đổi gần đúng ra số thập phân để ước lượng tích rồi đối chiếu với kết quả đã tính; câu b) đổi $\frac{3}{2}$ thành $1,5$ rồi chia thẳng hai số thập phân.

Vậy a) $\frac{36}{65}$, giá trị gần đúng $0,554$ khớp với ước lượng $0,552$; b) $\frac{-7}{15}$.

Nhận xét. Cách 1 áp dụng thẳng quy tắc dấu nên ngắn nhất; Cách 2 thử lại bằng phép tính ngược; Cách 3 chỉ là bước ước lượng để phát hiện sai sót lớn — nó không thay được lời giải chính vì $\frac{9}{13}$ chỉ viết được gần đúng dưới dạng số thập phân.

Định hướng. Cả hai số hạng đều có thừa số $\frac{7}{6}$ nên đặt thừa số chung ra ngoài để chỉ còn một phép nhân duy nhất.

Vậy $\frac{7}{6}\cdot 3\frac{1}{4}+\frac{7}{6}\cdot (-0,25)=\frac{7}{2}$.

Định hướng. Không dùng tính chất phân phối mà nhân trực tiếp từng tích, rồi cộng hai kết quả để kiểm tra chéo với Cách 1.

Vậy $\frac{7}{6}\cdot 3\frac{1}{4}+\frac{7}{6}\cdot (-0,25)=\frac{7}{2}$, khớp với Cách 1.

Định hướng. Tách $3\frac{1}{4}$ thành $3+0,25$ rồi nhân phân phối; khi đó hai số hạng chứa $0,25$ triệt tiêu nhau, chỉ còn lại một phép nhân duy nhất.

Vậy $\frac{7}{6}\cdot 3\frac{1}{4}+\frac{7}{6}\cdot (-0,25)=\frac{7}{2}$, trùng khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Cách 1 đặt thừa số chung, ngắn và chuẩn mực; Cách 2 nhân riêng từng tích để kiểm tra chéo; Cách 3 cho thấy vì sao đề chọn đúng cặp $3\frac{1}{4}$ và $-0,25$ — phần lẻ triệt tiêu, mẹo này dùng lại được ở nhiều bài tính nhanh khác.

Định hướng. Cắt đúng hai tấm ảnh khỏi tờ giấy thì diện tích còn lại bằng diện tích cả tờ giấy trừ đi tổng diện tích hai tấm ảnh đã cắt.

Vậy diện tích phần giấy ảnh còn lại là $302,64{\text{ cm}}^2$.

Định hướng. Thay vì cộng gộp diện tích hai tấm ảnh, lấy diện tích tờ giấy trừ lần lượt từng tấm ảnh một, kiểm tra chéo với Cách 1.

Vậy diện tích phần giấy ảnh còn lại là $302,64{\text{ cm}}^2$, khớp với Cách 1.

Định hướng. Phép nhân hai số thập phân dễ sai dấu phẩy, nên tách $27,9$ thành $28-0,1$ để chỉ còn nhân với số tròn rồi trừ đi một lượng nhỏ.

Vậy diện tích phần giấy ảnh còn lại là $302,64{\text{ cm}}^2$, trùng khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Cách 1 và Cách 2 khác nhau ở chỗ trừ gộp hay trừ dần; Cách 3 không đổi cách nghĩ mà đổi cách tính — tách một thừa số về số tròn là mẹo nhân nhẩm dùng được cho mọi phép nhân số thập phân có đuôi $9$.

Định hướng. Rút gọn các phân số chưa tối giản và đổi hỗn số về phân số trước khi thực hiện phép tính, để các số làm việc luôn nhỏ nhất có thể.

Vậy a) $\frac{1}{3}$; b) $\frac{19}{6}$; c) $0,28$; d) $\frac{-25}{11}$.

Định hướng. Với các câu có số thập phân hoặc hỗn số, đổi toàn bộ về phân số mẫu $100$ hoặc mẫu chung rồi tính, để kiểm tra chéo với Cách 1.

Vậy bốn kết quả khớp với Cách 1: a) $\frac{1}{3}$; b) $\frac{19}{6}$; c) $0,28$; d) $\frac{-25}{11}$.

Định hướng. Mỗi phép tính đều có phép tính ngược của nó: lấy kết quả làm phép ngược lại, nếu ra đúng số ban đầu thì bài làm chắc chắn đúng.

Vậy bốn kết quả a) $\frac{1}{3}$; b) $\frac{19}{6}$; c) $0,28$; d) $\frac{-25}{11}$ đều được phép tính ngược xác nhận là đúng.

Nhận xét. Cách 1 rút gọn trước nên nhanh nhất; Cách 2 đưa về cùng một dạng nên trình bày đều tay; Cách 3 là bước kiểm tra bắt buộc nên tập thành thói quen — mỗi phép tính chỉ mất thêm một dòng mà loại được gần hết lỗi sai dấu.

Định hướng. Mỗi ngoặc là một tổng hoặc hiệu độc lập, quy về mẫu chung rồi tính gọn từng ngoặc, sau đó mới cộng trừ (chia) các kết quả với nhau.

