Bài 1 · HĐ1★Trang 41— Nhận biết hai góc kề bù trên hình ảnh thực tế
HĐ1 (trang 41). Quan sát hình vẽ bên (mặt chiếc bánh chưng với các dây lạt cắt nhau tại tâm O). Em hãy nhận xét quan hệ về đỉnh, về cạnh của hai góc được đánh dấu.
Kiến thức cần nhớ
Hai góc có một cạnh chung, hai cạnh còn lại là hai tia đối nhau được gọi là hai góc kề bù.
Hai góc kề bù có tổng số đo bằng 180∘.
Hai tia đối nhau là hai tia chung gốc và cùng nằm trên một đường thẳng, hướng về hai phía khác nhau.
Góc bẹt có số đo bằng 180∘.
🧠 Phân tích tư duy
Hai góc được đánh dấu cùng tựa vào một chỗ giao nhau của các dây lạt — dấu hiệu phải soi đúng hai thứ: đỉnh của chúng có trùng nhau không, và ba cạnh xếp với nhau thế nào. Nên soi cạnh trước rồi mới nói tới số đo, vì quan hệ về cạnh mới là thứ quyết định tên gọi, còn số đo chỉ để kiểm lại. Bẫy của đề là hai góc trông «dính nhau» rất dễ bị gọi bừa là kề bù, trong khi kề bù còn đòi thêm điều kiện hai cạnh còn lại phải thẳng hàng.
1Cách 1. Soi thẳng định nghĩa — đỉnh chung, cạnh chung, hai cạnh còn lại đối nhau
Định hướng. Cứ bám đúng ba ý trong định nghĩa hai góc kề bù mà đối chiếu với hình.
Hai góc được đánh dấu đều có đỉnh là tâm O của mặt bánh (điểm chung của các dây lạt) Hai góc có chung cạnh là tia lạt chéo đi lên phía trên bên phải Hai cạnh còn lại là hai tia lạt ngang, cùng nằm trên một dây lạt và hướng về hai phía của O Hai tia đó là hai tia đối nhau
Vậy hai góc được đánh dấu có chung đỉnh O, có một cạnh chung, hai cạnh còn lại là hai tia đối nhau, nên đó là hai góc kề bù.
2Cách 2. Kiểm lại bằng số đo — đo hai góc rồi cộng
Định hướng. Nếu quả thật kề bù thì tổng số đo phải bằng 180∘; lấy thước đo góc kiểm chứng.
Các dây lạt chia mặt bánh thành 8 phần bằng nhau nên mỗi phần là 45∘ Góc nhỏ được đánh dấu gồm 1 phần: 45∘ Góc lớn được đánh dấu gồm 3 phần: 3⋅45∘=135∘ 45∘+135∘=180∘
Vậy tổng số đo hai góc bằng 180∘, phù hợp với tính chất của hai góc kề bù.
3Cách 3. Nhìn qua góc bẹt — một tia chia đôi góc bẹt
Định hướng. Hai tia lạt ngang tạo thành một đường thẳng, tức là một góc bẹt ở đỉnh O; tia lạt chéo nằm trong góc bẹt ấy nên cắt nó thành đúng hai mảnh.
Hai tia lạt ngang đối nhau nên chúng tạo ở O một góc bẹt, số đo 180∘ Tia lạt chéo nằm giữa hai tia ấy nên chia góc bẹt thành hai góc Tổng số đo hai mảnh đúng bằng số đo góc bẹt: 180∘
Vậy hai góc được đánh dấu là hai mảnh của cùng một góc bẹt, có chung cạnh là tia lạt chéo, nên chúng kề bù.
Nhận xét. Cách nhìn «một tia cắt đôi góc bẹt» dùng lại được cho mọi bài về hai góc kề bù sau này, vì nó biến quan hệ hình học thành một phép trừ đơn giản.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi nên dùng Cách 1: câu hỏi chỉ đòi «nhận xét về đỉnh và về cạnh» nên trả lời đúng theo định nghĩa là đủ điểm, còn Cách 2 chỉ nên dùng để tự kiểm.
Đáp số.Hai góc được đánh dấu có chung đỉnh O, có một cạnh chung, hai cạnh còn lại là hai tia đối nhau; tổng số đo của chúng bằng 180∘ (cụ thể là 135∘ và 45∘).
Sai lầm thường gặp.Nhiều bạn thấy hai góc «dính nhau» là kết luận ngay kề bù mà quên kiểm hai cạnh còn lại có đối nhau không. Phản ví dụ: ở Hình 3.2b hai góc cũng chung đỉnh, chung một cạnh nhưng hai cạnh còn lại tạo thành một góc chứ không thẳng hàng, tổng số đo chỉ khoảng 128∘ nên chúng chỉ kề nhau chứ không kề bù.
🚀 Mở rộng.Nếu cắt bánh bằng n nhát lạt đi qua tâm và chia đều mặt bánh thì mỗi góc nhỏ bằng 2n360∘; hãy thử tìm mọi cặp góc kề bù ghép từ các mảnh đó.
Bài 2 · HĐ2★Trang 41— Nhận xét quan hệ và tính tổng số đo hai góc kề bù
HĐ2 (trang 41). Cho ba tia Ox, Oy, Oz như Hình 3.1, trong đó Ox và Oy là hai tia đối nhau. a) Em hãy nhận xét quan hệ về đỉnh, về cạnh của hai góc xOz và zOy. b) Đo rồi tính tổng số đo hai góc xOz và zOy.
Kiến thức cần nhớ
Hai góc có một cạnh chung, hai cạnh còn lại là hai tia đối nhau được gọi là hai góc kề bù.
Hai góc kề bù có tổng số đo bằng 180∘.
Nếu tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy thì xOz+zOy=xOy.
Góc bẹt là góc có hai cạnh là hai tia đối nhau, số đo bằng 180∘.
🧠 Phân tích tư duy
Đề đã tặng sẵn dữ kiện quý nhất: Ox và Oy là hai tia đối nhau — đó chính là điều kiện thứ ba trong định nghĩa hai góc kề bù, nên câu a) chỉ còn việc chỉ ra đỉnh chung và cạnh chung. Ở câu b) tổng số đo không phụ thuộc vào việc tia Oz nằm ở đâu, vì thế đo một góc rồi suy ra góc kia sẽ nhanh và an toàn hơn đo cả hai. Bẫy là đọc lướt chữ «tia đối nhau» thành «hai tia bất kì», khi ấy tổng số đo sẽ không còn bằng 180∘ nữa.
1Cách 1. Đo trực tiếp hai góc bằng thước đo góc rồi cộng
Định hướng. Đây là cách tự nhiên nhất: có hình trong tay thì đo thật rồi cộng lại xem được bao nhiêu.
a) Hai góc xOz và zOy có chung đỉnh O, có chung cạnh Oz Hai cạnh còn lại là Ox và Oy, đây là hai tia đối nhau (gt) b) Đo trên Hình 3.1: xOz=120∘ và zOy=60∘ xOz+zOy=120∘+60∘ xOz+zOy=180∘
Vậy hai góc xOz và zOy là hai góc kề bù và xOz+zOy=180∘.
2Cách 2. Chỉ đo một góc — dùng góc bẹt xOy để suy ra góc còn lại
Định hướng. Hai tia Ox, Oy đối nhau nên xOy là góc bẹt; tia Oz nằm giữa nên chỉ cần biết một mảnh là biết mảnh kia.
Ox và Oy là hai tia đối nhau (gt) nên xOy=180∘ (góc bẹt) Tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy nên xOz+zOy=xOy Đo được zOy=60∘ xOz=180∘−60∘=120∘ xOz+zOy=120∘+60∘=180∘
Vậy tổng số đo hai góc bằng 180∘, và chỉ cần một lần đo là đủ.
3Cách 3. Đặt ẩn cho số đo — kết quả đúng với mọi vị trí của tia Oz
Định hướng. Thay vì đo, ta gọi số đo góc thứ nhất là một chữ rồi biểu diễn góc thứ hai theo chữ ấy, để thấy tổng không phụ thuộc vào cách vẽ hình.
Gọi xOz=a với 0∘<a<180∘ xOz+zOy=xOy=180∘ (tia Oz nằm giữa) zOy=180∘−a xOz+zOy=a+(180∘−a) xOz+zOy=180∘
Vậy dù vẽ tia Oz ở vị trí nào thì tổng hai góc vẫn luôn bằng 180∘.
Nhận xét. Chính lập luận của Cách 3 là chỗ sách rút ra tính chất «hai góc kề bù có tổng số đo bằng 180∘» — kết quả đúng cho mọi hình chứ không riêng Hình 3.1.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2: chỉ một lần đo nên hạn chế được sai số của thước, mà vẫn trả lời trọn cả hai ý; Cách 3 nên nhớ vì nó giải thích được vì sao tổng luôn bằng 180∘.
Đáp số.a) Hai góc xOz và zOy có chung đỉnh O, chung cạnh Oz, hai cạnh còn lại Ox và Oy là hai tia đối nhau. b) xOz+zOy=180∘.
