Bài 5. Làm quen với số thập phân vô hạn tuần hoàn

Định hướng. Thực hiện phép chia $1$ cho $9$ theo cột dọc để quan sát số dư lặp lại, từ đó xác định thương có phải là số thập phân vô hạn tuần hoàn hay không.

Vậy phép chia $1$ cho $9$ cho thương là số thập phân vô hạn tuần hoàn $0,(1)$, với chu kì là $1$.

Định hướng. Phân số $\frac{1}{9}$ đã tối giản, mẫu số bằng $9=3^2$ có ước nguyên tố khác $2$ và $5$ nên có thể suy ra ngay loại số thập phân mà không cần đặt phép chia, dùng kiểm tra lại Cách 1.

Vậy $\frac{1}{9}$ viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn, trùng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 chia trực tiếp nên thấy ngay chữ số lặp lại và cả giá trị $0,(1)$; Cách 2 chỉ cần xét ước của mẫu số nên nhanh hơn khi chỉ cần biết LOẠI số thập phân mà chưa cần tính ra giá trị cụ thể.

Định hướng. Gọi thương là $x$ rồi nhân $x$ với $10$; vì phần thập phân lặp lại y hệt nên hiệu $10x-x$ chỉ còn một số nguyên, từ đó tìm được $x$ dưới dạng phân số và đối chiếu với $\frac{1}{9}$.

Vậy $1:9$ đúng bằng số thập phân vô hạn tuần hoàn $0,(1)$, trùng khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Phép nhân với $10$ ở đây chính là mẹo chuẩn để đổi ngược một số thập phân vô hạn tuần hoàn về phân số, sẽ dùng lại nhiều lần ở các bài sau.

Định hướng. Thực hiện phép chia tử cho mẫu của từng phân số theo cột dọc để tìm dạng thập phân và phát hiện chu kì (nếu có).

Vậy $\frac{1}{4}=0,25$ là số thập phân hữu hạn; $-\frac{2}{11}=-0,(18)$ là số thập phân vô hạn tuần hoàn với chu kì $18$.

Định hướng. Xét ước nguyên tố của mẫu ở dạng tối giản để dự đoán trước loại số thập phân của mỗi phân số, rồi chia để tìm giá trị cụ thể, dùng kiểm tra lại Cách 1.

Vậy $\frac{1}{4}$ là số thập phân hữu hạn, $-\frac{2}{11}=-0,(18)$ là số thập phân vô hạn tuần hoàn, trùng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 chia trực tiếp cho ra ngay kết quả; Cách 2 xét mẫu số trước nên biết trước loại số thập phân mà không cần chia hết phần thập phân dài của $-\frac{2}{11}$.

Định hướng. Nhân cả tử và mẫu với một số thích hợp để mẫu thành luỹ thừa của $10$ (cho số thập phân hữu hạn) hoặc thành $99$ (cho số thập phân vô hạn tuần hoàn chu kì hai chữ số).

Vậy $\frac{1}{4}=0,25$ hữu hạn, $-\frac{2}{11}=-0,(18)$ vô hạn tuần hoàn chu kì $18$, trùng khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Mẫu $99$ đọc thẳng ra chu kì hai chữ số, mẫu $9$ cho chu kì một chữ số, mẫu $999$ cho chu kì ba chữ số — nhớ mẹo này thì khỏi phải đặt tính chia.

Định hướng. Độ chính xác $0,005$ ứng với hàng phần trăm nên làm tròn $3,14159$ đến hàng phần trăm, dựa vào chữ số hàng phần nghìn để quyết định giữ nguyên hay tăng thêm.

Vậy làm tròn $3,14159$ với độ chính xác $0,005$ (đến hàng phần trăm) được kết quả $3,14$.

Định hướng. So sánh trực tiếp khoảng cách từ $3,14159$ đến hai số thập phân có hai chữ số thập phân liền kề là $3,14$ và $3,15$ để chọn số gần hơn, dùng kiểm tra lại Cách 1.

Vậy $3,14159$ gần $3,14$ hơn $3,15$, nên kết quả làm tròn là $3,14$, trùng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 dùng quy tắc xét chữ số liền sau hàng làm tròn nên làm nhanh; Cách 2 so sánh khoảng cách trực tiếp trên trục số nên thấy rõ vì sao $3,14$ là số thập phân hai chữ số gần $3,14159$ nhất.

Định hướng. Làm tròn đến hàng phần trăm thì nhân số đã cho với $100$ để hàng phần trăm thành hàng đơn vị, làm tròn số nguyên cho quen mắt, rồi chia lại cho $100$.

Vậy $3,14159\approx 3,14$, trùng khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Nhân rồi chia lại cho cùng một luỹ thừa của $10$ chỉ là dời dấu phẩy, nên mọi bài làm tròn thập phân đều quy về được bài làm tròn số nguyên quen thuộc.

