Bài tập cuối chương II (trang 39)

Định hướng. Đề cho phép dùng máy tính cầm tay, chỉ cần đọc hai chữ số thập phân đầu của mỗi căn là làm tròn được ngay.

Vậy $a\approx 1,4$, $b\approx 2,2$ và tổng hai số thập phân nhận được bằng $3,6$.

Định hướng. Không cần máy tính: chỉ việc bình phương vài số thập phân để chỉ ra mỗi căn nằm giữa hai số nào, rồi bình phương thêm số ở chính giữa khoảng đó để biết làm tròn về đầu nào.

Vậy $a\approx 1,4$, $b\approx 2,2$ và tổng hai số thập phân nhận được bằng $3,6$.

Định hướng. Nhân mỗi căn với 10 thì số dưới dấu căn được nhân với 100, việc làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất trở thành làm tròn đến hàng đơn vị nên mọi phép thử chỉ còn là phép nhân số nguyên.

Vậy $a\approx 1,4$, $b\approx 2,2$ và tổng hai số thập phân nhận được bằng $3,6$.

Nhận xét. Ba cách cho cùng một kết quả nhưng khác hẳn nhau về công cụ: Cách 1 tin vào máy, Cách 2 chỉ cần bình phương số thập phân, Cách 3 không đụng tới một số thập phân nào. Trên trục số ở hình vẽ, $\sqrt{2}$ rơi vào nửa trái của khoảng từ $1,4$ đến $1,5$ và $\sqrt{5}$ rơi vào nửa trái của khoảng từ $2,2$ đến $2,3$ — đó chính là điều ba cách trên đang chứng minh.

Định hướng. Đặt thước dây dọc theo từng đoạn của đường gấp khúc, đọc số đo tới milimét rồi làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất, cuối cùng cộng hai số đo lại.

Vậy độ dài đường gấp khúc $ABC$ khoảng $3,6$ cm, đúng bằng tổng hai số thập phân ở Bài tập 2.27.

Định hướng. Thay vì tin vào thước và mắt, ta dựng hình vuông trên mỗi đoạn rồi tính diện tích của nó bằng cách cắt ghép các ô lưới; cạnh của hình vuông ấy chính là độ dài đoạn cần tìm.

Vậy $AB=\sqrt{5}$ cm, $BC=\sqrt{2}$ cm nên độ dài đường gấp khúc $ABC$ bằng $\sqrt{5}+\sqrt{2}\approx 3,6$ cm, trùng với kết quả Bài tập 2.27.

Định hướng. Dùng compa dời đoạn $BC$ lên tia $AB$ để hai đoạn nối tiếp nhau thành một đoạn thẳng, khi ấy chỉ phải đặt thước một lần nên tránh được sai số của hai lần đo.

Vậy đo một lần cả đường gấp khúc đã duỗi thẳng thì được khoảng $3,7$ cm, còn làm tròn từng đoạn như Bài tập 2.27 rồi cộng thì được $3,6$ cm.

Nhận xét. Hai con số $3,6$ và $3,7$ không mâu thuẫn: $3,6$ là tổng của hai giá trị ĐÃ làm tròn, còn $3,7$ là giá trị đúng $3,65028\dots$ được làm tròn một lần. Đề bảo so sánh với Bài tập 2.27 nên câu trả lời cần lấy là $3,6$ cm; chênh lệch $0,1$ cm chính là chỗ sai số của hai phép làm tròn dồn lại.

Định hướng. Chia thẳng $10:7$ và chia tiếp cho tới khi thấy nhóm chữ số lặp lại, rồi lấy kết quả ấy nhân với 4 cho câu b.

Vậy a) mỗi đoạn dây dài $\frac{10}{7}=1,(428571)$ m; b) đo được $C\approx 5,72$ m, tính được $C\approx 5,71$ m, hai kết quả lệch nhau $0,01$ m tức 1 cm.

