Bài 6. Số vô tỉ. Căn bậc hai số học (trang 29-32)

Định hướng. Hai đường chéo của hình vuông luôn bằng nhau, cắt nhau tại trung điểm mỗi đường và vuông góc với nhau nên khi vẽ cả hai đường chéo, hình vuông được chia thành bốn tam giác có cùng hình dạng và kích thước.

Vậy khi cắt hình vuông cạnh $2$ dm theo hai đường chéo, ta được bốn tam giác vuông cân bằng nhau như Hình 2.2a.

Định hướng. Nếu quay hình vuông một góc $90^{\circ }$ quanh tâm $O$ mà hình chồng khít lên chính nó, thì bốn tam giác được tạo bởi hai đường chéo phải trùng nhau từng đôi một, đây là cách kiểm tra độc lập với việc so sánh độ dài cạnh.

Vậy bốn tam giác $OAB$, $OBC$, $OCD$, $ODA$ bằng nhau, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 dùng tính chất đường chéo (bằng nhau, vuông góc, cắt nhau tại trung điểm) để suy ra bốn tam giác bằng nhau; Cách 2 dùng phép quay $90^{\circ }$ quanh tâm để kiểm tra trực quan rằng bốn tam giác trùng khít lên nhau.

Định hướng. Thay vì lập luận, hãy gấp tờ giấy hình vuông lần lượt theo hai đường chéo và quan sát xem các mảnh có chồng khít lên nhau hay không.

Vậy bốn tam giác $OAB$, $OBC$, $OCD$, $ODA$ bằng nhau, trùng khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Gấp giấy cho thấy ngay hai đường chéo cũng chính là hai trục đối xứng của hình vuông, điều mà Cách 1 phải phát biểu thành lời.

Định hướng. Bốn tam giác tạo bởi hai đường chéo bằng nhau nên mỗi tam giác chiếm đúng một phần tư diện tích hình vuông ban đầu; hình vuông mới gồm hai tam giác như thế ghép lại nên diện tích của nó gấp đôi diện tích một tam giác.

Vậy hình vuông ghép được ở Hình 2.2b có diện tích bằng $2$ dm².

Định hướng. Tính độ dài nửa đường chéo của hình vuông ban đầu bằng định lí Pythagore, từ đó tính diện tích một tam giác vuông cân theo công thức nửa tích hai cạnh góc vuông rồi nhân đôi, dùng kiểm tra lại Cách 1.

Vậy diện tích hình vuông mới bằng $2$ dm², trùng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 dùng ngay tỉ lệ diện tích so với hình vuông ban đầu nên tính rất nhanh; Cách 2 dùng định lí Pythagore để tính trực tiếp theo độ dài cạnh, làm rõ vì sao diện tích hình vuông mới liên quan đến số $2$.

Định hướng. Đường chéo nét đứt của hình vuông mới chính là cạnh huyền của một tam giác, dài đúng bằng cạnh $2$ dm của hình vuông ban đầu; từ đó tính diện tích theo đường chéo.

Vậy diện tích hình vuông ở Hình 2.2b bằng $2$ dm², trùng khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Công thức $\frac{d^2}{2}$ tính diện tích hình vuông theo đường chéo rất đáng nhớ, dùng được cho mọi bài chỉ cho đường chéo mà giấu cạnh.

Định hướng. Đặt thước có vạch chia dọc theo một cạnh của hình vuông nhận được ở HĐ2 rồi đọc số đo trên thước.

Vậy độ dài cạnh hình vuông đo được xấp xỉ $1,4$ dm.

Định hướng. Vì cạnh $x$ của hình vuông thoả $x^2=2$ (diện tích ở HĐ2 bằng $2$ dm²), nên có thể ước lượng $x$ bằng cách tìm hai số thập phân liên tiếp mà bình phương của chúng kẹp lấy số $2$, dùng kiểm tra lại Cách 1.

Vậy $x$ xấp xỉ $1,4$, khớp với số đo bằng thước ở Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 đo trực tiếp bằng dụng cụ thực hành; Cách 2 chỉ dùng phép tính bình phương để ước lượng mà không cần thước, hai cách cho cùng một giá trị gần đúng $1,4$ dm — chính là giá trị gần đúng của $\sqrt{2}$ sẽ học ở mục tiếp theo.