Vậy a) giá trị biểu thức bằng $3$; b) giá trị biểu thức bằng $\frac{46}{33}$.

Định hướng. Bỏ dấu ngoặc theo đúng quy tắc dấu, rồi gom các hạng tử nguyên riêng, các phân số riêng để cộng trừ cho gọn.

Vậy hai kết quả khớp với Cách 1: a) $3$; b) $\frac{46}{33}$.

Định hướng. Câu a) nhân từng ngoặc với $15$ để mọi phân số biến mất, tính xong chia lại cho $15$; câu b) nhân cả số bị chia và số chia với $8$ thì thương không đổi mà hết sạch phân số.

Vậy a) giá trị biểu thức bằng $3$; b) giá trị biểu thức bằng $\frac{46}{33}$, trùng khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Cách 1 tính gọn từng ngoặc, chuẩn mực nhất; Cách 2 bỏ ngoặc rồi nhóm các hạng tử triệt tiêu, nhanh khi nhìn ra cặp đối nhau; Cách 3 khử mẫu ngay từ đầu nên toàn bộ phép tính chỉ còn trên số nguyên, ít sai nhất khi biểu thức có nhiều mẫu số khác nhau.

Định hướng. Số mục tiêu $-105$ có giá trị tuyệt đối khá lớn nên ưu tiên thử nhân ba trong bốn số với nhau trước, rồi cộng số còn lại.

Vậy biểu thức cần tìm là $10\cdot (-2)\cdot 4+(-25)=-105$.

Định hướng. Nhóm hai số $-2$ và $4$ nhân với nhau trước, rồi nhân tiếp với $10$, để kiểm tra biểu thức ở Cách 1 có đúng với mọi cách nhóm hay không.

Vậy $10\cdot \left[(-2)\cdot 4\right]+(-25)=-105$, khớp với biểu thức ở Cách 1 vì phép nhân có tính chất kết hợp.

Định hướng. Xuất phát từ số mục tiêu $-105$, tách nó thành tổng của một số tròn chục với số $-25$ có sẵn trên lá, rồi tìm cách dùng ba số còn lại tạo ra phần tròn chục đó.

Vậy một biểu thức thoả mãn là $10\cdot (-2)\cdot 4+(-25)=-105$.

Nhận xét. Cách 1 thử từ các phép nhân, Cách 2 kiểm tra lại bằng cách nhóm khác; Cách 3 đi ngược từ đáp án nên tìm ra nhanh nhất và còn gợi thêm đáp án khác, chẳng hạn $(-25)\cdot 4+10:(-2)=-105$.

Định hướng. Bốn số hạng ghép được thành hai cặp có chung thừa số $78$ và chung thừa số $2020$, nên đặt riêng từng thừa số chung ra ngoài.

Vậy $0,65\cdot 78+2\frac{1}{5}\cdot 2020+0,35\cdot 78-2,2\cdot 2020=78$.

Định hướng. Không dùng tính chất phân phối mà nhân trực tiếp từng cặp số, rồi cộng trừ bốn kết quả để kiểm tra chéo với Cách 1.

Vậy kết quả khớp với Cách 1: giá trị biểu thức bằng $78$.

Định hướng. Đặt $a=78$ và $b=2020$ để nhìn rõ cấu trúc của biểu thức; khi đó phần chứa $b$ tự triệt tiêu, chỉ còn phần chứa $a$.

Vậy giá trị biểu thức bằng $78$, trùng khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Cách 1 nhóm thẳng trên số liệu, ngắn nhất khi làm bài; Cách 2 nhân ra số lớn để kiểm tra chéo; Cách 3 thay hai số lặp bằng chữ nên thấy ngay cấu trúc $0,65a+0,35a$ và $2,2b-2,2b$, đây chính là lối nghĩ sẽ dùng suốt phần đại số từ lớp 8.

Định hướng. Xếp liên tiếp các cuốn sách dày như nhau vào ngăn thì số cuốn nhiều nhất chính là thương của độ dài ngăn với bề dày một cuốn.

Vậy ngăn sách đó để được nhiều nhất $50$ cuốn sách.

Định hướng. Nếu $50$ cuốn sách vừa khít ngăn thì lấy $50$ nhân với bề dày một cuốn phải đúng bằng độ dài $120$ cm của ngăn.

Vậy $50$ cuốn sách dày $2,4$ cm xếp vừa khít ngăn dài $120$ cm, khớp với kết quả ở Cách 1.

Định hướng. Đổi cả hai độ dài sang mi-li-mét để khử số thập phân, khi đó phép chia chỉ còn là chia hai số tự nhiên.

Vậy ngăn sách đó để được nhiều nhất $50$ cuốn sách.

Nhận xét. Cách 1 chia thẳng hai số thập phân, đúng mạch bài toán; Cách 2 nhân ngược để thử lại; Cách 3 đổi đơn vị nên xoá hẳn dấu phẩy — mẹo này dùng được cho mọi bài chia số đo có phần thập phân.