Sai lầm thường gặp.Sai lầm hay gặp là đo hai góc rồi cộng ra 178∘ hoặc 182∘ và ghi luôn kết quả lệch đó. Phản ví dụ cho thấy đo không thay được suy luận: nếu vẽ tia Oz gần trùng Ox, số đo xOz chỉ vài độ, thước rất khó đọc chính xác, nhưng tổng hai góc vẫn phải đúng bằng 180∘.
🚀 Mở rộng.Nếu thay điều kiện «Ox, Oy đối nhau» bằng «xOy=150∘» thì tổng xOz+zOy bằng bao nhiêu, và hai góc ấy còn kề bù nữa không?
Bài 3 · Câu hỏi (Hình 3.2)★★Trang 41— Nhận biết hai góc kề bù qua hình vẽ
Câu hỏi (trang 41). Hai góc được đánh dấu trong hình nào dưới đây là hai góc kề bù? (Hình 3.2a, 3.2b, 3.2c)
Kiến thức cần nhớ
Hai góc có một cạnh chung, hai cạnh còn lại là hai tia đối nhau được gọi là hai góc kề bù.
Hai góc kề bù có tổng số đo bằng 180∘.
Hai góc kề nhau là hai góc có một cạnh chung và hai cạnh còn lại nằm khác phía nhau đối với đường thẳng chứa cạnh chung.
Hai góc bù nhau là hai góc có tổng số đo bằng 180∘.
🧠 Phân tích tư duy
Ba hình đều cho hai góc chung đỉnh và chung một cạnh, nên điều duy nhất phân biệt chúng là hai cạnh còn lại có phải hai tia đối nhau hay không — hãy dò đúng chỗ ấy. Cách nhanh nhất là nhìn xem hai cạnh còn lại có nằm gọn trên một đường thẳng không, vì mắt bắt đường thẳng dễ hơn bắt góc. Bẫy nằm ở hình b): hai góc kề nhau rất «đẹp» nhưng hai cạnh còn lại lại tạo với nhau một góc nhọn.
1Cách 1. Soi đủ ba điều kiện của định nghĩa cho từng hình
Định hướng. Lần lượt kiểm đỉnh chung, cạnh chung, rồi mới xét hai cạnh còn lại.
Hình 3.2a: hai góc chung đỉnh O, chung cạnh là tia hướng lên hai cạnh còn lại nằm trên một đường thẳng và về hai phía của O nên là hai tia đối nhau Hình 3.2b: hai góc chung đỉnh O, chung cạnh là tia dốc đứng hai cạnh còn lại là tia nằm ngang và tia chếch lên bên trái, hai tia này không đối nhau Hình 3.2c: hai góc chung đỉnh M, chung cạnh là tia hướng xuống hai cạnh còn lại nằm trên một đường thẳng và về hai phía của M nên là hai tia đối nhau
Vậy hai góc được đánh dấu ở Hình 3.2a và Hình 3.2c là hai góc kề bù; ở Hình 3.2b thì không.
2Cách 2. Loại nhanh bằng «đường thẳng» — chỉ nhìn hai cạnh không chung
Định hướng. Hai tia đối nhau ghép lại đúng bằng một đường thẳng, nên chỉ cần xem hai cạnh không chung có tạo thành một nét thẳng đi qua đỉnh hay không.
Hình 3.2a: hai cạnh không chung nối lại cho một nét thẳng đi qua O Hình 3.2c: hai cạnh không chung nối lại cho một nét thẳng đi qua M Hình 3.2b: hai cạnh không chung gấp khúc tại O, không thành nét thẳng
Vậy chỉ Hình 3.2a và Hình 3.2c cho hai góc kề bù.
3Cách 3. Kiểm bằng tổng số đo — chỗ nào tổng khác 180∘ thì loại
Định hướng. Hai góc kề bù buộc phải có tổng bằng 180∘; dùng thước đo góc để loại trường hợp không đạt.
Hình 3.2a: đo được 65∘ và 115∘, tổng bằng 180∘ Hình 3.2c: đo được 70∘ và 110∘, tổng bằng 180∘ Hình 3.2b: đo được 78∘ và 50∘, tổng bằng 128∘ 128∘=180∘
Vậy Hình 3.2b bị loại, hai hình còn lại cho hai góc kề bù.
Nhận xét. Tổng bằng 180∘ chỉ dùng để LOẠI chứ chưa đủ để kết luận: hai góc ở hai chỗ khác nhau cũng có thể có tổng 180∘ mà chẳng kề nhau.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2: chỉ liếc xem hai cạnh không chung có thẳng hàng không nên nhanh nhất, sau đó viết lại lời giải thích theo định nghĩa như Cách 1 để lấy trọn điểm.
Đáp số.Hai góc được đánh dấu ở Hình 3.2a và Hình 3.2c là hai góc kề bù; Hình 3.2b không phải.
Sai lầm thường gặp.Sai lầm phổ biến là chọn cả hình b) vì thấy hai góc «kề nhau và cùng nằm dưới». Phản ví dụ ngay trong hình b): hai cạnh không chung là tia nằm ngang và tia chếch lên trên tạo với nhau một góc khoảng 128∘, khác 180∘, nên hai tia ấy không đối nhau và hai góc chỉ kề nhau chứ không bù nhau.
🚀 Mở rộng.Hãy vẽ thêm một hình trong đó hai góc có tổng số đo đúng bằng 180∘ nhưng không kề bù — điều đó cho thấy «bù nhau» và «kề bù» là hai khái niệm khác nhau.
Bài 4 · Luyện tập 1★★Trang 42— Gọi tên hai góc kề bù và tính số đo góc còn lại
Luyện tập 1 (trang 42). Viết tên hai góc kề bù trong Hình 3.4 và tính số đo góc mOt. (Trong Hình 3.4, Om và On là hai tia đối nhau, tOn=60∘.)
Kiến thức cần nhớ
Hai góc có một cạnh chung, hai cạnh còn lại là hai tia đối nhau được gọi là hai góc kề bù.
Hai góc kề bù có tổng số đo bằng 180∘.
Nếu tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy thì xOz+zOy=xOy.
Góc bẹt có số đo bằng 180∘.
🧠 Phân tích tư duy
Trên hình có một đường thẳng mn và một tia Ot xuất phát từ O — đúng khuôn của dạng «một tia cắt đôi góc bẹt», nên chắc chắn sinh ra một cặp góc kề bù. Đã biết một góc thì góc kia lấy 180∘ trừ đi, không cần đo. Bẫy ở chỗ đề hỏi góc mOt chứ không phải góc tOn đã cho sẵn, đọc vội là ghi luôn 60∘.
1Cách 1. Dùng thẳng tính chất hai góc kề bù
Định hướng. Chỉ ra cặp kề bù rồi lấy 180∘ trừ đi góc đã biết.
Om và On là hai tia đối nhau nên mOt và tOn là hai góc kề bù (chung đỉnh O, chung cạnh Ot) mOt+tOn=180∘ (hai góc kề bù) mOt=180∘−tOn mOt=180∘−60∘ mOt=120∘
Vậy hai góc kề bù trong hình là mOt và tOn; mOt=120∘.
2Cách 2. Trừ từ góc bẹt mOn
Định hướng. Coi mOn là một góc bẹt bị tia Ot cắt thành hai mảnh, rồi lấy cả trừ mảnh.
Om và On là hai tia đối nhau nên mOn=180∘ (góc bẹt) Tia Ot nằm giữa hai tia Om và On nên mOt+tOn=mOn mOt=mOn−tOn mOt=180∘−60∘=120∘
VậymOt=120∘.
3Cách 3. Đặt ẩn cho số đo góc mOt rồi lập phương trình
Định hướng. Gọi số đo cần tìm là một chữ, viết điều kiện kề bù thành một đẳng thức rồi giải.
Gọi x là số đo góc mOt, đơn vị là độ, 0<x<180 mOt và tOn kề bù nên x+60=180 x=180−60 x=120
VậymOt=120∘.
Nhận xét. Đặt ẩn tuy dài hơn nhưng rất đáng nhớ: khi đề cho quan hệ chứ không cho số đo cụ thể (chẳng hạn «góc này gấp đôi góc kia») thì chỉ có lối đặt ẩn mới đi được.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: viết đúng một dòng lý do «hai góc kề bù» rồi một phép trừ là xong, không mất công dựng thêm góc bẹt như Cách 2.
Đáp số.Hai góc kề bù là mOt và tOn; mOt=120∘.
Sai lầm thường gặp.Lỗi thường gặp là kể tên cặp «mOn và tOn» — sai vì mOn là góc bẹt chứa tOn chứ không kề với nó. Một lỗi khác là lấy 90∘−60∘=30∘ do nhầm kề bù với hai góc phụ nhau.
🚀 Mở rộng.Nếu đề đổi thành «mOt gấp 5 lần tOn» thì mỗi góc bằng bao nhiêu độ? Tổng quát: khi mOt=k⋅tOn thì tOn=k+1180∘.