Định hướng. Cạnh hình vuông mới chính là nửa đường chéo của hình vuông cạnh $2$ dm ban đầu, nên đo đường chéo ấy rồi chia đôi sẽ cho cùng kết quả mà đoạn đo lại dài gấp đôi nên sai số tương đối nhỏ hơn.

Vậy độ dài cạnh xấp xỉ $1,4$ dm, trùng khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Đo một đoạn dài rồi chia nhỏ là mẹo thực hành quen thuộc: cùng một sai số đọc thước, đoạn càng dài thì kết quả càng đáng tin.

Định hướng. Diễn tả lần lượt bốn bước quân bát, phát tam, tồn ngũ, quân nhị bằng một biểu thức đại số theo chu vi $C$, sau đó dùng công thức $C=\pi d$ để suy ra giá trị mà người xưa đã ngầm lấy cho số $\pi$.

Vậy người xưa đã ước lượng $\pi \approx 3,2$.

Định hướng. Chọn một chu vi cụ thể dễ tính (chia hết cho 8), thực hiện đúng bốn bước quân bát - phát tam - tồn ngũ - quân nhị để tìm đường kính, rồi tính tỉ số chu vi trên đường kính, dùng kiểm tra lại Cách 1.

Vậy với chu vi $16$, đường kính tính được là $5$ và tỉ số $\frac{C}{d}=3,2$, trùng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 lập biểu thức tổng quát theo $C$ nên đúng với mọi chu vi; Cách 2 chỉ thử với một số cụ thể nhưng tính toán đơn giản hơn và vẫn cho cùng kết quả $\pi \approx 3,2$.

Định hướng. Coi chu vi là một đoạn thẳng gồm $8$ phần bằng nhau, làm đúng bốn bước của quy tắc ngay trên sơ đồ rồi đếm xem đường kính chiếm mấy phần, cuối cùng lập tỉ số chu vi trên đường kính.

Vậy người xưa đã ước lượng $\pi \approx 3,2$, trùng khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Sơ đồ đoạn thẳng đưa cả bài về một tỉ số giữa hai số phần, không cần chữ $C$ cũng không cần chọn số cụ thể.

Định hướng. Với mỗi số, tìm số không âm có bình phương đúng bằng số đó rồi kết luận theo định nghĩa căn bậc hai số học.

Vậy a) $\sqrt{16}=4$; b) $\sqrt{81}=9$; c) $\sqrt{2021^2}=2021$.

Định hướng. Bấm phím căn bậc hai trên máy tính cầm tay cho từng số rồi đối chiếu với kết quả suy luận theo định nghĩa ở Cách 1.

Vậy kết quả bấm máy trùng khớp với Cách 1: a) $4$; b) $9$; c) $2021$.

Nhận xét. Cách 1 dùng định nghĩa để suy luận trực tiếp mà không cần công cụ; Cách 2 dùng máy tính cầm tay để kiểm tra lại, đặc biệt hữu ích ở câu c) khi số dưới dấu căn khá lớn.

Định hướng. Phân tích mỗi số dưới dấu căn ra thừa số nguyên tố rồi nhóm thành một bình phương, cách này dùng được cả khi không thuộc bảng bình phương.

Vậy a) $4$; b) $9$; c) $2021$, trùng khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Phân tích ra thừa số nguyên tố cho thấy mọi số mũ đều chẵn, đó chính là dấu hiệu để khẳng định căn bậc hai số học là một số tự nhiên.

Định hướng. Gọi cạnh sàn thi đấu là $x$ (m), $x>0$, từ diện tích đã cho lập $x^2=144$ để tìm $x$ theo định nghĩa căn bậc hai số học, rồi tính chu vi.

Vậy chu vi sàn thi đấu bằng $48$ m.

Định hướng. Phân tích $144$ ra thừa số nguyên tố rồi nhóm các thừa số thành một bình phương để tìm cạnh, dùng kiểm tra lại Cách 1.

Vậy chu vi sàn thi đấu bằng $48$ m, trùng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 nhận ra ngay $144$ là bình phương của một số quen thuộc; Cách 2 phân tích ra thừa số nguyên tố nên dùng được cả khi chưa nhận ra ngay $\sqrt{144}$ bằng bao nhiêu.

