Chương I. Số hữu tỉ

Bài 3. Luỹ thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ

SGK Toán 7 — Kết nối tri thức, tập 1 · 19 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán7 #ChươngI #SGK_Tập1 #trang16–19 #CùngBàiBênSBT #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · Hoạt động 1★Trang 16— Nhận biết luỹ thừa, cơ số, số mũ

HĐ1 (trang 16). Viết các tích sau dưới dạng luỹ thừa rồi chỉ ra cơ số và số mũ của luỹ thừa đó.
a)

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

;
b)

5 \cdot 5 \cdot 5

Kiến thức cần nhớ

Luỹ thừa bậc $n$ của một số $a$ là tích của $n$ thừa số bằng nhau: $a^{n} = a \cdot a \cdot a \dots a$ .
Trong luỹ thừa $a^{n}$ , số $a$ gọi là cơ số, số $n$ gọi là số mũ.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai tích mà mọi thừa số đều giống nhau — đúng dấu hiệu để viết gọn thành luỹ thừa. Việc duy nhất phải làm là đếm cho đúng số thừa số, vì số thừa số chính là số mũ còn thừa số lặp lại chính là cơ số. Bẫy là đếm nhầm số thừa số với giá trị của tích:

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

là

2^{4}

chứ không phải

2^{16}

, và

2^{4}

khác hẳn

2 \cdot 4

1Cách 1. Đối chiếu trực tiếp với khuôn định nghĩa luỹ thừa

Định hướng. Định nghĩa luỹ thừa cho biết $a^{n}$ gồm đúng $n$ thừa số $a$ nhân với nhau, nên chỉ cần khớp mỗi tích đã cho với khuôn đó là đọc ra ngay cơ số và số mũ.

Khuôn định nghĩa:

a^{n} = a \cdot a \cdot a \dots a

(

n

thừa số

a

)
a)

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

có 4 thừa số bằng

2

, khớp với

a = 2

n = 4

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{4}

5 \cdot 5 \cdot 5

có 3 thừa số bằng

5

, khớp với

a = 5

n = 3

5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^{3}

Vậy $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{4}$ (cơ số $2$ , số mũ $4$ ); $5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^{3}$ (cơ số $5$ , số mũ $3$ ).

2Cách 2. Tính giá trị hai vế rồi so sánh

Định hướng. Nếu viết đúng luỹ thừa thì giá trị của luỹ thừa đó phải bằng đúng giá trị của tích ban đầu, nên tính riêng từng vế là cách kiểm chứng độc lập với việc đếm thừa số.

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16

2^{4} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16

5 \cdot 5 \cdot 5 = 125

5^{3} = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125

Vậy $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{4}$ (cơ số $2$ , số mũ $4$ ); $5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^{3}$ (cơ số $5$ , số mũ $3$ ).

Nhận xét. Hai cách cho cùng kết quả; Cách 1 đọc thẳng ra cơ số và số mũ mà không cần tính số, còn Cách 2 dùng để kiểm tra lại khi chưa chắc chắn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đối chiếu thẳng với khuôn

a^{n}

rồi gọi tên cơ số và số mũ, đúng một dòng cho mỗi câu.

Đáp số.

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{4}

(cơ số

2

, số mũ

4

) ;

5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^{3}

(cơ số

5

, số mũ

3

)

Sai lầm thường gặp. Nhầm số mũ với số dấu nhân, cho rằng 4 thừa số thì số mũ bằng 3 vì chỉ đếm số dấu nhân.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: tích của

n

thừa số cùng bằng

a

được viết là

a^{n}

— thử viết gọn

10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10

rồi cho biết giá trị của nó.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Hoạt động 2★Trang 16— Nhân nhiều số hữu tỉ bằng nhau

HĐ2 (trang 16). Thực hiện phép tính:
a)

(- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2)

;
b)

(- 0, 5) \cdot (- 0, 5)

;
c)

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}

Kiến thức cần nhớ

Tích của các số âm mang dấu âm nếu có một số lẻ thừa số âm, mang dấu dương nếu có một số chẵn thừa số âm.
Nhân các phân số: nhân tử với tử, mẫu với mẫu.

🧠 Phân tích tư duy

Ba câu đều là tích của những thừa số bằng nhau, chỉ khác nhau ở loại số: số nguyên âm, số thập phân âm, phân số dương — dấu hiệu chuẩn bị cho việc mở rộng luỹ thừa sang số hữu tỉ ở HĐ3. Nhìn số thừa số âm là biết ngay dấu của kết quả: ba thừa số âm cho tích âm, hai thừa số âm cho tích dương. Bẫy là quên dấu ngoặc:

(- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2)

cho

- 8

, còn đọc nhầm thành

- 2 \cdot 2 \cdot 2

cũng ra

- 8

nhưng đó là may chứ không phải đúng lối.

1Cách 1. Nhân trực tiếp theo thứ tự từ trái sang phải

Định hướng. Nhân dần từng cặp một theo đúng thứ tự viết trong đề luôn cho ra kết quả đúng, không cần biết trước dấu của tích.

(- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) = 4 \cdot (- 2) = - 8

(- 0, 5) \cdot (- 0, 5) = 0, 25

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{16}

Vậy a) $(- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) = - 8$ ; b) $(- 0, 5) \cdot (- 0, 5) = 0, 25$ ; c) $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{16}$ .

2Cách 2. Xét dấu theo số thừa số âm rồi nhân các giá trị tuyệt đối

Định hướng. Đếm số thừa số âm để biết ngay dấu của tích, sau đó chỉ còn việc nhân các giá trị tuyệt đối với nhau.

a) Có 3 thừa số âm (lẻ) nên tích âm;

2 \cdot 2 \cdot 2 = 8

(- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) = - 8

b) Có 2 thừa số âm (chẵn) nên tích dương;

0, 5 \cdot 0, 5 = 0, 25

(- 0, 5) \cdot (- 0, 5) = 0, 25

c) Cả 4 thừa số đều dương

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{16}

Vậy a) $(- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) = - 8$ ; b) $(- 0, 5) \cdot (- 0, 5) = 0, 25$ ; c) $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{16}$ .

3Cách 3. Nhóm các thừa số thành từng cặp và đổi dạng số để đối chiếu

Định hướng. Nhân theo từng cặp cho số nhỏ gọn, đồng thời đổi số thập phân sang phân số (và ngược lại) để hai dạng cùng xác nhận một kết quả.

(- 2) \cdot (- 2) = 4

4 \cdot (- 2) = - 8

- 0, 5 = \frac{- 1}{2}

\frac{- 1}{2} \cdot \frac{- 1}{2} = \frac{1}{4} = 0, 25

(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cdot (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{16}

\frac{1}{2} = 0, 5

0, 5 \cdot 0, 5 \cdot 0, 5 \cdot 0, 5 = 0, 0625 = \frac{1}{16}

Vậy a) $- 8$ ; b) $0, 25$ ; c) $\frac{1}{16}$ , trùng khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Cách 1 nhân lần lượt, tự nhiên nhất; Cách 2 định dấu trước nên an toàn nhất; Cách 3 nhóm cặp để số luôn nhỏ và đổi dạng số để hai kết quả tự kiểm tra lẫn nhau, rất hợp khi tích có nhiều thừa số.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: đếm số thừa số âm để định dấu trước, rồi mới nhân các giá trị tuyệt đối — cách này không bao giờ sai dấu dù có bao nhiêu thừa số.

Đáp số. a)

- 8

; b)

0, 25

; c)

\frac{1}{16}

Sai lầm thường gặp. Đếm sai số thừa số âm, ví dụ cho rằng 2 thừa số âm vẫn cho tích âm.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: tích của

n

thừa số âm mang dấu dương khi

n

chẵn và mang dấu âm khi

n

lẻ — thử dự đoán dấu của tích

5

thừa số

(- 0, 2)

trước khi tính.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Hoạt động 3★Trang 16— Viết tích các thừa số bằng nhau dưới dạng luỹ thừa

HĐ3 (trang 16). Hãy viết các biểu thức trong HĐ2 dưới dạng luỹ thừa tương tự như luỹ thừa của số tự nhiên.

Kiến thức cần nhớ

Luỹ thừa bậc $n$ của một số hữu tỉ $x$ là tích của $n$ thừa số $x$ : $x^{n} = x \cdot x \cdot x \dots x$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề bảo viết lại các tích ở HĐ2 dưới dạng luỹ thừa tương tự luỹ thừa của số tự nhiên — dấu hiệu cho biết định nghĩa cũ được mở rộng nguyên vẹn sang số hữu tỉ, chỉ thay cơ số. Vì thế việc cần làm vẫn là đếm số thừa số bằng nhau như với số tự nhiên. Bẫy là quên dấu ngoặc quanh cơ số âm hay cơ số phân số: phải viết

(- 2)^{3}

và

(\frac{1}{2})^{4}

, chứ

- 2^{3}

và

\frac{1}{2}^{4}

là hai nghĩa hoàn toàn khác.

1Cách 1. Đếm số thừa số bằng nhau trong mỗi tích ở HĐ2

Định hướng. Ba biểu thức ở HĐ2 đều là tích của các thừa số giống hệt nhau, nên đếm đúng số thừa số là viết được ngay luỹ thừa tương ứng.

(- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2)

có 3 thừa số bằng

(- 2)

(- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) = (- 2)^{3}

(- 0, 5) \cdot (- 0, 5)

có 2 thừa số bằng

(- 0, 5)

(- 0, 5) \cdot (- 0, 5) = (- 0, 5)^{2}

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}

có 4 thừa số bằng

\frac{1}{2}

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = (\frac{1}{2})^{4}

Vậy $(- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) = (- 2)^{3}$ ; $(- 0, 5) \cdot (- 0, 5) = (- 0, 5)^{2}$ ; $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = (\frac{1}{2})^{4}$ .

2Cách 2. Kiểm tra lại bằng giá trị đã tính ở HĐ2

Định hướng. Nếu viết đúng luỹ thừa thì giá trị của nó phải khớp với kết quả đã tính ở HĐ2, nên tính lại từng luỹ thừa để đối chiếu.

(- 2)^{3} = (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) = - 8

(- 0, 5)^{2} = (- 0, 5) \cdot (- 0, 5) = 0, 25

(\frac{1}{2})^{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{16}

Vậy $(- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) = (- 2)^{3}$ ; $(- 0, 5) \cdot (- 0, 5) = (- 0, 5)^{2}$ ; $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = (\frac{1}{2})^{4}$ , vì cả ba giá trị đều trùng với HĐ2.

Nhận xét. Cách 2 dùng số liệu đã có sẵn ở HĐ2 để kiểm chứng, không phải đếm lại thừa số từ đầu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đếm số thừa số bằng nhau trong mỗi tích rồi viết ngay luỹ thừa, nhớ đặt ngoặc cho cơ số âm và cơ số phân số.

Đáp số.

(- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) = (- 2)^{3}

;

(- 0, 5) \cdot (- 0, 5) = (- 0, 5)^{2}

;

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = (\frac{1}{2})^{4}

Sai lầm thường gặp. Quên đặt dấu ngoặc quanh cơ số âm, viết

- 2^{3}

thay vì

(- 2)^{3}

🚀 Mở rộng. Tổng quát: với mọi số hữu tỉ

x

và số tự nhiên

n

lớn hơn

1

x^{n}

là tích của

n

thừa số

x

— thử viết

(- 1, 5) \cdot (- 1, 5) \cdot (- 1, 5)

dưới dạng luỹ thừa rồi tính giá trị.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Luyện tập 1★Trang 17— Tính luỹ thừa của một số hữu tỉ

Luyện tập 1 (trang 17). Tính:
a)

(- \frac{4}{5})^{4}

;
b)

(0, 7)^{3}

Kiến thức cần nhớ

Luỹ thừa bậc chẵn của một số âm là một số dương; luỹ thừa bậc lẻ của một số âm là một số âm.
$(\frac{x}{y})^{n} = \frac{x ^{n}}{y ^{n}}$ ( $y \neq = 0$ ).

