Luyện tập chung (trang 19-20)

Định hướng. Viết $x$ theo $y$, $y$ theo $z$ rồi thay trực tiếp để đưa $x$ về hàm số của riêng $z$.

Vậy $xz=6$ không đổi nên $x$ tỉ lệ nghịch với $z$ theo hệ số tỉ lệ $6$.

Định hướng. Viết mỗi quan hệ dưới dạng một thương hoặc tích không đổi rồi nhân hai đẳng thức đó để $y$ tự triệt tiêu.

Vậy $xz=6$ không đổi, tức $x$ tỉ lệ nghịch với $z$ theo hệ số tỉ lệ $6$.

Định hướng. Chọn vài giá trị cụ thể của $z$, tính ra $y$ rồi $x$ theo hai hệ thức đã cho, quan sát tích $xz$ có phải hằng số không.

Vậy trong cả ba trường hợp $xz=6$ không đổi, khẳng định $x$ tỉ lệ nghịch với $z$ theo hệ số tỉ lệ $6$.

Nhận xét. Cách 3 chỉ giúp kiểm chứng dự đoán bằng vài trường hợp riêng, muốn chắc chắn đúng với mọi $z$ vẫn phải lập luận tổng quát như Cách 1 hoặc Cách 2.

Định hướng. Gọi $x$ là số quyển vở loại $120$ trang mua được, dùng tính chất số lượng tỉ lệ nghịch với giá tiền khi cùng một số tiền.

Vậy $x=20$, Minh có thể mua được $20$ quyển vở loại $120$ trang.

Định hướng. Vì giá vở $120$ trang chỉ bằng $80\%$ giá vở $200$ trang, nên với cùng số tiền, số quyển mua được gấp $\frac{1}{80\%}$ lần số quyển loại $200$ trang.

Vậy Minh mua được $16\cdot 1,25=20$ quyển vở loại $120$ trang.

Định hướng. Chọn một giá cụ thể, dễ tính cho vở loại $200$ trang rồi suy ra giá vở loại $120$ trang và tổng số tiền, từ đó tính trực tiếp số quyển mua được.

Vậy Minh mua được $20$ quyển vở loại $120$ trang.

Nhận xét. Kết quả không phụ thuộc vào giá cụ thể đã chọn, vì bài toán chỉ cho tỉ lệ phần trăm giữa hai giá.

Định hướng. Gọi $x,y,z$ (cm) là độ dài ba cạnh, viết tỉ lệ đã cho thành dãy tỉ số bằng nhau rồi cộng tử cộng mẫu để đưa về chu vi đã biết.

Vậy ba cạnh của tam giác lần lượt là $12$ cm, $16$ cm và $20$ cm.

Định hướng. Vì ba cạnh tỉ lệ với $3,4,5$ nên đặt cạnh thứ nhất bằng $3k$, cạnh thứ hai bằng $4k$, cạnh thứ ba bằng $5k$ (với $k>0$), rồi thay vào tổng chu vi.

Vậy ba cạnh là $3k=12$ cm, $4k=16$ cm, $5k=20$ cm.

Định hướng. Coi chu vi gồm $3+4+5=12$ phần bằng nhau, tính giá trị một phần rồi nhân với số phần của mỗi cạnh.

Vậy ba cạnh của tam giác là $12$ cm, $16$ cm, $20$ cm.

Nhận xét. Ba cạnh $12,16,20$ thoả mãn bất đẳng thức tam giác ($12+16>20$) nên tồn tại tam giác như vậy.

Định hướng. Tính thương $\frac{y}{x}$ cho cả năm cặp giá trị trong bảng, xem có bằng nhau không.

Vậy $\frac{y}{x}=5$ không đổi với cả năm cặp, nên $y$ tỉ lệ thuận với $x$ theo công thức $y=5x$.

Định hướng. Thử tính tích $xy$ của từng cặp trước để kiểm tra khả năng tỉ lệ nghịch; nếu tích không đổi thì hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Vậy các tích $xy$ đều khác nhau nên $x,y$ không tỉ lệ nghịch; kiểm tra thương $\frac{y}{x}$ thì thấy đều bằng $5$, nên $y$ tỉ lệ thuận với $x$ theo công thức $y=5x$.

Định hướng. Từ cặp giá trị đầu tiên, dự đoán công thức liên hệ rồi thử lại với các cặp còn lại để kiểm chứng.

Vậy công thức $y=5x$ đúng với cả năm cặp trong bảng, nên $y$ tỉ lệ thuận với $x$.

Nhận xét. Cách 3 nhanh khi đoán đúng ngay từ cặp đầu, nhưng phải thử đủ hết các cặp còn lại mới chắc chắn, không được dừng giữa chừng.

Định hướng. Với mỗi trường hợp, viết $x$ theo $y$ và $y$ theo $z$ bằng công thức tỉ lệ tương ứng rồi thế trực tiếp để đưa $x$ về hàm số của $z$.

Vậy a) $x$ tỉ lệ thuận với $z$ hệ số $k_1{k}_2$; b) $x$ tỉ lệ nghịch với $z$ hệ số $k_1{k}_2$; c) $x$ tỉ lệ thuận với $z$ hệ số $\frac{k_1}{k_2}$.

Định hướng. Viết mỗi quan hệ dưới dạng thương hoặc tích không đổi, rồi nhân hoặc chia hai đẳng thức đó cho $y$ triệt tiêu ngay, không cần tách riêng $y$.

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: a) thuận hệ số $k_1{k}_2$; b) nghịch hệ số $k_1{k}_2$; c) thuận hệ số $\frac{k_1}{k_2}$.