Định hướng. Tìm số tự nhiên nhân với chính nó ra $144$ bằng cách thử dần từ những số tròn chục trở đi, rồi tính chu vi.

Vậy chu vi sàn thi đấu bằng $48$ m, trùng khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Thử dần tuy thủ công nhưng luôn dùng được, và vì $100<144<169$ nên chắc chắn chỉ phải thử trong khoảng từ $10$ đến $13$.

Định hướng. Dùng máy tính cầm tay bấm căn bậc hai của từng số rồi làm tròn kết quả đến hàng phần trăm theo đúng độ chính xác $0,005$ đã cho.

Vậy a) $\sqrt{15}\approx 3,87$; b) $\sqrt{2,56}=1,6$; c) $\sqrt{17256}\approx 131,36$; d) $\sqrt{793881}=891$.

Định hướng. Tìm hai số nguyên (hoặc số thập phân) liên tiếp mà bình phương của chúng kẹp lấy số dưới dấu căn để kiểm tra lại thứ tự độ lớn của kết quả bấm máy ở Cách 1, không cần dùng máy tính.

Vậy cả bốn kết quả đều khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 dùng máy tính cầm tay cho kết quả nhanh và chính xác đến nhiều chữ số; Cách 2 không cần máy tính, chỉ dùng phép bình phương để kiểm tra khoảng giá trị hoặc xác nhận số chính phương, hữu ích khi không có máy tính trong tay.

Định hướng. Phân tích mỗi số dưới dấu căn ra thừa số nguyên tố; nếu mọi số mũ đều chẵn thì kết quả là số hữu tỉ viết được chính xác, ngược lại chắc chắn phải làm tròn.

Vậy a) $\approx 3,87$; b) $=1,6$; c) $\approx 131,36$; d) $=891$, trùng khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Phân tích thừa số nguyên tố là cách duy nhất trong ba cách giúp phân biệt rạch ròi câu nào viết dấu bằng, câu nào phải viết dấu xấp xỉ.

Định hướng. Gọi cạnh đáy kim tự tháp là $x$ (m), $x>0$, từ diện tích đáy đã cho lập $x^2=52198,16$ rồi dùng máy tính cầm tay tính $x$ và làm tròn đến hàng phần mười.

Vậy độ dài cạnh đáy của kim tự tháp Kheops xấp xỉ $228,5$ m.

Định hướng. Tìm hai số nguyên liên tiếp mà bình phương kẹp lấy $52198,16$, rồi thử dần các chữ số thập phân để thu hẹp khoảng chứa $x$, dùng kiểm tra lại Cách 1.

Vậy $x\approx 228,5$ m, trùng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 dùng máy tính cầm tay cho kết quả nhanh với nhiều chữ số thập phân; Cách 2 chỉ dùng phép nhân để thu hẹp dần khoảng chứa $x$, áp dụng được khi không có máy tính.

Định hướng. Đoán một số gần đúng, chia diện tích cho số đoán ấy rồi lấy trung bình cộng của số đoán với thương; kết quả mới luôn sát $x$ hơn số đoán ban đầu.

Vậy cạnh đáy xấp xỉ $228,5$ m, trùng khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Chỉ một vòng trung bình cộng đã cho $228,4697$, sát giá trị đúng $228,4691\dots$ tới ba chữ số thập phân — đây là cách người xưa khai căn khi chưa có máy tính.

Định hướng. Đề đã cho sẵn $153^2=23409$, chỉ cần đối chiếu với định nghĩa căn bậc hai số học để kết luận ngay.

Vậy $\sqrt{23409}=153$.

Định hướng. Phân tích $23409$ ra thừa số nguyên tố rồi nhóm thành một bình phương để tìm căn bậc hai, dùng kiểm tra lại Cách 1 mà không cần dùng dữ kiện đề cho sẵn.

Vậy $\sqrt{23409}=153$, trùng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 tận dụng ngay dữ kiện $153^2=23409$ đã cho trong đề nên rất nhanh; Cách 2 tự phân tích ra thừa số nguyên tố, áp dụng được cả khi đề không cho sẵn dữ kiện.