Bài 5 · HĐ3★Trang 42— Nhận biết hai góc đối đỉnh trên hình ảnh thực tế
HĐ3 (trang 42). Quan sát hình ảnh hai góc được đánh dấu trong hình bên (mặt bánh chưng với các dây lạt cắt nhau tại O). Em hãy nhận xét quan hệ về đỉnh, về cạnh của hai góc được đánh dấu.
Kiến thức cần nhớ
Hai góc đối đỉnh là hai góc mà mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh của góc kia.
Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.
Hai góc kề bù có tổng số đo bằng 180∘.
Hai tia đối nhau là hai tia chung gốc và cùng nằm trên một đường thẳng, hướng về hai phía khác nhau.
🧠 Phân tích tư duy
Lần này hai góc được đánh dấu nằm ở hai phía đối nhau qua tâm O chứ không dính nhau — dấu hiệu của hai góc đối đỉnh chứ không phải kề bù. Việc cần làm là ghép từng cạnh của góc này với một cạnh của góc kia xem có tạo thành đường thẳng không. Bẫy là chỉ kiểm một cặp cạnh rồi kết luận vội, trong khi định nghĩa đòi cả hai cặp cạnh đều phải đối nhau.
1Cách 1. Ghép từng cặp cạnh theo định nghĩa
Định hướng. Với hai góc đối đỉnh, mỗi cạnh của góc này phải là tia đối của một cạnh của góc kia.
Hai góc được đánh dấu cùng có đỉnh là tâm O Cạnh nằm ngang của góc thứ nhất và cạnh nằm ngang của góc thứ hai cùng nằm trên một dây lạt, về hai phía của O, nên là hai tia đối nhau Cạnh chéo của góc thứ nhất và cạnh chéo của góc thứ hai cùng nằm trên một dây lạt khác, về hai phía của O, nên cũng là hai tia đối nhau
Vậy hai góc được đánh dấu có chung đỉnh O và mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh của góc kia, nên đó là hai góc đối đỉnh.
2Cách 2. Đo hai góc rồi so sánh
Định hướng. Nếu đúng là đối đỉnh thì hai góc phải bằng nhau; lấy thước đo góc kiểm chứng.
Các dây lạt chia mặt bánh thành 8 phần bằng nhau, mỗi phần 45∘ Góc thứ nhất gồm 1 phần: 45∘ Góc thứ hai gồm 1 phần: 45∘ 45∘=45∘
Vậy hai góc được đánh dấu bằng nhau, đúng với tính chất của hai góc đối đỉnh.
3Cách 3. Bắc cầu qua góc trung gian
Định hướng. Chen vào giữa một góc thứ ba kề bù với cả hai góc đang xét, rồi so sánh gián tiếp.
Gọi A, B là hai góc được đánh dấu và C là góc nằm giữa chúng, phía dưới dây lạt ngang bên phải A+C=180∘ (hai góc kề bù) B+C=180∘ (hai góc kề bù) A+C=B+C Suy ra A=B
Vậy hai góc đối đỉnh bằng nhau, và kết luận này không cần đo đạc gì cả.
Nhận xét. Lối bắc cầu ở Cách 3 chính là cách sách chứng minh tính chất «hai góc đối đỉnh thì bằng nhau» ở mục Tập suy luận trang 42.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: đề hỏi «quan hệ về đỉnh, về cạnh» nên phải trả lời bằng ngôn ngữ cạnh và tia đối, còn Cách 2 chỉ để kiểm lại cho chắc.
Đáp số.Hai góc được đánh dấu có chung đỉnh O, mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh của góc kia, nên chúng là hai góc đối đỉnh và bằng nhau (cùng bằng 45∘).
Sai lầm thường gặp.Lỗi hay gặp là chỉ thấy hai góc «nằm chéo nhau qua tâm» là kết luận đối đỉnh. Phản ví dụ: ở Hình 3.6a hai góc được đánh dấu cũng nằm hai bên đỉnh M nhưng hai cạnh chếch xuống không đối nhau, và quả thật hai góc ấy không bằng nhau (35∘ và 50∘).
🚀 Mở rộng.Trên mặt bánh có 4 dây lạt đi qua tâm; hãy đếm xem tất cả có bao nhiêu cặp góc đối đỉnh được tạo thành từ các mảnh liền nhau.
Bài 6 · HĐ4★★Trang 42— Dự đoán và kiểm chứng hai góc đối đỉnh bằng nhau
HĐ4 (trang 42). Cho hai đường thẳng xx′ và yy′ cắt nhau tại O (Hình 3.5). a) Dự đoán xem hai góc xOy và x′Oy′ có bằng nhau không. b) Đo rồi so sánh số đo hai góc xOy và x′Oy′.
Kiến thức cần nhớ
Hai góc đối đỉnh là hai góc mà mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh của góc kia.
Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.
Hai góc kề bù có tổng số đo bằng 180∘.
Hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm tạo thành bốn góc, chia thành hai cặp góc đối đỉnh.
🧠 Phân tích tư duy
Hai đường thẳng cắt nhau tại O sinh ra bốn góc, trong đó xOy và x′Oy′ nằm đối nhau qua O — đúng hình mẫu của hai góc đối đỉnh. Đo là cách đề gợi ý, nhưng đo chỉ khẳng định được cho một hình cụ thể, còn muốn chắc chắn phải mượn góc thứ ba O3 làm trung gian. Bẫy là ghép nhầm cặp: xOy đối đỉnh với x′Oy′ chứ không phải với x′Oy.
1Cách 1. Dự đoán rồi đo bằng thước đo góc
Định hướng. Nhìn hình để dự đoán, sau đó dùng thước đo góc kiểm chứng đúng như đề yêu cầu.
a) Nhìn Hình 3.5, dự đoán xOy=x′Oy′ b) Đo được xOy=50∘ Đo được x′Oy′=50∘ 50∘=50∘
VậyxOy=x′Oy′.
2Cách 2. Bắc cầu qua góc O3 — không cần đo
Định hướng. Góc O3=y′Ox kề bù với cả hai góc đang xét, nên so sánh gián tiếp qua nó.
3Cách 3. Đặt ẩn cho số đo — thấy ngay kết quả không phụ thuộc hình vẽ
Định hướng. Gọi số đo góc xOy là một chữ rồi lần lượt tính hai góc còn lại theo chữ ấy.
Gọi xOy=a với 0∘<a<180∘ y′Ox=180∘−a (kề bù với xOy) x′Oy′=180∘−y′Ox (kề bù với y′Ox) x′Oy′=180∘−(180∘−a) x′Oy′=a
Vậyx′Oy′=xOy với mọi cách vẽ hai đường thẳng cắt nhau.
Nhận xét. Ba cách cho cùng một kết quả nhưng giá trị khác hẳn nhau: Cách 1 chỉ đúng cho hình đã vẽ, Cách 2 và Cách 3 đúng cho mọi hình — đó là lí do sách gọi mục này là «Tập suy luận».
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2: chỉ hai dòng kề bù rồi trừ đi phần chung, không phụ thuộc vào độ chính xác của thước như Cách 1.
Đáp số.a) Dự đoán xOy=x′Oy′. b) Đo được cả hai góc cùng bằng 50∘ nên xOy=x′Oy′.
Sai lầm thường gặp.Sai lầm hay gặp là ghép xOy với x′Oy rồi kết luận hai góc ấy bằng nhau. Phản ví dụ ngay trên hình: xOy=50∘ còn x′Oy=130∘, hai góc này kề bù chứ không đối đỉnh, vì chúng có chung cạnh Oy.
🚀 Mở rộng.Hai đường thẳng cắt nhau cho 2 cặp góc đối đỉnh; hãy thử tính xem 3 đường thẳng phân biệt cùng đi qua O thì tạo ra bao nhiêu cặp góc đối đỉnh.
Bài 7 · Câu hỏi (Hình 3.6)★★Trang 42— Nhận biết hai góc đối đỉnh qua hình vẽ
Câu hỏi (trang 42). Hai góc được đánh dấu trong hình nào dưới đây là hai góc đối đỉnh? (Hình 3.6a, 3.6b)
Kiến thức cần nhớ
Hai góc đối đỉnh là hai góc mà mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh của góc kia.
Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.
Hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm tạo thành đúng hai cặp góc đối đỉnh.
Muốn có hai góc đối đỉnh thì cả bốn cạnh phải nằm trên đúng hai đường thẳng.
🧠 Phân tích tư duy
Cả hai hình đều có một đường thẳng nằm ngang đi qua đỉnh, nên cặp cạnh nằm ngang chắc chắn đối nhau; điều còn phải soi là cặp cạnh chếch. Ở đây có một mẹo loại rất nhanh: hai góc đối đỉnh chỉ sinh ra khi có ĐỦ hai đường thẳng cắt nhau, nên hình nào chỉ có một đường thẳng cộng thêm mấy tia rời thì loại ngay. Bẫy là hai góc ở hình a) trông cân đối hai bên đỉnh nên rất dễ bị chọn nhầm.
1Cách 1. Soi từng cặp cạnh theo định nghĩa
Định hướng. Ghép cạnh của góc này với cạnh của góc kia, xem có thành hai tia đối nhau không.
