Bài 7. Tập hợp các số thực (trang 33-36)

Định hướng. Xác định $\sqrt{2}$, $\pi$, $15$ lần lượt thuộc loại số nào (hữu tỉ, vô tỉ hay số thực nói chung) rồi đối chiếu với kí hiệu tập hợp được viết trong mỗi mệnh đề.

Vậy a) cách viết đúng là $\pi \in \mathbb{I}$ và $15\in \mathbb{R}$, còn $\sqrt{2}\in \mathbb{Q}$ là sai; b) số đối của $5,08(299)$ là $-5,08(299)$, số đối của $-\sqrt{5}$ là $\sqrt{5}$.

Định hướng. Dùng quan hệ bao hàm giữa các tập hợp số đã học ($\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$, và $\mathbb{Q}$, $\mathbb{I}$ là hai tập con rời nhau của $\mathbb{R}$) để kiểm tra lại từng mệnh đề, đồng thời kiểm tra số đối bằng tính chất số đối của số đối một số bằng chính số đó.

Vậy kết quả trùng khớp với Cách 1: $\pi \in \mathbb{I}$, $15\in \mathbb{R}$ đúng; số đối của $5,08(299)$ và $-\sqrt{5}$ lần lượt là $-5,08(299)$ và $\sqrt{5}$.

Nhận xét. Cách 1 xét trực tiếp từng số theo dạng thập phân; Cách 2 dùng quan hệ bao hàm giữa các tập hợp số để lập luận, đồng thời dùng tính chất số đối của số đối bằng chính nó để tự kiểm tra chéo.

Định hướng. Trong Hình 2.4, điểm biểu diễn số $\sqrt{2}$ được đặt tên là $M$; tìm điểm nằm đối xứng với $M$ qua gốc $O$ chính là điểm biểu diễn $-\sqrt{2}$.

Vậy điểm $N$ trong Hình 2.4 biểu diễn số $-\sqrt{2}$; điểm biểu diễn của hai số đối nhau $\sqrt{2}$ và $-\sqrt{2}$ đối xứng nhau qua gốc $O$.

Định hướng. Hai số đối nhau có cùng giá trị tuyệt đối nên hai điểm biểu diễn chúng cách đều gốc $O$; kết hợp với việc số dương nằm bên phải, số âm nằm bên trái $O$ để xác định đúng điểm cần tìm, dùng kiểm tra lại Cách 1.

Vậy điểm $N$ biểu diễn số $-\sqrt{2}$, trùng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 đọc trực tiếp tên điểm trên hình; Cách 2 dùng tính chất khoảng cách bằng nhau của hai số đối để suy luận mà không cần nhìn hình đã có sẵn tên điểm. Tổng quát, hai số đối nhau luôn có điểm biểu diễn đối xứng nhau qua gốc $O$ trên trục số.

Định hướng. Dựng một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng $1$ và $3$ để được đoạn thẳng dài $\sqrt{10}$, sau đó dùng compa với bán kính bằng đoạn thẳng đó, tâm tại gốc $O$, quay sang phía tia âm của trục số.

Vậy điểm biểu diễn số $-\sqrt{10}$ nằm bên trái gốc $O$, cách $O$ một khoảng bằng $\sqrt{10}$, như trên hình vẽ.

Định hướng. Tìm hai số nguyên liên tiếp mà bình phương của chúng kẹp lấy $10$ để xác định điểm $-\sqrt{10}$ nằm giữa hai vạch nguyên nào trên trục số, dùng kiểm tra lại vị trí đã dựng bằng compa ở Cách 1.

Vậy điểm biểu diễn $-\sqrt{10}$ nằm giữa $-4$ và $-3$, gần $-3$ hơn, khớp với vị trí đã dựng chính xác bằng compa ở Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 dựng đúng vị trí bằng thước và compa dựa trên định lí Pythagore; Cách 2 chỉ ước lượng khoảng chứa điểm bằng phép so sánh bình phương, dùng để kiểm tra hình vẽ có hợp lí hay không.

Định hướng. Viết $1,(32)$ dưới dạng thập phân đầy đủ rồi so sánh từng chữ số theo đúng hàng với $1,313233\dots$; với câu b) đổi $\sqrt{5}$ ra dạng thập phân gần đúng bằng máy tính cầm tay rồi so sánh với $2,36$.

Vậy a) $1,313233\cdots <1,(32)$; b) $\sqrt{5}<2,36$.

