Chương III. Góc và đường thẳng song song

Bài 9. Hai đường thẳng song song và dấu hiệu nhận biết

SGK Toán 7 — Kết nối tri thức, tập 1 · 13 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Bài 1 · Câu hỏi★Trang 46— Nhận biết cặp góc so le trong, cặp góc đồng vị

Câu hỏi (trang 46). Cho đường thẳng

mn

cắt hai đường thẳng

x y

và

uv

lần lượt tại hai điểm

P

và

Q

(H.3.17). Em hãy kể tên:
a) Hai cặp góc so le trong;
b) Bốn cặp góc đồng vị.

Kiến thức cần nhớ

Cát tuyến cắt hai đường thẳng tạo ra bốn góc ở mỗi giao điểm; mỗi cặp góc được xét gồm một góc ở giao điểm này và một góc ở giao điểm kia.
Hai góc so le trong: cùng nằm trong dải giữa hai đường thẳng và ở hai phía khác nhau của cát tuyến.
Hai góc đồng vị: nằm cùng một phía của cát tuyến và ở vị trí giống nhau đối với mỗi đường thẳng.
Một cát tuyến cắt hai đường thẳng luôn cho đúng $2$ cặp góc so le trong và $4$ cặp góc đồng vị.

🧠 Phân tích tư duy

Đề chỉ cho một cát tuyến

mn

cắt hai đường thẳng — dấu hiệu của dạng bài đọc tên cặp góc, không có phép tính nào. Mấu chốt là xác định đúng dải trong: phần mặt phẳng nằm giữa

x y

và

uv

; góc nào có cả hai cạnh hướng vào dải đó mới là góc trong. Bẫy lớn nhất là ghép hai góc cùng một đỉnh với nhau, trong khi mỗi cặp bắt buộc gồm một góc đỉnh

P

và một góc đỉnh

Q

; bẫy thứ hai là nhầm cặp góc trong cùng phía thành cặp góc so le trong.

1Cách 1. Khoanh dải trong rồi đọc thẳng trên hình

Định hướng. Cát tuyến là $mn$ ; dải trong là phần nằm giữa $x y$ và $uv$ . Cứ lấy một góc trong ở đỉnh $P$ ghép với một góc trong ở đỉnh $Q$ nằm khác phía $mn$ là được cặp so le trong.

Cát tuyến

mn

cắt

x y

tại

P

, cắt

uv

tại

Q

Bốn góc trong:

x P Q

y P Q

(đỉnh

P

) và

u QP

v QP

(đỉnh

Q

)

x P Q

và

v QP

khác phía

mn

(hai góc so le trong)

y P Q

và

u QP

khác phía

mn

(hai góc so le trong)

x P m

và

u QP

cùng phía

mn

, cùng vị trí trên mỗi đường thẳng (hai góc đồng vị)

m P y

và

P Q v

(hai góc đồng vị)

x P Q

và

u Q n

(hai góc đồng vị)

y P Q

và

v Q n

(hai góc đồng vị)

Vậy hai cặp góc so le trong là $x P Q$ và $v QP$ ; $y P Q$ và $u QP$ . Bốn cặp góc đồng vị là $x P m$ và $u QP$ ; $m P y$ và $P Q v$ ; $x P Q$ và $u Q n$ ; $y P Q$ và $v Q n$ .

2Cách 2. Đánh số bốn góc ở mỗi đỉnh rồi tra theo mẫu Hình 3.16

Định hướng. Khi đã đánh số theo đúng mẫu Hình 3.16 thì việc ghép cặp chỉ còn là tra chỉ số, không phải nhìn hình nữa — rất an toàn khi hình vẽ xoay lệch.

Tại

P

P_{1} = x P Q

P_{2} = x P m

P_{3} = m P y

P_{4} = y P Q

Tại

Q

Q_{1} = u Q n

Q_{2} = u QP

Q_{3} = P Q v

Q_{4} = v Q n

So le trong theo mẫu:

P_{1}

và

Q_{3}

;

P_{4}

và

Q_{2}

Đồng vị theo mẫu:

P_{1}

và

Q_{1}

;

P_{2}

và

Q_{2}

;

P_{3}

và

Q_{3}

;

P_{4}

và

Q_{4}

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: so le trong là $x P Q$ và $P Q v$ ; $y P Q$ và $u QP$ ; đồng vị là bốn cặp $x P Q$ và $u Q n$ ; $x P m$ và $u QP$ ; $m P y$ và $P Q v$ ; $y P Q$ và $v Q n$ .

3Cách 3. Trượt đỉnh

P

dọc

mn

xuống trùng

Q

Định hướng. Hai góc đồng vị chính là hai góc chồng khít lên nhau khi trượt một giao điểm dọc cát tuyến tới giao điểm kia; từ đó lấy góc đối đỉnh là ra ngay cặp so le trong.

Trượt

P

dọc

mn

tới trùng

Q

, tia

P x

chồng lên tia

Q u

, tia

P y

chồng lên tia

Q v

x P m

chồng lên

u QP

(hai góc đồng vị)

m P y

chồng lên

P Q v

(hai góc đồng vị)

x P Q

chồng lên

u Q n

(hai góc đồng vị)

y P Q

chồng lên

v Q n

(hai góc đồng vị)

x P Q

và

m P y

là hai góc đối đỉnh, mà

m P y

đồng vị với

P Q v

x P Q

và

P Q v

là cặp góc so le trong

y P Q

và

u QP

là cặp góc so le trong

Vậy hai cặp so le trong và bốn cặp đồng vị đúng như trên.

Nhận xét. Nhớ theo hình ảnh trượt sẽ không bao giờ nhầm: đồng vị là chồng khít, so le trong là chồng khít rồi lật ngược lại qua đỉnh.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: đánh số một lần rồi tra chỉ số, không phụ thuộc hình vẽ nghiêng hay xoay, hầu như không thể nhầm; Cách 1 dễ hiểu nhưng dễ đọc sót khi hình rối.

Đáp số. a) Hai cặp góc so le trong:

x P Q

và

v QP

;

y P Q

và

u QP

.
b) Bốn cặp góc đồng vị:

x P m

và

u QP

;

m P y

và

P Q v

;

x P Q

và

u Q n

;

y P Q

và

v Q n

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp nhất là ghép hai góc cùng một đỉnh, chẳng hạn nói

x P Q

và

y P Q

là cặp góc so le trong — sai, vì hai góc này kề bù nhau ở cùng đỉnh

P

, trong khi mỗi cặp phải gồm một góc đỉnh

P

và một góc đỉnh

Q

. Sai lầm thứ hai: coi

x P Q

và

u QP

là so le trong; hai góc này đều là góc trong nhưng cùng nằm về phía tia

P x

Q u

so với

mn

nên chúng là cặp góc trong cùng phía, không phải so le trong.

🚀 Mở rộng. Trên chính Hình 3.17, ngoài

2

cặp so le trong và

4

cặp đồng vị còn có

2

cặp góc trong cùng phía và

2

cặp góc so le ngoài — hãy kể tên đủ cả bốn nhóm để thấy

8

góc được ghép hết.

Nguồn: SGK Toán 7 — KNTT, tập 1, trang 46

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · HĐ1★Trang 47— Tính góc còn lại nhờ hai góc kề bù, hai góc đối đỉnh

HĐ1 (trang 47). Trên Hình 3.18, cho biết hai góc so le trong

A_{1}

và

B_{3}

bằng nhau và bằng

6 0^{\circ}

. Hãy tính và so sánh hai góc so le trong còn lại

A_{2}

và

B_{4}

Kiến thức cần nhớ

Hai góc kề bù có tổng bằng $18 0^{\circ}$ .
Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.
Bốn góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau có tổng bằng $36 0^{\circ}$ .
Trên Hình 3.18: $A_{1}$ kề bù $A_{2}$ , $A_{1}$ đối đỉnh $A_{3}$ ; $B_{3}$ kề bù $B_{4}$ , $B_{3}$ đối đỉnh $B_{1}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho số đo một cặp góc so le trong và hỏi cặp so le trong còn lại — dấu hiệu cho thấy phải đi vòng qua các góc cùng đỉnh chứ không được so sánh trực tiếp hai đỉnh với nhau, vì tính chất nối hai đỉnh chính là điều bài này đang đi tìm. Ở mỗi đỉnh chỉ có hai công cụ: kề bù và đối đỉnh; chọn kề bù là ngắn nhất. Bẫy nằm ở chỗ nhiều bạn thấy chữ 'so le trong' là kết luận ngay

A_{2} = 6 0^{\circ}

, trong khi

A_{2}

kề bù chứ không bằng

A_{1}

1Cách 1. Dùng hai góc kề bù ngay tại mỗi đỉnh

Định hướng. $A_{2}$ kề bù với $A_{1}$ , $B_{4}$ kề bù với $B_{3}$ — một phép trừ ở mỗi đỉnh là xong.

A_{1} = 6 0^{\circ}

(gt)

A_{1} + A_{2} = 18 0^{\circ}

(hai góc kề bù)

A_{2} = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ}

A_{2} = 12 0^{\circ}

B_{3} = 6 0^{\circ}

(gt)

B_{3} + B_{4} = 18 0^{\circ}

(hai góc kề bù)

B_{4} = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ}

B_{4} = 12 0^{\circ}

Vậy $A_{2} = B_{4} = 12 0^{\circ}$ , hai góc so le trong còn lại bằng nhau.

2Cách 2. Đi vòng qua hai góc đối đỉnh

Định hướng. Nếu quên mất góc nào kề bù góc nào, cứ chuyển sang góc đối đỉnh trước rồi mới trừ — kết quả không đổi mà đường đi lại dễ nhìn trên hình.