Hình 3.6a: hai góc chung đỉnh M Cạnh nằm ngang bên trái và cạnh nằm ngang bên phải là hai tia đối nhau Hai cạnh chếch xuống đều nằm phía dưới đường thẳng ngang nên không đối nhau Hình 3.6b: hai góc chung đỉnh N Cạnh nằm ngang bên trái và cạnh nằm ngang bên phải là hai tia đối nhau Cạnh chếch xuống bên trái và cạnh chếch lên bên phải cùng nằm trên một đường thẳng, về hai phía của N, nên là hai tia đối nhau
Vậy chỉ hai góc được đánh dấu ở Hình 3.6b là hai góc đối đỉnh.
2Cách 2. Đếm đường thẳng — loại hình chỉ có một đường thẳng
Định hướng. Hai góc đối đỉnh bắt buộc phải là hai trong bốn góc do hai đường thẳng cắt nhau tạo ra, nên đếm số đường thẳng trước.
Hình 3.6a: qua M chỉ có một đường thẳng nằm ngang; hai nét chếch là hai tia rời nhau, không thẳng hàng Số đường thẳng qua M chỉ là 1, chưa đủ để sinh ra góc đối đỉnh Hình 3.6b: qua N có hai đường thẳng cắt nhau nên tạo ra 4 góc và 2 cặp đối đỉnh
Vậy Hình 3.6a bị loại, Hình 3.6b cho hai góc đối đỉnh.
3Cách 3. Loại bằng số đo — hai góc đối đỉnh thì phải bằng nhau
Định hướng. Đo hai góc được đánh dấu; hễ chúng khác nhau là chắc chắn không đối đỉnh.
Hình 3.6a: đo được hai góc là 35∘ và 50∘ 35∘=50∘ nên hai góc này không đối đỉnh Hình 3.6b: đo được hai góc cùng bằng 35∘, chưa mâu thuẫn nên giữ lại rồi kiểm tiếp bằng định nghĩa
Vậy chỉ Hình 3.6b cho hai góc đối đỉnh.
Nhận xét. Cách 3 chỉ dùng để LOẠI: hai góc bằng nhau chưa chắc đối đỉnh, phải quay về định nghĩa mới kết luận được.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2: đếm đường thẳng qua đỉnh là thao tác nhanh và không sợ sai số của thước, sau đó viết lý do theo định nghĩa như Cách 1.
Đáp số.Hai góc được đánh dấu ở Hình 3.6b là hai góc đối đỉnh; Hình 3.6a thì không.
Sai lầm thường gặp.Sai lầm phổ biến là chọn hình a) vì hai góc nằm «đối xứng» hai bên đỉnh M. Phản ví dụ ngay trong hình a): hai cạnh chếch cùng nằm phía dưới đường thẳng ngang, chúng tạo với nhau một góc chứ không thẳng hàng, và hai góc được đánh dấu đo ra 35∘ khác 50∘ nên không thể đối đỉnh.
🚀 Mở rộng.Hãy vẽ một hình có hai góc bằng nhau, chung đỉnh, không có cạnh chung mà vẫn KHÔNG đối đỉnh — bài này cho thấy «bằng nhau» chỉ là hệ quả chứ không phải dấu hiệu.
Bài 8 · Luyện tập 2★★Trang 43— Giải thích bốn góc tạo bởi hai đường thẳng vuông góc đều là góc vuông
Luyện tập 2 (trang 43). Hai đường thẳng xx′ và yy′ cắt nhau tại O sao cho góc xOy vuông (Hình 3.8). Khi đó các góc yOx′, x′Oy′, xOy′ cũng đều là góc vuông. Vì sao?
Kiến thức cần nhớ
Hai góc kề bù có tổng số đo bằng 180∘.
Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.
Hai đường thẳng cắt nhau mà trong các góc tạo thành có một góc vuông thì được gọi là hai đường thẳng vuông góc.
Tổng số đo bốn góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm bằng 360∘.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho đúng một góc vuông và hỏi vì sao ba góc còn lại cũng vuông — dấu hiệu của dạng «lan truyền số đo quanh một điểm» bằng hai công cụ kề bù và đối đỉnh. Nên đi xen kẽ kề bù rồi đối đỉnh vì mỗi lần chỉ tốn một phép trừ. Bẫy là nói suông «vì hai đường thẳng vuông góc nên cả bốn góc vuông» mà không chỉ ra căn cứ cho từng góc.
1Cách 1. Xen kẽ kề bù rồi đối đỉnh
Định hướng. Từ góc vuông đã có, đi sang góc kề bù rồi bật sang góc đối đỉnh, mỗi bước chỉ một phép trừ.
xOy=90∘ (gt) yOx′=180∘−xOy (hai góc kề bù) yOx′=180∘−90∘=90∘ x′Oy′=xOy (hai góc đối đỉnh) x′Oy′=90∘ xOy′=yOx′ (hai góc đối đỉnh) xOy′=90∘
VậyyOx′=x′Oy′=xOy′=90∘.
2Cách 2. Đi vòng quanh O chỉ bằng các cặp góc kề bù
Định hướng. Bốn góc xếp liên tiếp quanh O, hai góc liền kề bất kì đều kề bù, nên chỉ cần lặp lại một phép trừ ba lần.
Định hướng. Gọi số đo góc chưa biết là một chữ, dùng hai cặp đối đỉnh để rút gọn rồi giải một phương trình duy nhất.
x′Oy′=xOy=90∘ (hai góc đối đỉnh) xOy′=yOx′ (hai góc đối đỉnh), gọi số đo chung là a độ Bốn góc xOy, yOx′, x′Oy′, y′Ox phủ kín quanh O nên tổng bằng 360∘ 90+a+90+a=360 2a=180 a=90
VậyyOx′=xOy′=90∘ và x′Oy′=90∘.
Nhận xét. Ba cách đều dựa trên hai viên gạch duy nhất là kề bù và đối đỉnh; ai quen Cách 3 thì sau này gặp bài «bốn góc quanh một điểm» sẽ giải rất nhanh.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: mỗi góc có đúng một căn cứ rõ ràng đặt trong ngoặc, người chấm đọc là thấy ngay, mà chỉ mất ba dòng.
Đáp số.yOx′=x′Oy′=xOy′=90∘, tức là cả bốn góc tạo thành đều là góc vuông.
Sai lầm thường gặp.Lỗi hay gặp là chỉ ghi «vì xx′⊥yy′ nên bốn góc đều vuông» — đó chính là điều phải giải thích chứ không được dùng làm căn cứ. Một lỗi khác là gán yOx′=xOy với lý do «đối đỉnh»; phản ví dụ: hai góc này có chung cạnh Oy nên chúng kề bù, nếu xOy=60∘ thì yOx′=120∘ chứ không bằng nhau.
🚀 Mở rộng.Nếu xOy=60∘ thì ba góc còn lại bằng bao nhiêu? Tổng quát: bốn góc luôn là a, 180∘−a, a, 180∘−a, và chúng bằng nhau đúng khi a=90∘.
Bài 9 · HĐ5★Trang 43— Tìm hiểu tia phân giác bằng cách gấp giấy
HĐ5 (trang 43). Cắt rời một góc xOy từ một tờ giấy rồi gấp sao cho hai cạnh của góc trùng nhau (Hình 3.9). Mở mảnh giấy ra, nếp gấp cho ta hình ảnh tia Oz chia góc ban đầu thành hai góc. a) Em hãy nhận xét về vị trí của tia Oz so với hai cạnh của góc xOy. b) Em hãy so sánh hai góc xOz và zOy.
Kiến thức cần nhớ
Tia nằm giữa hai cạnh của một góc và tạo với hai cạnh ấy hai góc bằng nhau được gọi là tia phân giác của góc đó.
Khi Oz là tia phân giác của góc xOy thì xOz=yOz=21xOy.
Nếu tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy thì xOz+zOy=xOy.
Nếu điểm M nằm trong góc xOy thì tia OM nằm giữa hai tia Ox và Oy.
🧠 Phân tích tư duy
Phép gấp cho hai cạnh Ox và Oy trùng khít nhau — dấu hiệu cho thấy nếp gấp là «trục» chia đôi góc, nên hai mảnh giấy hai bên nếp gấp phải chồng khít lên nhau. Trả lời câu a) trước rồi mới trả lời b), vì phải khẳng định Oz nằm giữa thì mới được phép cộng hai góc thành góc xOy. Bẫy là kết luận «nếp gấp chia đôi» chỉ dựa vào cảm giác mà quên nêu căn cứ là hai phần chồng khít nhau.
1Cách 1. Đọc thẳng từ phép gấp — hai phần chồng khít nhau
Định hướng. Khi gấp, cạnh Ox đặt trùng lên cạnh Oy; hai mảnh giấy hai bên nếp gấp vì thế chồng khít, kéo theo hai góc bằng nhau.
a) Nếp gấp Oz nằm hẳn bên trong tờ giấy hình góc nên tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy b) Khi gấp, cạnh Ox trùng với cạnh Oy và nếp gấp Oz đứng yên Phần giấy giới hạn bởi Ox và Oz chồng khít lên phần giấy giới hạn bởi Oy và Oz Hai phần chồng khít thì hai góc tương ứng bằng nhau
Vậy tia Oz nằm giữa hai tia Ox, Oy và xOz=zOy.
