Luyện tập chung (trang 10)

Định hướng. Với bốn số $15,18,20,24$ (mỗi số dùng đúng một lần), lần lượt thử ba cách ghép cặp có thể để tìm ra đẳng thức tích đúng.

Vậy từ đẳng thức $15\cdot 24=18\cdot 20$ ta lập được tỉ lệ thức $\frac{15}{18}=\frac{20}{24}$, rồi hoán vị các số hạng được ba tỉ lệ thức còn lại: $\frac{15}{20}=\frac{18}{24}$; $\frac{24}{18}=\frac{20}{15}$; $\frac{24}{20}=\frac{18}{15}$.

Định hướng. Rút gọn lần lượt các tỉ số ghép từ hai trong bốn số để tìm cặp tỉ số có cùng giá trị tối giản.

Vậy $\frac{15}{18}=\frac{20}{24}\left(=\frac{5}{6}\right)$ là cặp tỉ số bằng nhau, từ đó lập được đủ bốn tỉ lệ thức như Cách 1.

Định hướng. Thực hiện phép chia trực tiếp từng cặp số để ra kết quả thập phân, so sánh xem cặp nào cho cùng một giá trị.

Vậy $15:18=20:24\approx 0,8333$, viết lại dưới dạng tỉ lệ thức $\frac{15}{18}=\frac{20}{24}$ và suy ra bốn tỉ lệ thức như hai cách trên.

Nhận xét. Ba cách đều quy về cùng một cặp $15,18,20,24$ khớp nhau; Cách 3 tiện khi cần so sánh nhanh nhiều tỉ số cùng lúc nhưng dễ sai số nếu làm tròn ẩu.

Định hướng. Biến đổi $\frac{x}{y}=\frac{3}{2}$ về dạng $\frac{x}{3}=\frac{y}{2}$ rồi ghép tổng $x+y=15$ đã biết vào dãy tỉ số.

Vậy $x=9$ và $y=6$.

Định hướng. Từ $\frac{x}{3}=\frac{y}{2}$, đặt $x=3k$, $y=2k$ rồi thay vào tổng đã cho.

Vậy $x=9$ và $y=6$.

Định hướng. Từ $\frac{x}{y}=\frac{3}{2}$ suy ra $2x=3y$, rút $y$ theo $x$ rồi thế vào $x+y=15$.

Vậy $x=9$ và $y=6$, trùng kết quả hai cách trên.

Định hướng. Gọi $x,y,z$ (cm) lần lượt là độ dài ba cạnh tam giác theo thứ tự từ nhỏ đến lớn ($x,y,z>0$), ghép hiệu cạnh lớn nhất trừ cạnh nhỏ nhất đã biết vào dãy tỉ số $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}$.

Vậy độ dài ba cạnh của tam giác đó là $6\text{ cm}$, $9\text{ cm}$ và $12\text{ cm}$.

Định hướng. Từ $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}$, đặt $x=2k$, $y=3k$, $z=4k$ ($k>0$) rồi thay vào hiệu đã cho.

Vậy ba cạnh tam giác là $6\text{ cm}$, $9\text{ cm}$, $12\text{ cm}$.

Định hướng. Cạnh lớn nhất ứng với $4$ phần, cạnh nhỏ nhất ứng với $2$ phần; hiệu số phần giữa chúng ứng đúng với $6\text{ cm}$ chênh lệch.

Vậy ba cạnh tam giác là $6\text{ cm}$, $9\text{ cm}$, $12\text{ cm}$.

Nhận xét. Kiểm tra lại bất đẳng thức tam giác: $6+9=15>12$, nên ba số trên lập thành đúng một tam giác.

Định hướng. Chia cả hai vế của $3x=4y$ cho tích $3\cdot 4=12$ để đưa về dạng một tỉ lệ thức, sau đó hoán vị các số hạng để tìm các tỉ lệ thức còn lại.

Vậy từ $3x=4y$ lập được bốn tỉ lệ thức $\frac{x}{4}=\frac{y}{3}$; $\frac{x}{y}=\frac{4}{3}$; $\frac{4}{x}=\frac{3}{y}$; $\frac{y}{x}=\frac{3}{4}$.

Định hướng. Giả sử tồn tại hằng số $k\ne 0$ sao cho $x=4k$, $y=3k$; thay vào $3x=4y$ để kiểm chứng rồi suy ra các tỉ lệ thức tương ứng.

Vậy bốn tỉ lệ thức lập được là $\frac{x}{4}=\frac{y}{3}$; $\frac{x}{y}=\frac{4}{3}$; $\frac{4}{x}=\frac{3}{y}$; $\frac{y}{x}=\frac{3}{4}$, trùng Cách 1.

Định hướng. Chọn một cặp số cụ thể thoả $3x=4y$, ví dụ $x=8$, $y=6$ (vì $3\cdot 8=4\cdot 6=24$), kiểm tra các tỉ lệ thức đúng với cặp số này rồi khái quát hoá thành công thức chữ.

Vậy quy luật $\frac{x}{4}=\frac{y}{3}$ và $\frac{x}{y}=\frac{4}{3}$ đúng với cặp số thử, và vì phép biến đổi ở Cách 1 dùng chữ nên đúng với MỌI $x,y$ thoả $3x=4y$, không riêng cặp $(8,6)$.