A_{2} = A_{4}

(hai góc đối đỉnh)

A_{4} + A_{1} = 18 0^{\circ}

(hai góc kề bù)

A_{4} = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}

A_{2} = 12 0^{\circ}

B_{1} = B_{3} = 6 0^{\circ}

(hai góc đối đỉnh)

B_{1} + B_{4} = 18 0^{\circ}

(hai góc kề bù)

B_{4} = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}

Vậy $A_{2} = B_{4} = 12 0^{\circ}$ .

3Cách 3. Dùng tổng bốn góc tại một giao điểm

Định hướng. Bốn góc quanh một giao điểm có tổng $36 0^{\circ}$ và chia thành hai cặp đối đỉnh, nên chỉ cần một phương trình là ra công thức tổng quát cho mọi số đo.

A_{1} + A_{2} + A_{3} + A_{4} = 36 0^{\circ}

A_{3} = A_{1}

A_{4} = A_{2}

(hai cặp góc đối đỉnh)

2 A_{1} + 2 A_{2} = 36 0^{\circ}

A_{2} = 18 0^{\circ} - A_{1} = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}

B_{4} = 18 0^{\circ} - B_{3} = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}

Vậy $A_{2} = B_{4} = 12 0^{\circ}$ .

Nhận xét. Đặt $A_{1} = B_{3} = α$ thì luôn có $A_{2} = B_{4} = 18 0^{\circ} - α$ — kết luận đúng với mọi $α$ , không riêng $6 0^{\circ}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: mỗi đỉnh một phép trừ, tổng cộng hai dòng. Cách 3 nên nhớ vì nó cho ngay công thức tổng quát

18 0^{\circ} - α

, dùng lại được cho Luyện tập 1.

Đáp số.

A_{2} = B_{4} = 12 0^{\circ}

, hai góc so le trong còn lại bằng nhau.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm điển hình là thấy chữ 'so le trong' rồi viết ngay

A_{2} = A_{1} = 6 0^{\circ}

. Phản ví dụ ngay trên hình: nếu

A_{1} = A_{2} = 6 0^{\circ}

thì tổng bốn góc đỉnh

A

chỉ bằng

4 \cdot 6 0^{\circ} = 24 0^{\circ}

, khác

36 0^{\circ}

— vô lí. Sai lầm thứ hai là ghép nhầm

A_{2}

với

B_{2}

rồi gọi đó là cặp so le trong;

A_{2}

và

B_{2}

nằm cùng phía đường thẳng

c

nên là cặp góc đồng vị.

🚀 Mở rộng. Giữ nguyên hình và thay

6 0^{\circ}

bởi

α

tuỳ ý, hãy chứng tỏ tám góc chỉ nhận đúng hai giá trị

α

và

18 0^{\circ} - α

— đó là lí do mọi cặp so le trong hay đồng vị đều bằng nhau.

Nguồn: SGK Toán 7 — KNTT, tập 1, trang 47

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · HĐ2★Trang 47— Tính và so sánh một cặp góc đồng vị

HĐ2 (trang 47). Trên Hình 3.18 vẫn cho hai góc so le trong

A_{1}

và

B_{3}

bằng nhau và bằng

6 0^{\circ}

. Chọn hai góc đồng vị rồi tính và so sánh hai góc đó.

Kiến thức cần nhớ

Bốn cặp góc đồng vị trên Hình 3.18 là $A_{1}$ và $B_{1}$ ; $A_{2}$ và $B_{2}$ ; $A_{3}$ và $B_{3}$ ; $A_{4}$ và $B_{4}$ .
Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau; hai góc kề bù có tổng $18 0^{\circ}$ .
Nếu một cặp góc so le trong bằng nhau thì mọi cặp góc đồng vị cũng bằng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho tự chọn cặp góc đồng vị nên việc đầu tiên là chọn cặp gần dữ kiện nhất: cặp

A_{1}

và

B_{1}

chỉ cách giả thiết đúng một bước đối đỉnh. Nếu chọn cặp xa hơn thì vẫn ra nhưng phải tính thêm. Bẫy của bài là nghĩ rằng phải so sánh trực tiếp góc ở

A

với góc ở

B

; thực ra mọi con đường đều phải quay về giả thiết

A_{1} = B_{3}

rồi mới chuyển sang góc cần tính bằng kề bù hoặc đối đỉnh.

1Cách 1. Chọn cặp

A_{1}

và

B_{1}

— gần giả thiết nhất

Định hướng. $B_{1}$ đối đỉnh với $B_{3}$ nên chỉ mất một dòng là nối được với giả thiết.

A_{1} = 6 0^{\circ}

(gt)

B_{1} = B_{3}

(hai góc đối đỉnh)

B_{3} = 6 0^{\circ}

(gt)

B_{1} = 6 0^{\circ}

Vậy $A_{1} = B_{1} = 6 0^{\circ}$ , hai góc đồng vị này bằng nhau.

2Cách 2. Chọn cặp

A_{4}

và

B_{4}

— đi bằng hai góc kề bù

Định hướng. Chọn cặp góc tù để thấy kết luận không phụ thuộc vào việc cặp góc nhọn hay tù.

A_{4} + A_{1} = 18 0^{\circ}

(hai góc kề bù)

A_{4} = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}

B_{4} + B_{3} = 18 0^{\circ}

(hai góc kề bù)

B_{4} = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}

Vậy $A_{4} = B_{4} = 12 0^{\circ}$ , cặp góc đồng vị này cũng bằng nhau.

3Cách 3. Tính hết tám góc theo một chữ rồi đối chiếu cả bốn cặp

Định hướng. Đặt giả thiết thành chữ, tính một lượt tám góc thì bốn cặp đồng vị hiện ra cùng lúc, khỏi phải xét từng cặp.

Đặt

A_{1} = B_{3} = α

A_{3} = A_{1} = α

;

A_{2} = A_{4} = 18 0^{\circ} - α

B_{1} = B_{3} = α

;

B_{2} = B_{4} = 18 0^{\circ} - α

A_{1} = B_{1} = α

;

A_{3} = B_{3} = α

A_{2} = B_{2} = 18 0^{\circ} - α

;

A_{4} = B_{4} = 18 0^{\circ} - α

Với

α = 6 0^{\circ}

A_{1} = B_{1} = 6 0^{\circ}

và

A_{4} = B_{4} = 12 0^{\circ}

Vậy cả bốn cặp góc đồng vị đều bằng nhau; cụ thể $A_{1} = B_{1} = 6 0^{\circ}$ .

Nhận xét. Hai hoạt động HĐ1 và HĐ2 gộp lại chính là tính chất in trong khung trang 47: một cặp so le trong bằng nhau kéo theo cặp so le trong còn lại bằng nhau và mọi cặp đồng vị bằng nhau.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chọn cặp

A_{1}

B_{1}

thì chỉ cần một bước đối đỉnh, ngắn nhất và khó sai; Cách 3 dành cho lúc muốn thấy toàn cảnh tám góc.

Đáp số. Chẳng hạn

A_{1} = B_{1} = 6 0^{\circ}

; cả bốn cặp góc đồng vị đều bằng nhau, nhận giá trị

6 0^{\circ}

hoặc

12 0^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là chọn nhầm cặp: lấy

A_{1}

ghép với

B_{3}

rồi gọi đó là cặp góc đồng vị. Phản ví dụ:

A_{1}

nằm dưới đường thẳng

a

và bên phải

c

, còn

B_{3}

nằm trên đường thẳng

b

và bên trái

c

— hai góc khác phía cát tuyến nên đó là cặp so le trong, chính là dữ kiện đề cho chứ không phải điều cần tìm. Sai lầm thứ hai: kết luận 'hai góc đồng vị luôn bằng nhau' mà quên điều kiện đã có một cặp so le trong bằng nhau.

🚀 Mở rộng. Nếu

A_{1} = 6 0^{\circ}

nhưng

B_{3} = 7 0^{\circ}

thì cặp

A_{1}

B_{1}

còn bằng nhau nữa không — hãy tính thử để thấy điều kiện của bài quan trọng thế nào.

Nguồn: SGK Toán 7 — KNTT, tập 1, trang 47

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Luyện tập 1★★Trang 47— Tính số đo tám góc và tổng hai góc trong cùng phía

Luyện tập 1 (trang 47). Quan sát Hình 3.19.
a) Biết

A_{2} = 4 0^{\circ}

B_{4} = 4 0^{\circ}

. Em hãy tính số đo các góc còn lại.
b) Các cặp góc

A_{1}

và

B_{4}

;

A_{2}

và

B_{3}

được gọi là các cặp góc trong cùng phía. Tính các tổng

A_{1} + B_{4}

;

A_{2} + B_{3}

Kiến thức cần nhớ

Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau; hai góc kề bù có tổng $18 0^{\circ}$ .
Nếu một cặp góc so le trong bằng nhau thì cặp so le trong còn lại bằng nhau và các cặp góc đồng vị bằng nhau.
Hai góc trong cùng phía là hai góc trong, nằm cùng một phía của cát tuyến.
Trên Hình 3.19: $A_{2}$ và $B_{4}$ so le trong; $A_{1}$ và $B_{1}$ đồng vị.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho

A_{2} = B_{4} = 4 0^{\circ}

— đây đúng là một cặp góc so le trong bằng nhau, dấu hiệu để dùng ngay tính chất vừa học ở trang 47 thay vì tính lẻ tẻ từng góc. Câu b hỏi tổng chứ không hỏi từng góc, nên mẹo hay nhất là chuyển góc ở đỉnh

A

về góc đồng vị ở đỉnh

B

để hai góc cần cộng trở thành hai góc kề bù ngay tại

B

. Bẫy của bài là đánh số góc sai vị trí, dẫn tới ghép nhầm cặp trong cùng phía thành cặp so le trong.

