Bài 3. Luỹ thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ

Định hướng. Định nghĩa luỹ thừa cho biết $a^n$ gồm đúng $n$ thừa số $a$ nhân với nhau, nên chỉ cần khớp mỗi tích đã cho với khuôn đó là đọc ra ngay cơ số và số mũ.

Vậy $2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^4$ (cơ số $2$, số mũ $4$); $5\cdot 5\cdot 5=5^3$ (cơ số $5$, số mũ $3$).

Định hướng. Nếu viết đúng luỹ thừa thì giá trị của luỹ thừa đó phải bằng đúng giá trị của tích ban đầu, nên tính riêng từng vế là cách kiểm chứng độc lập với việc đếm thừa số.

Vậy $2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^4$ (cơ số $2$, số mũ $4$); $5\cdot 5\cdot 5=5^3$ (cơ số $5$, số mũ $3$).

Nhận xét. Hai cách cho cùng kết quả; Cách 1 đọc thẳng ra cơ số và số mũ mà không cần tính số, còn Cách 2 dùng để kiểm tra lại khi chưa chắc chắn.

Định hướng. Nhân dần từng cặp một theo đúng thứ tự viết trong đề luôn cho ra kết quả đúng, không cần biết trước dấu của tích.

Vậy a) $(-2)\cdot (-2)\cdot (-2)=-8$; b) $(-0,5)\cdot (-0,5)=0,25$; c) $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{16}$.

Định hướng. Đếm số thừa số âm để biết ngay dấu của tích, sau đó chỉ còn việc nhân các giá trị tuyệt đối với nhau.

Vậy a) $(-2)\cdot (-2)\cdot (-2)=-8$; b) $(-0,5)\cdot (-0,5)=0,25$; c) $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{16}$.

Nhận xét. Cách 2 chỉ cần đếm dấu trừ thay vì nhân dần từng bước, nên nhanh hơn khi có nhiều thừa số âm.

Định hướng. Ba biểu thức ở HĐ2 đều là tích của các thừa số giống hệt nhau, nên đếm đúng số thừa số là viết được ngay luỹ thừa tương ứng.

Vậy $(-2)\cdot (-2)\cdot (-2)=(-2{)}^3$; $(-0,5)\cdot (-0,5)=(-0,5{)}^2$; $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}={\left(\frac{1}{2}\right)}^4$.

Định hướng. Nếu viết đúng luỹ thừa thì giá trị của nó phải khớp với kết quả đã tính ở HĐ2, nên tính lại từng luỹ thừa để đối chiếu.

Vậy $(-2)\cdot (-2)\cdot (-2)=(-2{)}^3$; $(-0,5)\cdot (-0,5)=(-0,5{)}^2$; $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}={\left(\frac{1}{2}\right)}^4$, vì cả ba giá trị đều trùng với HĐ2.

Nhận xét. Cách 2 dùng số liệu đã có sẵn ở HĐ2 để kiểm chứng, không phải đếm lại thừa số từ đầu.

Định hướng. Viết thẳng luỹ thừa thành tích các thừa số bằng nhau rồi nhân dần là cách làm không cần nhớ thêm công thức nào khác.

Vậy a) ${\left(-\frac{4}{5}\right)}^4=\frac{256}{625}$; b) $(0,7{)}^3=0,343$.

Định hướng. Số mũ $4$ là số chẵn nên trước hết bỏ dấu âm ở cơ số, sau đó dùng công thức luỹ thừa của một thương để tách riêng tử và mẫu; câu b) đổi số thập phân sang phân số để tính đúng bằng số nguyên.

Vậy a) ${\left(-\frac{4}{5}\right)}^4=\frac{256}{625}$; b) $(0,7{)}^3=0,343$.

Nhận xét. Cách 2 tránh nhân nhiều lần số thập phân âm, giảm khả năng nhầm dấu ở các bước trung gian.

Định hướng. Ba phép tính đều có hai luỹ thừa cùng số mũ, nên gộp thẳng về luỹ thừa của một tích hoặc một thương rồi mới tính giá trị.