🧠 Phân tích tư duy

Hai câu là hai luỹ thừa của số hữu tỉ: một cơ số phân số âm với số mũ chẵn, một cơ số thập phân dương. Dấu hiệu quan trọng là số mũ

4

chẵn nên kết quả câu a) chắc chắn dương, không cần lo dấu ở các bước sau. Bẫy là viết

(- \frac{4}{5})^{4} = - \frac{4 ^{4}}{5 ^{4}}

do chỉ nâng luỹ thừa cho phân số mà bỏ quên dấu trừ cũng nằm trong ngoặc.

1Cách 1. Nhân trực tiếp theo định nghĩa

Định hướng. Viết thẳng luỹ thừa thành tích các thừa số bằng nhau rồi nhân dần là cách làm không cần nhớ thêm công thức nào khác.

(- \frac{4}{5})^{4} = (- \frac{4}{5}) \cdot (- \frac{4}{5}) \cdot (- \frac{4}{5}) \cdot (- \frac{4}{5})

= \frac{16}{25} \cdot \frac{16}{25} = \frac{256}{625}

(0, 7)^{3} = 0, 7 \cdot 0, 7 \cdot 0, 7 = 0, 49 \cdot 0, 7 = 0, 343

Vậy a) $(- \frac{4}{5})^{4} = \frac{256}{625}$ ; b) $(0, 7)^{3} = 0, 343$ .

2Cách 2. Dùng quy tắc dấu rồi áp dụng luỹ thừa của một thương

Định hướng. Số mũ $4$ là số chẵn nên trước hết bỏ dấu âm ở cơ số, sau đó dùng công thức luỹ thừa của một thương để tách riêng tử và mẫu; câu b) đổi số thập phân sang phân số để tính đúng bằng số nguyên.

(- \frac{4}{5})^{4} = (\frac{4}{5})^{4} = \frac{4 ^{4}}{5 ^{4}} = \frac{256}{625}

0, 7 = \frac{7}{10}

(0, 7)^{3} = (\frac{7}{10})^{3} = \frac{7 ^{3}}{1 0 ^{3}} = \frac{343}{1 000} = 0, 343

Vậy a) $(- \frac{4}{5})^{4} = \frac{256}{625}$ ; b) $(0, 7)^{3} = 0, 343$ .

3Cách 3. Tính qua bình phương rồi nâng tiếp

Định hướng. Luỹ thừa bậc bốn là bình phương của bình phương, còn luỹ thừa bậc ba là bình phương rồi nhân thêm một lần cơ số; nhờ đó mỗi bước chỉ phải nhân hai số nhỏ.

(- \frac{4}{5})^{2} = \frac{16}{25}

(- \frac{4}{5})^{4} = \frac{16}{25} \cdot \frac{16}{25}

= \frac{256}{625}

(0, 7)^{2} = 0, 49

(0, 7)^{3} = 0, 49 \cdot 0, 7

= 0, 343

Vậy a) $\frac{256}{625}$ ; b) $0, 343$ , trùng khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Cách 1 nhân đủ bốn thừa số nên dài; Cách 2 dùng luỹ thừa của một thương, ngắn và chuẩn mực; Cách 3 chỉ nhân hai số mỗi bước nên tính nhẩm được, đặc biệt lợi khi số mũ lớn như $8$ hay $16$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: xác định dấu theo số mũ chẵn hay lẻ rồi nâng luỹ thừa tử và mẫu, hai dòng là xong mà không sợ mất dấu.

Đáp số. a)

\frac{256}{625}

; b)

0, 343

Sai lầm thường gặp. Cho luỹ thừa bậc chẵn của số âm vẫn ra kết quả âm, ví dụ viết

(- \frac{4}{5})^{4} = - \frac{256}{625}

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

(\frac{a}{b})^{n} = \frac{a ^{n}}{b ^{n}}

và luỹ thừa bậc chẵn của số âm luôn dương — thử tính

(- \frac{2}{3})^{5}

rồi so dấu với câu a).

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Luyện tập 2★★Trang 17— Áp dụng luỹ thừa của một tích, luỹ thừa của một thương

Luyện tập 2 (trang 17). Tính:
a)

(\frac{2}{3})^{10} \cdot 3^{10}

;
b)

(- 125)^{3} : 2 5^{3}

;
c)

(0, 08)^{3} \cdot 1 0^{3}

Kiến thức cần nhớ

$x^{n} \cdot y^{n} = (x \cdot y)^{n}$ và $x^{n} : y^{n} = (x : y)^{n}$ (với $y \neq = 0$ ở phép chia).

🧠 Phân tích tư duy

Cả ba câu đều là hai luỹ thừa có CÙNG SỐ MŨ nhân hoặc chia với nhau — dấu hiệu bắt buộc phải nghĩ tới luỹ thừa của một tích và luỹ thừa của một thương. Nhìn kĩ còn thấy các cơ số ăn khớp với nhau:

\frac{2}{3}

với

3

- 125

với

25

0, 08

với

10

, nên gộp lại là ra số đẹp. Bẫy là lao vào tính

(\frac{2}{3})^{10}

hay

(- 125)^{3}

trước — những số khổng lồ mà cuối cùng vẫn triệt tiêu.

1Cách 1. Gộp về một luỹ thừa rồi tính

Định hướng. Ba phép tính đều có hai luỹ thừa cùng số mũ, nên gộp thẳng về luỹ thừa của một tích hoặc một thương rồi mới tính giá trị.

(\frac{2}{3})^{10} \cdot 3^{10} = (\frac{2}{3} \cdot 3)^{10} = 2^{10} = 1024

(- 125)^{3} : 2 5^{3} = (\frac{- 125}{25})^{3} = (- 5)^{3} = - 125

(0, 08)^{3} \cdot 1 0^{3} = (0, 08 \cdot 10)^{3} = (0, 8)^{3} = 0, 512

Vậy a) $(\frac{2}{3})^{10} \cdot 3^{10} = 1024$ ; b) $(- 125)^{3} : 2 5^{3} = - 125$ ; c) $(0, 08)^{3} \cdot 1 0^{3} = 0, 512$ .

2Cách 2. Tính riêng từng luỹ thừa rồi nhân, chia trực tiếp

Định hướng. Tính giá trị của mỗi luỹ thừa trước rồi mới nhân hoặc chia là cách làm không cần nhớ công thức gộp, dùng để kiểm tra lại Cách 1.

(\frac{2}{3})^{10} = \frac{1 024}{59 049}

3^{10} = 59049

\frac{1 024}{59 049} \cdot 59049 = 1024

(- 125)^{3} = - 1953125

2 5^{3} = 15625

- 1953125 : 15625 = - 125

(0, 08)^{3} = 0, 000512

1 0^{3} = 1000

0, 000512 \cdot 1000 = 0, 512

Vậy a) $(\frac{2}{3})^{10} \cdot 3^{10} = 1024$ ; b) $(- 125)^{3} : 2 5^{3} = - 125$ ; c) $(0, 08)^{3} \cdot 1 0^{3} = 0, 512$ .

3Cách 3. Viết mỗi cơ số thành phân số hoặc luỹ thừa rồi rút gọn

Định hướng. Thay vì gộp hai luỹ thừa, ta trải mỗi luỹ thừa ra dưới dạng phân số hoặc luỹ thừa của một cơ số nhỏ hơn, khi đó phần thừa tự rút gọn cho nhau.

(\frac{2}{3})^{10} \cdot 3^{10} = \frac{2 ^{10}}{3 ^{10}} \cdot 3^{10}

= 2^{10} = 1024

- 125 = - 5^{3}

;

25 = 5^{2}

(- 125)^{3} : 2 5^{3} = (- 5^{9}) : 5^{6}

= - 5^{3} = - 125

0, 08 = \frac{8}{100}

(0, 08)^{3} \cdot 1 0^{3} = \frac{8 ^{3}}{10 0 ^{3}} \cdot 1 0^{3} = \frac{512 \cdot 1 000}{1 000 000}

= 0, 512

Vậy a) $1024$ ; b) $- 125$ ; c) $0, 512$ , trùng khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Cách 1 gộp luỹ thừa nên ngắn nhất; Cách 2 tính riêng từng luỹ thừa, chắc chắn nhưng số rất lớn; Cách 3 đưa mọi thứ về cơ số nhỏ nhất rồi rút gọn, đây là lối làm dùng được cả khi hai luỹ thừa KHÔNG cùng số mũ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: gộp hai luỹ thừa cùng số mũ thành một luỹ thừa rồi mới tính, cả ba câu đều chỉ còn một phép tính duy nhất.

Đáp số. a)

1024

; b)

- 125

; c)

0, 512

Sai lầm thường gặp. Cộng số mũ như phép nhân hai luỹ thừa cùng cơ số, ví dụ viết nhầm

(\frac{2}{3})^{10} \cdot 3^{10} = (\frac{2}{3})^{20}

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

x^{n} \cdot y^{n} = (x \cdot y)^{n}

và

x^{n} : y^{n} = (x : y)^{n}

— thử dùng để tính nhanh

(0, 125)^{4} \cdot 8^{4}

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Vận dụng★★Trang 17— Ứng dụng luỹ thừa: thể tích hình lập phương

Vận dụng (trang 17). Viết công thức tính thể tích của hình lập phương cạnh

a

dưới dạng luỹ thừa. Từ đó viết biểu thức luỹ thừa để tính toàn bộ lượng nước trên Trái Đất trong bài toán mở đầu (đơn vị kilômét khối), biết bể chứa hình lập phương có cạnh

1111, 34

km.

Kiến thức cần nhớ

Thể tích hình lập phương cạnh $a$ bằng $a \cdot a \cdot a$ , viết gọn là $a^{3}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bài toán mở đầu nhắc tới một bể chứa hình lập phương — dấu hiệu dùng công thức thể tích, mà thể tích hình lập phương là tích ba cạnh bằng nhau nên viết gọn được thành luỹ thừa bậc ba. Chỉ cần lập công thức tổng quát

V = a^{3}

rồi thay số, không phải nhớ thêm gì. Bẫy là nhầm thể tích với diện tích toàn phần hoặc viết

V = 3 a

thay vì

V = a^{3}

1Cách 1. Lập công thức tổng quát rồi thay số

Định hướng. Thể tích hình lập phương là tích ba cạnh bằng nhau, đúng ba thừa số $a$ , nên viết gọn theo định nghĩa luỹ thừa rồi thay cạnh cụ thể của bể chứa vào công thức đó.

V = a \cdot a \cdot a = a^{3}

Với

a = 1111, 34

(km)

V = (1111, 34)^{3}

(km

^{3}

)

Vậy công thức thể tích hình lập phương là $V = a^{3}$ ; lượng nước trên Trái Đất được tính bằng biểu thức luỹ thừa $(1111, 34)^{3}$ kilômét khối.