Định hướng. Với câu a), xét hiệu của hai số để xác định số nào lớn hơn mà không cần so sánh từng hàng; với câu b), dùng tính chất $0<a<b$ thì $\sqrt{a}<\sqrt{b}$, so sánh $5$ với bình phương của $2,36$ thay vì tính gần đúng $\sqrt{5}$, dùng kiểm tra lại Cách 1.

Vậy kết quả trùng khớp với Cách 1: a) $1,313233\cdots <1,(32)$; b) $\sqrt{5}<2,36$.

Nhận xét. Cách 1 so sánh trực tiếp qua từng chữ số hoặc giá trị gần đúng; Cách 2 dùng phép trừ (câu a) hoặc bình phương kết hợp tính chất căn bậc hai số học (câu b) để so sánh mà không cần khai triển hết các chữ số thập phân.

Định hướng. Vẽ điểm biểu diễn $3$ và $-2$ trên trục số rồi đếm số đơn vị từ mỗi điểm đó đến gốc $O$.

Vậy điểm biểu diễn $3$ cách gốc $O$ là $3$ đơn vị, điểm biểu diễn $-2$ cách gốc $O$ là $2$ đơn vị.

Định hướng. Với số dương, khoảng cách đến $O$ chính là số đó; với số âm, khoảng cách đến $O$ bằng số đối (dương) của nó — dùng cách này để kiểm tra lại Cách 1 mà không cần vẽ hình.

Vậy khoảng cách lần lượt là $3$ và $2$ đơn vị, trùng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 đếm trực tiếp trên hình vẽ; Cách 2 suy luận bằng số đối nên áp dụng được ngay cả khi không vẽ trục số, đây chính là ý tưởng dẫn tới khái niệm giá trị tuyệt đối sẽ nêu ở phần sau.

Định hướng. Xét dấu của từng số rồi suy ra khoảng cách đến gốc $O$ theo đúng ba trường hợp: số dương, số âm và số $0$.

Vậy khoảng cách đến $O$ của $-4$; $-1$; $0$; $1$; $4$ lần lượt là $4$; $1$; $0$; $1$; $4$.

Định hướng. Nhận xét $-4$ và $4$ là hai số đối nhau, $-1$ và $1$ cũng là hai số đối nhau nên từng cặp có khoảng cách bằng nhau đến $O$; từ đó chỉ cần tính khoảng cách của $4$, $1$ rồi suy ra khoảng cách của $-4$, $-1$, dùng kiểm tra lại Cách 1.

Vậy khoảng cách đến $O$ của $-4$; $-1$; $0$; $1$; $4$ lần lượt là $4$; $1$; $0$; $1$; $4$, trùng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 xét dấu từng số riêng lẻ; Cách 2 tận dụng tính chất hai số đối nhau có cùng khoảng cách đến $O$ để giảm bớt số lần tính toán.

Định hướng. Theo định nghĩa vừa nêu, giá trị tuyệt đối của một số đúng bằng khoảng cách từ điểm biểu diễn số đó đến gốc $O$ đã tính được ở Hoạt động 1 và Hoạt động 2.

Vậy $|3|=3$; $|-2|=2$; $|0|=0$; $|4|=4$; $|-4|=4$.

Định hướng. Dùng ngay công thức $|a|=a$ khi $a>0$, $|a|=-a$ khi $a<0$, $|a|=0$ khi $a=0$ để tính từng giá trị tuyệt đối mà không cần nhắc lại kết quả của HĐ1, HĐ2, dùng kiểm tra lại Cách 1.

Vậy kết quả trùng khớp với Cách 1: $|3|=3$; $|-2|=2$; $|0|=0$; $|4|=4$; $|-4|=4$.

Nhận xét. Cách 1 dùng lại trực tiếp kết quả khoảng cách đã có; Cách 2 tính độc lập bằng công thức xét dấu, phù hợp khi chưa có sẵn hình vẽ hay kết quả khoảng cách từ trước.

Định hướng. Vì $-2,5<0$ nên áp dụng đúng trường hợp $|a|=-a$ khi $a<0$, với $a=-2,5$, để tính lại giá trị tuyệt đối rồi so sánh với điều Minh viết.

Vậy Minh viết sai; kết quả đúng phải là $|-2,5|=2,5$.

Định hướng. Không cần tính cụ thể, chỉ cần dùng nhận xét giá trị tuyệt đối của một số thực luôn không âm để thấy ngay vế phải Minh viết là số âm là vô lí, dùng kiểm tra lại Cách 1.