2Cách 2. Kiểm chứng bằng thước đo góc
Định hướng. Mở tờ giấy ra rồi đo lần lượt hai góc để thấy chúng bằng nhau.
Giả sử góc cắt ra có xOy=50∘ Đo được xOz=25∘ Đo được zOy=25∘ 25∘=25∘
VậyxOz=zOy, phù hợp với kết quả gấp giấy.
3Cách 3. Đặt ẩn cho hai góc rồi dùng phép cộng góc
Định hướng. Gọi số đo hai mảnh là hai chữ, viết điều kiện chồng khít và điều kiện cộng góc thành hai đẳng thức rồi rút ra kết quả tổng quát.
Gọi xOz=a và zOy=b Hai phần giấy chồng khít nên a=b Tia Oz nằm giữa hai tia Ox, Oy nên a+b=xOy 2a=xOy a=21xOy
VậyxOz=zOy=21xOy, tức là nếp gấp Oz chia góc xOy thành hai góc bằng nhau và mỗi góc bằng nửa góc ban đầu.
Nhận xét. Kết quả của Cách 3 chính là tính chất của tia phân giác dùng suốt về sau: biết cả góc thì chia đôi, biết nửa góc thì nhân đôi.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: đề hỏi về thao tác gấp giấy nên phải trả lời bằng lý do «hai phần chồng khít», còn Cách 3 để dành khi cần tính số đo cụ thể.
Đáp số.a) Tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy. b) xOz=zOy=21xOy.
Sai lầm thường gặp.Sai lầm hay gặp là bỏ qua câu a) và viết ngay xOz+zOy=xOy. Phản ví dụ: nếu tia Oz nằm NGOÀI góc xOy, chẳng hạn xOy=50∘ và Oz nằm phía bên kia Ox với xOz=30∘, thì zOy=80∘ chứ tổng hai góc không còn bằng xOy nữa.
🚀 Mở rộng.Gấp tiếp một lần nữa để chia đôi góc xOz: sau n lần gấp, góc nhỏ nhất thu được bằng 2nxOy.
Bài 10 · Luyện tập 3★★Trang 44— Tính số đo góc khi biết một nửa góc do tia phân giác tạo ra
Luyện tập 3 (trang 44). Cho góc xAm có số đo bằng 65∘ và Am là tia phân giác của góc xAy (Hình 3.12). Tính số đo góc xAy.
Kiến thức cần nhớ
Tia nằm giữa hai cạnh của một góc và tạo với hai cạnh ấy hai góc bằng nhau được gọi là tia phân giác của góc đó.
Khi Oz là tia phân giác của góc xOy thì xOz=yOz=21xOy.
Nếu tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy thì xOz+zOy=xOy.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho nửa góc và hỏi cả góc — đây là chiều NGƯỢC của dạng tia phân giác quen thuộc, nên phải nhân đôi chứ không chia đôi. Trong ba lối đi thì cộng hai góc bằng nhau là tự nhiên nhất với học sinh lớp 7, còn dùng thẳng công thức thì gọn nhất. Bẫy lớn nhất là quán tính chia cho 2, ra 32,5∘.
1Cách 1. Cộng hai góc bằng nhau
Định hướng. Tia phân giác chia góc xAy thành hai góc bằng nhau, cộng lại là ra cả góc.
Am là tia phân giác của góc xAy (gt) nên mAy=xAm mAy=65∘ Tia Am nằm giữa hai tia Ax và Ay nên xAy=xAm+mAy xAy=65∘+65∘ xAy=130∘
VậyxAy=130∘.
2Cách 2. Dùng thẳng tính chất tia phân giác
Định hướng. Áp dụng công thức xAm=21xAy rồi nhân đôi.
Am là tia phân giác của góc xAy (gt) nên xAm=21xAy (tính chất tia phân giác) xAy=2⋅xAm xAy=2⋅65∘ xAy=130∘
VậyxAy=130∘.
3Cách 3. Đặt ẩn cho số đo góc xAy rồi lập phương trình
Định hướng. Gọi số đo cần tìm là một chữ, viết điều kiện phân giác thành phương trình rồi giải.
Gọi xAy=x độ, với 0<x<180 Am là tia phân giác của góc xAy (gt) nên 2x=65 x=65⋅2 x=130
VậyxAy=130∘.
Nhận xét. Có thể kiểm lại bằng thước đo góc: dựng xAm=65∘ rồi mAy=65∘, đo góc ngoài cùng đúng 130∘.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2: một dòng công thức và một phép nhân là xong, ít chỗ sai nhất; Cách 1 dài hơn nhưng dễ giải thích khi phải trình bày kỹ.
Đáp số.xAy=130∘.
Sai lầm thường gặp.Sai lầm điển hình là lấy 65∘:2=32,5∘ vì thấy chữ «phân giác» là chia đôi. Phản ví dụ để nhớ: nếu xAy chỉ bằng 32,5∘ thì nửa của nó là 16,25∘ chứ không thể bằng 65∘ như đề cho, nên đáp số đó vô lý.
🚀 Mở rộng.Nếu thêm dữ kiện «At là tia phân giác của góc mAy» thì xAt bằng bao nhiêu? Tổng quát: chia đôi liên tiếp n lần cho góc 2n130∘.
Bài 11 · Thực hành★★Trang 44— Vẽ tia phân giác của một góc cho trước
Thực hành (trang 44). Vẽ tia phân giác Oz của góc xOy có số đo bằng 68∘, sử dụng thước đo góc theo hướng dẫn.
Kiến thức cần nhớ
Tia nằm giữa hai cạnh của một góc và tạo với hai cạnh ấy hai góc bằng nhau được gọi là tia phân giác của góc đó.
Khi Oz là tia phân giác của góc xOy thì xOz=yOz=21xOy.
Muốn vẽ tia phân giác của góc xOy có số đo α, ta vẽ tia Oz nằm trong góc sao cho xOz=2α.
Hai điểm cách đều hai đầu của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho số đo cả góc và đòi dựng tia phân giác — dấu hiệu phải tính trước nửa góc rồi mới đặt thước, chứ không ướm bằng mắt. Vì 68∘ chia hết cho 2 nên đo góc 34∘ là lối gọn nhất; nếu số đo lẻ thì compa hoặc gấp giấy lại lợi hơn. Bẫy là đặt vạch 0∘ của thước không trùng cạnh Ox, khiến tia vẽ ra lệch hẳn.
1Cách 1. Dùng thước đo góc theo đúng hướng dẫn của sách
Định hướng. Tính nửa số đo trước, rồi đánh dấu điểm ứng với vạch ấy và kẻ tia đi qua.
Oz là tia phân giác của góc xOy nên xOz=21xOy (tính chất tia phân giác) xOz=21⋅68∘ xOz=34∘ Vẽ góc xOy có số đo 68∘; đặt thước đo góc sao cho tâm thước trùng O và vạch 0∘ nằm trên tia Ox; đánh dấu điểm ứng với vạch 34∘; kẻ tia Oz đi qua điểm đã đánh dấu
Vậy tia Oz vừa dựng thoả mãn xOz=zOy=34∘ nên Oz là tia phân giác của góc xOy.
2Cách 2. Gấp giấy — không cần thước đo góc
Định hướng. Dùng lại đúng cách làm ở HĐ5: gấp cho hai cạnh trùng nhau, nếp gấp chính là tia phân giác.
Vẽ góc xOy có số đo 68∘ lên giấy rồi cắt rời phần giấy chứa góc đó Gấp mảnh giấy sao cho cạnh Ox trùng khít cạnh Oy Mở giấy ra, nếp gấp cho ta tia Oz Hai phần giấy hai bên nếp gấp chồng khít nên xOz=zOy xOz=zOy=34∘
Vậy nếp gấp Oz là tia phân giác của góc xOy.
3Cách 3. Dựng bằng thước thẳng và compa — chính xác cho mọi số đo
Định hướng. Lấy trên hai cạnh hai điểm cách đều O, rồi tìm điểm cách đều hai điểm ấy; đường nối O với điểm vừa tìm chia đôi góc.
Vẽ cung tròn tâm O bán kính r tuỳ ý, cắt Ox tại A và cắt Oy tại B OA=OB=r Vẽ hai cung tròn tâm A và tâm B có cùng bán kính R đủ lớn, chúng cắt nhau tại điểm M nằm trong góc xOy MA=MB=R Hai điểm O và M cùng cách đều A, B nên tia OM chia góc AOB thành hai góc bằng nhau xOM=MOy=34∘
Vậy tia OM chính là tia phân giác Oz của góc xOy.