Vậy a) ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{10}\cdot 3^{10}=1024$; b) $(-125{)}^3:25^3=-125$; c) $(0,08{)}^3\cdot 10^3=0,512$.

Định hướng. Tính giá trị của mỗi luỹ thừa trước rồi mới nhân hoặc chia là cách làm không cần nhớ công thức gộp, dùng để kiểm tra lại Cách 1.

Vậy a) ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{10}\cdot 3^{10}=1024$; b) $(-125{)}^3:25^3=-125$; c) $(0,08{)}^3\cdot 10^3=0,512$.

Nhận xét. Cách 1 nhanh gọn hơn hẳn vì tránh được các số rất lớn hoặc rất nhỏ như $59049$ hay $0,000512$.

Định hướng. Thể tích hình lập phương là tích ba cạnh bằng nhau, đúng ba thừa số $a$, nên viết gọn theo định nghĩa luỹ thừa rồi thay cạnh cụ thể của bể chứa vào công thức đó.

Vậy công thức thể tích hình lập phương là $V=a^3$; lượng nước trên Trái Đất được tính bằng biểu thức luỹ thừa $(1111,34{)}^3$ kilômét khối.

Định hướng. Bài toán mở đầu đã cho sẵn phép tính $1111,34\times 1111,34\times 1111,34$; đối chiếu phép tính đó với khuôn $a\cdot a\cdot a=a^3$ để kiểm tra biểu thức luỹ thừa vừa lập.

Vậy biểu thức luỹ thừa để tính lượng nước trên Trái Đất là $(1111,34{)}^3$ kilômét khối, đúng khớp với công thức $V=a^3$ ở Cách 1.

Nhận xét. $(1111,34{)}^3\approx 1372590023,75$ kilômét khối, một số quá lớn nên viết dưới dạng luỹ thừa gọn hơn nhiều so với ghi đủ ba thừa số.

Định hướng. Tính hẳn giá trị của mỗi luỹ thừa theo định nghĩa rồi nhân hoặc chia là cách chắc chắn đúng, không cần biết trước quy tắc tổng quát.

Vậy a) $(-3{)}^2\cdot (-3{)}^4=(-3{)}^6(=729)$; b) $0,6^3:0,6^2=0,6$.

Định hướng. Vì hai luỹ thừa trong mỗi phép tính có cùng cơ số, ta cộng số mũ khi nhân và trừ số mũ khi chia mà không cần tính ra giá trị cụ thể.

Vậy a) $(-3{)}^2\cdot (-3{)}^4=(-3{)}^6$; b) $0,6^3:0,6^2=0,6$.

Nhận xét. Hai cách cho cùng kết quả; Cách 2 không cần tính số cụ thể nên áp dụng được cả khi số mũ rất lớn.

Định hướng. Cả hai phép tính đều có hai luỹ thừa cùng cơ số nên áp dụng ngay quy tắc cộng số mũ khi nhân, trừ số mũ khi chia.

Vậy $(-2{)}^3\cdot (-2{)}^4=(-2{)}^7$ ; $(0,25{)}^7:(0,25{)}^3=(0,25{)}^4$.

Định hướng. Đổi $0,25=\frac{1}{4}$ rồi tính giá trị từng luỹ thừa để đối chiếu, xem kết quả có trùng với luỹ thừa vừa viết ở Cách 1 hay không.

Vậy $(-2{)}^3\cdot (-2{)}^4=(-2{)}^7(=-128)$ ; $(0,25{)}^7:(0,25{)}^3=(0,25{)}^4\left(=\frac{1}{256}\right)$, đúng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 tốn công tính số lớn hoặc số rất nhỏ, chỉ nên dùng để kiểm tra lại kết quả của Cách 1.

Định hướng. Viết ${\left(2^2\right)}^3$ nghĩa là lấy $2^2$ nhân với chính nó 3 lần; khai triển hết ra thừa số $2$ rồi đếm là biết ngay số mũ mới.