Định hướng. Kẹp số đã cho giữa hai bình phương tròn chục để biết căn có mấy chục, rồi dựa vào chữ số tận cùng của số đã cho để thu hẹp còn vài khả năng và thử.

Vậy $\sqrt{23409}=153$, trùng khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Chỉ cần hai phép bình phương là tìm ra căn mà không dùng tới dữ kiện đề cho, nên mẹo này rất lợi khi đề không tặng sẵn gì.

Định hướng. Đối chiếu từng số đã cho với dãy bình phương của $12$ số tự nhiên đầu tiên để tìm ra số tự nhiên có bình phương đúng bằng số đó.

Vậy a) $\sqrt{9}=3$; b) $\sqrt{16}=4$; c) $\sqrt{81}=9$; d) $\sqrt{121}=11$.

Định hướng. Bấm căn bậc hai của từng số bằng máy tính cầm tay để đối chiếu với kết quả suy luận từ dãy số chính phương ở Cách 1.

Vậy kết quả bấm máy trùng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 dựa vào việc thuộc dãy số chính phương nên tính nhẩm được ngay; Cách 2 dùng máy tính cầm tay để kiểm tra lại khi chưa chắc chắn.

Định hướng. Tổng của những số lẻ liên tiếp bắt đầu từ $1$ luôn là một số chính phương, và ĐẾM xem có bao nhiêu số hạng thì đó chính là căn bậc hai số học cần tìm.

Vậy a) $3$; b) $4$; c) $9$; d) $11$, trùng khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Quy luật này giải thích luôn vì sao các số chính phương thưa dần: muốn lên số chính phương kế tiếp phải cộng thêm một số lẻ ngày một lớn.

Định hướng. Làm theo đúng cách mẫu của đề: phân tích $129600$ ra thừa số nguyên tố, nhóm các số mũ thành số chẵn để viết dưới dạng một bình phương.

Vậy $\sqrt{129600}=360$.

Định hướng. Nhận xét $129600=1296\cdot 100$, trong đó cả $1296$ và $100$ đều là số chính phương đã biết căn bậc hai, nên nhân hai căn bậc hai đó lại, dùng kiểm tra lại Cách 1.

Vậy $\sqrt{129600}=360$, trùng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 phân tích đầy đủ ra thừa số nguyên tố nên áp dụng được cho mọi số; Cách 2 tách thành tích của hai số chính phương quen thuộc ($1296=36^2$, $100=10^2$) nên tính nhanh hơn khi nhận ra được cách tách phù hợp.

Định hướng. Bóc dần các thừa số chính phương dễ thấy ra khỏi $129600$ cho tới khi gặp số $324$ mà đề đã làm mẫu, rồi gộp các căn lại.

Vậy $\sqrt{129600}=360$, trùng khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Cách 3 tận dụng lại đúng kết quả $324=18^2$ mà đề đã tặng ở phần làm mẫu, nên gần như không phải tính gì mới.

Định hướng. Với câu c) cần đổi $1$ ha sang mét vuông trước, sau đó ở cả ba câu đều gọi cạnh hình vuông là $x$ ($x>0$), lập bình phương của $x$ bằng diện tích đã cho rồi tính $x$ theo định nghĩa căn bậc hai số học.

Vậy a) cạnh bằng $9$ dm; b) cạnh bằng $60$ m; c) cạnh bằng $100$ m.

Định hướng. Phân tích từng số ra thừa số nguyên tố rồi nhóm thành một bình phương để tìm căn bậc hai, dùng kiểm tra lại Cách 1.

Vậy kết quả trùng khớp với Cách 1: a) $9$ dm; b) $60$ m; c) $100$ m.

Nhận xét. Cách 1 dùng định nghĩa căn bậc hai số học theo diện tích đã cho; Cách 2 phân tích ra thừa số nguyên tố, giúp kiểm tra lại kết quả mà không cần nhớ sẵn bảng bình phương.

Định hướng. Tách phần chữ số $0$ ở cuối thành luỹ thừa của $10$ rồi chỉ khai căn phần còn lại, vì mỗi hai chữ số $0$ thêm vào số ban đầu chỉ làm căn thêm đúng một chữ số $0$.