1Cách 1. Tính lần lượt bằng kề bù và đối đỉnh tại từng đỉnh

Định hướng. Chỉ dùng hai tính chất quen thuộc của hai đường thẳng cắt nhau, không cần tới tính chất mới, nên bao giờ cũng làm được.

A_{2} = 4 0^{\circ}

(gt)

A_{4} = A_{2} = 4 0^{\circ}

(hai góc đối đỉnh)

A_{1} = 18 0^{\circ} - A_{2} = 18 0^{\circ} - 4 0^{\circ} = 14 0^{\circ}

(hai góc kề bù)

A_{3} = A_{1} = 14 0^{\circ}

(hai góc đối đỉnh)

B_{4} = 4 0^{\circ}

(gt)

B_{2} = B_{4} = 4 0^{\circ}

(hai góc đối đỉnh)

B_{3} = 18 0^{\circ} - B_{4} = 18 0^{\circ} - 4 0^{\circ} = 14 0^{\circ}

(hai góc kề bù)

B_{1} = B_{3} = 14 0^{\circ}

(hai góc đối đỉnh)

A_{1} + B_{4} = 14 0^{\circ} + 4 0^{\circ} = 18 0^{\circ}

A_{2} + B_{3} = 4 0^{\circ} + 14 0^{\circ} = 18 0^{\circ}

Vậy $A_{1} = A_{3} = B_{1} = B_{3} = 14 0^{\circ}$ , $A_{4} = B_{2} = 4 0^{\circ}$ và hai tổng ở câu b đều bằng $18 0^{\circ}$ .

2Cách 2. Dùng tính chất trang 47 rồi đổi góc đỉnh

A

sang góc đỉnh

B

Định hướng. $A_{2} = B_{4}$ là cặp so le trong bằng nhau nên mọi cặp đồng vị đều bằng nhau; chuyển hết về đỉnh $B$ thì câu b chỉ còn là hai góc kề bù.

A_{2} = B_{4} = 4 0^{\circ}

(gt, hai góc so le trong)

A_{1} = B_{1}

A_{2} = B_{2}

A_{3} = B_{3}

A_{4} = B_{4}

(các cặp góc đồng vị)

B_{2} = B_{4} = 4 0^{\circ}

(hai góc đối đỉnh) nên

A_{2} = A_{4} = 4 0^{\circ}

B_{3} = 18 0^{\circ} - 4 0^{\circ} = 14 0^{\circ}

nên

A_{3} = B_{1} = A_{1} = 14 0^{\circ}

A_{1} + B_{4} = B_{1} + B_{4} = 18 0^{\circ}

(hai góc kề bù tại

B

)

A_{2} + B_{3} = B_{2} + B_{3} = 18 0^{\circ}

(hai góc kề bù tại

B

)

Vậy kết quả trùng Cách 1, và câu b ra ngay mà không cần biết số đo cụ thể.

3Cách 3. Đặt số đo bằng chữ rồi thay số sau cùng

Định hướng. Gọi số đo đã cho là $α$ , biểu diễn cả tám góc theo $α$ thì câu b hiện ra là một hằng đẳng thức đúng với mọi $α$ .

Đặt

A_{2} = B_{4} = α

A_{2} = A_{4} = α

;

A_{1} = A_{3} = 18 0^{\circ} - α

B_{2} = B_{4} = α

;

B_{1} = B_{3} = 18 0^{\circ} - α

A_{1} + B_{4} = (18 0^{\circ} - α) + α = 18 0^{\circ}

A_{2} + B_{3} = α + (18 0^{\circ} - α) = 18 0^{\circ}

Thay

α = 4 0^{\circ}

A_{2} = A_{4} = B_{2} = B_{4} = 4 0^{\circ}

;

A_{1} = A_{3} = B_{1} = B_{3} = 14 0^{\circ}

Vậy các góc còn lại lần lượt bằng $4 0^{\circ}$ và $14 0^{\circ}$ ; hai tổng ở câu b đều bằng $18 0^{\circ}$ với mọi $α$ .

Nhận xét. Câu b chính là dấu hiệu thứ ba sẽ dùng suốt chương: hai góc trong cùng phía bù nhau cũng cho hai đường thẳng song song.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chuyển góc đỉnh

A

sang góc đồng vị ở đỉnh

B

thì câu b chỉ còn một dòng kề bù, không phải tính số đo; Cách 1 an toàn nhưng dài gấp đôi.

Đáp số. a)

A_{4} = B_{2} = 4 0^{\circ}

;

A_{1} = A_{3} = B_{1} = B_{3} = 14 0^{\circ}

.
b)

A_{1} + B_{4} = 18 0^{\circ}

;

A_{2} + B_{3} = 18 0^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là dùng nhầm tính chất: thấy

A_{1}

và

B_{4}

là một cặp nên viết luôn

A_{1} = B_{4} = 4 0^{\circ}

. Phản ví dụ ngay trong bài: nếu

A_{1} = 4 0^{\circ}

thì

A_{1} + A_{2} = 4 0^{\circ} + 4 0^{\circ} = 8 0^{\circ}

, khác

18 0^{\circ}

, trong khi

A_{1}

và

A_{2}

là hai góc kề bù — mâu thuẫn. Sai lầm thứ hai: cộng nhầm cặp, lấy

A_{1} + B_{1} = 14 0^{\circ} + 14 0^{\circ} = 28 0^{\circ}

rồi kết luận 'trong cùng phía không bù nhau';

A_{1}

và

B_{1}

là cặp góc đồng vị chứ không phải trong cùng phía.

🚀 Mở rộng. Từ câu b hãy phát biểu thành dấu hiệu: nếu một cặp góc trong cùng phía có tổng bằng

18 0^{\circ}

thì hai đường thẳng song song — rồi thử dùng dấu hiệu đó để làm nhanh Bài 3.8.

Nguồn: SGK Toán 7 — KNTT, tập 1, trang 47

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Luyện tập 2★★Trang 48— Dùng dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song

Luyện tập 2 (trang 48).
❶ Quan sát Hình 3.22 và giải thích vì sao

A B ∥ D C

.
❷ Tìm trên Hình 3.23 hai đường thẳng song song với nhau và giải thích vì sao chúng song song.
Trên Hình 3.22, tia $A x$ là tia đối của tia $A D$ , $x A B = 6 0^{\circ}$ và $A D C = 6 0^{\circ}$ . Trên Hình 3.23, đường thẳng $z z^{'}$ cắt $x y$ tại $H$ và cắt $x^{'} y^{'}$ tại $K$ , đồng thời $z z^{'} ⊥ x y$ tại $H$ , $z z^{'} ⊥ x^{'} y^{'}$ tại $K$ .

Kiến thức cần nhớ

Dấu hiệu nhận biết: nếu đường thẳng $c$ cắt hai đường thẳng phân biệt $a$ , $b$ mà trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau thì $a ∥ b$ .
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Hai góc kề bù có tổng $18 0^{\circ}$ ; hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai hình đều cho sẵn hai góc bằng nhau nằm ở hai giao điểm khác nhau — dấu hiệu rõ ràng của dạng bài chứng minh song song, việc còn lại chỉ là gọi đúng tên vị trí của cặp góc đó. Ở Hình 3.22 cát tuyến là đường thẳng

A D

, ở Hình 3.23 cát tuyến là

z z^{'}

. Bẫy nằm ở chỗ phải nêu tên vị trí của cặp góc thì lập luận mới đủ căn cứ; nói 'hai góc bằng nhau nên song song' là chưa được, vì hai góc bằng nhau mà đặt sai vị trí thì kết luận sai.

1Cách 1. Chỉ ra cặp góc đồng vị bằng nhau

Định hướng. Hai góc đã cho trên mỗi hình vốn đã nằm ở vị trí đồng vị, chỉ việc gọi tên rồi áp dấu hiệu.

❶

x A B = 6 0^{\circ}

A D C = 6 0^{\circ}

(gt)

x A B = A D C

Đường thẳng

A D

cắt

A B

tại

A

và cắt

D C

tại

D

; hai góc trên ở vị trí đồng vị

A B ∥ D C

(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)
❷

z z^{'} ⊥ x y

tại

H

và

z z^{'} ⊥ x^{'} y^{'}

tại

K

(gt)

z H y = H K y^{'} = 9 0^{\circ}

Đường thẳng

z z^{'}

cắt

x y

tại

H

và cắt

x^{'} y^{'}

tại

K

; hai góc trên ở vị trí đồng vị

x y ∥ x^{'} y^{'}

(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

Vậy $A B ∥ D C$ trên Hình 3.22 và $x y ∥ x^{'} y^{'}$ trên Hình 3.23.

2Cách 2. Chuyển sang cặp góc so le trong

Định hướng. Chỉ cần kẻ thêm một tia đối rồi dùng hai góc đối đỉnh là cặp góc đồng vị biến thành cặp góc so le trong — dấu hiệu nào cũng dùng được.