Vậy ${\left(2^2\right)}^3=2^6$ ; ${\left[(-3{)}^2\right]}^2=(-3{)}^4$.

Định hướng. Vì đây là luỹ thừa của một luỹ thừa, chỉ cần giữ nguyên cơ số và nhân hai số mũ với nhau mà không cần khai triển thành tích.

Vậy ${\left(2^2\right)}^3=2^6$ ; ${\left[(-3{)}^2\right]}^2=(-3{)}^4$.

Nhận xét. Cách 2 nhanh hơn hẳn Cách 1 khi số mũ lớn, vì không phải khai triển và đếm từng thừa số.

Định hướng. Cả $\frac{1}{4}$ lẫn $\frac{1}{8}$ đều viết được dưới dạng luỹ thừa của $\frac{1}{2}$, nên thay vào rồi dùng công thức luỹ thừa của luỹ thừa để gộp về một cơ số duy nhất.

Vậy ${\left(\frac{1}{4}\right)}^8={\left(\frac{1}{2}\right)}^{16}$ ; ${\left(\frac{1}{8}\right)}^3={\left(\frac{1}{2}\right)}^9$.

Định hướng. Tính riêng giá trị của ${\left(\frac{1}{4}\right)}^8$, ${\left(\frac{1}{8}\right)}^3$ và giá trị của các luỹ thừa cơ số $\frac{1}{2}$ dự đoán được, rồi so sánh xem có bằng nhau hay không.

Vậy ${\left(\frac{1}{4}\right)}^8={\left(\frac{1}{2}\right)}^{16}$ ; ${\left(\frac{1}{8}\right)}^3={\left(\frac{1}{2}\right)}^9$, vì hai vế có cùng giá trị.

Nhận xét. Cách 1 làm được với số mũ bất kì; Cách 2 chỉ kiểm chứng được khi số mũ đủ nhỏ để tính ra giá trị cụ thể.

Định hướng. Mọi số trong bảng đều là luỹ thừa của $2$, nên gọi số mũ của mỗi ô là một ẩn; tích các luỹ thừa cùng cơ số bằng nhau chính là tổng các số mũ bằng nhau trên mỗi hàng, cột, đường chéo, từ đó lập và giải các phương trình cộng.

Vậy bảng số mũ đầy đủ là hàng 1: $3;2;7$ — hàng 2: $8;4;0$ — hàng 3: $1;6;5$, tức bảng luỹ thừa $2^3;2^2;2^7$ / $2^8;2^4;2^0$ / $2^1;2^6;2^5$.

Định hướng. Thay vì làm việc với số mũ, tính thẳng giá trị của các luỹ thừa đã biết, nhân theo đường chéo chính để ra hằng số chung của cả bảng, rồi lấy hằng số đó chia cho tích hai ô đã biết trên từng hàng, cột để tìm ô còn thiếu.

Vậy bảng đầy đủ là $2^3;2^2;2^7$ / $2^8;2^4;2^0$ / $2^1;2^6;2^5$, đúng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 làm việc với số mũ nên các phép tính nhỏ gọn hơn; Cách 2 dùng số thực nên phải nhân chia những số khá lớn như $4096$, nhưng lại trực quan hơn vì đúng bằng phép nhân, chia luỹ thừa trong đề.

Định hướng. Một số chia hết liên tiếp cho $5$ đúng $n$ lần rồi về $1$ thì số đó bằng $5^n$, nên chia dần là tìm được ngay số mũ.

Vậy $125=5^3$ ; $3125=5^5$.

Định hướng. Nhân $5$ với chính nó nhiều lần cho tới khi đúng bằng số đã cho, số lần nhân chính là số mũ cần tìm.

Vậy $125=5^3$ ; $3125=5^5$.

Nhận xét. Cách 2 tiện khi đã thuộc sẵn vài luỹ thừa nhỏ của $5$, còn Cách 1 chắc chắn đúng với mọi số dù chưa nhớ luỹ thừa nào.

