Bài 2. Cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ

Định hướng. Mẫu $8$ và $12$ đều là ước của $24$ nên đưa cả hai phân số về mẫu chung $24$ là gọn nhất.

Vậy a) $\frac{-7}{8}+\frac{5}{12}=\frac{-11}{24}$; b) $\frac{-5}{7}-\frac{8}{21}=\frac{-23}{21}$.

Định hướng. Nếu kết quả cộng (trừ) là đúng thì lấy kết quả đó trừ (cộng) ngược lại với một số hạng phải quay về đúng số hạng còn lại.

Vậy kết quả ở Cách 1 đều đúng: $\frac{-7}{8}+\frac{5}{12}=\frac{-11}{24}$; $\frac{-5}{7}-\frac{8}{21}=\frac{-23}{21}$.

Nhận xét. Phép thử lại không tạo ra kết quả mới nhưng phát hiện ngay sai sót nếu quy đồng nhầm mẫu.

Định hướng. Hỗn số và số thập phân đều đổi được về phân số, nên quy tất cả về một mẫu chung là tính được ngay.

Vậy a) $0,25+1\frac{5}{12}=\frac{5}{3}$; b) $-1,4-\frac{3}{5}=-2$.

Định hướng. $0,25=\frac{1}{4}$ và $\frac{5}{12}$ đều có mẫu chia hết cho $4$, còn $-1,4=\frac{-7}{5}$ và $\frac{3}{5}$ đã sẵn cùng mẫu $5$; tách phần nguyên của hỗn số ra tính riêng cho gọn.

Vậy a) $0,25+1\frac{5}{12}=\frac{5}{3}$; b) $-1,4-\frac{3}{5}=-2$.

Nhận xét. Hai cách cho cùng kết quả; tách riêng phần nguyên ở Cách 2 giúp cộng trừ phần phân số với các số nhỏ hơn, đỡ nhầm lẫn.

Định hướng. Trừ đi một số âm chính là cộng với số đối dương của nó, nên đưa cả hai câu về phép cộng cho dễ tính.

Vậy a) $(-7)-\left(-\frac{5}{8}\right)=\frac{-51}{8}$; b) $-21,25+13,3=-7,95$.

Định hướng. Đổi $\frac{5}{8}$ sang số thập phân và ngược lại đổi $-21,25;13,3$ sang phân số mẫu $100$ để kiểm tra chéo kết quả của Cách 1.

Vậy hai cách cho cùng kết quả: a) $\frac{-51}{8}$; b) $-7,95$.

Nhận xét. Cách 2 hữu ích khi cần so sánh nhanh một phân số với một số thập phân trong cùng một bài toán.

Định hướng. Ngoặc nào ở trong cùng thì bỏ trước; mỗi lần bỏ ngoặc có dấu trừ đằng trước phải đổi dấu toàn bộ các số hạng bên trong.

Vậy a) $\frac{9}{10}-\left(\frac{6}{5}-\frac{7}{4}\right)=\frac{29}{20}$; b) $6,5+\left[0,75-(8,25-1,75)\right]=0,75$.

Định hướng. Vì trong ngoặc chỉ có một phép trừ nên tính gọn giá trị của ngoặc đó trước, sau đó thay hẳn một số vào biểu thức ngoài.

Vậy hai cách cho cùng kết quả: a) $\frac{29}{20}$; b) $0,75$.

Nhận xét. Cách 2 (tính trong ngoặc trước) nhanh hơn khi ngoặc chỉ có hai số; Cách 1 (bỏ ngoặc rồi nhóm) tiện hơn khi biểu thức có nhiều số hạng đan xen.

Định hướng. Từ 100 gam khoai tây khô, mỗi lần trừ đi khối lượng một chất đã biết thì phần còn lại chính là khối lượng của các chất chưa kể tới.

Vậy khối lượng các chất khác trong 100 gam khoai tây khô là $7$ gam.