Nhận xét. Cách 3 không phụ thuộc số đo nên vẫn dựng được tia phân giác của một góc bất kỳ, kể cả khi số đo là số lẻ như 67∘ mà thước chia độ khó đọc chính xác.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1 vì đề yêu cầu rõ «sử dụng thước đo góc»; Cách 3 để dành cho bài dựng hình bằng thước và compa.
Đáp số.Tia Oz nằm trong góc xOy với xOz=zOy=34∘.
Sai lầm thường gặp.Sai lầm hay gặp là đo 34∘ tính từ cạnh Oy nhưng lại đọc trên dãy số ngược của thước, tia vẽ ra ứng với 146∘ và nằm hẳn ngoài góc. Phản ví dụ kiểm nhanh: nếu xOz=146∘ thì xOz đã lớn hơn cả góc xOy=68∘, vô lý vì Oz phải nằm trong góc.
🚀 Mở rộng.Hãy vẽ tiếp tia phân giác của góc xOz để được góc 17∘; tổng quát, chia đôi liên tiếp n lần cho góc 2n68∘.
Bài 12 · Vận dụng★★★Trang 45— Bài toán thực tế về tia phân giác và cân thăng bằng
Vận dụng (trang 45). Quan sát hình vẽ bên. Đĩa cân bên trái có một quả cân 1 kg và một quả cân chưa biết khối lượng; đĩa cân bên phải có một túi gạo 3,5 kg và một hộp 500 g. Quả cân chưa biết ở đĩa cân bên trái nặng bao nhiêu kilôgam để cân thăng bằng, tức là kim trên mặt đồng hồ của cân là tia phân giác của góc AOB?
Kiến thức cần nhớ
Tia nằm giữa hai cạnh của một góc và tạo với hai cạnh ấy hai góc bằng nhau được gọi là tia phân giác của góc đó.
Khi Oz là tia phân giác của góc xOy thì xOz=yOz=21xOy.
Kim của cân là tia phân giác của góc AOB đúng khi hai đĩa cân có khối lượng bằng nhau.
1 kg =1000 g; 500 g =0,5 kg.
🧠 Phân tích tư duy
Câu «kim là tia phân giác của góc AOB» chỉ là cách nói hình học của điều kiện «hai đĩa cân nặng bằng nhau» — nhận ra điều đó là bài toán hình biến thành bài toán số học. Nên quy hết về cùng một đơn vị trước khi cộng, vì đề trộn kilôgam với gam. Bẫy chính là 500 g: nhiều bạn cộng thẳng 3,5+500.
1Cách 1. Tính tổng khối lượng đĩa bên phải rồi trừ đi phần đã biết ở đĩa bên trái
Định hướng. Kim chỉ đúng giữa nghĩa là hai đĩa nặng bằng nhau, nên tổng hai bên phải khớp nhau.
Đĩa bên phải: 3,5 kg và 500 g =0,5 kg Tổng khối lượng đĩa bên phải: 3,5+0,5=4 (kg) Kim là tia phân giác của góc AOB nên cân thăng bằng, hai đĩa nặng bằng nhau Tổng khối lượng đĩa bên trái cũng bằng 4 kg Khối lượng quả cân chưa biết: 4−1=3 (kg)
Vậy quả cân ở đĩa bên trái nặng 3 kg.
2Cách 2. Đặt ẩn và lập phương trình, quy hết về gam
Định hướng. Gọi khối lượng cần tìm là một chữ rồi viết điều kiện cân bằng thành một đẳng thức; đổi hết sang gam để khỏi lẫn đơn vị.
Gọi x là khối lượng quả cân chưa biết, đơn vị gam, x>0 Đĩa bên trái: 1000+x (g) Đĩa bên phải: 3500+500=4000 (g) Cân thăng bằng nên 1000+x=4000 x=4000−1000 x=3000 (g) =3 kg
Vậy quả cân ở đĩa bên trái nặng 3 kg.
3Cách 3. Thử và loại trừ
Định hướng. Chỉ có vài giá trị tròn hợp lý, thử từng giá trị xem đĩa nào nặng hơn thì kim lệch về phía đó.
Thử x=2 kg: đĩa trái nặng 1+2=3 (kg), đĩa phải nặng 4 kg, đĩa phải nặng hơn nên kim lệch sang phía B Thử x=4 kg: đĩa trái nặng 1+4=5 (kg), đĩa phải nặng 4 kg, đĩa trái nặng hơn nên kim lệch sang phía A Thử x=3 kg: đĩa trái nặng 1+3=4 (kg), đĩa phải nặng 4 kg, hai đĩa bằng nhau nên kim chỉ đúng giữa
Vậy chỉ x=3 kg làm kim trở thành tia phân giác của góc AOB.
Nhận xét. Cách 3 tuy thô nhưng rất hữu ích để tự kiểm: chỉ cần thử một giá trị lớn hơn và một giá trị nhỏ hơn đáp số là thấy ngay kim lệch về hai phía khác nhau.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: chỉ hai phép tính, không phải đặt ẩn; nhưng phải nhớ đổi 500 g =0,5 kg ngay từ dòng đầu.
Đáp số.Quả cân chưa biết ở đĩa cân bên trái nặng 3 kg.
Sai lầm thường gặp.Sai lầm chết người là quên đổi đơn vị, viết 3,5+500=503,5 rồi trả lời 502,5 kg. Phản ví dụ để tự phát hiện: 502,5 kg là nửa tấn, không thể đặt vừa trên một đĩa cân gia đình, nên đáp số đó chắc chắn sai.
🚀 Mở rộng.Nếu kim lệch hẳn về phía A thì có thể nói gì về khối lượng quả cân chưa biết? Tổng quát: kim là tia phân giác đúng khi x=3 kg, lệch về A khi x>3 kg và lệch về B khi x<3 kg.
Bài 13 · 3.1★Trang 45— Kể tên các cặp góc kề bù trên hình vẽ
Bài 3.1 (trang 45). Cho Hình 3.13, hãy kể tên các cặp góc kề bù. (Hình 3.13a: hai tia Om, On đối nhau và tia Ox; Hình 3.13b: tam giác ABC có điểm M nằm trên cạnh AC và đoạn thẳng BM.)
Kiến thức cần nhớ
Hai góc có một cạnh chung, hai cạnh còn lại là hai tia đối nhau được gọi là hai góc kề bù.
Hai góc kề bù có tổng số đo bằng 180∘.
Mỗi tia gốc O nằm giữa hai tia đối nhau sinh ra đúng một cặp góc kề bù.
Ba điểm thẳng hàng A, M, C với M nằm giữa cho hai tia đối nhau MA và MC.
🧠 Phân tích tư duy
Mỗi hình đều có sẵn một đường thẳng và một tia thứ ba xuất phát từ một điểm trên đường thẳng ấy — đó chính là khuôn sinh ra góc kề bù. Cứ tìm cho ra đường thẳng và tia cắt nó, cặp kề bù hiện ra ngay, không cần đo. Bẫy ở hình b) là ba điểm A, M, C thẳng hàng nhưng lại được vẽ như một cạnh tam giác nên dễ bị bỏ sót.
1Cách 1. Soi định nghĩa ở từng đỉnh
Định hướng. Tại mỗi đỉnh, tìm hai tia đối nhau rồi ghép với tia còn lại.
Hình 3.13a: Om và On là hai tia đối nhau, tia Ox có chung gốc O mOx và xOn có chung đỉnh O, chung cạnh Ox, hai cạnh còn lại Om, On đối nhau Hình 3.13b: M nằm giữa A và C nên MA, MC là hai tia đối nhau; tia MB có chung gốc M AMB và BMC có chung đỉnh M, chung cạnh MB, hai cạnh còn lại MA, MC đối nhau
Vậy Hình 3.13a có cặp góc kề bù mOx và xOn; Hình 3.13b có cặp góc kề bù AMB và BMC.
2Cách 2. Đếm theo khuôn «đường thẳng và tia cắt»
Định hướng. Mỗi đường thẳng đi qua đỉnh cho một góc bẹt; mỗi tia thêm vào cắt đôi góc bẹt ấy thành đúng một cặp kề bù, nhờ vậy biết trước cần tìm bao nhiêu cặp.
Hình 3.13a: qua O có 1 đường thẳng mn và 1 tia Ox nên có 1 cặp góc kề bù, đó là mOx và xOn Hình 3.13b: qua M có 1 đường thẳng AC và 1 tia MB nên có 1 cặp góc kề bù, đó là AMB và BMC Tại các đỉnh A, B, C không có đường thẳng nào đi qua nên không sinh cặp nào
Vậy mỗi hình có đúng một cặp góc kề bù như đã kể.
3Cách 3. Kiểm lại bằng tổng số đo
Định hướng. Đo các góc rồi giữ lại những cặp có tổng đúng 180∘ và có cạnh chung.
Hình 3.13a: đo được mOx=108∘ và xOn=72∘ 108∘+72∘=180∘ Hình 3.13b: đo được AMB=60∘ và BMC=120∘ 60∘+120∘=180∘
Vậy hai cặp góc kể trên đều có tổng số đo bằng 180∘ và có cạnh chung, đúng là hai cặp góc kề bù.