2Cách 2. Đối chiếu ngược với phép nhân đã nêu ở bài toán mở đầu

Định hướng. Bài toán mở đầu đã cho sẵn phép tính $1111, 34 \times 1111, 34 \times 1111, 34$ ; đối chiếu phép tính đó với khuôn $a \cdot a \cdot a = a^{3}$ để kiểm tra biểu thức luỹ thừa vừa lập.

Phép tính đã cho:

1111, 34 \times 1111, 34 \times 1111, 34

Đây là tích của 3 thừa số bằng nhau, cùng dạng

a \cdot a \cdot a

với

a = 1111, 34

1111, 34 \times 1111, 34 \times 1111, 34 = (1111, 34)^{3}

Vậy biểu thức luỹ thừa để tính lượng nước trên Trái Đất là $(1111, 34)^{3}$ kilômét khối, đúng khớp với công thức $V = a^{3}$ ở Cách 1.

3Cách 3. Ước lượng bậc độ lớn bằng luỹ thừa của

10

Định hướng. Trước khi tin vào một số có mười chữ số, hãy ước lượng bậc độ lớn: làm tròn cạnh bể về $1000$ km rồi tính thể tích của hình lập phương tròn đó để xem kết quả có hợp lí không.

1111, 34 \approx 1000

(km)

1000 \cdot 1000 \cdot 1000 = 1000000000

(km

^{3}

)

(1111, 34)^{3} \approx 1372590023, 75

(km

^{3}

)

1372590023, 75

lớn hơn

1000000000

và nhỏ hơn

2000000000

Vậy $V = a^{3}$ và lượng nước trên Trái Đất khoảng $(1111, 34)^{3} \approx 1372590023, 75$ km $^{3}$ , đúng cỡ một tỉ ki-lô-mét khối như ước lượng.

Nhận xét. Cách 1 lập công thức rồi thay số, đúng yêu cầu của đề; Cách 2 đối chiếu ngược với phép nhân ở bài toán mở đầu; Cách 3 không cho kết quả chính xác nhưng phát hiện ngay nếu ta đặt sai dấu phẩy hoặc thừa một chữ số $0$ — thói quen rất cần khi làm việc với số đo thiên văn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: viết công thức

V = a^{3}

rồi thay

a = 1111, 34

km, vừa đúng yêu cầu viết biểu thức luỹ thừa vừa cho luôn kết quả.

Đáp số.

V = a^{3}

; lượng nước

= (1111, 34)^{3} \approx 1372590023, 75

^{3}

Sai lầm thường gặp. Viết nhầm thể tích hình lập phương là

3 a

(nhầm với tổng ba cạnh) thay vì

a^{3}

🚀 Mở rộng. Mở rộng: nếu cạnh bể tăng gấp đôi thì thể tích nước chứa được gấp mấy lần? Hãy trả lời bằng luỹ thừa trước khi tính số.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Hoạt động 4★Trang 17— Phát hiện quy tắc nhân, chia hai luỹ thừa cùng cơ số

HĐ4 (trang 17). Tính và so sánh:
a)

(- 3)^{2} \cdot (- 3)^{4}

và

(- 3)^{6}

;
b)

0, 6^{3} : 0, 6^{2}

và

0, 6

Kiến thức cần nhớ

Khi nhân hai luỹ thừa cùng cơ số, giữ nguyên cơ số và cộng hai số mũ: $x^{m} \cdot x^{n} = x^{m + n}$ .
Khi chia hai luỹ thừa cùng cơ số khác 0, giữ nguyên cơ số và lấy số mũ bị chia trừ số mũ chia: $x^{m} : x^{n} = x^{m - n}$ ( $m \geq n$ ).

🧠 Phân tích tư duy

Đề bắt tính rồi so sánh hai vế — dấu hiệu của một hoạt động xây dựng quy tắc chứ không phải bài tính toán thuần tuý, nên phải chú ý vào quan hệ giữa các SỐ MŨ. Ở câu a) hai số mũ

2

và

4

cộng lại đúng bằng

6

; ở câu b) hai số mũ

3

và

2

trừ nhau đúng bằng

1

. Bẫy là nhân hai số mũ thay vì cộng, ra

(- 3)^{8}

— sai hoàn toàn dù cùng là một phép gộp.

1Cách 1. Tính riêng từng luỹ thừa rồi nhân, chia trực tiếp

Định hướng. Tính hẳn giá trị của mỗi luỹ thừa theo định nghĩa rồi nhân hoặc chia là cách chắc chắn đúng, không cần biết trước quy tắc tổng quát.

(- 3)^{2} = 9

(- 3)^{4} = 81

9 \cdot 81 = 729

(- 3)^{6} = 729

0, 6^{3} = 0, 216

0, 6^{2} = 0, 36

0, 216 : 0, 36 = 0, 6

Vậy a) $(- 3)^{2} \cdot (- 3)^{4} = (- 3)^{6} (= 729)$ ; b) $0, 6^{3} : 0, 6^{2} = 0, 6$ .

2Cách 2. Cộng, trừ số mũ cùng cơ số

Định hướng. Vì hai luỹ thừa trong mỗi phép tính có cùng cơ số, ta cộng số mũ khi nhân và trừ số mũ khi chia mà không cần tính ra giá trị cụ thể.

(- 3)^{2} \cdot (- 3)^{4} = (- 3)^{2 + 4} = (- 3)^{6}

0, 6^{3} : 0, 6^{2} = 0, 6^{3 - 2} = 0, 6^{1} = 0, 6

Vậy a) $(- 3)^{2} \cdot (- 3)^{4} = (- 3)^{6}$ ; b) $0, 6^{3} : 0, 6^{2} = 0, 6$ .

3Cách 3. Khai triển thành tích các thừa số rồi đếm

Định hướng. Viết mỗi luỹ thừa thành tích các thừa số bằng nhau theo đúng định nghĩa, rồi đếm số thừa số ở kết quả — đây chính là lí do vì sao số mũ được cộng hoặc trừ.

(- 3)^{2} \cdot (- 3)^{4} = [(- 3) \cdot (- 3)] \cdot [(- 3) \cdot (- 3) \cdot (- 3) \cdot (- 3)]

Tích trên có

6

thừa số cùng bằng

- 3

(- 3)^{2} \cdot (- 3)^{4} = (- 3)^{6}

0, 6^{3} : 0, 6^{2} = \frac{0 , 6 \cdot 0 , 6 \cdot 0 , 6}{0 , 6 \cdot 0 , 6}

Rút gọn hai thừa số

0, 6

ở tử và mẫu

0, 6^{3} : 0, 6^{2} = 0, 6

Vậy a) $(- 3)^{2} \cdot (- 3)^{4} = (- 3)^{6} = 729$ ; b) $0, 6^{3} : 0, 6^{2} = 0, 6$ .

Nhận xét. Cách 1 tính ra số cụ thể nên thấy ngay hai vế bằng nhau; Cách 2 dùng quy tắc số mũ, ngắn nhất; Cách 3 giải thích tận gốc vì sao quy tắc đó đúng, nhờ vậy sẽ không bao giờ nhầm cộng số mũ với nhân số mũ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: cộng số mũ khi nhân, trừ số mũ khi chia, khỏi phải tính

729

hay

0, 216

— đây chính là quy tắc bài học muốn rút ra.

Đáp số. a)

(- 3)^{2} \cdot (- 3)^{4} = (- 3)^{6} = 729

; b)

0, 6^{3} : 0, 6^{2} = 0, 6

Sai lầm thường gặp. Nhân hai số mũ thay vì cộng, ví dụ viết nhầm

(- 3)^{2} \cdot (- 3)^{4} = (- 3)^{8}

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

x^{m} \cdot x^{n} = x^{m + n}

và

x^{m} : x^{n} = x^{m - n}

với

m

không nhỏ hơn

n

— thử kiểm lại quy tắc thứ hai với

0, 6^{5} : 0, 6^{5}

xem kết quả bằng bao nhiêu.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Luyện tập 3★★Trang 18— Nhân, chia hai luỹ thừa cùng cơ số

Luyện tập 3 (trang 18). Viết kết quả của các phép tính sau dưới dạng luỹ thừa.
a)

(- 2)^{3} \cdot (- 2)^{4}

;
b)

(0, 25)^{7} : (0, 25)^{3}

Kiến thức cần nhớ

$x^{m} \cdot x^{n} = x^{m + n}$ ; $x^{m} : x^{n} = x^{m - n}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai phép tính đều có hai luỹ thừa CÙNG CƠ SỐ — dấu hiệu áp dụng thẳng quy tắc cộng số mũ khi nhân, trừ số mũ khi chia. Đề còn yêu cầu viết kết quả dưới dạng luỹ thừa, nghĩa là không cần tính ra số. Bẫy là đổi luôn cơ số

- 2

thành

2

rồi viết

2^{7}

, mất dấu âm; hoặc nhân hai số mũ thành

(- 2)^{12}

1Cách 1. Áp dụng trực tiếp quy tắc cộng, trừ số mũ

Định hướng. Cả hai phép tính đều có hai luỹ thừa cùng cơ số nên áp dụng ngay quy tắc cộng số mũ khi nhân, trừ số mũ khi chia.

(- 2)^{3} \cdot (- 2)^{4} = (- 2)^{3 + 4} = (- 2)^{7}

(0, 25)^{7} : (0, 25)^{3} = (0, 25)^{7 - 3} = (0, 25)^{4}

Vậy $(- 2)^{3} \cdot (- 2)^{4} = (- 2)^{7}$ ; $(0, 25)^{7} : (0, 25)^{3} = (0, 25)^{4}$ .

2Cách 2. Tính giá trị cụ thể để kiểm tra lại

Định hướng. Đổi $0, 25 = \frac{1}{4}$ rồi tính giá trị từng luỹ thừa để đối chiếu, xem kết quả có trùng với luỹ thừa vừa viết ở Cách 1 hay không.

(- 2)^{3} = - 8

(- 2)^{4} = 16

- 8 \cdot 16 = - 128

(- 2)^{7} = - 128

(0, 25)^{7} = (\frac{1}{4})^{7} = \frac{1}{16 384}

(0, 25)^{3} = (\frac{1}{4})^{3} = \frac{1}{64}

\frac{1}{16 384} : \frac{1}{64} = \frac{64}{16 384} = \frac{1}{256}

(0, 25)^{4} = (\frac{1}{4})^{4} = \frac{1}{256}

Vậy $(- 2)^{3} \cdot (- 2)^{4} = (- 2)^{7} (= - 128)$ ; $(0, 25)^{7} : (0, 25)^{3} = (0, 25)^{4} (= \frac{1}{256})$ , đúng khớp với Cách 1.

3Cách 3. Tách dấu ra ngoài (câu a) và đổi cơ số (câu b)

Định hướng. Câu a) tách riêng dấu của cơ số để chỉ làm việc với luỹ thừa của số dương; câu b) đổi $0, 25$ thành luỹ thừa của $\frac{1}{2}$ để thấy kết quả dưới một cơ số khác.