Định hướng. Áp dụng tính chất giao hoán, kết hợp để cộng gộp bốn khối lượng đã biết thành một số duy nhất rồi mới trừ, tránh trừ nhiều lần dễ sai số thập phân.

Vậy khối lượng các chất khác là $7$ gam.

Nhận xét. Cách 2 chỉ trừ đúng một lần nên ít bước tính hơn Cách 1, phù hợp khi đề có nhiều thành phần cần cộng trước.

Định hướng. Đưa số thập phân và hỗn số về phân số, sau đó áp dụng đúng quy tắc nhân hoặc chia phân số.

Vậy a) $0,36\cdot \frac{-5}{9}=\frac{-1}{5}$; b) $\frac{-7}{6}:1\frac{5}{7}=\frac{-49}{72}$.

Định hướng. Trước khi nhân các tử và các mẫu, tìm ước chung của một tử với một mẫu để rút gọn ngay, tránh nhân ra số lớn rồi mới rút gọn.

Vậy a) $\frac{-1}{5}$; b) $\frac{-49}{72}$, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Rút gọn $\frac{36}{9}$ trước khi nhân giúp con số ở mỗi bước nhỏ hơn hẳn so với nhân $36\cdot (-5)$ rồi mới rút gọn phân số $\frac{-180}{900}$.

Định hướng. Xác định dấu của kết quả trước theo quy tắc dấu, sau đó nhân (chia) các giá trị tuyệt đối.

Vậy a) $\left(-\frac{9}{13}\right)\cdot \left(-\frac{4}{5}\right)=\frac{36}{65}$; b) $-0,7:\frac{3}{2}=\frac{-7}{15}$.

Định hướng. Nếu tích (thương) đã tìm là đúng thì lấy kết quả chia (nhân) ngược lại cho một thừa số phải quay về đúng thừa số còn lại.

Vậy hai kết quả ở Cách 1 đều đúng: a) $\frac{36}{65}$; b) $\frac{-7}{15}$.

Nhận xét. Phép thử lại dùng đúng quan hệ ngược của nhân và chia nên phát hiện được ngay nếu tính nhầm dấu hoặc nhầm số nghịch đảo.

Định hướng. Cả hai số hạng đều có thừa số $\frac{7}{6}$ nên đặt thừa số chung ra ngoài để chỉ còn một phép nhân duy nhất.

Vậy $\frac{7}{6}\cdot 3\frac{1}{4}+\frac{7}{6}\cdot (-0,25)=\frac{7}{2}$.

Định hướng. Không dùng tính chất phân phối mà nhân trực tiếp từng tích, rồi cộng hai kết quả để kiểm tra chéo với Cách 1.

Vậy $\frac{7}{6}\cdot 3\frac{1}{4}+\frac{7}{6}\cdot (-0,25)=\frac{7}{2}$, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 đặt thừa số chung chỉ cần nhân một lần nên nhanh và ít khả năng sai hơn hẳn Cách 2.

Định hướng. Cắt đúng hai tấm ảnh khỏi tờ giấy thì diện tích còn lại bằng diện tích cả tờ giấy trừ đi tổng diện tích hai tấm ảnh đã cắt.

Vậy diện tích phần giấy ảnh còn lại là $302,64{\text{ cm}}^2$.

Định hướng. Thay vì cộng gộp diện tích hai tấm ảnh, lấy diện tích tờ giấy trừ lần lượt từng tấm ảnh một, kiểm tra chéo với Cách 1.

Vậy diện tích phần giấy ảnh còn lại là $302,64{\text{ cm}}^2$, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Hai cách cho cùng kết quả; Cách 1 gộp diện tích hai ảnh trước nên chỉ trừ một lần, gọn hơn khi số tấm ảnh nhiều.

Định hướng. Rút gọn các phân số chưa tối giản và đổi hỗn số về phân số trước khi thực hiện phép tính, để các số làm việc luôn nhỏ nhất có thể.

Vậy a) $\frac{1}{3}$; b) $\frac{19}{6}$; c) $0,28$; d) $\frac{-25}{11}$.