Vậy Minh viết sai, phù hợp với kết luận ở Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 tính lại cụ thể theo định nghĩa để tìm ra kết quả đúng $2,5$; Cách 2 chỉ dùng tính chất tổng quát (giá trị tuyệt đối không âm) để bác bỏ ngay mà không cần tính toán, phát hiện lỗi nhanh hơn nhưng không cho biết giá trị đúng.

Định hướng. Xác định dấu của từng số, sau đó dùng đúng trường hợp trong định nghĩa giá trị tuyệt đối để tính.

Vậy a) $|-2,3|=2,3$; b) $\left|\frac{7}{5}\right|=\frac{7}{5}$; c) $|-11|=11$; d) $\left|-\sqrt{8}\right|=\sqrt{8}$.

Định hướng. Xem mỗi giá trị tuyệt đối là khoảng cách từ điểm biểu diễn số đó đến gốc $O$ trên trục số: với số âm lấy số đối (dương) của nó, với số dương giữ nguyên, dùng kiểm tra lại Cách 1.

Vậy kết quả trùng khớp với Cách 1 ở cả bốn câu.

Nhận xét. Cách 1 dùng công thức đại số theo dấu của số; Cách 2 dùng ý nghĩa hình học (khoảng cách trên trục số) để tính, hai cách bổ sung cho nhau giúp hiểu rõ bản chất giá trị tuyệt đối.

Định hướng. Điều kiện $|x|<5$ nghĩa là khoảng cách từ $x$ đến $O$ nhỏ hơn $5$, tức $x$ nằm giữa $-5$ và $5$; kết hợp với $x\in \mathbb{Z}$ để liệt kê hết các giá trị.

Vậy $A=\{-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4\}$.

Định hướng. Tính giá trị tuyệt đối của các số nguyên từ nhỏ đến lớn về khoảng cách đến $0$, giữ lại những số có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn $5$, dùng kiểm tra lại Cách 1.

Vậy $A=\{-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4\}$, trùng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 giải bất đẳng thức kép $-5<x<5$ trước rồi liệt kê; Cách 2 thử trực tiếp giá trị tuyệt đối từng số nguyên, giúp thấy rõ vì sao $-5$ và $5$ bị loại khỏi tập hợp $A$.

Định hướng. Đưa mỗi phần tử về dạng số thập phân (nếu cần tính căn bậc hai) rồi xét xem đó là số thập phân hữu hạn, vô hạn tuần hoàn (số hữu tỉ) hay vô hạn không tuần hoàn (số vô tỉ).

Vậy $B=\left\{7,1;-2,(61);0;5,14;\frac{4}{7};-\sqrt{81}\right\}$ và $C=\{\sqrt{15}\}$.

Định hướng. Một số là số hữu tỉ khi và chỉ khi viết được dưới dạng phân số $\frac{m}{n}$ với $m,n\in \mathbb{Z}$, $n\ne 0$; kiểm tra khả năng này cho từng phần tử để phân loại, dùng đối chiếu lại Cách 1.

Vậy các số viết được dưới dạng phân số tạo thành $B=\left\{7,1;-2,(61);0;5,14;\frac{4}{7};-\sqrt{81}\right\}$, còn $C=\{\sqrt{15}\}$, trùng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 xét trực tiếp dạng số thập phân; Cách 2 xét khả năng quy về phân số, hai cách cùng dựa trên định nghĩa số hữu tỉ nhưng nhìn từ hai góc độ khác nhau.

Định hướng. Lấy số đối của từng phần tử trong $A=\left\{7,1;-2,(61);0;5,14;\frac{4}{7};\sqrt{15};-\sqrt{81}\right\}$ bằng cách đổi dấu (riêng $\sqrt{81}$ cần tính trước khi đổi dấu).

Vậy $A^{\prime }=\left\{-7,1;2,(61);0;-5,14;-\frac{4}{7};-\sqrt{15};9\right\}$.

Định hướng. Lấy số đối của từng phần tử vừa tìm được trong $A^{\prime }$, kết quả phải trở lại đúng tập hợp $A$ ban đầu; đây là cách kiểm tra độc lập không lặp lại thao tác đổi dấu ở Cách 1.