Định hướng. Viết lần lượt các phép chia có dư; ngay khi một số dư xuất hiện lại thì dãy chữ số phía sau cũng lặp lại y hệt, chu kì hiện ra mà không phải chia mò thêm chữ số nào.

Vậy a) mỗi đoạn dây dài $1,(428571)$ m; b) hai kết quả $5,72$ m và $5,71$ m lệch nhau đúng $0,01$ m.

Định hướng. Chỉ cần nhớ một khai triển gốc $\frac{1}{7}=0,(142857)$; mọi phân số có mẫu 7 đều là bội của nó nên chu kì chỉ là một hoán vị vòng của 142857, khỏi chia lại lần nào.

Vậy a) mỗi đoạn dây dài $1,(428571)$ m; b) cách đo cho $C\approx 5,72$ m còn cách tính cho $C\approx 5,71$ m, kết quả tính chính xác hơn.

Nhận xét. Chênh lệch 1 cm không phải do đo vụng: mỗi cạnh bị làm tròn từ $1,428571\dots$ m lên $1,43$ m, dôi ra khoảng $0,0014$ m, bốn cạnh dôi ra khoảng $0,0057$ m nên chu vi đo được nhảy hẳn lên $5,72$ m. Đây là lí do nên tính rồi mới làm tròn một lần ở kết quả cuối.

Định hướng. Biểu diễn hai số trên trục số rồi đọc thẳng: điểm nằm bên trái ứng với số bé hơn, còn giá trị tuyệt đối chính là khoảng cách từ điểm ấy tới gốc.

Vậy a) $a>b$ và $|a|<|b|$; b) $-12,7<-7,12$.

Định hướng. Bỏ dấu trừ để chỉ còn so sánh hai số dương, rồi dùng nhận xét trong hai số âm số nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn là số bé hơn.

Vậy a) $a>b$ và $|a|<|b|$; b) $-12,7<-7,12$.

Định hướng. Muốn biết số nào lớn hơn thì lấy hiệu rồi xét dấu của hiệu; ai ngại phép trừ số thập phân âm thì viết cả hai số thành phân số cùng mẫu và chỉ so hai tử.

Vậy a) $a>b$ và $|a|<|b|$; b) $-12,7<-7,12$.

Nhận xét. Cách 3 không cần nhớ quy tắc dấu nào, chỉ cần biết «hiệu dương thì số bị trừ lớn hơn», nên dùng được cho cả hai số cùng dấu lẫn khác dấu; đổi lại nó tốn một phép tính, còn Cách 2 chỉ nhìn là ra.

Định hướng. Tính riêng $a\cdot b$, tính riêng $-|a|\cdot |b|$ rồi đối chiếu hai kết quả; câu b làm y hệt theo quy tắc đề vừa nêu.

Vậy a) hai tích bằng nhau, $a\cdot b=-|a|\cdot |b|=-10,92$; b) $\left(-2,5\right)\cdot 3=-7,5$.

Định hướng. Viết mỗi số thập phân thành phân số thập phân để phép nhân trở thành nhân hai số nguyên, khỏi phải đếm chữ số sau dấu phẩy.

Vậy a) $a\cdot b=-|a|\cdot |b|=-\frac{1092}{100}=-10,92$; b) $\left(-2,5\right)\cdot 3=-\frac{15}{2}=-7,5$.

Định hướng. Viết mỗi số âm thành số đối của giá trị tuyệt đối của nó, khi đó dấu trừ được đưa ra ngoài tích và đẳng thức của câu a hiện ra mà không phải nhân một phép nào.

Vậy a) $a\cdot b=-|a|\cdot |b|$ với mọi $a>0$ và $b<0$, ở bài này cùng bằng $-10,92$; b) $\left(-2,5\right)\cdot 3=-7,5$.

Nhận xét. Cách 3 chứng minh đẳng thức cho MỌI cặp số khác dấu chứ không chỉ kiểm chứng với $2,1$ và $-5,2$. Có thể thử lại kết quả câu b bằng phép cộng lặp: $\left(-2,5\right)+\left(-2,5\right)+\left(-2,5\right)=-7,5$.