Định hướng. Với các câu có số thập phân hoặc hỗn số, đổi toàn bộ về phân số mẫu $100$ hoặc mẫu chung rồi tính, để kiểm tra chéo với Cách 1.

Vậy bốn kết quả khớp với Cách 1: a) $\frac{1}{3}$; b) $\frac{19}{6}$; c) $0,28$; d) $\frac{-25}{11}$.

Nhận xét. Rút gọn trước khi tính (Cách 1) luôn cho các bước gọn hơn hẳn so với nhân mẫu số lớn rồi rút gọn sau (Cách 2).

Định hướng. Mỗi ngoặc là một tổng hoặc hiệu độc lập, quy về mẫu chung rồi tính gọn từng ngoặc, sau đó mới cộng trừ (chia) các kết quả với nhau.

Vậy a) giá trị biểu thức bằng $3$; b) giá trị biểu thức bằng $\frac{46}{33}$.

Định hướng. Bỏ dấu ngoặc theo đúng quy tắc dấu, rồi gom các hạng tử nguyên riêng, các phân số riêng để cộng trừ cho gọn.

Vậy hai kết quả khớp với Cách 1: a) $3$; b) $\frac{46}{33}$.

Nhận xét. Ở câu a), gom các số nguyên và các hỗn số đối nhau lại (Cách 2) giúp tính nhẩm nhanh hơn hẳn so với quy đồng cả một dãy dài (Cách 1).

Định hướng. Số mục tiêu $-105$ có giá trị tuyệt đối khá lớn nên ưu tiên thử nhân ba trong bốn số với nhau trước, rồi cộng số còn lại.

Vậy biểu thức cần tìm là $10\cdot (-2)\cdot 4+(-25)=-105$.

Định hướng. Nhóm hai số $-2$ và $4$ nhân với nhau trước, rồi nhân tiếp với $10$, để kiểm tra biểu thức ở Cách 1 có đúng với mọi cách nhóm hay không.

Vậy $10\cdot \left[(-2)\cdot 4\right]+(-25)=-105$, khớp với biểu thức ở Cách 1 vì phép nhân có tính chất kết hợp.

Nhận xét. Vì phép nhân có tính chất kết hợp nên nhóm ba số $10;-2;4$ theo thứ tự nào cũng cho cùng kết quả $-80$ trước khi cộng $-25$.

Định hướng. Bốn số hạng ghép được thành hai cặp có chung thừa số $78$ và chung thừa số $2020$, nên đặt riêng từng thừa số chung ra ngoài.

Vậy $0,65\cdot 78+2\frac{1}{5}\cdot 2020+0,35\cdot 78-2,2\cdot 2020=78$.

Định hướng. Không dùng tính chất phân phối mà nhân trực tiếp từng cặp số, rồi cộng trừ bốn kết quả để kiểm tra chéo với Cách 1.

Vậy kết quả khớp với Cách 1: giá trị biểu thức bằng $78$.

Nhận xét. Cách 1 nhận ra ngay hai thừa số chung nên chỉ cần cộng $0,65+0,35=1$ và trừ $2,2-2,2=0$, nhanh hơn nhiều so với nhân ra số lớn $4444$ ở Cách 2.

Định hướng. Xếp liên tiếp các cuốn sách dày như nhau vào ngăn thì số cuốn nhiều nhất chính là thương của độ dài ngăn với bề dày một cuốn.

Vậy ngăn sách đó để được nhiều nhất $50$ cuốn sách.

Định hướng. Nếu $50$ cuốn sách vừa khít ngăn thì lấy $50$ nhân với bề dày một cuốn phải đúng bằng độ dài $120$ cm của ngăn.

Vậy $50$ cuốn sách dày $2,4$ cm xếp vừa khít ngăn dài $120$ cm, khớp với kết quả ở Cách 1.

Nhận xét. Ở bài này thương $120:2,4$ đúng bằng số tự nhiên $50$ nên ngăn sách xếp vừa khít, không dư khoảng trống nào.