Nhận xét. Ở hình b) còn nhiều cặp góc khác như ABM và MBC, nhưng hai cạnh còn lại BA và BC không đối nhau nên chúng chỉ kề nhau chứ không kề bù.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2: chỉ cần chỉ đúng đường thẳng và tia cắt nó là biết ngay có bao nhiêu cặp, tránh vừa kể thiếu vừa kể thừa.
Đáp số.Hình 3.13a: mOx và xOn. Hình 3.13b: AMB và BMC.
Sai lầm thường gặp.Lỗi hay gặp ở hình b) là kể thêm cặp ABM và MBC vì thấy chúng «kề nhau và ghép lại thành góc B». Phản ví dụ: hai cạnh còn lại là BA và BC tạo thành góc ABC của tam giác, rõ ràng không thẳng hàng, và tổng hai góc ấy chỉ bằng ABC chứ không bằng 180∘.
🚀 Mở rộng.Nếu vẽ thêm một tia Oy nữa ở Hình 3.13a thì có tất cả bao nhiêu cặp góc kề bù? Tổng quát: k tia phân biệt nằm về một phía của đường thẳng cho k cặp góc kề bù.
Bài 14 · 3.2★Trang 45— Kể tên các cặp góc đối đỉnh trên hình vẽ
Bài 3.2 (trang 45). Cho Hình 3.14, hãy kể tên các cặp góc đối đỉnh. (Hình 3.14a: hai đường thẳng xm và yt cắt nhau tại H; Hình 3.14b: tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O.)
Kiến thức cần nhớ
Hai góc đối đỉnh là hai góc mà mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh của góc kia.
Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.
Hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm tạo thành bốn góc và đúng hai cặp góc đối đỉnh.
Hai đoạn thẳng chỉ chung một đầu mút thì không tạo ra góc đối đỉnh.
🧠 Phân tích tư duy
Góc đối đỉnh chỉ mọc ra ở chỗ hai đường thẳng CẮT nhau, nên việc đầu tiên là khoanh cho đúng các điểm cắt. Ở mỗi điểm cắt luôn có đúng 4 góc và đúng 2 cặp đối đỉnh, nhờ con số ấy mà biết mình kể đủ hay chưa. Bẫy ở hình b) là các đỉnh A, B, C, D trông cũng «cắt nhau» nhưng ở đó chỉ có hai đoạn thẳng gặp nhau chứ không có hai đường thẳng.
1Cách 1. Soi định nghĩa ở từng điểm cắt
Định hướng. Với mỗi cặp góc, kiểm xem mỗi cạnh của góc này có là tia đối của một cạnh của góc kia không.
Hình 3.14a: hai đường thẳng xm và yt cắt nhau tại H Hx và Hm đối nhau; Hy và Ht đối nhau xHy và mHt có các cạnh đôi một đối nhau xHt và mHy có các cạnh đôi một đối nhau Hình 3.14b: hai đường thẳng chứa AC và BD cắt nhau tại O OA và OC đối nhau; OB và OD đối nhau AOB và COD có các cạnh đôi một đối nhau AOD và BOC có các cạnh đôi một đối nhau
Vậy Hình 3.14a có hai cặp xHy với mHt và xHt với mHy; Hình 3.14b có hai cặp AOB với COD và AOD với BOC.
2Cách 2. Đếm trước số cặp rồi mới kể tên
Định hướng. Mỗi điểm cắt của hai đường thẳng cho đúng 2 cặp góc đối đỉnh, nên biết trước phải kể ra bao nhiêu cặp.
Hình 3.14a có 1 điểm cắt là H nên có 2 cặp góc đối đỉnh Bốn góc tại H theo thứ tự vòng quanh là xHy, yHm, mHt, tHx; ghép hai góc cách nhau một góc thì được xHy với mHt, và yHm với tHx Hình 3.14b có 1 điểm cắt là O nên cũng có 2 cặp Bốn góc tại O theo thứ tự vòng quanh là AOB, BOC, COD, DOA; ghép cách một được AOB với COD, và BOC với DOA
Vậy mỗi hình có đúng hai cặp góc đối đỉnh, kể như trên.
3Cách 3. Quay nửa vòng quanh điểm cắt
Định hướng. Quay cả hình một nửa vòng quanh điểm cắt: góc nào chồng khít lên góc nào thì hai góc ấy đối đỉnh.
Quay Hình 3.14a nửa vòng quanh H: tia Hx chồng lên tia Hm, tia Hy chồng lên tia Ht Góc xHy chồng khít góc mHt, góc xHt chồng khít góc mHy Quay Hình 3.14b nửa vòng quanh O: tia OA chồng lên tia OC, tia OB chồng lên tia OD Góc AOB chồng khít góc COD, góc AOD chồng khít góc BOC
Vậy các cặp góc chồng khít nhau chính là các cặp góc đối đỉnh cần tìm.
Nhận xét. Phép quay nửa vòng còn giải thích luôn vì sao hai góc đối đỉnh bằng nhau: chúng chồng khít lên nhau nên buộc phải cùng số đo.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2: đếm điểm cắt trước rồi ghép «cách một góc», nhờ vậy không bao giờ kể thiếu cặp thứ hai — lỗi mất điểm phổ biến nhất của bài này.
Đáp số.Hình 3.14a: xHy và mHt; xHt và mHy. Hình 3.14b: AOB và COD; AOD và BOC.
Sai lầm thường gặp.Lỗi hay gặp là chỉ kể một cặp ở mỗi hình rồi dừng. Một lỗi khác ở hình b) là kể cặp DAB và BCD vì thấy hai góc ấy «đối nhau» trong tứ giác; phản ví dụ: hai góc này có đỉnh khác nhau là A và C, mà góc đối đỉnh bắt buộc phải chung đỉnh, nên chúng không thể đối đỉnh.
🚀 Mở rộng.Nếu vẽ thêm đường thẳng thứ ba qua H ở Hình 3.14a thì số cặp góc đối đỉnh tăng lên bao nhiêu? Tổng quát: n đường thẳng phân biệt cùng đi qua một điểm tạo ra n cặp góc đối đỉnh «liền kề» và tổng cộng n(n−1) cặp góc đối đỉnh.
Bài 15 · 3.3★★Trang 45— Vẽ hình rồi tính số đo góc bằng kề bù và tia phân giác
Bài 3.3 (trang 45). Vẽ góc xOy có số đo bằng 60∘. Vẽ tia Om là tia đối của tia Ox. a) Viết tên hai góc kề bù có trong hình vừa vẽ. b) Tính số đo góc yOm. c) Vẽ tia Ot là tia phân giác của góc xOy. Tính số đo các góc tOy và tOm.
Kiến thức cần nhớ
Hai góc có một cạnh chung, hai cạnh còn lại là hai tia đối nhau được gọi là hai góc kề bù.
Hai góc kề bù có tổng số đo bằng 180∘.
Tia nằm giữa hai cạnh của một góc và tạo với hai cạnh ấy hai góc bằng nhau được gọi là tia phân giác của góc đó.
Khi Oz là tia phân giác của góc xOy thì xOz=yOz=21xOy.
Nếu tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy thì xOz+zOy=xOy.
🧠 Phân tích tư duy
Đề dựng dần hình theo ba bước và mỗi bước lại thêm một công cụ: tia đối cho góc kề bù, tia phân giác cho phép chia đôi. Nên vẽ hình chuẩn trước rồi mới tính, vì nhìn hình là biết ngay tia nào nằm giữa tia nào. Bẫy ở câu c) là góc tOm không kề bù với góc tOy mà kề bù với góc tOx — ghép nhầm là ra 150∘ thành 120∘.
1Cách 1. Kề bù, rồi phân giác, rồi cộng góc
Định hướng. Đi tuần tự theo đúng thứ tự đề dựng hình: có tia đối thì dùng kề bù, có phân giác thì chia đôi, rồi cộng hai góc liền nhau.
a) Ox và Om là hai tia đối nhau (gt) nên xOy và yOm là hai góc kề bù b) xOy+yOm=180∘ (hai góc kề bù) yOm=180∘−60∘ yOm=120∘ c) Ot là tia phân giác của góc xOy (gt) nên tOy=21xOy (tính chất tia phân giác) tOy=21⋅60∘=30∘ Tia Oy nằm giữa hai tia Ot và Om nên tOm=tOy+yOm tOm=30∘+120∘ tOm=150∘
VậyyOm=120∘, tOy=30∘, tOm=150∘.
2Cách 2. Quy hết về góc bẹt xOm rồi trừ
Định hướng. Coi xOm là một góc bẹt 180∘; mỗi tia vẽ thêm chỉ việc lấy 180∘ trừ đi phần bên trái là ra phần bên phải.
Ox và Om là hai tia đối nhau (gt) nên xOm=180∘ (góc bẹt) yOm=xOm−xOy yOm=180∘−60∘=120∘ xOt=tOy=21⋅60∘=30∘ (tính chất tia phân giác) tOm=xOm−xOt tOm=180∘−30∘=150∘
VậyyOm=120∘, tOy=30∘, tOm=150∘.