(- 2)^{3} = - 2^{3}

;

(- 2)^{4} = 2^{4}

(- 2)^{3} \cdot (- 2)^{4} = - (2^{3} \cdot 2^{4}) = - 2^{7}

- 2^{7} = (- 2)^{7}

0, 25 = \frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^{2}

(0, 25)^{7} = (\frac{1}{2})^{14}

;

(0, 25)^{3} = (\frac{1}{2})^{6}

(\frac{1}{2})^{14} : (\frac{1}{2})^{6} = (\frac{1}{2})^{8} = (0, 25)^{4}

Vậy a) $(- 2)^{7}$ ; b) $(0, 25)^{4}$ , trùng khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Cách 1 áp dụng thẳng quy tắc số mũ, nhanh nhất; Cách 2 tính ra số để kiểm tra; Cách 3 cho thấy cùng một kết quả có thể viết dưới nhiều cơ số khác nhau, đây là kĩ năng sẽ dùng ở Luyện tập 4 và Bài 1.19.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: cộng, trừ số mũ rồi viết ngay kết quả, mỗi câu một dòng và giữ nguyên cơ số như đề cho.

Đáp số. a)

(- 2)^{7}

; b)

(0, 25)^{4}

Sai lầm thường gặp. Giữ nguyên số mũ lớn hơn và bỏ số mũ còn lại, ví dụ viết nhầm

(0, 25)^{7} : (0, 25)^{3} = (0, 25)^{7}

🚀 Mở rộng. Thử viết kết quả câu b) dưới dạng luỹ thừa cơ số

\frac{1}{2}

thay vì cơ số

0, 25

— số mũ khi đó thay đổi thế nào?

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Hoạt động 5★Trang 18— Phát hiện quy tắc luỹ thừa của luỹ thừa

HĐ5 (trang 18). Viết số

(2^{2})^{3}

dưới dạng luỹ thừa cơ số

2

và số

[(- 3)^{2}]^{2}

dưới dạng luỹ thừa cơ số

- 3

Kiến thức cần nhớ

Khi tính luỹ thừa của một luỹ thừa, giữ nguyên cơ số và nhân hai số mũ: $(x^{m})^{n} = x^{m \cdot n}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho một luỹ thừa mà cơ số lại là một luỹ thừa — dấu hiệu của hoạt động xây dựng quy tắc luỹ thừa của luỹ thừa. Chỉ cần khai triển

(2^{2})^{3}

thành tích ba thừa số

2^{2}

là thấy ngay tổng cộng có sáu thừa số

2

. Bẫy là cộng hai số mũ thành

2^{5}

do nhầm với quy tắc nhân hai luỹ thừa cùng cơ số vừa học ở HĐ4.

1Cách 1. Khai triển trực tiếp thành tích rồi đếm số thừa số

Định hướng. Viết $(2^{2})^{3}$ nghĩa là lấy $2^{2}$ nhân với chính nó 3 lần; khai triển hết ra thừa số $2$ rồi đếm là biết ngay số mũ mới.

(2^{2})^{3} = 2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 2^{2} = (2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2)

Có 6 thừa số bằng

2

(2^{2})^{3} = 2^{6}

[(- 3)^{2}]^{2} = (- 3)^{2} \cdot (- 3)^{2} = [(- 3) \cdot (- 3)] \cdot [(- 3) \cdot (- 3)]

Có 4 thừa số bằng

(- 3)

[(- 3)^{2}]^{2} = (- 3)^{4}

Vậy $(2^{2})^{3} = 2^{6}$ ; $[(- 3)^{2}]^{2} = (- 3)^{4}$ .

2Cách 2. Nhân trực tiếp hai số mũ

Định hướng. Vì đây là luỹ thừa của một luỹ thừa, chỉ cần giữ nguyên cơ số và nhân hai số mũ với nhau mà không cần khai triển thành tích.

(2^{2})^{3} = 2^{2 \cdot 3} = 2^{6}

[(- 3)^{2}]^{2} = (- 3)^{2 \cdot 2} = (- 3)^{4}

Vậy $(2^{2})^{3} = 2^{6}$ ; $[(- 3)^{2}]^{2} = (- 3)^{4}$ .

3Cách 3. Tính giá trị số của hai vế rồi đối chiếu

Định hướng. Tính hẳn giá trị của vế trái và vế phải bằng số cụ thể; hai giá trị trùng nhau là bằng chứng chắc chắn cho kết quả vừa viết.

(2^{2})^{3} = 4^{3} = 64

2^{6} = 64

[(- 3)^{2}]^{2} = 9^{2} = 81

(- 3)^{4} = 81

Vậy $(2^{2})^{3} = 2^{6}$ và $[(- 3)^{2}]^{2} = (- 3)^{4}$ .

Nhận xét. Cách 1 khai triển thành tích nên giải thích được tận gốc; Cách 2 nhân số mũ, ngắn gọn nhất; Cách 3 tính ra số cụ thể nên loại được ngay khả năng nhầm sang quy tắc cộng số mũ — chỉ dùng được khi các số còn nhỏ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: nhân hai số mũ với nhau, một dòng là ra; Cách 1 dùng khi cần giải thích vì sao quy tắc đó đúng.

Đáp số.

(2^{2})^{3} = 2^{6}

;

[(- 3)^{2}]^{2} = (- 3)^{4}

Sai lầm thường gặp. Cộng hai số mũ thay vì nhân, ví dụ viết nhầm

(2^{2})^{3} = 2^{5}

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

(x^{m})^{n} = x^{m \cdot n}

— thử so sánh

(2^{3})^{2}

với

2^{3} \cdot 2^{2}

để thấy rõ hai quy tắc khác nhau thế nào.

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Luyện tập 4★★Trang 18— Đưa luỹ thừa về cùng một cơ số

Luyện tập 4 (trang 18). Viết các số

(\frac{1}{4})^{8}

(\frac{1}{8})^{3}

dưới dạng luỹ thừa cơ số

\frac{1}{2}

Kiến thức cần nhớ

Muốn đưa một luỹ thừa về cơ số mới, trước hết viết cơ số cũ dưới dạng luỹ thừa của cơ số mới, rồi dùng công thức $(x^{m})^{n} = x^{m \cdot n}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề bắt viết lại hai luỹ thừa theo cơ số

\frac{1}{2}

— dấu hiệu phải đưa cơ số cũ về luỹ thừa của

\frac{1}{2}

trước, rồi dùng quy tắc luỹ thừa của luỹ thừa. Điểm mấu chốt là nhận ra

\frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^{2}

và

\frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^{3}

. Bẫy là cộng hai số mũ thay vì nhân, viết

(\frac{1}{4})^{8} = (\frac{1}{2})^{10}

1Cách 1. Đưa cơ số về luỹ thừa của 1/2 rồi nhân số mũ

Định hướng. Cả $\frac{1}{4}$ lẫn $\frac{1}{8}$ đều viết được dưới dạng luỹ thừa của $\frac{1}{2}$ , nên thay vào rồi dùng công thức luỹ thừa của luỹ thừa để gộp về một cơ số duy nhất.

\frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^{2}

nên

(\frac{1}{4})^{8} = [(\frac{1}{2})^{2}]^{8} = (\frac{1}{2})^{16}

\frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^{3}

nên

(\frac{1}{8})^{3} = [(\frac{1}{2})^{3}]^{3} = (\frac{1}{2})^{9}

Vậy $(\frac{1}{4})^{8} = (\frac{1}{2})^{16}$ ; $(\frac{1}{8})^{3} = (\frac{1}{2})^{9}$ .

2Cách 2. Tính giá trị số của hai vế rồi đối chiếu

Định hướng. Tính riêng giá trị của $(\frac{1}{4})^{8}$ , $(\frac{1}{8})^{3}$ và giá trị của các luỹ thừa cơ số $\frac{1}{2}$ dự đoán được, rồi so sánh xem có bằng nhau hay không.

(\frac{1}{4})^{8} = \frac{1}{65 536}

và

(\frac{1}{2})^{16} = \frac{1}{65 536}

(\frac{1}{8})^{3} = \frac{1}{512}

và

(\frac{1}{2})^{9} = \frac{1}{512}

Vậy $(\frac{1}{4})^{8} = (\frac{1}{2})^{16}$ ; $(\frac{1}{8})^{3} = (\frac{1}{2})^{9}$ , vì hai vế có cùng giá trị.

3Cách 3. Đếm tổng số thừa số

\frac{1}{2}

trong toàn bộ tích

Định hướng. Mỗi thừa số $\frac{1}{4}$ là tích của $2$ thừa số $\frac{1}{2}$ , mỗi thừa số $\frac{1}{8}$ là tích của $3$ thừa số $\frac{1}{2}$ ; chỉ cần đếm tổng số thừa số $\frac{1}{2}$ là ra số mũ cần tìm.

\frac{1}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}

(\frac{1}{4})^{8}

có

8 \cdot 2 = 16

thừa số

\frac{1}{2}

(\frac{1}{4})^{8} = (\frac{1}{2})^{16}

\frac{1}{8} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}

(\frac{1}{8})^{3}

có

3 \cdot 3 = 9

thừa số

\frac{1}{2}

(\frac{1}{8})^{3} = (\frac{1}{2})^{9}

Vậy $(\frac{1}{4})^{8} = (\frac{1}{2})^{16}$ và $(\frac{1}{8})^{3} = (\frac{1}{2})^{9}$ .

Nhận xét. Cách 1 dùng quy tắc luỹ thừa của luỹ thừa, ngắn nhất; Cách 2 tính giá trị số để đối chiếu, chỉ làm được vì các số còn nhỏ; Cách 3 đếm thừa số nên giải thích rõ vì sao phải NHÂN hai số mũ chứ không phải cộng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đổi cơ số rồi nhân hai số mũ, hai dòng cho mỗi số và không phải tính giá trị nào cả.

Đáp số.

(\frac{1}{4})^{8} = (\frac{1}{2})^{16}

;

(\frac{1}{8})^{3} = (\frac{1}{2})^{9}

Sai lầm thường gặp. Cộng số mũ của cơ số cũ và số mũ đưa về thay vì nhân, ví dụ viết nhầm

(\frac{1}{4})^{8} = (\frac{1}{2})^{10}

(lấy

2 + 8

🚀 Mở rộng. Tổng quát: nếu

a = (\frac{1}{2})^{k}

thì

a^{n} = (\frac{1}{2})^{k \cdot n}

— thử viết

(\frac{1}{16})^{5}

dưới dạng luỹ thừa cơ số

\frac{1}{2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · Thử thách nhỏ★★★★Trang 18— Ma phương với tích các luỹ thừa cùng cơ số

Thử thách nhỏ (trang 18). Cho hình vuông như Hình 1.12. Em hãy thay mỗi dấu "?" bằng một luỹ thừa của

2

, biết tích các luỹ thừa trên mỗi hàng, mỗi cột và mỗi đường chéo đều bằng nhau.
Bảng cho trước (Hình 1.12) — hàng 1:

2^{3}

; ? ; ? — hàng 2: ? ;

2^{4}

; ? — hàng 3: ? ;

2^{6}

;

2^{5}

Kiến thức cần nhớ

Tích của các luỹ thừa cùng cơ số bằng luỹ thừa có số mũ bằng tổng các số mũ: $x^{m} \cdot x^{n} = x^{m + n}$ .
Trong bảng ở bài này, tích trên mỗi hàng, mỗi cột, mỗi đường chéo đều bằng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Mọi ô đều là luỹ thừa của

2

và điều kiện là các TÍCH bằng nhau — dấu hiệu chuyển bài toán tích thành bài toán TỔNG các số mũ, khi đó hình vuông trở thành một ma phương quen thuộc. Ô giữa đã biết là

2^{4}

, mà trong ma phương ba hàng ba cột, tổng mỗi hàng luôn bằng ba lần số ở ô giữa, nên tổng số mũ mỗi hàng bằng

12

. Bẫy là nhân các luỹ thừa ra số rồi mò, số lên tới hàng nghìn mà vẫn không thấy quy luật.

