Bài tập cuối chương I (trang 25)

Định hướng. Trên hình, $B$ cao hơn $A$ (cả hai đều trên mực nước biển), $C$ nằm đúng mực nước biển, còn $D$ nằm sâu hơn $E$ (cả hai đều dưới mực nước biển); quy đồng năm số đã cho về cùng mẫu số $60$ để sắp xếp đúng thứ tự rồi gán cho từng điểm.

Vậy theo thứ tự tăng dần $-\frac{25}{12}<-\frac{5}{6}<0<\frac{79}{30}<\frac{33}{12}$, nên điểm $D$ ứng với $-\frac{25}{12}$, điểm $E$ ứng với $-\frac{5}{6}$, điểm $C$ ứng với $0$, điểm $A$ ứng với $\frac{79}{30}$, điểm $B$ ứng với $\frac{33}{12}$ (đơn vị kilômét).

Định hướng. Dựa vào dấu của mỗi số để xếp vào nhóm điểm trên mực nước biển hay dưới mực nước biển trước, sau đó chỉ cần so sánh hai số trong mỗi nhóm, không quy đồng chung cả năm số một lúc, dùng kiểm tra lại Cách 1.

Vậy vì $B$ cao hơn $A$ nên $B$ ứng với $\frac{33}{12}$, $A$ ứng với $\frac{79}{30}$; vì $D$ sâu hơn $E$ nên $D$ ứng với $-\frac{25}{12}$, $E$ ứng với $-\frac{5}{6}$; điểm $C$ ứng với $0$, trùng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 quy đồng chung một mẫu số $60$ cho cả năm số nên nhìn thấy ngay thứ tự trong một dòng; Cách 2 tách nhóm dương - âm trước rồi so sánh riêng từng cặp, gọn hơn khi chỉ cần biết thứ tự trong từng nhóm nhỏ.

Định hướng. Chỉ có hai cặp cần so: cặp hai số dương và cặp hai số âm. Với hai phân số dương, so tích chéo tử của số này với mẫu của số kia; với hai số âm thì so hai giá trị tuyệt đối rồi đảo kết luận.

Vậy $B$ ứng với $\frac{33}{12}$, $A$ ứng với $\frac{79}{30}$, $C$ ứng với $0$, $E$ ứng với $-\frac{5}{6}$, $D$ ứng với $-\frac{25}{12}$ (đơn vị kilômét), trùng khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Nhân chéo chỉ đòi hai phép nhân số tự nhiên cho mỗi cặp, không phải tìm mẫu chung $60$, nên khi các mẫu số lớn và lẻ thì cách này nhanh hơn hẳn.

Định hướng. Ở câu a), nhận xét $3^{15}=3^{12}\cdot 3^3$ nên đặt nhân tử chung $3^{12}$ ở tử số để rút gọn với mẫu số $1+3^3$; ở câu b), đổi $0,125$ về phân số rồi tính lần lượt từng luỹ thừa trước khi cộng trừ theo đúng thứ tự.

Vậy a) giá trị biểu thức bằng $531441$; b) giá trị biểu thức bằng $57$.

Định hướng. Ở câu a), tính cụ thể $3^{12}$, $3^{15}$ rồi thực hiện phép cộng và phép chia trực tiếp, không đặt nhân tử chung; ở câu b), dùng tính chất $(a\cdot b{)}^n=a^n\cdot b^n$ và $(a:b{)}^n=a^n:b^n$ để gộp $0,125$ với $8$ và gộp $-12$ với $6$ trước khi tính luỹ thừa, dùng kiểm tra lại Cách 1.

Vậy kết quả trùng khớp với Cách 1: a) $531441$; b) $57$.

Nhận xét. Cách 1 ở câu a) đặt nhân tử chung nên tránh phải cộng hai số có tới $13$-$14$ chữ số; Cách 2 ở câu b) gộp cơ số trước khi tính luỹ thừa nên không cần tính $0,125^3$ hay $(-12{)}^4$ với số mũ lớn, hai cách bổ sung cho nhau khi kiểm tra chéo kết quả.

Định hướng. Câu a) đặt $t=3^{12}$ để biểu thức thành một phân số chữ rồi rút gọn; câu b) phân tích $12=2\cdot 6$ và viết $0,125=\frac{1}{8}$ để tử và mẫu tự triệt tiêu.

Vậy a) $531441$; b) $57$, trùng khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Đặt ẩn $t$ biến câu a) thành bài rút gọn phân số chữ quen thuộc, còn phân tích $12=2\cdot 6$ ở câu b) cho thấy vì sao thương lại tròn trịa bằng $2^4$.

Định hướng. Tính tổng số tiền mua $4$ cái bánh pizza theo giá gốc và tổng số tiền được giảm giá của cả $4$ cái, rồi lấy hiệu của hai số đó.

Vậy chị Trang dùng hết $35$ USD để mua bánh.

Định hướng. Tính giá thực tế của một cái bánh sau khi trừ phiếu giảm giá, rồi nhân với $4$ cái bánh, dùng kiểm tra lại Cách 1.

Vậy kết quả trùng khớp với Cách 1: $35$ USD.

Nhận xét. Cách 1 nhân riêng giá gốc và số tiền giảm của $4$ cái bánh rồi trừ; Cách 2 trừ giá một cái bánh trước rồi mới nhân với $4$, đúng theo tính chất $a\cdot c-b\cdot c=(a-b)\cdot c$, cả hai đều cho cùng kết quả $35$ USD.

Định hướng. Một USD bằng $100$ xu, nên đổi cả giá bánh lẫn số tiền giảm sang xu thì mọi phép tính đều là phép tính số tự nhiên, xong mới đổi kết quả trở lại USD.

Vậy chị Trang dùng hết $35$ USD, trùng khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Đổi sang xu thì không còn dấu phẩy nào để đặt sai, đây là mẹo rất hay dùng cho mọi bài toán tiền tệ có số lẻ.

Định hướng. Bố của Hà cần có mặt ở sân bay trước giờ cất cánh ít nhất $2$ giờ, sau đó phải lùi thêm thời gian di chuyển $45$ phút để tìm ra giờ xuất phát từ nhà.

Vậy bố của Hà phải đi từ nhà muộn nhất là lúc $11$ giờ $55$ phút.

Định hướng. Đổi giờ cất cánh và các khoảng thời gian về cùng đơn vị phút tính từ $0$ giờ, thực hiện một phép trừ duy nhất trên số phút rồi đổi ngược kết quả về giờ, phút, dùng kiểm tra lại Cách 1.

Vậy bố của Hà phải đi từ nhà muộn nhất lúc $11$ giờ $55$ phút, trùng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 trừ trực tiếp theo đơn vị giờ - phút quen thuộc trong đời sống hằng ngày; Cách 2 đổi hết về phút để chỉ thực hiện một phép trừ số nguyên duy nhất, tránh nhầm lẫn khi phải mượn giờ đổi thành phút.

Định hướng. Cộng thời gian làm thủ tục với thời gian đi đường thành một khoảng duy nhất, rồi lùi giờ cất cánh đúng khoảng đó bằng một phép trừ.

Vậy bố của Hà phải rời nhà muộn nhất lúc $11$ giờ $55$ phút, trùng khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Gộp hai khoảng thời gian trước rồi mới mượn giờ đúng một lần, nên chỉ còn một chỗ duy nhất có thể sai thay vì hai chỗ như Cách 1.