Luyện tập chung (trang 23–24)

Định hướng. Đưa số $9460000000000$ và hai khoảng cách đã cho về dạng $a\times 10^n$, rồi lập tỉ số của mỗi khoảng cách với độ dài một năm ánh sáng để đổi đơn vị.

Vậy một năm ánh sáng bằng $9,46\times 10^{12}$ km; khoảng cách gần nhất từ Mộc tinh đến Trái Đất bằng $\frac{147}{2365000}$ năm ánh sáng, khoảng cách xa nhất bằng $\frac{11}{107500}$ năm ánh sáng.

Định hướng. Viết mỗi khoảng cách và độ dài năm ánh sáng dưới dạng $a\times 10^n$, dùng tính chất $10^m:10^n=10^{m-n}$ để tách riêng phần luỹ thừa của $10$ trước khi rút gọn phần hệ số, dùng để kiểm tra lại Cách 1.

Vậy kết quả trùng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 tách riêng phần luỹ thừa của $10$ bằng quy tắc chia hai luỹ thừa cùng cơ số nên thấy rõ vì sao thương là một phân số rất nhỏ; Cách 1 lập tỉ số rồi rút gọn trực tiếp nên trình bày gọn hơn.

Định hướng. Lấy $10^8$ km làm một “đơn vị đếm” chung, viết cả độ dài năm ánh sáng lẫn hai khoảng cách theo đơn vị đó, khi ấy tỉ số chỉ còn là tỉ số của hai số tự nhiên.

Vậy kết quả trùng khớp với Cách 1 và Cách 2.

Nhận xét. Cách 3 không cần tới quy tắc chia hai luỹ thừa vì thừa số $10^8$ tự triệt tiêu ở tử và mẫu, nên hợp với học sinh mới làm quen dạng $a\times 10^n$.

Định hướng. Đổi hỗn số $6\frac{1}{4}$ và luỹ thừa $(-2,5{)}^2$ về cùng giá trị $6,25$, khi đó hai số hạng có chung thừa số nên đặt thừa số đó ra ngoài.

Vậy $A=0$.

Định hướng. Tính riêng hai tích ở hai số hạng rồi cộng lại theo đúng thứ tự đề cho, không đặt nhân tử chung trước, dùng để kiểm tra lại Cách 1.

Vậy $A=0$, trùng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 nhận ra hai số hạng có chung thừa số $6,25$ nên đặt nhân tử chung, tính rất nhanh mà không cần nhân số thập phân lớn; Cách 2 nhân riêng từng số hạng ra $77,5$ và $-77,5$ rồi cộng lại, cồng kềnh hơn nhưng vẫn cho cùng kết quả.

Định hướng. Viết mọi số thập phân và hỗn số thành phân số, làm việc hoàn toàn trên phân số để tránh nhân số thập phân nhiều chữ số.

Vậy $A=0$, trùng khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Cách 3 cho thấy hai số hạng là hai phân số đối nhau $\frac{310}{4}$ và $-\frac{310}{4}$, nên kết quả bằng $0$ là điều hiển nhiên chứ không phải sự trùng hợp.

Định hướng. Ở câu a), $2x$ là số hạng chưa biết trong một tổng; ở câu b), $6x$ là số trừ trong một hiệu. Áp dụng đúng quy tắc chuyển vế để đưa về tìm thừa số chưa biết trong tích $2x$ và $6x$.

Vậy a) $x=\frac{5}{36}$; b) $x=\frac{11}{312}$.

Định hướng. Thay các giá trị $x$ vừa tìm được ở Cách 1 vào vế trái của mỗi đẳng thức, tính lại xem có bằng vế phải hay không.

Vậy cả hai giá trị đều cho đúng vế phải, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 không tìm lại $x$ mà chỉ thay số vào để kiểm tra, giúp phát hiện ngay nếu Cách 1 tính nhầm dấu hoặc quy đồng sai.

Định hướng. Nhân hai vế của mỗi đẳng thức với mẫu chung của các phân số để đưa về đẳng thức chỉ còn số nguyên, rồi mới chuyển vế tìm $x$.

Vậy a) $x=\frac{5}{36}$; b) $x=\frac{11}{312}$, trùng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Sau khi nhân hai vế với mẫu chung, bài tìm $x$ với phân số trở thành bài tìm $x$ với số nguyên quen thuộc từ lớp 6, nên ít có cơ hội sai dấu hay quy đồng nhầm.

Định hướng. Đưa hai số có luỹ thừa $10^9$ và $10^{11}$ về cùng luỹ thừa $10^{10}$ như bảy số còn lại, rồi so sánh trực tiếp các hệ số đứng trước $10^{10}$.