1Cách 1. Đặt số mũ là ẩn, dùng quy tắc cộng số mũ

Định hướng. Mọi số trong bảng đều là luỹ thừa của $2$ , nên gọi số mũ của mỗi ô là một ẩn; tích các luỹ thừa cùng cơ số bằng nhau chính là tổng các số mũ bằng nhau trên mỗi hàng, cột, đường chéo, từ đó lập và giải các phương trình cộng.

Đường chéo chính đã biết đủ ba số mũ:

3 + 4 + 5 = 12

, đây là tổng chung

S

của mọi hàng, cột, đường chéo
Hàng 3: số mũ ô đầu

+ 6 + 5 = 12

, suy ra số mũ ô đầu bằng

1

Cột 2: số mũ ô đầu

+ 4 + 6 = 12

, suy ra số mũ ô đầu bằng

2

Hàng 1:

3 + 2 +

số mũ ô cuối

= 12

, suy ra số mũ ô cuối bằng

7

Cột 3:

7 +

số mũ ô giữa

+ 5 = 12

, suy ra số mũ ô giữa bằng

0

Hàng 2: số mũ ô đầu

+ 4 + 0 = 12

, suy ra số mũ ô đầu bằng

8

Vậy bảng số mũ đầy đủ là hàng 1: $3; 2; 7$ — hàng 2: $8; 4; 0$ — hàng 3: $1; 6; 5$ , tức bảng luỹ thừa $2^{3}; 2^{2}; 2^{7}$ / $2^{8}; 2^{4}; 2^{0}$ / $2^{1}; 2^{6}; 2^{5}$ .

2Cách 2. Nhân trực tiếp giá trị các luỹ thừa đã cho để tìm hằng số chung

Định hướng. Thay vì làm việc với số mũ, tính thẳng giá trị của các luỹ thừa đã biết, nhân theo đường chéo chính để ra hằng số chung của cả bảng, rồi lấy hằng số đó chia cho tích hai ô đã biết trên từng hàng, cột để tìm ô còn thiếu.

Đường chéo chính:

2^{3} \cdot 2^{4} \cdot 2^{5} = 8 \cdot 16 \cdot 32 = 4096

, đây là hằng số chung

M

Hàng 3: ô đầu

\cdot 2^{6} \cdot 2^{5} = 4096

, tức ô đầu

\cdot 64 \cdot 32 = 4096

, suy ra ô đầu

= 2 = 2^{1}

Cột 2: ô đầu

\cdot 2^{4} \cdot 2^{6} = 4096

, tức ô đầu

\cdot 16 \cdot 64 = 4096

, suy ra ô đầu

= 4 = 2^{2}

Hàng 1:

8 \cdot 4 \cdot

ô cuối

= 4096

, suy ra ô cuối

= 128 = 2^{7}

Cột 3:

128 \cdot

ô giữa

\cdot 32 = 4096

, suy ra ô giữa

= 1 = 2^{0}

Hàng 2: ô đầu

\cdot 16 \cdot 1 = 4096

, suy ra ô đầu

= 256 = 2^{8}

Vậy bảng đầy đủ là $2^{3}; 2^{2}; 2^{7}$ / $2^{8}; 2^{4}; 2^{0}$ / $2^{1}; 2^{6}; 2^{5}$ , đúng khớp với Cách 1.

3Cách 3. Dùng tính chất tổng mỗi hàng bằng ba lần số mũ ô giữa

Định hướng. Đổi điều kiện tích bằng nhau thành điều kiện tổng các số mũ bằng nhau; trong ma phương ba hàng ba cột, tổng đó bằng ba lần số ở ô giữa nên tìm được ngay hằng số chung, rồi mỗi ô trống chỉ còn một phép trừ.

Số mũ ô giữa bằng

4

Tổng số mũ mỗi hàng, mỗi cột, mỗi đường chéo

= 3 \cdot 4 = 12

Hàng ba:

? + 6 + 5 = 12

nên ô đó là

2^{1}

Cột một:

3 + ? + 1 = 12

nên ô đó là

2^{8}

Hàng hai:

8 + 4 + ? = 12

nên ô đó là

2^{0}

Cột ba:

? + 0 + 5 = 12

nên ô đó là

2^{7}

Hàng một:

3 + ? + 7 = 12

nên ô đó là

2^{2}

Vậy hàng một là $2^{3}; 2^{2}; 2^{7}$ ; hàng hai là $2^{8}; 2^{4}; 2^{0}$ ; hàng ba là $2^{1}; 2^{6}; 2^{5}$ , mọi tích đều bằng $2^{12} = 4096$ .

Nhận xét. Cách 1 đặt ẩn cho số mũ, chắc chắn nhưng phải giải nhiều bước; Cách 2 nhân giá trị để tìm hằng số chung, số rất lớn; Cách 3 khai thác tính chất riêng của ma phương ba hàng ba cột nên chỉ còn năm phép trừ đơn giản.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: lấy ngay tổng mỗi hàng bằng

3

lần số mũ ô giữa, sau đó mỗi ô trống chỉ còn một phép trừ.

Đáp số. Hàng 1:

2^{3}; 2^{2}; 2^{7}

· Hàng 2:

2^{8}; 2^{4}; 2^{0}

· Hàng 3:

2^{1}; 2^{6}; 2^{5}

(mỗi hàng, cột, đường chéo đều có tích bằng

2^{12} = 4096

)

Sai lầm thường gặp. Chỉ xét tổng số mũ trên hàng và cột mà quên kiểm tra cả hai đường chéo, dẫn đến điền sai một vài ô dù các hàng cột vẫn đúng.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: mọi ma phương ba hàng ba cột đều có tổng mỗi hàng bằng ba lần số ở ô giữa — thử kiểm lại với ma phương cổ điển gồm các số từ

1

đến

9

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 1.18★Trang 18— Viết một số dưới dạng luỹ thừa cho trước

Bài 1.18 (trang 18). Viết các số

125

;

3125

dưới dạng luỹ thừa của

5

Kiến thức cần nhớ

Muốn viết một số dưới dạng luỹ thừa của $5$ , ta phân tích số đó thành tích các thừa số $5$ bằng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Đề bắt viết

125

và

3125

thành luỹ thừa của

5

— dấu hiệu của dạng phân tích một số về luỹ thừa của cơ số cho trước. Hai số này đều tận cùng bằng

5

và chia hết cho

5

nhiều lần, nên chỉ việc chia liên tiếp cho

5

rồi đếm số lần chia. Bẫy là đếm thiếu một lần chia: khi chia tới

1

mới dừng, nếu dừng ở

5

thì số mũ bị hụt đi một.

1Cách 1. Chia liên tiếp cho 5 và đếm số lần chia

Định hướng. Một số chia hết liên tiếp cho $5$ đúng $n$ lần rồi về $1$ thì số đó bằng $5^{n}$ , nên chia dần là tìm được ngay số mũ.

125 : 5 = 25

;

25 : 5 = 5

;

5 : 5 = 1

, chia được 3 lần

125 = 5^{3}

3125 : 5 = 625

;

625 : 5 = 125

;

125 : 5 = 25

;

25 : 5 = 5

;

5 : 5 = 1

, chia được 5 lần

3125 = 5^{5}

Vậy $125 = 5^{3}$ ; $3125 = 5^{5}$ .

2Cách 2. Nhân dần 5 lên và so sánh với số đã cho

Định hướng. Nhân $5$ với chính nó nhiều lần cho tới khi đúng bằng số đã cho, số lần nhân chính là số mũ cần tìm.

5^{1} = 5

;

5^{2} = 25

;

5^{3} = 125

125 = 5^{3}

5^{4} = 625

;

5^{5} = 3125

3125 = 5^{5}

Vậy $125 = 5^{3}$ ; $3125 = 5^{5}$ .

3Cách 3. Dùng kết quả của số trước để suy ra số sau

Định hướng. Hai số trong đề có quan hệ với nhau: $3125$ gấp $25$ lần $125$ , nên viết xong số thứ nhất là suy ra ngay số thứ hai bằng quy tắc cộng số mũ.

125 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^{3}

3125 = 125 \cdot 25

25 = 5^{2}

3125 = 5^{3} \cdot 5^{2} = 5^{3 + 2}

3125 = 5^{5}

Vậy $125 = 5^{3}$ và $3125 = 5^{5}$ .

Nhận xét. Cách 1 chia liên tiếp, chắc chắn với mọi số; Cách 2 nhân dần lên, hợp khi số nhỏ; Cách 3 tận dụng quan hệ giữa hai số của đề nên nhanh nhất, và đó cũng là lối nghĩ để viết tiếp $15625$ , $78125$ mà không phải chia lại từ đầu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: nhận ra

3125 = 125 \cdot 25

rồi dùng luôn kết quả của số trước, chỉ một dòng là xong cả câu thứ hai.

Đáp số.

125 = 5^{3}

;

3125 = 5^{5}

Sai lầm thường gặp. Đếm nhầm số lần chia, ví dụ cho rằng

125

chia cho

5

được 2 lần nên viết

125 = 5^{2}

🚀 Mở rộng. Tổng quát: nếu

a = 5^{m}

và

b = 5^{n}

thì

a \cdot b = 5^{m + n}

— thử viết

15625

dưới dạng luỹ thừa của

5

bằng cách tách thành

3125 \cdot 5

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · 1.19★★Trang 18— Đưa luỹ thừa về cùng một cơ số

Bài 1.19 (trang 18). Viết các số

(\frac{1}{9})^{5}

(\frac{1}{27})^{7}

dưới dạng luỹ thừa cơ số

\frac{1}{3}

Kiến thức cần nhớ

$(x^{m})^{n} = x^{m \cdot n}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề bắt đưa về cùng cơ số

\frac{1}{3}

— dấu hiệu phải nhận ra

\frac{1}{9}

và

\frac{1}{27}

chính là luỹ thừa của

\frac{1}{3}

. Mấu chốt nằm ở hai đẳng thức

9 = 3^{2}

và

27 = 3^{3}

, sau đó chỉ việc nhân số mũ. Bẫy là cộng số mũ thay vì nhân, viết

(\frac{1}{9})^{5} = (\frac{1}{3})^{7}

1Cách 1. Đưa cơ số về luỹ thừa của 1/3 rồi nhân số mũ

Định hướng. $\frac{1}{9}$ và $\frac{1}{27}$ đều viết được dưới dạng luỹ thừa của $\frac{1}{3}$ , nên thay vào rồi nhân hai số mũ theo công thức luỹ thừa của luỹ thừa.

\frac{1}{9} = (\frac{1}{3})^{2}

nên

(\frac{1}{9})^{5} = [(\frac{1}{3})^{2}]^{5} = (\frac{1}{3})^{10}

\frac{1}{27} = (\frac{1}{3})^{3}

nên

(\frac{1}{27})^{7} = [(\frac{1}{3})^{3}]^{7} = (\frac{1}{3})^{21}

Vậy $(\frac{1}{9})^{5} = (\frac{1}{3})^{10}$ ; $(\frac{1}{27})^{7} = (\frac{1}{3})^{21}$ .

2Cách 2. Nhận ra qui luật từ các số mũ nhỏ rồi suy rộng

Định hướng. Xét vài số mũ nhỏ để phát hiện qui luật đổi cơ số, rồi áp dụng thẳng qui luật đó cho số mũ lớn hơn trong đề mà không cần biến đổi đại số từng bước.