❶ Gọi

A t

là tia đối của tia

A B

D A t = x A B = 6 0^{\circ}

(hai góc đối đỉnh)

A D C = 6 0^{\circ}

(gt)

D A t = A D C

; hai góc này ở vị trí so le trong (cát tuyến

A D

)

A B ∥ D C

(dấu hiệu nhận biết)
❷

y H K = 9 0^{\circ}

và

H K x^{'} = 9 0^{\circ}

(gt)

y H K = H K x^{'}

; hai góc này ở vị trí so le trong (cát tuyến

z z^{'}

)

x y ∥ x^{'} y^{'}

(dấu hiệu nhận biết)

Vậy hai kết luận vẫn là $A B ∥ D C$ và $x y ∥ x^{'} y^{'}$ .

3Cách 3. Dùng hai góc trong cùng phía bù nhau và tính vuông góc

Định hướng. Khi hai góc đề cho lại nằm cùng phía cát tuyến, chỉ cần kiểm tra tổng có bằng $18 0^{\circ}$ hay không; riêng Hình 3.23 còn có lối tắt là nhận xét trang 48.

❶

B A D = 18 0^{\circ} - x A B = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}

(hai góc kề bù)

B A D + A D C = 12 0^{\circ} + 6 0^{\circ} = 18 0^{\circ}

Góc so le trong với

A D C

bù với

B A D

nên bằng

18 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 6 0^{\circ} = A D C

A B ∥ D C

(dấu hiệu nhận biết)
❷

x y ⊥ z z^{'}

và

x^{'} y^{'} ⊥ z z^{'}

(gt), hai đường thẳng

x y

x^{'} y^{'}

phân biệt

x y ∥ x^{'} y^{'}

(hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba)

Vậy $A B ∥ D C$ và $x y ∥ x^{'} y^{'}$ .

Nhận xét. Ba cách trên chính là ba lối vào cùng một dấu hiệu: so le trong bằng nhau, đồng vị bằng nhau, trong cùng phía bù nhau — biết một là suy ra hai cái kia.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 cho Hình 3.22 vì cặp góc đồng vị đã nằm sẵn trên hình, không phải kẻ thêm gì; với Hình 3.23 dùng Cách 3 là gọn nhất, chỉ một dòng 'cùng vuông góc với

z z^{'}

Đáp số. ❶

A B ∥ D C

vì

x A B = A D C = 6 0^{\circ}

là cặp góc đồng vị bằng nhau.
❷

x y ∥ x^{'} y^{'}

vì hai đường thẳng này cùng vuông góc với

z z^{'}

, cũng tức là cặp góc đồng vị

z H y = H K y^{'} = 9 0^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm nặng nhất là bỏ qua tên vị trí của cặp góc, viết 'vì

x A B = A D C

nên

A B ∥ D C

'. Phản ví dụ: lấy

B A D = 12 0^{\circ}

và dựng ở đỉnh

D

một góc

A D C^{'} = 12 0^{\circ}

nhưng về phía bên kia của

A D

, hai góc vẫn bằng nhau mà

A B

và

D C^{'}

lại cắt nhau — bằng nhau thôi chưa đủ, phải đúng vị trí. Sai lầm thứ hai ở Hình 3.23 là kết luận

x y ∥ z z^{'}

;

z z^{'}

cắt

x y

tại

H

nên chúng không thể song song.

🚀 Mở rộng. Đổi

A D C

trên Hình 3.22 thành

7 0^{\circ}

mà giữ nguyên

x A B = 6 0^{\circ}

thì

A B

và

D C

cắt nhau ở phía nào — hãy vẽ thử để thấy vai trò của điều kiện hai góc bằng nhau.

Nguồn: SGK Toán 7 — KNTT, tập 1, trang 48

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Thực hành 1★★Trang 48— Giải thích cách vẽ hai đường thẳng song song bằng êke

Thực hành 1 (trang 48). Cho đường thẳng

a

và điểm

A

nằm ngoài đường thẳng

a

. Để vẽ đường thẳng

b

đi qua

A

và song song với

a

, ta có thể dùng góc nhọn

6 0^{\circ}

của êke: đặt êke sao cho một cạnh của góc

6 0^{\circ}

nằm trên

a

, cạnh còn lại tựa vào một thước thẳng; giữ nguyên thước rồi trượt êke dọc theo thước tới khi cạnh của góc

6 0^{\circ}

đi qua

A

, kẻ theo cạnh đó được đường thẳng

b

. Tại sao khi vẽ như trên ta lại khẳng định được hai đường thẳng

a

và

b

song song với nhau?

Kiến thức cần nhớ

Dấu hiệu nhận biết: một cặp góc đồng vị bằng nhau hoặc một cặp góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng song song.
Trượt êke dọc theo mép thước giữ nguyên độ lớn góc của êke và giữ nguyên đường thẳng chứa cạnh tựa vào thước.
Hai góc kề bù có tổng $18 0^{\circ}$ ; hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Câu hỏi không đòi tính toán mà đòi chỉ ra dấu hiệu ẩn trong thao tác. Hai chi tiết quyết định: cạnh êke tựa vào thước luôn nằm trên cùng một đường thẳng

c

trong cả hai lần đặt, và góc nhọn của êke không đổi khi trượt. Vậy

c

là cát tuyến, còn hai góc

6 0^{\circ}

dựng được ở hai giao điểm chính là cặp góc đồng vị bằng nhau. Bẫy của bài là chỉ mô tả lại thao tác mà quên nói tại sao trượt êke lại giữ nguyên góc.

1Cách 1. Chỉ ra cặp góc đồng vị bằng nhau

Định hướng. Đường thẳng chứa cạnh êke tựa vào thước đóng vai trò cát tuyến; hai góc $6 0^{\circ}$ ở hai lần đặt nằm cùng phía cát tuyến và cùng vị trí, đó là cặp góc đồng vị.

Gọi

c

là đường thẳng chứa cạnh êke tựa vào thước;

c

cắt

a

tại

B

và đi qua

A

Lấy

M

thuộc

a

và

N

thuộc

b

nằm cùng phía đối với

c

; lấy

C

thuộc tia đối của tia

A B

A B M = 6 0^{\circ}

(góc nhọn của êke ở lần đặt thứ nhất)

C A N = 6 0^{\circ}

(góc nhọn của êke ở lần đặt thứ hai, êke chỉ trượt nên góc không đổi)

A B M = C A N

Hai góc này ở vị trí đồng vị (cát tuyến

c

)

a ∥ b

(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

Vậy cách vẽ trên cho $a ∥ b$ , và $b$ đi qua $A$ đúng yêu cầu.

2Cách 2. Chuyển sang cặp góc so le trong

Định hướng. Chỉ cần lấy góc đối đỉnh của góc $6 0^{\circ}$ ở đỉnh $A$ là cặp góc đồng vị biến thành cặp góc so le trong.

Gọi

N^{'}

là điểm thuộc tia đối của tia

A N

B A N^{'} = C A N = 6 0^{\circ}

(hai góc đối đỉnh)

A B M = 6 0^{\circ}

B A N^{'} = A B M

Hai góc này ở vị trí so le trong (cát tuyến

c

)

a ∥ b

(dấu hiệu nhận biết)

Vậy kết luận không đổi: $a ∥ b$ .

3Cách 3. Dùng cặp góc trong cùng phía bù nhau

Định hướng. Nếu quan sát cặp góc nằm cùng phía cát tuyến thì chỉ cần kiểm tổng bằng $18 0^{\circ}$ .

B A N = 18 0^{\circ} - C A N = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}

(hai góc kề bù)

A B M + B A N = 6 0^{\circ} + 12 0^{\circ} = 18 0^{\circ}

Hai góc

A B M

và

B A N

ở vị trí trong cùng phía và bù nhau
Góc so le trong với

A B M

bằng

18 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 6 0^{\circ} = A B M

a ∥ b

(dấu hiệu nhận biết)

Vậy $a ∥ b$ .

Nhận xét. Điều làm nên phép vẽ là thao tác trượt: nó giữ nguyên đường thẳng $c$ và giữ nguyên góc của êke, nhờ đó tạo được cặp góc đồng vị bằng nhau — nếu nhấc êke lên đặt lại thì không còn bảo đảm điều gì.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ cần một dòng gọi tên cặp góc đồng vị là đủ căn cứ; Cách 2 và Cách 3 chỉ nên dùng khi đề bắt buộc phải nói tới góc so le trong hoặc góc trong cùng phía.

Đáp số. Vì thao tác trượt êke giữ nguyên góc

6 0^{\circ}

và giữ nguyên đường thẳng

c

, nên

A B M = C A N = 6 0^{\circ}

là cặp góc đồng vị bằng nhau; theo dấu hiệu nhận biết ta có

a ∥ b

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là trả lời 'vì êke có góc

6 0^{\circ}

nên hai đường thẳng song song' mà không nói tới cát tuyến

c

. Phản ví dụ: cũng dùng góc

6 0^{\circ}

của êke nhưng đặt êke ở hai vị trí xoay ngược nhau (không trượt dọc thước) thì hai góc

6 0^{\circ}

tạo thành lại là cặp góc trong cùng phía, tổng bằng

12 0^{\circ}

khác

18 0^{\circ}

, hai đường thẳng vẽ được cắt nhau chứ không song song. Sai lầm thứ hai là quên nêu

A

nằm ngoài

a

, khiến

b

có thể trùng

a

🚀 Mở rộng. Thay góc

6 0^{\circ}

bằng góc

4 5^{\circ}

hay bất kì góc

α

nào của êke, lập luận vẫn nguyên vẹn — hãy thử phát biểu cách vẽ cho góc

α

tổng quát và chỉ ra chỗ duy nhất dùng tới số

60

Nguồn: SGK Toán 7 — KNTT, tập 1, trang 48

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Thực hành 2★★Trang 49— Vẽ đường thẳng song song bằng góc vuông hoặc góc 30 độ của êke

Thực hành 2 (trang 49). Dùng góc vuông hay góc

3 0^{\circ}

của êke (thay cho góc

6 0^{\circ}

) để vẽ đường thẳng đi qua

A

và song song với đường thẳng

a

cho trước.