Nhận xét. Thử số chỉ giúp kiểm tra nhanh, không thay được phép chứng minh bằng chữ ở Cách 1 và Cách 2 vì chữ mới bao quát MỌI cặp $x,y$.

Định hướng. Với bốn số $5,10,25,50$, lần lượt thử ba cách ghép cặp có thể để tìm ra đẳng thức tích đúng.

Vậy từ đẳng thức $5\cdot 50=10\cdot 25$ ta lập được tỉ lệ thức $\frac{5}{10}=\frac{25}{50}$, rồi hoán vị các số hạng được ba tỉ lệ thức còn lại: $\frac{5}{25}=\frac{10}{50}$; $\frac{50}{10}=\frac{25}{5}$; $\frac{50}{25}=\frac{10}{5}$.

Định hướng. Rút gọn lần lượt các tỉ số ghép từ hai trong bốn số để tìm những cặp tỉ số có cùng giá trị tối giản.

Vậy $\frac{5}{10}=\frac{25}{50}$ và $\frac{5}{25}=\frac{10}{50}$ là hai tỉ lệ thức tìm được trực tiếp; nghịch đảo hai vế của chúng cho tiếp $\frac{50}{10}=\frac{25}{5}$ và $\frac{50}{25}=\frac{10}{5}$ — đủ bốn tỉ lệ thức như Cách 1.

Định hướng. Thực hiện phép chia trực tiếp từng cặp số để ra kết quả thập phân, so sánh xem cặp nào cho cùng một giá trị.

Vậy $5:10=25:50=0,5$ và $5:25=10:50=0,2$, viết lại dưới dạng tỉ lệ thức cho đúng bốn kết quả như hai cách trên.

Định hướng. Với mỗi ý, biến đổi tỉ số $\frac{x}{y}$ về dạng $\frac{x}{m}=\frac{y}{n}$ rồi ghép tổng (hoặc hiệu) đã cho vào dãy tỉ số.

Vậy a) $x=10$, $y=6$; b) $x=-27$, $y=-12$.

Định hướng. Đặt ẩn phụ $k$ theo mỗi tỉ số rồi thay vào tổng (hoặc hiệu) đã cho.

Vậy a) $x=10$, $y=6$; b) $x=-27$, $y=-12$, trùng Cách 1.

Định hướng. Biến đổi mỗi tỉ lệ thức thành phương trình một ẩn bằng phép thế, không dùng tính chất dãy tỉ số.

Vậy a) $x=10$, $y=6$; b) $x=-27$, $y=-12$, trùng hai cách trên.

Định hướng. Gọi $x,y$ (học sinh) lần lượt là số học sinh lớp 7A, 7B ($x,y$ nguyên dương). Đổi tỉ số $0,95$ thành phân số tối giản trước khi lập dãy tỉ số.

Vậy lớp 7A có $38$ học sinh, lớp 7B có $40$ học sinh.

Định hướng. Hiệu số phần giữa hai lớp ứng đúng với $2$ em chênh lệch.

Vậy hai lớp có $38$ và $40$ học sinh.

Định hướng. Đặt $x=19k$, $y=20k$ ($k$ nguyên dương) rồi thay vào hiệu đã cho.

Vậy hai lớp có $38$ và $40$ học sinh.

Nhận xét. Kiểm tra lại: $38:40=0,95$ và $40-38=2$, đúng với cả hai dữ kiện đề cho.

Định hướng. Từ dữ kiện $45$ người làm $10$ ngày được $\frac{1}{2}$ công việc, suy ra khối lượng cả công việc tính theo người-ngày, rồi tính số người cần để làm nốt $\frac{1}{2}$ công việc còn lại trong $5$ ngày còn lại.

Vậy phải bổ sung thêm $45$ người.

Định hướng. So sánh hai giai đoạn cùng làm $\frac{1}{2}$ công việc: giai đoạn 1 ($45$ người, $10$ ngày) và giai đoạn 2 (cần bao nhiêu người trong $5$ ngày còn lại) — vì cùng một khối lượng việc nên số người và số ngày ở hai giai đoạn tỉ lệ nghịch với nhau.

Vậy phải bổ sung thêm $45$ người.

Định hướng. Tính năng suất trung bình của một người trong một ngày, rồi tính số người cần để hoàn thành nốt $\frac{1}{2}$ công việc còn lại trong $5$ ngày.

Vậy phải bổ sung thêm $45$ người, trùng hai cách trên.

Định hướng. Nhân tỉ số $\frac{y}{3}$ với hệ số $2$ (cả tử và mẫu) và tỉ số $\frac{z}{4}$ với hệ số $3$, để tử số của ba tỉ số mới ghép đúng thành $x+2y-3z$.

Vậy $x=6$, $y=9$, $z=12$.

Định hướng. Từ $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}$, đặt $x=2k$, $y=3k$, $z=4k$ rồi thay vào biểu thức đã cho.

Vậy $x=6$, $y=9$, $z=12$.

Định hướng. Rút $x$ và $z$ theo $y$ từ dãy tỉ số $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}$, rồi thay cả hai vào biểu thức $x+2y-3z=-12$ để được phương trình một ẩn $y$.

Vậy $x=6$, $y=9$, $z=12$, trùng hai cách trên.