(\frac{1}{9})^{1} = \frac{1}{9} = (\frac{1}{3})^{2}

(\frac{1}{9})^{2} = \frac{1}{81} = (\frac{1}{3})^{4}

Mỗi lần số mũ của

\frac{1}{9}

tăng thêm

1

thì số mũ của

\frac{1}{3}

tăng thêm

2

(\frac{1}{9})^{5} = (\frac{1}{3})^{2 \cdot 5} = (\frac{1}{3})^{10}

(\frac{1}{27})^{1} = \frac{1}{27} = (\frac{1}{3})^{3}

, mỗi lần số mũ của

\frac{1}{27}

tăng thêm

1

thì số mũ của

\frac{1}{3}

tăng thêm

3

(\frac{1}{27})^{7} = (\frac{1}{3})^{3 \cdot 7} = (\frac{1}{3})^{21}

Vậy $(\frac{1}{9})^{5} = (\frac{1}{3})^{10}$ ; $(\frac{1}{27})^{7} = (\frac{1}{3})^{21}$ .

3Cách 3. Chuyển sang phân số rồi viết mẫu số dưới dạng luỹ thừa của

3

Định hướng. Dùng luỹ thừa của một thương để đưa số mũ xuống mẫu, khi đó chỉ còn phải viết mẫu số thành luỹ thừa của $3$ rồi trả ngược về cơ số $\frac{1}{3}$ .

(\frac{1}{9})^{5} = \frac{1}{9 ^{5}}

9^{5} = (3^{2})^{5} = 3^{10}

(\frac{1}{9})^{5} = \frac{1}{3 ^{10}} = (\frac{1}{3})^{10}

(\frac{1}{27})^{7} = \frac{1}{2 7 ^{7}}

2 7^{7} = (3^{3})^{7} = 3^{21}

(\frac{1}{27})^{7} = \frac{1}{3 ^{21}} = (\frac{1}{3})^{21}

Vậy $(\frac{1}{9})^{5} = (\frac{1}{3})^{10}$ và $(\frac{1}{27})^{7} = (\frac{1}{3})^{21}$ .

Nhận xét. Cách 1 đổi thẳng cơ số, ngắn nhất; Cách 2 dò quy luật từ các số mũ nhỏ nên dễ hiểu với bạn mới học; Cách 3 chỉ làm việc với mẫu số là số tự nhiên nên tránh được cảm giác ngại khi cơ số là phân số.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đổi cơ số rồi nhân hai số mũ, mỗi số chỉ hai dòng và không phải tính giá trị nào.

Đáp số.

(\frac{1}{9})^{5} = (\frac{1}{3})^{10}

;

(\frac{1}{27})^{7} = (\frac{1}{3})^{21}

Sai lầm thường gặp. Nhầm

9 = 3^{2}

thành

9 = 3 \cdot 3

rồi cộng số mũ thay vì nhân, dẫn tới kết quả sai số mũ.

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

(\frac{1}{3 ^{k}})^{n} = (\frac{1}{3})^{k \cdot n}

— thử viết

(\frac{1}{81})^{4}

dưới dạng luỹ thừa cơ số

\frac{1}{3}

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · 1.20★★★Trang 18— Dãy luỹ thừa theo quy tắc truy hồi (tích hai số hạng liền trước)

Bài 1.20 (trang 18). Thay mỗi dấu "?" bởi một luỹ thừa của

3

, biết rằng từ ô thứ ba, luỹ thừa cần tìm là tích của hai luỹ thừa ở hai ô liền trước. Dãy ô cho trước:

3^{0}

;

3^{1}

; ? ; ? ; ? ; ? ; ?.

Kiến thức cần nhớ

Tích của hai luỹ thừa cùng cơ số bằng luỹ thừa có số mũ bằng tổng hai số mũ: $x^{m} \cdot x^{n} = x^{m + n}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Quy tắc của đề là nhân hai ô liền trước, mà các ô đều là luỹ thừa cùng cơ số

3

— dấu hiệu chuyển phép nhân thành phép cộng số mũ, khi đó dãy luỹ thừa biến thành một dãy số mũ đơn giản. Dãy số mũ thu được là

0; 1; 1; 2; 3; 5; 8

, mỗi số bằng tổng hai số liền trước, chính là dãy Fibonacci nổi tiếng. Bẫy là nhân các số mũ với nhau: khi đó từ

3^{0}

và

3^{1}

sẽ ra toàn số mũ

0

và dãy đứng im.

1Cách 1. Cộng dần số mũ theo đúng quy tắc của đề

Định hướng. Đề cho biết từ ô thứ ba trở đi, mỗi ô bằng tích của hai ô liền trước; vì cùng cơ số $3$ nên tích đó ứng với số mũ bằng tổng hai số mũ liền trước, cứ thế cộng dần là ra hết dãy.

Số mũ ô 1 và ô 2:

0

;

1

Ô 3:

0 + 1 = 1

Ô 4:

1 + 1 = 2

Ô 5:

1 + 2 = 3

Ô 6:

2 + 3 = 5

Ô 7:

3 + 5 = 8

Vậy dãy đầy đủ là $3^{0}; 3^{1}; 3^{1}; 3^{2}; 3^{3}; 3^{5}; 3^{8}$ .

2Cách 2. Nhân trực tiếp giá trị hai ô liền trước

Định hướng. Không quy về cộng số mũ mà nhân thẳng giá trị của hai luỹ thừa liền trước với nhau, sau đó mới viết kết quả dưới dạng luỹ thừa của $3$ để đối chiếu với Cách 1.

3^{0} \cdot 3^{1} = 1 \cdot 3 = 3 = 3^{1}

3^{1} \cdot 3^{1} = 3 \cdot 3 = 9 = 3^{2}

3^{1} \cdot 3^{2} = 3 \cdot 9 = 27 = 3^{3}

3^{2} \cdot 3^{3} = 9 \cdot 27 = 243 = 3^{5}

3^{3} \cdot 3^{5} = 27 \cdot 243 = 6561 = 3^{8}

Vậy dãy đầy đủ là $3^{0}; 3^{1}; 3^{1}; 3^{2}; 3^{3}; 3^{5}; 3^{8}$ , đúng khớp với Cách 1.

3Cách 3. Nhận ra dãy số mũ là dãy Fibonacci rồi viết tiếp

Định hướng. Viết riêng dãy số mũ ra rồi quan sát quy luật: mỗi số bằng tổng hai số đứng ngay trước nó, nhờ đó điền tiếp dãy mà không cần quay lại phép nhân luỹ thừa lần nào.

Dãy số mũ bắt đầu bằng

0

;

1

0 + 1 = 1

1 + 1 = 2

1 + 2 = 3

2 + 3 = 5

3 + 5 = 8

Dãy số mũ:

0; 1; 1; 2; 3; 5; 8

Vậy dãy cần điền là $3^{0}; 3^{1}; 3^{1}; 3^{2}; 3^{3}; 3^{5}; 3^{8}$ .

Nhận xét. Cách 1 cộng số mũ theo từng ô, bám sát đề; Cách 2 nhân giá trị hai ô liền trước để kiểm tra chéo; Cách 3 tách riêng dãy số mũ nên lộ ra dãy Fibonacci — nhìn thấy quy luật rồi thì viết tiếp bao nhiêu ô cũng được.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: cộng dần số mũ theo đúng quy tắc, mỗi ô một phép cộng nhỏ, không phải tính giá trị nào.

Đáp số.

3^{0}; 3^{1}; 3^{1}; 3^{2}; 3^{3}; 3^{5}; 3^{8}

(dãy số mũ

0; 1; 1; 2; 3; 5; 8

chính là dãy Fibonacci)

Sai lầm thường gặp. Cộng luôn hai luỹ thừa liền trước như hai số bình thường thay vì nhân, dẫn tới áp dụng sai quy tắc cho các ô tiếp theo.

🚀 Mở rộng. Mở rộng: nếu kéo dài dãy thêm ba ô nữa thì số mũ của ba ô đó là bao nhiêu, và số mũ ô thứ mười lăm có vượt quá

500

không?

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · 1.21★★Trang 19— Tính luỹ thừa dựa vào luỹ thừa liền kề đã biết

Bài 1.21 (trang 19). Không sử dụng máy tính, hãy tính:
a)

(- 3)^{8}

, biết

(- 3)^{7} = - 2187

;
b)

(- \frac{2}{3})^{12}

, biết

(- \frac{2}{3})^{11} = \frac{- 2 048}{177 147}

Kiến thức cần nhớ

$x^{n + 1} = x^{n} \cdot x$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho sẵn luỹ thừa bậc liền trước và cấm dùng máy tính — dấu hiệu rõ ràng rằng phải tận dụng dữ kiện cho sẵn chứ không tính lại từ đầu. Chỉ cần nhân thêm một lần cơ số là lên được bậc tiếp theo, đồng thời số mũ chuyển từ lẻ sang chẵn nên dấu đổi từ âm sang dương. Bẫy là giữ nguyên dấu âm của dữ kiện, viết

(- 3)^{8} = - 6561

1Cách 1. Nhân luỹ thừa đã biết với cơ số

Định hướng. Số mũ cần tìm hơn số mũ đã biết đúng $1$ đơn vị, nên chỉ cần nhân luỹ thừa đã cho với đúng một thừa số cơ số là ra kết quả.

(- 3)^{8} = (- 3)^{7} \cdot (- 3) = (- 2187) \cdot (- 3) = 6561

(- \frac{2}{3})^{12} = (- \frac{2}{3})^{11} \cdot (- \frac{2}{3}) = \frac{- 2 048}{177 147} \cdot (- \frac{2}{3}) = \frac{4 096}{531 441}

Vậy a) $(- 3)^{8} = 6561$ ; b) $(- \frac{2}{3})^{12} = \frac{4 096}{531 441}$ .

2Cách 2. Xét dấu theo số mũ chẵn, lẻ rồi tính giá trị tuyệt đối

Định hướng. Số mũ $8$ và $12$ đều chẵn nên kết quả chắc chắn dương; từ đó chỉ cần nhân giá trị tuyệt đối của luỹ thừa đã biết với giá trị tuyệt đối của cơ số.

a) Số mũ

8

là số chẵn nên

(- 3)^{8} > 0

(- 3)^{7} \cdot 3 = 2187 \cdot 3 = 6561

(- 3)^{8} = 6561

b) Số mũ

12

là số chẵn nên

(- \frac{2}{3})^{12} > 0

\frac{2 048}{177 147} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4 096}{531 441}

(- \frac{2}{3})^{12} = \frac{4 096}{531 441}

Vậy a) $(- 3)^{8} = 6561$ ; b) $(- \frac{2}{3})^{12} = \frac{4 096}{531 441}$ .

3Cách 3. Dùng luỹ thừa của luỹ thừa: bình phương của bậc một nửa

Định hướng. Hai số mũ phải tìm đều chẵn nên luỹ thừa đó chính là bình phương của luỹ thừa bậc một nửa; chỉ cần tính luỹ thừa bậc nhỏ rồi bình phương, hoàn toàn không dùng tới dữ kiện số lớn của đề.