Kiến thức cần nhớ

Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Dấu hiệu nhận biết: một cặp góc đồng vị bằng nhau hoặc một cặp góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng song song.
Trượt êke dọc mép thước giữ nguyên độ lớn góc của êke.

🧠 Phân tích tư duy

Đề chỉ đổi góc dùng để đặt êke, còn nguyên lí thì không đổi: mọi cách vẽ đều phải tạo ra một cặp góc đồng vị hoặc so le trong bằng nhau. Nhận ra điều đó thì góc nào của êke cũng dùng được. Riêng góc vuông cho thêm một lối tắt: hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song. Bẫy của bài là vẽ xong mà không nêu được căn cứ, hoặc quên kiểm tra đường vẽ ra phải khác

a

1Cách 1. Dùng góc vuông của êke — hai lần dựng đường vuông góc

Định hướng. Góc vuông cho lối đi ngắn nhất: dựng một đường vuông góc chung rồi kết luận bằng nhận xét trang 48, không phải nói tới cặp góc nào.

Dùng góc vuông của êke vẽ đường thẳng

m

đi qua

A

và

m ⊥ a

tại

H

Dùng góc vuông của êke lần nữa vẽ đường thẳng

b

đi qua

A

và

b ⊥ m

a ⊥ m

và

b ⊥ m

A

nằm ngoài

a

nên

b

và

a

là hai đường thẳng phân biệt

a ∥ b

(hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba)

Vậy vẽ được $b$ đi qua $A$ và $b ∥ a$ chỉ bằng góc vuông của êke.

2Cách 2. Dùng góc

3 0^{\circ}

của êke — tạo cặp góc đồng vị

Định hướng. Lặp lại đúng thao tác của Thực hành 1 nhưng đổi góc nhọn thành $3 0^{\circ}$ ; cặp góc đồng vị bằng nhau vẫn được bảo đảm nhờ thao tác trượt.

Đặt một cạnh của góc

3 0^{\circ}

nằm trên

a

, cạnh còn lại tựa vào thước thẳng
Giữ nguyên thước, trượt êke dọc theo thước tới khi cạnh của góc

3 0^{\circ}

đi qua

A

, kẻ theo cạnh đó được

b

Gọi

c

là đường thẳng chứa cạnh êke tựa vào thước;

c

cắt

a

tại

B

và đi qua

A

Hai góc

3 0^{\circ}

dựng được tại

B

và tại

A

bằng nhau và ở vị trí đồng vị (cát tuyến

c

)

a ∥ b

(dấu hiệu nhận biết)

Vậy vẫn vẽ được $b$ qua $A$ và $b ∥ a$ .

3Cách 3. Dùng góc

3 0^{\circ}

nhưng đặt êke về hai phía cát tuyến

Định hướng. Đặt êke ở hai phía khác nhau của cát tuyến thì hai góc $3 0^{\circ}$ trở thành cặp góc so le trong — dấu hiệu còn lại của bài học.

Vẽ đường thẳng

c

đi qua

A

và cắt

a

tại

B

Lấy

M

thuộc

a

; dùng góc

3 0^{\circ}

của êke đặt tại

B

sao cho

A B M = 3 0^{\circ}

Dùng góc

3 0^{\circ}

của êke đặt tại

A

về phía bên kia của

c

, dựng tia

A N

với

B A N = 3 0^{\circ}

A B M = B A N = 3 0^{\circ}

; hai góc ở vị trí so le trong (cát tuyến

c

)

a ∥ b

với

b

là đường thẳng chứa tia

A N

Vậy cả ba cách đều cho đường thẳng qua $A$ và song song với $a$ .

Nhận xét. Ba cách chỉ khác nhau ở góc và ở phía đặt êke; điểm chung là đều tạo ra một cặp góc bằng nhau đúng vị trí — đó mới là thứ làm nên tính song song.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ hai thao tác dựng vuông góc và một dòng căn cứ, lại không phụ thuộc êke có góc

3 0^{\circ}

hay

4 5^{\circ}

; Cách 2 tiện khi trong tay chỉ có êke và thước thẳng.

Đáp số. Dùng góc vuông: vẽ

m

qua

A

với

m ⊥ a

, rồi vẽ

b

qua

A

với

b ⊥ m

, khi đó

a ∥ b

. Dùng góc

3 0^{\circ}

: trượt êke dọc thước để tạo cặp góc đồng vị (hoặc đặt êke về hai phía cát tuyến để tạo cặp góc so le trong) cùng bằng

3 0^{\circ}

, khi đó

a ∥ b

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thứ nhất: dùng góc

3 0^{\circ}

ở đỉnh này nhưng lại dùng góc

6 0^{\circ}

ở đỉnh kia. Phản ví dụ: hai góc đồng vị khi đó là

3 0^{\circ}

và

6 0^{\circ}

, không bằng nhau, hai đường thẳng vẽ ra cắt nhau. Sai lầm thứ hai: với góc vuông, nhiều bạn vẽ

b

vuông góc với

a

thay vì vuông góc với

m

; khi đó

b

cắt

a

chứ không song song. Sai lầm thứ ba: quên điều kiện

A

nằm ngoài

a

, dẫn tới

b

trùng

a

và không có hai đường thẳng song song nào cả.

🚀 Mở rộng. Với thước đo góc, cách vẽ còn tổng quát hơn: chọn góc

α

bất kì thoả

0^{\circ} < α < 18 0^{\circ}

rồi dựng hai góc đồng vị cùng bằng

α

— hãy thử với

α = 5 3^{\circ}

để thấy con số không quan trọng.

Nguồn: SGK Toán 7 — KNTT, tập 1, trang 49

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 3.6★★Trang 49— Đọc cặp góc so le trong, đồng vị, trong cùng phía trên hình có nhiều đường thẳng

Bài 3.6 (trang 49). Quan sát Hình 3.24.
a) Tìm một góc ở vị trí so le trong với góc

M N B

.
b) Tìm một góc ở vị trí đồng vị với góc

A C B

.
c) Kể tên một cặp góc trong cùng phía.

Kiến thức cần nhớ

Cặp góc so le trong, đồng vị, trong cùng phía chỉ có nghĩa khi đã chỉ rõ cát tuyến và hai đường thẳng bị cắt.
Cát tuyến là đường thẳng chứa cạnh chung của hai góc trong cặp.
So le trong: hai góc trong, khác phía cát tuyến. Đồng vị: cùng phía cát tuyến, cùng vị trí. Trong cùng phía: hai góc trong, cùng phía cát tuyến.

🧠 Phân tích tư duy

Hình có tới bốn đường thẳng nên việc đầu tiên bắt buộc là xác định cát tuyến: cát tuyến chính là đường thẳng chứa cạnh chung của hai góc trong cặp. Với

M N B

, cạnh chung sẽ nằm trên

N B

; với

A C B

, cạnh chung nằm trên

A C

. Chọn xong cát tuyến thì hai đường thẳng bị cắt luôn là

M N

và

B C

. Bẫy lớn nhất là quên bước này rồi ghép bừa hai góc thấy 'trông giống nhau' trên hình.

1Cách 1. Xác định cát tuyến rồi đọc theo định nghĩa

Định hướng. Mỗi câu chỉ cần trả lời hai câu hỏi: cát tuyến là đường nào, hai đường bị cắt là đường nào — sau đó vị trí của góc cần tìm là hiển nhiên.

a) Hai cạnh của

M N B

nằm trên

N M

và

N B

, cát tuyến là

N B

, hai đường thẳng bị cắt là

M N

và

B C

Góc ở đỉnh

B

, nằm trong dải giữa

M N

và

B C

, khác phía

N B

so với

M N B

là

N B C

b) Hai cạnh của

A C B

nằm trên

C A

và

C B

, cát tuyến là

A C

, hai đường thẳng bị cắt là

M N

và

B C

Góc ở đỉnh

N

, cùng phía

A C

với

A C B

và ở vị trí giống nó là

A N M

c) Với cát tuyến

A C

M N C

và

N C B

cùng nằm trong dải giữa

M N

và

B C

, cùng một phía của

A C

Vậy a) $N B C$ ; b) $A N M$ ; c) cặp $M N C$ và $N C B$ .

2Cách 2. Tách hình thành từng bộ ba rồi đánh số như Hình 3.16

Định hướng. Vẽ riêng ra ba bộ ba dạng ${M N, B C, cat tuyen}$ rồi đánh số bốn góc ở mỗi giao điểm; khi ấy chỉ còn việc tra chỉ số như ở Hình 3.16.

Bộ ba thứ nhất:

M N

B C

và cát tuyến

N B

Tại

N

đánh số

N_{1} = M N B

; tại

B

góc trong khác phía là

B_{3} = N B C

; cặp

N_{1}

và

B_{3}

là cặp so le trong
Bộ ba thứ hai:

M N

B C

và cát tuyến

A C

Tại

C

đánh số

C_{2} = A C B

; tại

N

góc cùng vị trí là

N_{2} = A N M

; cặp

N_{2}

và

C_{2}

là cặp đồng vị
Cũng trên bộ ba này, hai góc trong cùng phía là

M N C

và

N C B

Vậy kết quả trùng Cách 1: $N B C$ , $A N M$ và cặp $M N C$ , $N C B$ .