Vậy thứ tự diện tích từ nhỏ đến lớn là: Nicaragua, Vostok (Nam Cực), Ontario (Bắc Mỹ), Erie (Bắc Mỹ), Baikal (Nga), Michigan (Mỹ), Victoria (Châu Phi), Superior (Bắc Mỹ), Caspian (Châu Âu, Châu Á).

Định hướng. So sánh số mũ của $10$ trước: hồ nào có luỹ thừa nhỏ hơn thì diện tích nhỏ hơn; chỉ những hồ có cùng luỹ thừa mới cần so sánh tiếp phần hệ số, dùng để kiểm tra lại Cách 1.

Vậy thứ tự trùng khớp với Cách 1: Nicaragua, Vostok, Ontario, Erie, Baikal, Michigan, Victoria, Superior, Caspian.

Nhận xét. Cách 2 xác định ngay số nhỏ nhất và số lớn nhất nhờ so sánh luỹ thừa trước, không cần đổi luỹ thừa của cả chín số như Cách 1; Cách 1 quy về cùng một luỹ thừa nên các bước so sánh đều đặn, dễ kiểm soát khi có nhiều số.

Định hướng. Khai triển mỗi luỹ thừa thành số tự nhiên đầy đủ, số nào ít chữ số hơn thì nhỏ hơn; các số cùng số chữ số thì so từ trái sang phải.

Vậy thứ tự từ nhỏ đến lớn là Nicaragua, Vostok, Ontario, Erie, Baikal, Michigan, Victoria, Superior, Caspian, trùng khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Cách 3 dễ hiểu nhất vì nhìn thẳng vào số thật, nhưng viết ra tới mười hai chữ số nên rất dễ thừa thiếu một chữ số $0$; đây chính là lí do người ta dùng dạng $a\cdot 10^n$.

Định hướng. Ở câu a), bỏ ngoặc rồi nhóm các số hạng có cùng phần thập phân với nhau; ở câu b), tính từng luỹ thừa trước rồi cộng trừ theo đúng thứ tự; ở câu c), đặt nhân tử chung $2021,2345$ ra ngoài.

Vậy $A=-37$, $B=6$, $C=0$.

Định hướng. Ở câu a) và b), thực hiện phép cộng, trừ lần lượt từ trái sang phải, không nhóm trước; ở câu c), nhận xét hai tích là hai số đối nhau nên tổng bằng $0$ mà không cần nhân cụ thể. Dùng cả ba câu để kiểm tra lại Cách 1.

Vậy $A=-37$, $B=6$, $C=0$, trùng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 đặt nhân tử chung ở câu c) nên không cần nhân hai số thập phân lớn; Cách 2 tính tuần tự ở câu a), b) và nhận ra hai số đối nhau ở câu c) mà không nhân cụ thể, dùng để kiểm tra chéo kết quả.

Định hướng. Đổi mọi số thập phân thành phân số rồi cộng trừ trên cùng một mẫu chung; riêng câu c) dùng thẳng đẳng thức $a\cdot b+a\cdot (-b)=0$.

Vậy $A=-37$, $B=6$, $C=0$, trùng khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Cách 3 loại hẳn số thập phân nên không còn nguy cơ đặt sai dấu phẩy, đổi lại phải quy đồng về mẫu $40$ ở câu a) và mẫu $8$ ở câu b).

Định hướng. Nhận xét ba số hạng cuối cộng trừ với nhau đúng bằng số hạng đầu tiên, nên đặt ngoặc bao lấy ba số hạng đó, đứng sau dấu trừ, để triệt tiêu toàn bộ.

Vậy cách đặt ngoặc đúng là $2,2-\left(3,3+4,4-5,5\right)=0$.

Định hướng. Thử đặt ngoặc ở từng vị trí còn lại trong bốn số hạng rồi tính giá trị, để chắc chắn chỉ có một cách cho kết quả bằng $0$, dùng kiểm tra lại Cách 1.

Vậy trong các cách đặt ngoặc đã thử, chỉ có $2,2-\left(3,3+4,4-5,5\right)=0$ cho kết quả đúng, trùng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 nhận xét trước tổng ba số hạng cuối bằng số hạng đầu nên tìm ngay được vị trí đặt ngoặc; Cách 2 thử lần lượt từng cách đặt ngoặc để kiểm tra, chắc chắn nhưng mất nhiều thời gian hơn.

Định hướng. So giá trị ban đầu với giá trị đề yêu cầu để biết cần bù thêm bao nhiêu, rồi tìm nhóm số hạng mà việc đổi dấu nó tạo ra đúng lượng bù ấy.

Vậy cặp ngoặc cần đặt là $2,2-\left(3,3+4,4-5,5\right)=0$, trùng khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Cách 3 biến bài “đặt ngoặc” thành bài tính một độ lệch, nên dùng lại được cho mọi dãy cộng trừ chứ không riêng bốn số của đề.