(- 3)^{4} = 81

(- 3)^{8} = [(- 3)^{4}]^{2} = 8 1^{2}

(- 3)^{8} = 6561

(- \frac{2}{3})^{6} = \frac{64}{729}

(- \frac{2}{3})^{12} = [(- \frac{2}{3})^{6}]^{2} = \frac{64}{729} \cdot \frac{64}{729}

(- \frac{2}{3})^{12} = \frac{4 096}{531 441}

Vậy a) $(- 3)^{8} = 6561$ ; b) $(- \frac{2}{3})^{12} = \frac{4 096}{531 441}$ , trùng khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Cách 1 tận dụng dữ kiện của đề nên ít phép tính nhất; Cách 2 tách dấu và giá trị tuyệt đối nên an toàn về dấu; Cách 3 độc lập hoàn toàn với dữ kiện cho sẵn nên vừa là lời giải vừa là phép thử lại cho hai cách kia.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhân luỹ thừa đã cho với cơ số, đúng một phép nhân cho mỗi câu và dùng trọn dữ kiện của đề.

Đáp số. a)

(- 3)^{8} = 6561

; b)

(- \frac{2}{3})^{12} = \frac{4 096}{531 441}

Sai lầm thường gặp. Nhân luỹ thừa đã biết với chính số mũ thay vì với cơ số, ví dụ tính nhầm

(- 3)^{8} = (- 2187) \cdot 8

🚀 Mở rộng. Mở rộng: từ

(- 3)^{8} = 6561

, hãy tính tiếp

(- 3)^{10}

mà chỉ dùng thêm một phép nhân.

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · 1.22★★★Trang 19— Đưa biểu thức về luỹ thừa của một số hữu tỉ

Bài 1.22 (trang 19). Viết các biểu thức sau dưới dạng luỹ thừa của một số hữu tỉ.
a)

1 5^{8} \cdot 2^{4}

;
b)

2 7^{5} : 3 2^{3}

Kiến thức cần nhớ

$(x^{m})^{n} = x^{m \cdot n}$ ; $x^{n} \cdot y^{n} = (x \cdot y)^{n}$ ; $x^{n} : y^{n} = (x : y)^{n}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề bắt gộp hai luỹ thừa khác cơ số, khác số mũ về MỘT luỹ thừa — dấu hiệu phải tìm cách làm cho hai số mũ bằng nhau rồi mới dùng luỹ thừa của một tích, một thương. Ở câu a),

8

chia hết cho

4

nên hạ

1 5^{8}

xuống thành

(1 5^{2})^{4}

; ở câu b),

27 = 3^{3}

và

32 = 2^{5}

nên cả hai đều đưa được về số mũ

15

hoặc số mũ

3

. Bẫy là cộng thẳng số mũ của hai cơ số khác nhau, viết

1 5^{8} \cdot 2^{4} = 3 0^{12}

1Cách 1. Tách số mũ để lộ luỹ thừa cùng số mũ rồi gộp

Định hướng. Số mũ $8$ gấp đôi số mũ $4$ , nên tách $1 5^{8} = (1 5^{2})^{4}$ để hai luỹ thừa có cùng số mũ $4$ , từ đó gộp lại bằng công thức luỹ thừa của một tích; câu b) làm tương tự với số mũ chung là $3$ .

1 5^{8} = (1 5^{2})^{4} = 22 5^{4}

1 5^{8} \cdot 2^{4} = 22 5^{4} \cdot 2^{4} = (225 \cdot 2)^{4} = 45 0^{4}

2 7^{5} = (3^{3})^{5} = 3^{15} = (3^{5})^{3} = 24 3^{3}

2 7^{5} : 3 2^{3} = 24 3^{3} : 3 2^{3} = (243 : 32)^{3} = (\frac{243}{32})^{3}

Vậy a) $1 5^{8} \cdot 2^{4} = 45 0^{4}$ ; b) $2 7^{5} : 3 2^{3} = (\frac{243}{32})^{3}$ .

2Cách 2. Phân tích ra thừa số nguyên tố rồi gộp theo hướng khác

Định hướng. Phân tích từng cơ số ra thừa số nguyên tố để thấy rõ luỹ thừa của mỗi thừa số nguyên tố, từ đó gộp lại theo một hướng khác để kiểm tra kết quả ở Cách 1.

15 = 3 \cdot 5

nên

1 5^{8} = 3^{8} \cdot 5^{8}

1 5^{8} \cdot 2^{4} = 3^{8} \cdot 5^{8} \cdot 2^{4} = (3^{2} \cdot 5^{2} \cdot 2)^{4} = (9 \cdot 25 \cdot 2)^{4} = 45 0^{4}

27 = 3^{3}

32 = 2^{5}

2 7^{5} : 3 2^{3} = 3^{15} : 2^{15} = (\frac{3}{2})^{15}

(\frac{3}{2})^{15} = [(\frac{3}{2})^{5}]^{3} = (\frac{243}{32})^{3}

Vậy a) $1 5^{8} \cdot 2^{4} = 45 0^{4}$ ; b) $2 7^{5} : 3 2^{3} = (\frac{243}{32})^{3}$ , đúng khớp với Cách 1.

3Cách 3. Viết kết quả dưới dạng luỹ thừa có số mũ khác

Định hướng. Kết quả của bài không duy nhất: chỉ cần chọn một số mũ chung khác là được một cách viết khác, miễn giá trị không đổi. Câu a) chọn số mũ $2$ , câu b) đẩy cả hai về số mũ $15$ .

1 5^{8} = (1 5^{4})^{2}

;

2^{4} = (2^{2})^{2}

1 5^{8} \cdot 2^{4} = (1 5^{4} \cdot 2^{2})^{2}

1 5^{4} = 50625

;

2^{2} = 4

1 5^{8} \cdot 2^{4} = 20250 0^{2}

27 = 3^{3}

nên

2 7^{5} = 3^{15}

32 = 2^{5}

nên

3 2^{3} = 2^{15}

2 7^{5} : 3 2^{3} = 3^{15} : 2^{15} = (\frac{3}{2})^{15}

Vậy a) $1 5^{8} \cdot 2^{4} = 45 0^{4} = 20250 0^{2}$ ; b) $2 7^{5} : 3 2^{3} = (\frac{243}{32})^{3} = (\frac{3}{2})^{15}$ .

Nhận xét. Cách 1 hạ số mũ về $4$ và $3$ nên cho đáp án gọn nhất; Cách 2 phân tích ra thừa số nguyên tố, chắc chắn với mọi bài; Cách 3 cho thấy cùng một giá trị có nhiều cách viết thành luỹ thừa, nên khi so đáp án với bạn mà thấy khác thì hãy kiểm tra giá trị chứ đừng vội cho là sai.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: hạ số mũ lớn xuống cho bằng số mũ nhỏ rồi gộp, cách này chỉ cần quy tắc luỹ thừa của luỹ thừa và của một tích.

Đáp số. a)

1 5^{8} \cdot 2^{4} = 45 0^{4}

; b)

2 7^{5} : 3 2^{3} = (\frac{243}{32})^{3}

Sai lầm thường gặp. Cộng số mũ

8

và

4

như khi nhân hai luỹ thừa cùng cơ số, dù

15

và

2

là hai cơ số khác nhau.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: hai luỹ thừa gộp được thành một khi số mũ này chia hết cho số mũ kia — thử viết

9^{6} \cdot 4^{3}

dưới dạng một luỹ thừa.

Mở bài này trong app ↗

Bài 17 · 1.23★★★Trang 19— Tính giá trị biểu thức có luỹ thừa và phân số

Bài 1.23 (trang 19). Tính:
a)

(1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{4})^{2} \cdot (2 + \frac{3}{7})

;
b)

4 : (\frac{1}{2} - \frac{1}{3})^{3}

Kiến thức cần nhớ

Trong biểu thức có ngoặc, phải tính giá trị trong ngoặc trước, rồi mới nâng luỹ thừa và thực hiện nhân, chia.
$(\frac{x}{y})^{n} = \frac{x ^{n}}{y ^{n}}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai biểu thức đều có một ngoặc được nâng luỹ thừa — dấu hiệu bắt buộc tính gọn trong ngoặc TRƯỚC rồi mới nâng luỹ thừa, đúng thứ tự thực hiện phép tính. Ngoặc ở câu a) cho

\frac{5}{4}

, ngoặc ở câu b) cho

\frac{1}{6}

, đều là những phân số rất gọn nên phần còn lại chỉ là nhân chia phân số. Bẫy là nâng luỹ thừa từng số hạng trong ngoặc, viết

(1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{4})^{2} = 1^{2} + (\frac{1}{2})^{2} - (\frac{1}{4})^{2}

1Cách 1. Tính từng ngoặc trước rồi nâng luỹ thừa

Định hướng. Theo đúng thứ tự thực hiện phép tính, việc cần làm trước tiên là cộng trừ các phân số bên trong mỗi dấu ngoặc, sau đó mới nâng luỹ thừa và nhân hoặc chia.

1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{4}{4} + \frac{2}{4} - \frac{1}{4} = \frac{5}{4}

(\frac{5}{4})^{2} = \frac{25}{16}

2 + \frac{3}{7} = \frac{14}{7} + \frac{3}{7} = \frac{17}{7}

\frac{25}{16} \cdot \frac{17}{7} = \frac{425}{112}

\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}

(\frac{1}{6})^{3} = \frac{1}{216}

4 : \frac{1}{216} = 4 \cdot 216 = 864

Vậy a) biểu thức bằng $\frac{425}{112}$ ; b) biểu thức bằng $864$ .

2Cách 2. Đưa các phân số về cùng mẫu chung của cả biểu thức

Định hướng. Thay vì tính riêng từng ngoặc, quy đổi mọi số hạng trong cùng một ngoặc về một mẫu chung duy nhất ngay từ đầu để cộng trừ một lần, hạn chế rút gọn nhiều lần ở các bước sau.

1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{4 + 2 - 1}{4} = \frac{5}{4}

2 + \frac{3}{7} = \frac{14 + 3}{7} = \frac{17}{7}

(\frac{5}{4})^{2} \cdot \frac{17}{7} = \frac{5 ^{2} \cdot 17}{4 ^{2} \cdot 7} = \frac{25 \cdot 17}{16 \cdot 7} = \frac{425}{112}

\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3 - 2}{6} = \frac{1}{6}

4 : (\frac{1}{6})^{3} = 4 \cdot 6^{3} = 4 \cdot 216 = 864

Vậy a) biểu thức bằng $\frac{425}{112}$ ; b) biểu thức bằng $864$ .

3Cách 3. Nhân với nghịch đảo (câu b) và thử lại bằng số thập phân (câu a)

Định hướng. Câu b) chia cho một phân số chính là nhân với nghịch đảo của nó, mà nghịch đảo của $(\frac{1}{6})^{3}$ là $6^{3}$ nên tính nhẩm được; câu a) đổi gần đúng ra số thập phân để soát lại kết quả.

\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}

(\frac{1}{6})^{3} = \frac{1}{6 ^{3}}

4 : \frac{1}{6 ^{3}} = 4 \cdot 6^{3}

= 4 \cdot 216

= 864

1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = 1, 25

(1, 25)^{2} = 1, 5625

2 + \frac{3}{7} \approx 2, 4286

1, 5625 \cdot 2, 4286 \approx 3, 7947

\frac{425}{112} \approx 3, 7946

Vậy a) $\frac{425}{112}$ ; b) $864$ , trùng khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Cách 1 tính từng ngoặc, chuẩn mực nhất; Cách 2 quy về một mẫu chung cho cả biểu thức; Cách 3 khai thác riêng cấu trúc của mỗi câu — câu b) thành phép nhân với $6^{3}$ , còn câu a) chỉ dùng số thập phân để soát chứ không thay được lời giải vì $\frac{3}{7}$ không đổi ra số thập phân hữu hạn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tính gọn trong ngoặc rồi nâng luỹ thừa, riêng câu b) dùng tiếp mẹo nhân với nghịch đảo ở Cách 3 cho nhanh.