Định hướng. Làm tròn từng thừa số đến hàng đơn vị bằng cách xét chữ số hàng phần mười của mỗi số, rồi nhân hai kết quả đã làm tròn để ước lượng tích ban đầu.

Vậy ước lượng kết quả phép tính $31,(81)\cdot 4,9$ là $160$.

Định hướng. Đổi $31,(81)$ về phân số để tính giá trị đúng của tích, rồi so sánh với kết quả ước lượng ở Cách 1 để thấy mức chênh lệch của phép ước lượng.

Vậy giá trị đúng của tích là $155,(90)$, xấp xỉ $155,9$, không chênh lệch quá lớn so với kết quả ước lượng $160$ ở Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 làm tròn trước khi nhân nên tính rất nhanh, đúng với yêu cầu ước lượng của đề bài; Cách 2 tính giá trị đúng bằng phân số để kiểm tra xem phép ước lượng ở Cách 1 có hợp lí hay không.

Định hướng. Kẹp mỗi thừa số giữa hai số nguyên liền kề rồi nhân các cận tương ứng, để biết tích thật nằm trong khoảng nào và ước lượng $160$ là thừa hay thiếu.

Vậy tích thật nằm giữa $151,9$ và $160$, phù hợp với giá trị đúng $155,(90)$ và cho thấy ước lượng $160$ ở Cách 1 là hơi thừa.

Nhận xét. Chặn hai đầu không cho ra một con số duy nhất nhưng cho biết ngay sai số tối đa của phép ước lượng, điều mà Cách 1 không nói được.

Định hướng. Quan sát cách viết của từng số: số có dấu ngoặc chỉ chu kì là số thập phân vô hạn tuần hoàn, số chỉ có một dãy chữ số hữu hạn sau dấu phẩy là số thập phân hữu hạn.

Vậy $0,1$ và $-6,725$ là số thập phân hữu hạn; $-1,(23)$ và $11,2(3)$ là số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Định hướng. Đổi hai số không có dấu ngoặc về phân số tối giản rồi xét ước nguyên tố của mẫu để kiểm tra lại kết luận của Cách 1.

Vậy $\frac{1}{10}$ và $-\frac{269}{40}$ đều là số thập phân hữu hạn, trùng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 đọc trực tiếp cách viết nên rất nhanh; Cách 2 đổi về phân số và xét ước của mẫu, dùng khi cần giải thích vì sao một số lại là số thập phân hữu hạn.

Định hướng. Đổi hai số có dấu ngoặc về phân số tối giản, rồi xét ước nguyên tố của mẫu để khẳng định chúng buộc phải là số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Vậy $-1,(23)$ và $11,2(3)$ là số thập phân vô hạn tuần hoàn, trùng khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Cách 3 khép kín lập luận: Cách 2 mới chứng tỏ hai số kia hữu hạn, Cách 3 chứng tỏ hai số còn lại buộc phải vô hạn tuần hoàn.

Định hướng. Quan sát dãy chữ số sau dấu phẩy của $0,010101\dots$ để tìm cụm chữ số nhỏ nhất được lặp lại liên tiếp ngay từ đầu, rồi viết gọn bằng kí hiệu chu kì.

Vậy $0,010101\dots =0,(01)$, với chu kì là $01$.

Định hướng. Nhận xét $0,010101\dots$ chính là kết quả của phép chia $1$ cho $99$ theo tính chất mỗi số thập phân vô hạn tuần hoàn biểu diễn một số hữu tỉ, rồi kiểm tra lại bằng phép chia trực tiếp.

Vậy kết quả trùng khớp với Cách 1: $0,010101\dots =0,(01)$.

Nhận xét. Cách 1 quan sát trực tiếp dãy chữ số; Cách 2 dùng phép chia $1:99$ để kiểm tra chéo, đúng như nhận xét $\frac{1}{99}=0,(01)$.

Định hướng. Chu kì dự đoán dài hai chữ số nên nhân số đã cho với $100$; phần thập phân khi đó lặp lại y hệt nên hiệu của hai số là một số nguyên, từ đó tìm được phân số đúng bằng số đã cho.

Vậy $0,010101\dots =0,(01)$, trùng khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Cách 2 mượn sẵn kết quả $1:99$, còn Cách 3 tự dựng ra phân số $\frac{1}{99}$ nên không cần biết trước điều gì.

Định hướng. Viết ra bảy chữ số thập phân đầu tiên của $3,2(31)$ theo đúng chu kì $31$ lặp lại, từ đó đếm ra chữ số ở vị trí thứ năm và thứ sáu để làm tròn.

Vậy chữ số thập phân thứ năm của $3,2(31)$ là $1$, và $3,2(31)\approx 3,23131$ khi làm tròn đến chữ số thập phân thứ năm.