Vậy a) $9$ dm; b) $60$ m; c) $100$ m, trùng khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Quy tắc này khiến các số tròn chục, tròn trăm trở nên rất dễ khai căn, chỉ cần thuộc bảng bình phương của những số có một chữ số.

Định hướng. Dùng máy tính cầm tay bấm căn bậc hai của từng số rồi làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

Vậy a) $\sqrt{3}\approx 1,73$; b) $\sqrt{41}\approx 6,40$; c) $\sqrt{2021}\approx 44,96$.

Định hướng. Tìm hai số nguyên liên tiếp mà bình phương kẹp lấy số dưới dấu căn, rồi thử dần chữ số thập phân để kiểm tra lại kết quả bấm máy ở Cách 1.

Vậy cả ba kết quả đều khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 cho kết quả nhanh và chính xác bằng máy tính; Cách 2 chỉ dùng phép bình phương để kiểm tra khoảng giá trị, áp dụng được khi không có máy tính trong tay.

Định hướng. Với mỗi câu, chọn hai số có đúng hai chữ số thập phân kẹp lấy kết quả rồi bình phương cả hai, số nào có bình phương gần số dưới dấu căn hơn thì đó là kết quả làm tròn.

Vậy a) $\approx 1,73$; b) $\approx 6,40$; c) $\approx 44,96$, trùng khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Cách 3 không chỉ ước lượng mà còn CHỨNG TỎ kết quả làm tròn ở Cách 1 là số hai chữ số thập phân gần đúng nhất, điều mà phép kẹp giữa hai số nguyên ở Cách 2 chưa làm được.

Định hướng. Gọi $d$ là độ dài đường chéo, áp dụng đúng công thức đã nêu trong đề để lập $d^2$ theo hai cạnh $8$ dm và $5$ dm, rồi dùng máy tính cầm tay tính $d$ và làm tròn đến hàng phần mười.

Vậy độ dài đường chéo của hình chữ nhật xấp xỉ $9,4$ dm.

Định hướng. Tìm hai số thập phân liên tiếp (theo hàng phần mười) mà bình phương kẹp lấy $89$ để ước lượng $d$, dùng kiểm tra lại Cách 1.

Vậy $d\approx 9,4$ dm, trùng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 dùng máy tính cầm tay để tính nhanh và chính xác; Cách 2 chỉ dùng phép bình phương để thu hẹp dần khoảng chứa $d$, áp dụng được khi không có máy tính.

Định hướng. Tách số dưới dấu căn thành một số chính phương cộng với phần dư nhỏ, rồi bù vào căn một lượng bằng phần dư chia cho hai lần căn ấy.

Vậy độ dài đường chéo xấp xỉ $9,4$ dm, trùng khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Mẹo này cho $9,44$ trong khi giá trị đúng là $9,4339\dots$, sai lệch chưa tới một phần trăm — đủ tốt cho mọi bài chỉ cần làm tròn đến hàng phần mười.

Định hướng. Tính cạnh sân bằng căn bậc hai số học của diện tích, đổi cùng đơn vị với cạnh viên gạch, tìm số viên gạch xếp theo một cạnh rồi bình phương lên để ra tổng số viên gạch của cả sân hình vuông.

Vậy cần dùng $400$ viên gạch để lát kín mảnh sân.

Định hướng. Tính diện tích một viên gạch theo mét vuông rồi chia diện tích sân cho diện tích một viên gạch, dùng kiểm tra lại Cách 1.

Vậy cần dùng $400$ viên gạch, trùng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 tính số viên gạch theo từng cạnh rồi bình phương lên; Cách 2 lấy tỉ số hai diện tích, gọn hơn khi chỉ cần biết tổng số viên mà không cần biết số viên trên mỗi cạnh.

Định hướng. Đổi diện tích sân sang xentimét vuông cho cùng đơn vị với cạnh viên gạch, khi đó chỉ còn một phép chia giữa hai số tự nhiên.

Vậy cần $400$ viên gạch, trùng khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Làm việc hoàn toàn trên số tự nhiên nên không còn chỗ nào để đặt sai dấu phẩy, khác với Cách 2 phải chia cho $0,25$.