Đáp số. a)

\frac{425}{112}

; b)

864

Sai lầm thường gặp. Nâng luỹ thừa trước khi cộng trừ trong ngoặc, ví dụ tính nhầm

1 + \frac{1}{2} - (\frac{1}{4})^{2}

thay vì

(1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{4})^{2}

🚀 Mở rộng. Tổng quát cho câu b):

a : (\frac{1}{n})^{3} = a \cdot n^{3}

— thử tính nhanh

5 : (\frac{1}{3} - \frac{1}{4})^{2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 18 · 1.24★★Trang 19— So sánh hai số viết dưới dạng luỹ thừa của 10

Bài 1.24 (trang 19). Khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời bằng khoảng

1, 5 \cdot 1 0^{8}

km. Khoảng cách từ Mộc tinh đến Mặt Trời khoảng

7, 78 \cdot 1 0^{8}

km. Hỏi khoảng cách từ Mộc tinh đến Mặt Trời gấp khoảng bao nhiêu lần khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời?

Kiến thức cần nhớ

Hai số cùng luỹ thừa của $10$ thì tỉ số của chúng bằng tỉ số của hai hệ số đứng trước.
$x^{n} : y^{n} = (x : y)^{n}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai khoảng cách đều viết dưới dạng một số nhân với

1 0^{8}

— dấu hiệu cho biết thừa số

1 0^{8}

sẽ rút gọn khi lập tỉ số, nên không việc gì phải viết đủ chín chữ số. Câu hỏi gấp bao nhiêu lần chính là phép chia khoảng cách lớn cho khoảng cách nhỏ. Bẫy là lập ngược tỉ số, chia khoảng cách Trái Đất cho khoảng cách Mộc tinh rồi ra

0, 19

lần.

1Cách 1. Lập tỉ số rồi rút gọn luỹ thừa 10^8 chung

Định hướng. Cả hai khoảng cách đều có chung thừa số $1 0^{8}$ , nên lập tỉ số rồi rút gọn thừa số chung đó là ra ngay số lần gấp.

Tỉ số cần tìm:

\frac{7 , 78 \cdot 1 0 ^{8}}{1 , 5 \cdot 1 0 ^{8}}

= \frac{7 , 78}{1 , 5} \cdot \frac{1 0 ^{8}}{1 0 ^{8}}

= \frac{7 , 78}{1 , 5} \cdot 1

\approx 5, 19

Vậy khoảng cách từ Mộc tinh đến Mặt Trời gấp khoảng $5, 19$ lần khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời.

2Cách 2. Tính ra số đủ chữ số rồi mới chia

Định hướng. Viết hẳn hai khoảng cách dưới dạng số đầy đủ (không còn luỹ thừa) rồi chia trực tiếp, dùng để kiểm tra lại kết quả rút gọn ở Cách 1.

1, 5 \cdot 1 0^{8} = 150000000

(km)

7, 78 \cdot 1 0^{8} = 778000000

(km)

778000000 : 150000000 \approx 5, 19

Vậy khoảng cách từ Mộc tinh đến Mặt Trời gấp khoảng $5, 19$ lần khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời, đúng khớp với Cách 1.

3Cách 3. Ước lượng trước rồi thử lại bằng phép nhân ngược

Định hướng. Làm tròn hai hệ số về số dễ chia để ước lượng kết quả, sau đó nhân ngược kết quả chính xác với $1, 5$ để kiểm tra xem có trở lại đúng $7, 78$ hay không.

7, 78 \approx 7, 5

7, 5 : 1, 5 = 5

7, 78 : 1, 5 \approx 5, 19

1, 5 \cdot 5, 19 = 7, 785

7, 785 \approx 7, 78

Vậy khoảng cách từ Mộc tinh đến Mặt Trời gấp khoảng $5, 19$ lần khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời.

Nhận xét. Cách 1 rút gọn luỹ thừa của $10$ , ngắn nhất; Cách 2 viết đủ chữ số nên thấy rõ độ lớn thật của hai khoảng cách; Cách 3 ước lượng trước giúp phát hiện ngay nếu lập ngược tỉ số, vì kết quả đúng phải quanh quẩn con số $5$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: lập tỉ số rồi rút gọn ngay thừa số

1 0^{8}

, phép chia còn lại chỉ là

7, 78 : 1, 5

Đáp số. Khoảng

5, 19

lần

Sai lầm thường gặp. Quên rút gọn thừa số chung

1 0^{8}

, đem

7, 78

chia cho

1, 5 \cdot 1 0^{8}

hoặc ngược lại.

🚀 Mở rộng. Mở rộng: khoảng cách từ Hải Vương tinh đến Mặt Trời khoảng

4, 5 \cdot 1 0^{9}

km — con số này gấp khoảng bao nhiêu lần khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời?

Mở bài này trong app ↗

Bài 19 · 1.25★★Trang 19— So sánh các số viết dưới dạng luỹ thừa của 10 có số mũ khác nhau

Bài 1.25 (trang 19). Bảng thống kê dưới đây cho biết số lượt khách quốc tế đến thăm Việt Nam trong năm 2019.
Hàn Quốc:

4, 3 \cdot 1 0^{6}

lượt khách
Hoa Kỳ:

7, 4 \cdot 1 0^{5}

lượt khách
Pháp:

2, 9 \cdot 1 0^{5}

lượt khách
Ý:

7 \cdot 1 0^{4}

lượt khách
Em hãy sắp xếp tên các quốc gia theo thứ tự số lượng khách đến thăm Việt Nam từ nhỏ đến lớn.

Kiến thức cần nhớ

Muốn so sánh các số dạng $a \cdot 1 0^{n}$ , trước hết đưa chúng về cùng một số mũ của $10$ rồi so sánh các hệ số đứng trước.
Số mũ của $10$ càng lớn thì số đó càng lớn, nếu các hệ số đứng trước đều nằm trong khoảng từ $1$ đến dưới $10$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bốn số đều viết dưới dạng một hệ số nhân với luỹ thừa của

10

, nhưng số mũ lại khác nhau (

1 0^{6}

1 0^{5}

1 0^{5}

1 0^{4}

) — dấu hiệu KHÔNG được so sánh hệ số ngay mà phải xét số mũ trước. Số mũ càng lớn thì số càng lớn, chỉ khi hai số cùng số mũ mới so tới hệ số. Bẫy là thấy

7, 4

và

7

lớn hơn

4, 3

rồi xếp Hoa Kỳ, Ý đứng trên Hàn Quốc, trong khi

4, 3 \cdot 1 0^{6}

lớn hơn tất cả.

1Cách 1. Đưa tất cả về cùng luỹ thừa 10^5 rồi so sánh hệ số

Định hướng. Bốn số đã cho có số mũ của $10$ khác nhau, nên quy về cùng một luỹ thừa $1 0^{5}$ để việc so sánh chỉ còn là so sánh các hệ số thập phân đứng trước.

Hàn Quốc:

4, 3 \cdot 1 0^{6} = 43 \cdot 1 0^{5}

Hoa Kỳ:

7, 4 \cdot 1 0^{5}

Pháp:

2, 9 \cdot 1 0^{5}

Ý:

7 \cdot 1 0^{4} = 0, 7 \cdot 1 0^{5}

So sánh các hệ số:

0, 7 < 2, 9 < 7, 4 < 43

Vậy thứ tự từ nhỏ đến lớn là: Ý, Pháp, Hoa Kỳ, Hàn Quốc.

2Cách 2. Viết đủ chữ số rồi so sánh trực tiếp

Định hướng. Viết hẳn các số dưới dạng số tự nhiên đầy đủ rồi so sánh như so sánh các số tự nhiên thông thường, dùng để kiểm tra lại Cách 1.

Hàn Quốc:

4, 3 \cdot 1 0^{6} = 4300000

Hoa Kỳ:

7, 4 \cdot 1 0^{5} = 740000

Pháp:

2, 9 \cdot 1 0^{5} = 290000

Ý:

7 \cdot 1 0^{4} = 70000

So sánh:

70000 < 290000 < 740000 < 4300000

Vậy thứ tự từ nhỏ đến lớn là: Ý, Pháp, Hoa Kỳ, Hàn Quốc, đúng khớp với Cách 1.

3Cách 3. So số mũ của

10

trước, so hệ số sau

Định hướng. Với hai số cùng viết dưới dạng hệ số nhân luỹ thừa của $10$ (hệ số từ $1$ đến dưới $10$ ), số nào có số mũ lớn hơn thì lớn hơn; chỉ khi số mũ bằng nhau mới phải so hai hệ số.

Số mũ: Ý

4

; Hoa Kỳ

5

; Pháp

5

; Hàn Quốc

6

4 < 5 < 6

Ý nhỏ nhất, Hàn Quốc lớn nhất
Hoa Kỳ và Pháp cùng số mũ

5

2, 9 < 7, 4

Pháp nhỏ hơn Hoa Kỳ

Vậy thứ tự số lượt khách từ nhỏ đến lớn: Ý, Pháp, Hoa Kỳ, Hàn Quốc.

Nhận xét. Cách 1 đưa về cùng luỹ thừa $1 0^{5}$ nên so sánh được trực tiếp; Cách 2 viết đủ chữ số, dễ hiểu nhưng dài; Cách 3 chỉ nhìn số mũ là loại được gần hết, đây đúng là lí do người ta viết số liệu lớn dưới dạng luỹ thừa của $10$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: so số mũ trước rồi mới so hệ số, khỏi phải đổi tất cả về cùng một luỹ thừa cũng không phải viết đủ chữ số.

Đáp số. Từ nhỏ đến lớn: Ý, Pháp, Hoa Kỳ, Hàn Quốc

Sai lầm thường gặp. So sánh trực tiếp các số mũ của

10

mà quên xét hệ số, ví dụ cho rằng

7 \cdot 1 0^{4}

lớn hơn

2, 9 \cdot 1 0^{5}

vì lẫn giữa số mũ và hệ số.

🚀 Mở rộng. Bổ sung thêm một quốc gia có

9, 5 \cdot 1 0^{4}

lượt khách — quốc gia đó chen vào giữa hai nước nào trong dãy đã sắp xếp?

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

‹ Bài trướcLuyện tập chung (trang 14–15)Bài tiếp theo ›Bài 4. Thứ tự thực hiện các phép tính. Quy tắc chuyển vế

📚 Cùng chương: Chương I. Số hữu tỉ

Bài 1. Tập hợp các số hữu tỉ
Bài 2. Cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ
Luyện tập chung (trang 14–15)
▶ Bài 3. Luỹ thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ
Bài 4. Thứ tự thực hiện các phép tính. Quy tắc chuyển vế
Luyện tập chung (trang 23–24)
Bài tập cuối chương I (trang 25)

📘 Sách & 🎓 khóa học cùng chủ đề

Học sâu hơn về Số hữu tỉ, số thực, tỉ lệ thức — đọc thử miễn phí trước khi mua.

📘 Sách

Bài 3. Luỹ thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ

🎯 Học tiếp

📚 Cùng chương: Chương I. Số hữu tỉ

📘 Sách & 🎓 khóa học cùng chủ đề

Tuyển tập 100 đề giữa kì I Toán 7

Đề HSG Toán 7 – Lời giải chi tiết

Toán 7 – Học chủ động

Bồi dưỡng HSG THCS