3Cách 3. Trượt đỉnh dọc cát tuyến để nhìn ra ngay cặp góc

Định hướng. Trượt một giao điểm dọc cát tuyến tới giao điểm kia: góc chồng khít là góc đồng vị, góc đối đỉnh của nó là góc so le trong — không cần nhớ định nghĩa bằng lời.

b) Trượt

N

dọc

A C

xuống trùng

C

: tia

N M

chồng lên tia

C B

, tia

N A

chồng lên tia

C A

A N M

chồng khít lên

A C B

nên đó là cặp góc đồng vị
a) Trượt

N

dọc

N B

xuống trùng

B

M N B

chồng khít lên góc kề bù của

N B C

, mà góc chồng khít ấy đối đỉnh với

N B C

M N B

và

N B C

là cặp góc so le trong
c) Trượt

M

dọc

A B

xuống trùng

B

cho thấy

N M B

và

M B C

nằm cùng phía

A B

và đều là góc trong

Vậy ngoài đáp án trên còn thêm một cặp trong cùng phía nữa là $N M B$ và $M B C$ (cát tuyến $A B$ ).

Nhận xét. Trên hình này còn cặp góc đồng vị $A M N$ và $A B C$ (cát tuyến $A B$ ) — cứ đổi cát tuyến là lại có một bộ cặp góc mới.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nêu cát tuyến trước rồi mới gọi tên góc, vừa nhanh vừa đủ căn cứ để lấy trọn điểm; Cách 3 hợp khi phải trả lời miệng vì chỉ cần nhìn hình.

Đáp số. a)

N B C

(cát tuyến

N B

).
b)

A N M

(cát tuyến

A C

).
c) Cặp

M N C

và

N C B

(cát tuyến

A C

); hoặc cặp

N M B

và

M B C

(cát tuyến

A B

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp ở câu a là trả lời

A N M

: hai góc

M N B

và

A N M

cùng có đỉnh

N

nên không thể là một cặp so le trong, vì mỗi cặp phải gồm hai góc ở hai giao điểm khác nhau. Ở câu b, nhiều bạn trả lời

M N B

; góc này ứng với cát tuyến

N B

chứ không phải cát tuyến

A C

nên không đồng vị với

A C B

. Ở câu c, ghép

M N B

với

N B C

là sai vì đó là cặp so le trong (khác phía cát tuyến

N B

), không phải trong cùng phía.

🚀 Mở rộng. Trên chính Hình 3.24,

M N

và

B C

song song với nhau; hãy dùng kết quả câu a để chứng tỏ

M N B = N B C

rồi thử tìm thêm một cặp góc bằng nhau nữa nhờ cát tuyến

A B

Nguồn: SGK Toán 7 — KNTT, tập 1, trang 49

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Bài 3.7★★Trang 49— Chứng minh hai đường thẳng song song bằng cặp góc so le trong

Bài 3.7 (trang 49). Quan sát Hình 3.25. Biết

M E F = 4 0^{\circ}

E M N = 4 0^{\circ}

. Em hãy giải thích tại sao

E F ∥ N M

Kiến thức cần nhớ

Dấu hiệu nhận biết: đường thẳng $c$ cắt hai đường thẳng phân biệt $a$ , $b$ mà có một cặp góc so le trong bằng nhau hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau thì $a ∥ b$ .
Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau; hai góc kề bù có tổng $18 0^{\circ}$ .
Cát tuyến là đường thẳng chứa cạnh chung của hai góc trong cặp — ở đây là $E M$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai góc đã cho có chung cạnh nằm trên

E M

— đó là chỉ dấu cho biết

E M

là cát tuyến, còn hai đường thẳng bị cắt đúng là

E F

và

N M

như đề yêu cầu. Hai góc lại nằm ở hai phía khác nhau của

E M

và đều là góc trong, nên chúng là cặp so le trong: dùng thẳng dấu hiệu là xong. Bẫy của bài là nhìn thấy hình tứ giác rồi vội chứng minh

E N ∥ F M

, trong khi hai góc đã cho không liên quan gì tới cặp cạnh đó.

1Cách 1. Dùng thẳng cặp góc so le trong

Định hướng. Hai góc đề cho đã nằm sẵn ở vị trí so le trong đối với cát tuyến $E M$ , chỉ việc gọi tên rồi kết luận.

M E F = 4 0^{\circ}

E M N = 4 0^{\circ}

(gt)

M E F = E M N

E M

cắt

E F

tại

E

và cắt

N M

tại

M

M E F

và

E M N

đều nằm trong dải giữa

E F

và

N M

, ở hai phía của

E M

(hai góc so le trong)

E F ∥ N M

(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

Vậy $E F ∥ N M$ .

2Cách 2. Chuyển sang cặp góc đồng vị nhờ hai góc đối đỉnh

Định hướng. Kẻ hai tia đối tại $M$ để lấy góc đối đỉnh của $E M N$ , khi đó cặp góc trở thành đồng vị và vẫn bằng nhau.

Gọi

M t

là tia đối của tia

M N

M u

là tia đối của tia

M E

u M t = E M N = 4 0^{\circ}

(hai góc đối đỉnh)

M E F = 4 0^{\circ}

(gt)

M E F = u M t

Hai góc này ở vị trí đồng vị (cát tuyến

E M

)

E F ∥ N M

(dấu hiệu nhận biết)

Vậy $E F ∥ N M$ .

3Cách 3. Dùng cặp góc trong cùng phía bù nhau

Định hướng. Lấy góc kề bù của $M E F$ tại $E$ thì được cặp góc trong cùng phía; kiểm tổng bằng $18 0^{\circ}$ là đủ kết luận.

Gọi

E s

là tia đối của tia

E F

M E s = 18 0^{\circ} - M E F = 18 0^{\circ} - 4 0^{\circ} = 14 0^{\circ}

(hai góc kề bù)

M E s + E M N = 14 0^{\circ} + 4 0^{\circ} = 18 0^{\circ}

M E s

và

E M N

ở vị trí trong cùng phía và bù nhau
Góc so le trong với

E M N

bằng

18 0^{\circ} - 14 0^{\circ} = 4 0^{\circ} = E M N

E F ∥ N M

(dấu hiệu nhận biết)

Vậy $E F ∥ N M$ .

Nhận xét. Ba cách chỉ là ba cách gọi tên cùng một cặp dữ kiện; điều duy nhất phải làm đúng là chọn cát tuyến $E M$ chứ không phải $E N$ hay $F M$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đúng hai dòng, không phải kẻ thêm tia nào, lại nêu được đủ căn cứ 'hai góc so le trong bằng nhau'.

Đáp số.

E F ∥ N M

vì

M E F = E M N = 4 0^{\circ}

và đây là cặp góc so le trong đối với cát tuyến

E M

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là dùng nhầm cặp cạnh: từ

M E F = E M N

mà kết luận

E N ∥ F M

. Phản ví dụ ngay trên Hình 3.25: kéo dài

N E

và

M F

về phía trên thì hai tia này cắt nhau, nên

E N

và

F M

chắc chắn không song song — hai góc đã cho không phải là cặp góc do một cát tuyến cắt

E N

và

F M

tạo ra. Sai lầm thứ hai là viết 'hai góc bằng nhau nên hai đường thẳng song song' mà bỏ mất cụm 'so le trong', khiến lập luận thiếu căn cứ.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi đề thành

M E F = 4 0^{\circ}

và

E M N = 5 0^{\circ}

thì

E F

và

N M

không còn song song; hãy chỉ ra chúng sẽ cắt nhau về phía nào và giải thích bằng cặp góc trong cùng phía.

Nguồn: SGK Toán 7 — KNTT, tập 1, trang 49

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Bài 3.8★Trang 49— Chứng minh song song từ hai góc vuông

Bài 3.8 (trang 49). Quan sát Hình 3.26, giải thích tại sao

A B ∥ D C

. (Trên hình, $D A B = 9 0^{\circ}$ và $A D C = 9 0^{\circ}$ .)

Kiến thức cần nhớ

Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Dấu hiệu nhận biết bằng cặp góc so le trong hoặc cặp góc đồng vị bằng nhau.
Hai góc kề bù có tổng $18 0^{\circ}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai kí hiệu góc vuông đặt tại

A

và

D

— cả hai đều dính vào cạnh

A D

, đó là dấu hiệu để dùng ngay nhận xét 'cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song', khỏi cần tính gì. Nếu muốn bám sát dấu hiệu gốc thì vẫn đọc được chúng thành cặp góc trong cùng phía có tổng

18 0^{\circ}

. Bẫy duy nhất là kết luận nhầm sang

A D ∥ B C

: hai cạnh này không có dữ kiện góc nào bảo đảm.

1Cách 1. Hai đường thẳng cùng vuông góc với

A D

Định hướng. Cả hai góc vuông đều nhận $A D$ làm một cạnh, nên $A B$ và $D C$ cùng vuông góc với $A D$ .

D A B = 9 0^{\circ}

(gt) nên

A B ⊥ A D

A D C = 9 0^{\circ}

(gt) nên

D C ⊥ A D

A

và

D

là hai điểm phân biệt nên

A B

và

D C

là hai đường thẳng phân biệt

A B ∥ D C

(hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba)

Vậy $A B ∥ D C$ .

2Cách 2. Chỉ ra cặp góc so le trong bằng nhau

Định hướng. Kẻ tia đối của tia $A B$ để lấy góc so le trong với $A D C$ ; hai góc cùng bằng $9 0^{\circ}$ nên dấu hiệu gốc dùng được ngay.