Định hướng. Chu kì $31$ có độ dài $2$ và bắt đầu từ vị trí thứ hai, nên các vị trí chẵn đều là chữ số $3$ còn các vị trí lẻ tiếp theo đều là chữ số $1$; áp dụng quy luật này để suy ra ngay chữ số thứ năm và thứ sáu, dùng kiểm tra lại Cách 1.

Vậy kết quả trùng khớp với Cách 1: chữ số thập phân thứ năm là $1$, làm tròn được $3,23131$.

Nhận xét. Cách 1 viết đủ chữ số nên trực quan, dễ kiểm tra; Cách 2 dùng quy luật chẵn - lẻ của vị trí trong chu kì nên tìm được chữ số ở vị trí rất xa mà không cần liệt kê hết.

Định hướng. Chu kì dài $2$ và bắt đầu từ vị trí thứ hai, nên với vị trí $n$ ta xét số dư của $n-1$ khi chia cho $2$ để biết chữ số đó là $3$ hay $1$.

Vậy chữ số thập phân thứ năm là $1$ và $3,2(31)\approx 3,23131$, trùng khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Cách 2 chỉ đúng vì chu kì dài $2$ nên vị trí chẵn lẻ phân biệt được; Cách 3 dùng số dư nên chạy được với chu kì dài bao nhiêu chữ số cũng được.

Định hướng. Quan sát quy luật hình thành các chữ số của số đã cho, giả sử số này có một chu kì độ dài cố định rồi kiểm tra xem giả sử đó có phù hợp với quy luật của đề bài hay không.

Vậy không tồn tại chu kì độ dài cố định nào cho số này, nên $0,1010010001000010\dots$ không phải là số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Định hướng. Đối chiếu cấu tạo của số đã cho với một số thập phân vô hạn tuần hoàn quen thuộc như $0,2777\dots =0,2(7)$, ở đó cụm lặp lại luôn có độ dài không đổi, để chỉ ra sự khác biệt, dùng kiểm tra lại Cách 1.

Vậy kết quả trùng khớp với Cách 1: đây không phải là số thập phân vô hạn tuần hoàn, mà là số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

Nhận xét. Cách 1 lập luận trực tiếp bằng phản chứng trên quy luật của đề bài; Cách 2 đối chiếu với một ví dụ số thập phân vô hạn tuần hoàn đã biết để làm rõ mấu chốt là độ dài cố định của chu kì.

Định hướng. Đánh số vị trí của từng chữ số $1$ trong dãy, tính khoảng cách giữa hai chữ số $1$ liên tiếp rồi đối chiếu với độ dài chu kì giả định.

Vậy không có độ dài $k$ nào thoả mãn, nên số đã cho là số thập phân vô hạn không tuần hoàn, trùng khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Cách 3 chuyển bài về một dãy số vị trí $1;3;6;10;15;\dots$ rất dễ kiểm tra bằng tay, nên thuyết phục hơn việc chỉ mô tả bằng lời.

Định hướng. Xác định hàng cần làm tròn ở mỗi câu (chữ số thập phân thứ ba ở câu a, hàng đơn vị ở câu b vì độ chính xác $0,5$), rồi xét chữ số ngay sau hàng đó để làm tròn.

Vậy a) $3,14159\dots \approx 3,142$ (đến chữ số thập phân thứ ba); b) $3,14159\dots \approx 3$ (với độ chính xác $0,5$).

Định hướng. Xác định vị trí của $3,14159\dots$ nằm giữa hai mốc thập phân liền kề của từng hàng cần làm tròn, so sánh với điểm chính giữa của đoạn đó để chọn mốc gần hơn, dùng kiểm tra lại Cách 1.

Vậy a) $3,14159\dots$ vượt qua điểm chính giữa nên gần $3,142$ hơn, làm tròn được $3,142$; b) $3,14159\dots$ chưa tới điểm chính giữa nên gần $3$ hơn, làm tròn được $3$; cả hai kết quả trùng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 dùng quy tắc xét chữ số liền sau hàng làm tròn nên nhanh gọn; Cách 2 so sánh với điểm chính giữa của đoạn nên thấy rõ vì sao mốc đó là kết quả làm tròn đúng, nhất là ở câu b khi độ chính xác được cho thay vì cho sẵn hàng làm tròn.

Định hướng. Viết số đã cho thành tổng của phần giữ lại (đúng số chữ số cần) và phần bị bỏ đi, rồi so phần bỏ đi với nửa đơn vị của hàng làm tròn để quyết định có bù thêm một đơn vị hay không.

Vậy a) $3,14159\dots \approx 3,142$; b) $3,14159\dots \approx 3$, trùng khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Cách 3 giải thích luôn vì sao “độ chính xác” lại đúng bằng nửa đơn vị của hàng làm tròn — đó chính là mức chênh lệch lớn nhất có thể xảy ra.