Định hướng. Chọn số liệu cụ thể cho từng trường hợp, tính ra $x,z$ tương ứng, quan sát $\frac{x}{z}$ hay $xz$ có phải hằng số để kiểm chứng dự đoán.

Vậy số liệu cụ thể xác nhận đúng ba kết luận của Cách 1 và Cách 2.

Nhận xét. Cách 3 chỉ kiểm chứng bằng vài trường hợp riêng; muốn khẳng định đúng với MỌI $k_1,k_2$ vẫn phải lập luận tổng quát như Cách 1 hoặc Cách 2.

Định hướng. Gọi $x,y$ (kg) lần lượt là khối lượng đồng và kẽm nguyên chất, viết tỉ lệ $6:4$ thành dãy tỉ số bằng nhau rồi áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau với tổng $150$ kg.

Vậy cần $90$ kg đồng và $60$ kg kẽm nguyên chất.

Định hướng. Vì đồng và kẽm pha theo tỉ lệ $6:4$, đặt khối lượng đồng là $6k$, khối lượng kẽm là $4k$ (với $k>0$), rồi thay vào tổng khối lượng đồng thau.

Vậy khối lượng đồng là $6k=90$ kg, khối lượng kẽm là $4k=60$ kg.

Định hướng. Coi $150$ kg gồm $6+4=10$ phần bằng nhau, tính trực tiếp khối lượng đồng và kẽm bằng phân số phần tương ứng của tổng, không cần lập tỉ lệ thức.

Vậy cần $90$ kg đồng và $60$ kg kẽm nguyên chất.

Nhận xét. Cách 3 tính nhanh khi tổng số phần chia hết cho tổng khối lượng, không cần viết dãy tỉ số hay đặt ẩn.

Định hướng. Gọi $t$ (giờ) là thời gian thợ học việc cần, dùng tính chất thời gian tỉ lệ nghịch với năng suất khi cùng khối lượng công việc.

Vậy $t=72$, người thợ học việc cần $72$ giờ.

Định hướng. Vì bài toán chỉ cho tỉ lệ năng suất, có thể coi mỗi giờ lành nghề làm được $12$ sản phẩm và học việc làm được $8$ sản phẩm (đơn vị thời gian chuẩn hoá bằng $1$ giờ), rồi tính trực tiếp số sản phẩm và suy ra thời gian.

Vậy $t=72$ giờ, khớp với Cách 1.

Định hướng. So sánh năng suất học việc bằng $\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$ năng suất lành nghề, nên trong $48$ giờ học việc chỉ hoàn thành $\frac{2}{3}$ khối lượng công việc; tính thời gian cần thêm để làm nốt phần còn lại.

Vậy người thợ học việc cần tổng cộng $72$ giờ.

Nhận xét. Ba cách đều cho cùng đáp số $72$ giờ, xác nhận kết quả đáng tin cậy.

Định hướng. Gọi $a,b,c,d$ lần lượt là số sách bốn lớp $7A,7B,7C,7D$, viết dãy tỉ số bằng nhau rồi dùng tính chất mở rộng cho hiệu $d-a$ đã biết.

Vậy lớp $7A$ góp $76$ quyển, $7B$ góp $78$ quyển, $7C$ và $7D$ mỗi lớp góp $80$ quyển.

Định hướng. Đặt số sách của mỗi lớp bằng sĩ số nhân với cùng một hệ số $k$ (số sách trung bình mỗi học sinh góp), rồi giải phương trình từ dữ kiện hiệu $4$ quyển.

Vậy $a=76$, $b=78$, $c=80$, $d=80$ (quyển), khớp với Cách 1.

Định hướng. Hiểu 'tỉ lệ với sĩ số' nghĩa là mỗi học sinh trong khối góp cùng một số quyển sách như nhau; tính số quyển mỗi em góp từ chênh lệch sĩ số và chênh lệch số sách giữa $7D$ và $7A$.

Vậy kết quả trùng khớp hai cách trên: $76,78,80,80$ quyển.

Nhận xét. Lớp $7C$ và $7D$ cùng sĩ số $40$ em nên góp cùng số sách $80$ quyển, đúng với ý nghĩa tỉ lệ thuận.

Định hướng. Gọi $x,y,z$ là số cuốn sách lớp $6,7,8$; vì số tiền mỗi loại bằng nhau nên số lượng tỉ lệ nghịch với giá, tức $x:y:z=\frac{1}{40}:\frac{1}{45}:\frac{1}{50}$. Quy đồng mẫu số các phân số này rồi áp dụng dãy tỉ số bằng nhau.

Vậy thư viện mua $45$ cuốn sách lớp $6$, $40$ cuốn sách lớp $7$ và $36$ cuốn sách lớp $8$.

Định hướng. Gọi $T$ (nghìn đồng) là số tiền dùng mua MỖI loại sách (ba loại có cùng $T$), biểu diễn số cuốn mỗi loại theo $T$ rồi thay vào tổng số cuốn đã biết.

Vậy $x=\frac{1800}{40}=45$, $y=\frac{1800}{45}=40$, $z=\frac{1800}{50}=36$ (cuốn), khớp Cách 1.

Định hướng. Vì $40x=45y=50z$ (cùng bằng số tiền mỗi loại), lập tỉ số giữa từng cặp liên tiếp rồi ghép chuỗi lại thành tỉ lệ chung của cả ba đại lượng.

Vậy $x=45$, $y=40$, $z=36$ cuốn, khớp hai cách trên.

Nhận xét. Cách 3 tránh phải quy đồng ba phân số nghịch đảo cùng lúc như Cách 1, chỉ cần ghép hai tỉ số liên tiếp.