Gọi

A t

là tia đối của tia

A B

D A t = 18 0^{\circ} - D A B = 18 0^{\circ} - 9 0^{\circ} = 9 0^{\circ}

(hai góc kề bù)

A D C = 9 0^{\circ}

(gt)

D A t = A D C

; hai góc ở vị trí so le trong (cát tuyến

A D

)

A B ∥ D C

(dấu hiệu nhận biết)

Vậy $A B ∥ D C$ .

3Cách 3. Dùng cặp góc trong cùng phía bù nhau

Định hướng. Hai góc vuông đã cho nằm cùng phía cát tuyến $A D$ , chỉ cần cộng lại.

D A B

và

A D C

đều là góc trong, cùng nằm về phía tia

A B

, tia

D C

so với

A D

D A B + A D C = 9 0^{\circ} + 9 0^{\circ} = 18 0^{\circ}

Góc so le trong với

A D C

bằng

18 0^{\circ} - D A B = 9 0^{\circ} = A D C

A B ∥ D C

(dấu hiệu nhận biết)

Vậy $A B ∥ D C$ .

Nhận xét. Trường hợp hai góc vuông là trường hợp đẹp nhất: cặp so le trong, cặp đồng vị và cặp trong cùng phía đều cho cùng một kết luận chỉ trong một dòng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một dòng 'cùng vuông góc với

A D

' là đủ, không phải kẻ thêm tia đối nào; Cách 2 chỉ nên dùng khi đề bắt buộc trích dẫn dấu hiệu về cặp góc.

Đáp số.

A B ∥ D C

vì

A B ⊥ A D

và

D C ⊥ A D

, tức là hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng

A D

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là kết luận thêm

A D ∥ B C

. Phản ví dụ ngay trên Hình 3.26: nếu

A D ∥ B C

thì

B C

cũng phải vuông góc với

D C

, nghĩa là

B C D = 9 0^{\circ}

, trong khi trên hình

B C D

là góc nhọn — mâu thuẫn. Sai lầm thứ hai là viết 'hai góc vuông bằng nhau nên

A B ∥ D C

' mà không nói hai góc ấy ở vị trí nào; hai góc vuông đặt tuỳ tiện ở hai chỗ chẳng liên quan thì không suy ra được gì.

🚀 Mở rộng. Thử thay

D A B = 9 0^{\circ}

bởi

D A B = 10 0^{\circ}

mà giữ

A D C = 9 0^{\circ}

: khi đó tổng hai góc trong cùng phía bằng

19 0^{\circ}

, hãy chỉ ra

A B

và

D C

cắt nhau về phía nào.

Nguồn: SGK Toán 7 — KNTT, tập 1, trang 49

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · Bài 3.9★★Trang 49— Dựng hình: vẽ đường thẳng đi qua một điểm và song song với đường thẳng cho trước

Bài 3.9 (trang 49). Cho điểm

A

và đường thẳng

d

không đi qua

A

. Hãy vẽ đường thẳng

d^{'}

đi qua

A

và song song với

d

Kiến thức cần nhớ

Dấu hiệu nhận biết: một cặp góc đồng vị bằng nhau hoặc một cặp góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng song song.
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song.
Trượt êke dọc mép thước giữ nguyên độ lớn góc của êke.

🧠 Phân tích tư duy

Đây là bài dựng hình nên yêu cầu thật sự gồm hai phần: vẽ được và giải thích được vì sao vẽ đúng. Mọi cách vẽ đều phải tạo ra một cặp góc đồng vị hoặc so le trong bằng nhau, hoặc tạo ra một đường thẳng vuông góc chung. Chọn cách nào là tuỳ dụng cụ có trong tay: êke và thước thì trượt, chỉ có êke thì dựng hai lần vuông góc, có thước đo góc thì đo và dựng lại góc. Bẫy nhỏ nhưng hay mất điểm: quên nêu

A

nằm ngoài

d

nên

d^{'}

khác

d

1Cách 1. Êke và thước thẳng — trượt để tạo cặp góc đồng vị

Định hướng. Đây là cách vẽ trong Thực hành 1, chỉ cần lặp lại với điểm $A$ cho trước.

Đặt một cạnh của góc

6 0^{\circ}

của êke nằm trên

d

, cạnh còn lại tựa vào thước thẳng
Giữ nguyên thước, trượt êke dọc theo thước tới khi cạnh của góc

6 0^{\circ}

đi qua

A

Kẻ theo cạnh đó được đường thẳng

d^{'}

Gọi

c

là đường thẳng chứa cạnh êke tựa vào thước;

c

cắt

d

tại

B

và đi qua

A

Hai góc

6 0^{\circ}

dựng được tại

B

và tại

A

bằng nhau, ở vị trí đồng vị (cát tuyến

c

)

d^{'} ∥ d

(dấu hiệu nhận biết)

Vậy vẽ được $d^{'}$ đi qua $A$ và $d^{'} ∥ d$ .

2Cách 2. Chỉ dùng góc vuông của êke — dựng vuông góc hai lần

Định hướng. Không cần thước thẳng làm ray trượt: dựng đường vuông góc chung rồi dùng nhận xét trang 48.

Dùng góc vuông của êke vẽ đường thẳng

m

đi qua

A

và

m ⊥ d

tại

H

Dùng góc vuông của êke vẽ đường thẳng

d^{'}

đi qua

A

và

d^{'} ⊥ m

d ⊥ m

và

d^{'} ⊥ m

A

không thuộc

d

nên

d^{'}

và

d

phân biệt

d^{'} ∥ d

(hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba)

Vậy $d^{'}$ vẽ được chỉ bằng góc vuông của êke.

3Cách 3. Thước đo góc — dựng cặp góc so le trong bằng nhau

Định hướng. Khi không có êke, chỉ cần một cát tuyến bất kì rồi chép lại số đo góc sang phía bên kia.

Vẽ đường thẳng

c

đi qua

A

và cắt

d

tại

B

Lấy

M

thuộc

d

, dùng thước đo góc đo được

A B M = α

Trên nửa mặt phẳng bờ

c

không chứa

M

, dựng tia

A N

sao cho

B A N = α

A B M = B A N = α

; hai góc ở vị trí so le trong (cát tuyến

c

)

d^{'} ∥ d

với

d^{'}

là đường thẳng chứa tia

A N

Vậy cả ba cách đều cho đường thẳng $d^{'}$ đi qua $A$ và song song với $d$ .

Nhận xét. Có thể thay thước đo góc bằng compa: dựng một góc bằng góc $A B M$ theo cách dựng góc bằng góc cho trước, kết quả vẫn thế.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 nếu đề cho phép dùng êke và thước, vì thao tác nhanh và hình vẽ đẹp; nếu chỉ có mình êke thì Cách 2 là an toàn nhất, lời giải thích cũng ngắn nhất.

Đáp số. Vẽ được đường thẳng

d^{'}

đi qua

A

và

d^{'} ∥ d

; căn cứ là cặp góc đồng vị bằng nhau (Cách 1), hai đường cùng vuông góc với

m

(Cách 2), hoặc cặp góc so le trong bằng nhau (Cách 3).

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thứ nhất: vẽ hình xong là dừng, không nêu căn cứ nào — bài dựng hình luôn phải kèm lời giải thích. Sai lầm thứ hai ở Cách 3: dựng tia

A N

ngay trên nửa mặt phẳng chứa

M

; khi đó

A B M

và

B A N

trở thành cặp góc trong cùng phía, tổng bằng

2 α

, và với

α = 5 0^{\circ}

thì tổng là

10 0^{\circ}

khác

18 0^{\circ}

nên hai đường thẳng cắt nhau chứ không song song. Sai lầm thứ ba: dùng góc vuông nhưng lại vẽ

d^{'}

vuông góc với

d

thay vì vuông góc với

m

🚀 Mở rộng. Bài 10 sẽ trả lời câu hỏi tiếp theo rất tự nhiên: đường thẳng

d^{'}

vẽ được như trên có duy nhất không — đó chính là nội dung tiên đề Euclid.

Nguồn: SGK Toán 7 — KNTT, tập 1, trang 49

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · Bài 3.10★★Trang 49— Dựng hai đường thẳng song song đi qua hai điểm cho trước

Bài 3.10 (trang 49). Cho hai điểm

A

và

B

. Hãy vẽ đường thẳng

a

đi qua

A

và đường thẳng

b

đi qua

B

sao cho

a

song song với

b

Kiến thức cần nhớ

Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng phân biệt và không có điểm chung.
Dấu hiệu nhận biết bằng cặp góc so le trong hoặc cặp góc đồng vị bằng nhau.
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song.

🧠 Phân tích tư duy

Khác Bài 3.9, ở đây cả hai đường thẳng đều tự chọn nên bài có vô số đáp án; điều bắt buộc chỉ là chỉ ra được căn cứ song song. Có sẵn một cát tuyến rất tiện là đường thẳng

A B

, vì nó đi qua cả hai điểm. Bẫy quan trọng nhất: hai góc bằng nhau phải đặt ở hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ

A B

mới là cặp so le trong; đặt cùng phía là hỏng. Bẫy thứ hai là chọn

a

trùng

b

(cùng là đường thẳng

A B

), khi đó không có hai đường thẳng song song nào cả.

1Cách 1. Lấy

A B

làm cát tuyến, dựng cặp góc so le trong bằng nhau

Định hướng. Đường thẳng $A B$ có sẵn và đi qua cả hai điểm nên nó là cát tuyến lí tưởng; chỉ cần chép một số đo góc sang phía bên kia.