Vậy lấy số đối của từng phần tử trong $A^{\prime }$ đều trở lại đúng $A$, xác nhận $A^{\prime }=\left\{-7,1;2,(61);0;-5,14;-\frac{4}{7};-\sqrt{15};9\right\}$ ở Cách 1 là chính xác.

Nhận xét. Cách 1 đổi dấu trực tiếp từng phần tử; Cách 2 dùng tính chất số đối của số đối bằng chính số ban đầu để kiểm tra ngược lại toàn bộ kết quả.

Định hướng. Đoạn từ $0$ đến $1$ (câu a) và đoạn từ $4,6$ đến $4,7$ (câu b) đều được chia thành $20$ phần bằng nhau; đếm số phần từ mốc $0$ (hoặc $4,6$) đến mỗi điểm rồi nhân với độ dài một phần để tính toạ độ.

Vậy điểm $A$ biểu diễn số $0,65$, điểm $B$ biểu diễn số $0,95$, điểm $C$ biểu diễn số $4,615$, điểm $D$ biểu diễn số $4,65$.

Định hướng. Nhận xét mỗi điểm nằm đúng giữa hai vạch chia lớn liền kề (ứng với $0,1$ đơn vị ở câu a và $0,01$ đơn vị ở câu b) hoặc trùng một vạch chia lớn, từ đó tính toạ độ bằng trung bình cộng hai mốc hoặc đọc trực tiếp mốc, dùng kiểm tra lại Cách 1.

Vậy $A=0,65$; $B=0,95$; $C=4,615$; $D=4,65$, trùng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 đếm số phần chia từ mốc gốc; Cách 2 dùng trung điểm của hai vạch liền kề khi điểm không trùng vạch chia lớn, hai cách cho cùng kết quả và hỗ trợ nhau khi đọc hình.

Định hướng. Xác định dấu của mỗi số rồi áp dụng đúng trường hợp trong định nghĩa giá trị tuyệt đối.

Vậy a) $|-3,5|=3,5$; b) $\left|\frac{-4}{9}\right|=\frac{4}{9}$; c) $|0|=0$; d) $|2,0(3)|=2,0(3)$.

Định hướng. Xem mỗi số là toạ độ một điểm trên trục số, tính khoảng cách từ điểm đó đến gốc $O$ để suy ra giá trị tuyệt đối, dùng kiểm tra lại Cách 1.

Vậy kết quả trùng khớp với Cách 1 ở cả bốn câu.

Nhận xét. Cách 1 dùng công thức đại số theo dấu; Cách 2 dùng ý nghĩa khoảng cách hình học, hai cách cho cùng kết quả và cùng khẳng định giá trị tuyệt đối luôn không âm.

Định hướng. So sánh mỗi số đã cho với $0$ để xác định dấu, sau đó dùng đúng trường hợp của định nghĩa giá trị tuyệt đối để tính.

Vậy a) $a$ dương, $|a|=1,25$; b) $b$ âm, $|b|=4,1$; c) $c$ âm, $|c|=1,414213562\dots$

Định hướng. Số dương ứng với điểm nằm bên phải gốc $O$, số âm ứng với điểm nằm bên trái gốc $O$; giá trị tuyệt đối bằng khoảng cách từ điểm đó đến $O$, dùng kiểm tra lại Cách 1.

Vậy kết quả trùng khớp với Cách 1 ở cả ba câu.

Nhận xét. Cách 1 dùng phép so sánh đại số với $0$; Cách 2 dùng vị trí điểm trên trục số để nhận biết dấu một cách trực quan, hai cách cùng bản chất nhưng hai góc nhìn khác nhau.

Định hướng. Vì $2,5>0$ nên $x$ không thể bằng $0$; xét hai trường hợp $x>0$ và $x<0$ theo đúng định nghĩa giá trị tuyệt đối để tìm hết các giá trị của $x$.

Vậy $x=2,5$ hoặc $x=-2,5$.

Định hướng. $|x|=2,5$ nghĩa là điểm $x$ cách gốc $O$ đúng $2,5$ đơn vị; trên trục số có đúng hai điểm cách $O$ một khoảng cho trước, nằm đối xứng nhau qua $O$, dùng kiểm tra lại Cách 1.

Vậy $x=2,5$ hoặc $x=-2,5$, trùng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 xét hai trường hợp đại số theo dấu của $x$; Cách 2 dùng hình ảnh hai điểm đối xứng qua gốc $O$ trên trục số, giúp thấy trực quan vì sao luôn có đúng hai nghiệm khi vế phải dương.