3Cách 3. Đặt ẩn cho nửa góc xOy rồi lập phương trình
Định hướng. Gọi nửa góc xOy là một chữ, viết cả hai điều kiện phân giác và kề bù thành phương trình rồi giải một lượt.
Gọi xOt=a độ, 0<a<90 Ot là tia phân giác của góc xOy (gt) nên tOy=a và 2a=60 a=30 tOy=30∘ xOt và tOm kề bù nên tOm=180∘−a độ tOm=180∘−30∘=150∘ xOy và yOm kề bù nên yOm=180∘−60∘=120∘
VậyyOm=120∘, tOy=30∘, tOm=150∘.
Nhận xét. Vẽ hình đúng tỉ lệ rồi đo lại bằng thước đo góc là cách kiểm nhanh nhất: ba số đo phải là 120∘, 30∘, 150∘ và tổng tOy+yOm=tOm.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2: mọi phép tính đều là 180∘ trừ đi một số đã biết nên rất khó sai, không phải xét xem tia nào nằm giữa tia nào như Cách 1.
Đáp số.a) Hai góc kề bù là xOy và yOm. b) yOm=120∘. c) tOy=30∘ và tOm=150∘.
Sai lầm thường gặp.Lỗi phổ biến ở câu c) là viết tOm=180∘−tOy=180∘−30∘ nhưng lại giải thích bằng «tOy và tOm kề bù». Phản ví dụ cho thấy lý do đó sai: hai góc tOy và tOm có chung cạnh Ot, hai cạnh còn lại là Oy và Om lại tạo với nhau góc 120∘ chứ không đối nhau, nên chúng không kề bù; số 150∘ đúng nhưng phải lấy từ cặp xOt và tOm.
🚀 Mở rộng.Vẽ thêm tia On là tia đối của tia Oy rồi tính tOn. Tổng quát: nếu xOy=α thì yOm=180∘−α, tOy=2α và tOm=180∘−2α.
Bài 16 · 3.4★Trang 45— Tính số đo góc kề bù khi biết góc còn lại
Bài 3.4 (trang 45). Cho Hình 3.15a, biết DMA=45∘. Tính số đo góc DMB. (Trong Hình 3.15a, điểm M nằm giữa A và B, tia MD nằm phía trên đường thẳng AB.)
Kiến thức cần nhớ
Hai góc có một cạnh chung, hai cạnh còn lại là hai tia đối nhau được gọi là hai góc kề bù.
Hai góc kề bù có tổng số đo bằng 180∘.
Hai góc phụ nhau có tổng số đo bằng 90∘, khác hẳn hai góc bù nhau.
Nếu tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy thì xOz+zOy=xOy.
🧠 Phân tích tư duy
Điểm M nằm giữa A và B nên MA và MB là hai tia đối nhau — đọc được câu đó là bài coi như xong, chỉ còn một phép trừ. Không cần đo vì góc đã cho là số tròn. Bẫy duy nhất là nhầm kề bù với phụ nhau, lấy 90∘−45∘.
1Cách 1. Dùng tính chất hai góc kề bù
Định hướng. Chỉ ra cặp kề bù rồi lấy 180∘ trừ đi góc đã cho.
M nằm giữa A và B nên MA và MB là hai tia đối nhau DMA và DMB có chung đỉnh M, chung cạnh MD, hai cạnh còn lại MA, MB đối nhau nên chúng kề bù DMA+DMB=180∘ (hai góc kề bù) DMB=180∘−45∘ DMB=135∘
VậyDMB=135∘.
2Cách 2. Đặt ẩn rồi lập phương trình
Định hướng. Gọi số đo cần tìm là một chữ và viết điều kiện kề bù thành một đẳng thức.
Gọi x là số đo góc DMB, đơn vị là độ, 0<x<180 DMA và DMB kề bù nên 45+x=180 x=180−45 x=135
VậyDMB=135∘.
3Cách 3. Kẻ thêm tia vuông góc để bắc cầu
Định hướng. Dựng tia MH vuông góc với AB về phía chứa D; tia này chia góc DMB thành hai phần dễ tính.
Kẻ tia MH thuộc nửa mặt phẳng chứa D và vuông góc với AB tại M AMH=HMB=90∘ Tia MD nằm giữa hai tia MA và MH nên DMH=AMH−AMD DMH=90∘−45∘=45∘ Tia MH nằm giữa hai tia MD và MB nên DMB=DMH+HMB DMB=45∘+90∘ DMB=135∘
VậyDMB=135∘.
Nhận xét. Cách 3 dài hơn nhưng dạy một thói quen quý: khi chưa nhớ tính chất nào đó, kẻ thêm một tia vuông góc để cắt bài toán thành những mảnh đã biết.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: một dòng căn cứ «hai góc kề bù» rồi một phép trừ, ngắn nhất và đủ điểm; Cách 3 chỉ nên dùng khi đề đòi giải thích thật kỹ.
Đáp số.DMB=135∘.
Sai lầm thường gặp.Sai lầm hay gặp là lấy 90∘−45∘=45∘ do lẫn giữa hai góc phụ nhau và hai góc bù nhau. Phản ví dụ để tự phát hiện: nếu DMB=45∘ thì DMA+DMB=90∘, trong khi hai góc này ghép lại đúng bằng góc bẹt AMB=180∘, mâu thuẫn.
🚀 Mở rộng.Nếu thêm ME là tia phân giác của góc DMB thì AME bằng bao nhiêu? Tổng quát: DMA=α cho DMB=180∘−α và AME=90∘+2α.
Bài 17 · 3.5★★Trang 45— Tính ba góc còn lại khi hai đường thẳng cắt nhau
Bài 3.5 (trang 45). Cho Hình 3.15b, biết xBm=36∘. Tính số đo các góc còn lại trong hình vẽ. (Trong Hình 3.15b, hai đường thẳng xy và mn cắt nhau tại B.)
Kiến thức cần nhớ
Hai góc kề bù có tổng số đo bằng 180∘.
Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.
Hai góc đối đỉnh là hai góc mà mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh của góc kia.
Bốn góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau có tổng số đo bằng 360∘.
🧠 Phân tích tư duy
Hai đường thẳng cắt nhau tại B cho đúng bốn góc, biết một góc là suy ra ba góc còn lại — dấu hiệu để dùng ngay cặp đôi kề bù và đối đỉnh. Lối ngắn nhất là dùng đối đỉnh trước để chép ngay một góc bằng 36∘, rồi chỉ phải trừ một lần. Bẫy là ghép xBm với yBn rồi cho rằng chúng kề bù, trong khi hai góc ấy đối đỉnh và bằng nhau.
1Cách 1. Đi vòng quanh B bằng ba lần kề bù
Định hướng. Bốn góc xếp liên tiếp quanh B; hai góc liền nhau bất kì đều kề bù nên cứ lấy 180∘ trừ đi góc trước là ra góc sau.
Định hướng. Chép ngay góc đối đỉnh với góc đã cho, sau đó chỉ cần một phép trừ duy nhất là xong cả hai góc còn lại.
yBn=xBm (hai góc đối đỉnh) yBn=36∘ mBy=180∘−xBm (hai góc kề bù) mBy=180∘−36∘=144∘ nBx=mBy (hai góc đối đỉnh) nBx=144∘
VậymBy=nBx=144∘ và yBn=36∘.
3Cách 3. Dùng tổng bốn góc quanh điểm B bằng 360∘
Định hướng. Gọi góc chưa biết là một chữ, dùng hai cặp đối đỉnh để chỉ còn một ẩn rồi giải phương trình.
yBn=xBm=36∘ (hai góc đối đỉnh) mBy=nBx (hai góc đối đỉnh), gọi số đo chung là a độ Bốn góc xBm, mBy, yBn, nBx phủ kín quanh B nên tổng bằng 360∘ 36+a+36+a=360 2a=288 a=144
VậymBy=nBx=144∘ và yBn=36∘.
Nhận xét. Ba cách cho cùng kết quả nhưng Cách 2 chỉ tốn một phép trừ, còn Cách 1 tốn ba — khác biệt đó càng rõ khi bài có nhiều đường thẳng cùng cắt nhau.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2: chỉ một phép trừ duy nhất nên gần như không thể sai số, mỗi dòng lại có sẵn căn cứ đối đỉnh hoặc kề bù đặt trong ngoặc.
Đáp số.mBy=144∘, yBn=36∘, nBx=144∘.
Sai lầm thường gặp.Lỗi hay gặp là viết yBn=180∘−36∘=144∘ vì tưởng xBm và yBn kề bù. Phản ví dụ: hai góc này không có cạnh nào chung (xBm có cạnh Bx, Bm; yBn có cạnh By, Bn) nên không thể kề nhau; chúng là hai góc đối đỉnh nên phải BẰNG nhau, tức 36∘.
🚀 Mở rộng.Nếu vẽ thêm đường thẳng thứ ba đi qua B và tạo với Bx góc 72∘ thì có bao nhiêu góc mới và bao nhiêu cặp đối đỉnh? Tổng quát: bốn góc luôn là α, 180∘−α, α, 180∘−α.