Định hướng. $\frac{1}{9}$ và $\frac{1}{27}$ đều viết được dưới dạng luỹ thừa của $\frac{1}{3}$, nên thay vào rồi nhân hai số mũ theo công thức luỹ thừa của luỹ thừa.

Vậy ${\left(\frac{1}{9}\right)}^5={\left(\frac{1}{3}\right)}^{10}$ ; ${\left(\frac{1}{27}\right)}^7={\left(\frac{1}{3}\right)}^{21}$.

Định hướng. Xét vài số mũ nhỏ để phát hiện qui luật đổi cơ số, rồi áp dụng thẳng qui luật đó cho số mũ lớn hơn trong đề mà không cần biến đổi đại số từng bước.

Vậy ${\left(\frac{1}{9}\right)}^5={\left(\frac{1}{3}\right)}^{10}$ ; ${\left(\frac{1}{27}\right)}^7={\left(\frac{1}{3}\right)}^{21}$.

Nhận xét. Cách 2 phát hiện qui luật rồi áp dụng thẳng, không cần viết lại từng bước biến đổi phân số như Cách 1.

Định hướng. Đề cho biết từ ô thứ ba trở đi, mỗi ô bằng tích của hai ô liền trước; vì cùng cơ số $3$ nên tích đó ứng với số mũ bằng tổng hai số mũ liền trước, cứ thế cộng dần là ra hết dãy.

Vậy dãy đầy đủ là $3^0;3^1;3^1;3^2;3^3;3^5;3^8$.

Định hướng. Không quy về cộng số mũ mà nhân thẳng giá trị của hai luỹ thừa liền trước với nhau, sau đó mới viết kết quả dưới dạng luỹ thừa của $3$ để đối chiếu với Cách 1.

Vậy dãy đầy đủ là $3^0;3^1;3^1;3^2;3^3;3^5;3^8$, đúng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 gọn hơn hẳn vì chỉ cộng các số mũ bé; Cách 2 phải nhân những số ngày càng lớn như $6561$ nhưng cho thấy trực tiếp vì sao quy tắc cộng số mũ lại đúng.

Định hướng. Số mũ cần tìm hơn số mũ đã biết đúng $1$ đơn vị, nên chỉ cần nhân luỹ thừa đã cho với đúng một thừa số cơ số là ra kết quả.

Vậy a) $(-3{)}^8=6561$; b) ${\left(-\frac{2}{3}\right)}^{12}=\frac{4096}{531441}$.

Định hướng. Số mũ $8$ và $12$ đều chẵn nên kết quả chắc chắn dương; từ đó chỉ cần nhân giá trị tuyệt đối của luỹ thừa đã biết với giá trị tuyệt đối của cơ số.

Vậy a) $(-3{)}^8=6561$; b) ${\left(-\frac{2}{3}\right)}^{12}=\frac{4096}{531441}$.

Nhận xét. Cách 2 tách sẵn dấu trước khi tính nên tránh được lỗi nhân hai số âm nhầm ra kết quả âm.

Định hướng. Số mũ $8$ gấp đôi số mũ $4$, nên tách $15^8={\left(15^2\right)}^4$ để hai luỹ thừa có cùng số mũ $4$, từ đó gộp lại bằng công thức luỹ thừa của một tích; câu b) làm tương tự với số mũ chung là $3$.

Vậy a) $15^8\cdot 2^4=450^4$; b) $27^5:32^3={\left(\frac{243}{32}\right)}^3$.

Định hướng. Phân tích từng cơ số ra thừa số nguyên tố để thấy rõ luỹ thừa của mỗi thừa số nguyên tố, từ đó gộp lại theo một hướng khác để kiểm tra kết quả ở Cách 1.

Vậy a) $15^8\cdot 2^4=450^4$; b) $27^5:32^3={\left(\frac{243}{32}\right)}^3$, đúng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Phân tích ra thừa số nguyên tố cho thấy rõ bản chất phép biến đổi, nhưng Cách 1 gộp nhanh hơn khi đã quen công thức.