Vẽ đường thẳng

A B

Chọn

α = 4 0^{\circ}

Trên một nửa mặt phẳng bờ

A B

, dựng tia

A x

sao cho

B A x = 4 0^{\circ}

Trên nửa mặt phẳng còn lại, dựng tia

B y

sao cho

A B y = 4 0^{\circ}

B A x = A B y

; hai góc ở vị trí so le trong (cát tuyến

A B

)
Gọi

a

là đường thẳng chứa tia

A x

b

là đường thẳng chứa tia

B y

a ∥ b

(dấu hiệu nhận biết)

Vậy vẽ được $a$ qua $A$ , $b$ qua $B$ và $a ∥ b$ .

2Cách 2. Vẽ

a

tuỳ ý qua

A

rồi trượt êke để vẽ

b

qua

B

Định hướng. Không cần thước đo góc: chọn $a$ trước cho thoải mái, rồi đưa bài toán về đúng Bài 3.9 với điểm $B$ và đường thẳng $a$ .

Vẽ đường thẳng

a

bất kì đi qua

A

và không đi qua

B

Đặt cạnh góc

6 0^{\circ}

của êke nằm trên

a

, cạnh còn lại tựa vào thước thẳng
Giữ nguyên thước, trượt êke dọc theo thước tới khi cạnh góc

6 0^{\circ}

đi qua

B

, kẻ theo cạnh đó được

b

Hai góc

6 0^{\circ}

dựng được là cặp góc đồng vị bằng nhau

a ∥ b

(dấu hiệu nhận biết)

Vậy $a$ đi qua $A$ , $b$ đi qua $B$ và $a ∥ b$ .

3Cách 3. Dựng hai đường cùng vuông góc với

A B

Định hướng. Chỉ dùng góc vuông của êke, khỏi phải đo góc và khỏi phải trượt.

Vẽ đường thẳng

A B

Dùng góc vuông của êke dựng

a ⊥ A B

tại

A

Dùng góc vuông của êke dựng

b ⊥ A B

tại

B

A

khác

B

nên

a

và

b

là hai đường thẳng phân biệt

a ⊥ A B

và

b ⊥ A B

a ∥ b

(hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba)

Vậy cả ba cách đều vẽ được $a$ qua $A$ , $b$ qua $B$ và $a ∥ b$ ; bài có vô số đáp án.

Nhận xét. Mọi lời giải đều đi qua đường thẳng $A B$ hoặc một cát tuyến nào đó: muốn nói hai đường thẳng song song thì phải có đường thứ ba cắt cả hai để so góc.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: chỉ hai lần dựng góc vuông và một dòng căn cứ, không cần thước đo góc, cũng không phải bàn tới nửa mặt phẳng nào — gần như không thể sai.

Đáp số. Vẽ được (vô số cách). Chẳng hạn dựng

a ⊥ A B

tại

A

và

b ⊥ A B

tại

B

, khi đó

a

đi qua

A

b

đi qua

B

và

a ∥ b

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thứ nhất: dựng hai tia

A x

B y

cùng bằng

α

nhưng nằm cùng một nửa mặt phẳng bờ

A B

. Phản ví dụ cụ thể: với

α = 4 0^{\circ}

, hai góc đó là cặp góc trong cùng phía có tổng

4 0^{\circ} + 4 0^{\circ} = 8 0^{\circ}

khác

18 0^{\circ}

, nên

a

và

b

cắt nhau; chỉ khi

α = 9 0^{\circ}

thì tổng mới bằng

18 0^{\circ}

và hai đường mới song song. Sai lầm thứ hai: lấy luôn

a

và

b

đều là đường thẳng

A B

; khi đó

a

trùng

b

, mà hai đường thẳng trùng nhau thì không gọi là song song.

🚀 Mở rộng. Thêm yêu cầu

A B ⊥ a

thì

A B

trở thành đoạn vuông góc chung của

a

và

b

; khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng song song đúng bằng độ dài

A B

— hãy vẽ và kiểm lại bằng êke.

Nguồn: SGK Toán 7 — KNTT, tập 1, trang 49

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · Bài 3.11★★Trang 49— Dựng hai đoạn thẳng song song và bằng nhau

Bài 3.11 (trang 49). Hãy vẽ hai đoạn thẳng

A B

và

M N

sao cho

A B ∥ M N

và

A B = M N

Kiến thức cần nhớ

Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng phân biệt và không có điểm chung; hai đoạn thẳng song song là hai đoạn nằm trên hai đường thẳng song song.
Compa dùng để đặt một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước.
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song.
Hình chữ nhật có hai cạnh đối diện song song và bằng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Đề đòi hai điều kiện cùng lúc: song song (điều kiện về phương) và bằng nhau (điều kiện về độ dài), nên lời giải phải tách hẳn hai bước và mỗi bước có căn cứ riêng. Hướng tự nhiên nhất là dựng đường thẳng song song trước rồi mới đặt độ dài bằng compa. Bẫy lớn nhất là đặt

M

N

ngay trên đường thẳng

A B

: khi ấy

M N

và

A B

cùng nằm trên một đường thẳng nên không song song, dù độ dài vẫn bằng nhau.

1Cách 1. Dựng đường thẳng song song rồi đặt độ dài bằng compa

Định hướng. Tách đôi yêu cầu: êke lo phần song song, compa lo phần bằng nhau.

Vẽ đoạn thẳng

A B

Dùng êke và thước trượt vẽ đường thẳng

d

song song với đường thẳng

A B

và

d

không chứa

A

B

Lấy điểm

M

tuỳ ý thuộc

d

Mở compa đúng bằng

A B

, đặt mũi nhọn ở

M

, quay cung cắt

d

tại

N

M N

nằm trên

d

và

d ∥ A B

nên

M N ∥ A B

M N = A B

(cách đặt bằng compa)

Vậy hai đoạn thẳng $A B$ và $M N$ thoả mãn $A B ∥ M N$ và $A B = M N$ .

2Cách 2. Dựng hình chữ nhật bằng góc vuông của êke

Định hướng. Cho hai đầu mút cùng đi theo hai đường vuông góc với $A B$ và cùng một khoảng: hình thu được là hình chữ nhật, nó tặng luôn cả hai điều kiện.

Vẽ đoạn thẳng

A B

Dựng tia

A x ⊥ A B

tại

A

và tia

B y ⊥ A B

tại

B

, hai tia cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ

A B

A x ⊥ A B

và

B y ⊥ A B

nên

A x ∥ B y

Trên

A x

lấy

M

, trên

B y

lấy

N

sao cho

A M = B N

Tứ giác

A B N M

có

M A B = A B N = 9 0^{\circ}

và

A M = B N

nên là hình chữ nhật

M N ∥ A B

và

M N = A B

(hai cạnh đối diện của hình chữ nhật)

Vậy $A B ∥ M N$ và $A B = M N$ .

3Cách 3. Dùng lưới ô vuông, khỏi cần dụng cụ

Định hướng. Trên giấy kẻ ô, chỉ cần đếm ô: hai đoạn đi cùng một 'nhịp' ô thì tự khắc song song và bằng nhau.

Trên lưới ô vuông, lấy

A

tại một đỉnh ô rồi lấy

B

cách

A

đúng

4

ô sang phải và

1

ô xuống
Lấy

M

tại một đỉnh ô khác, không thuộc đường thẳng

A B

Lấy

N

cách

M

cũng đúng

4

ô sang phải và

1

ô xuống
Lấy một đường lưới dọc làm cát tuyến: góc mà

A B

tạo với nó và góc mà

M N

tạo với nó là cặp góc đồng vị bằng nhau nên

A B ∥ M N

A B

và

M N

là đường chéo của hai hình chữ nhật

4

ô nhân

1

ô bằng nhau nên

A B = M N

Vậy $A B ∥ M N$ và $A B = M N$ ; bài có vô số đáp án.

Nhận xét. Cách 3 cho thấy bản chất: giữ nguyên 'nhịp đi' của một đoạn thẳng rồi dời nó đi nơi khác thì được đoạn song song và bằng nó.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: hai thao tác rõ ràng, mỗi thao tác lo một điều kiện, lời giải thích ngắn gọn; Cách 3 tiện khi làm bài trên giấy ô li và không có compa.

Đáp số. Vẽ được (vô số cách). Chẳng hạn dựng hình chữ nhật

A B N M

: khi đó

M N ∥ A B

và

M N = A B

Sai lầm thường gặp. Sai lầm nặng nhất là lấy

M

N

nằm ngay trên đường thẳng

A B

(ví dụ

M

N

thuộc tia đối của tia

A B

với

M N = A B

). Phản ví dụ: khi đó

A B

và

M N

cùng nằm trên một đường thẳng, mà hai đường thẳng song song phải phân biệt, nên

A B

và

M N

không song song dù độ dài vẫn bằng nhau. Sai lầm thứ hai là chỉ lo một điều kiện: vẽ

M N

song song với

A B

rồi ước lượng bằng mắt, đo lại thấy

A B = 3

cm còn

M N = 3, 5

cm — hình vẽ hỏng vì thiếu bước dùng compa. Sai lầm thứ ba ở Cách 2: lấy

A x

và

B y

ở hai nửa mặt phẳng khác nhau, khi đó

A B N M

không còn là hình chữ nhật và

M N

cắt

A B

🚀 Mở rộng. Vẽ thêm hai đoạn

A M

và

B N

: nếu

M

N

đặt cùng chiều với

A

B

thì

A B N M

là hình bình hành với

A M ∥ B N

; còn nếu đổi chỗ

M

và

N

thì

A M

và

B N

lại cắt nhau — cùng một dữ kiện mà hai hình vẽ ra khác hẳn nhau, hãy thử cả hai.

Nguồn: SGK Toán 7 — KNTT, tập 1, trang 49

Mở bài này trong app ↗