Luyện tập chung (trang 34-35)

Định hướng. Duyệt qua từng đơn thức theo đúng thứ tự đề cho, hễ gặp đơn thức đồng dạng với đơn thức đã có thì cộng gộp ngay.

Vậy $A=2x^6-3x^5-4x^3+\frac{1}{10}{x}^2-3x+8$, đã ở dạng sắp xếp giảm dần theo bậc.

Định hướng. Tách bảy đơn thức thành các nhóm cùng bậc (bậc $6$, bậc $5$, bậc $3$, bậc $2$, bậc $1$, bậc $0$), cộng riêng từng nhóm rồi ghép lại theo bậc giảm dần.

Vậy ghép các nhóm theo bậc giảm dần được $A=2x^6-3x^5-4x^3+\frac{1}{10}{x}^2-3x+8$, trùng kết quả Cách 1.

Định hướng. Kẻ bảng liệt kê hệ số của $x^0,x^1,\dots ,x^6$; bậc nào không xuất hiện trong đề thì ghi hệ số $0$, rồi đọc lại theo bậc giảm dần để được đa thức.

Vậy đọc bảng theo bậc giảm dần: $A=2x^6-3x^5+0x^4-4x^3+\frac{1}{10}{x}^2-3x+8=2x^6-3x^5-4x^3+\frac{1}{10}{x}^2-3x+8$ (bỏ hạng tử bậc $4$ vì hệ số $0$).

Nhận xét. Cách lập bảng này rất tiện khi đa thức có nhiều hạng tử, tránh bỏ sót bậc nào — kể cả bậc khuyết như bậc $4$ ở bài này.

Định hướng. Từ tỉ lệ $1:2:3$ và chiều cao $=x$, suy ra chiều rộng $=2x$, chiều dài $=3x$; thể tích bể là tích của ba kích thước, sau đó trừ đi lượng nước đã có.

Vậy đa thức cần tìm là $P(x)=6x^3-0,7$, có bậc $3$.

Định hướng. Vì ba kích thước tỉ lệ $1:2:3$ theo cùng đơn vị $x$, hình hộp có thể chia thành lưới $1\times 2\times 3$ khối lập phương cạnh $x$ xếp khít nhau, mỗi khối có thể tích $x^3$.

Vậy kết quả trùng Cách 1: $P(x)=6x^3-0,7$, bậc $3$.

Nhận xét. Cách nhìn hình học này giải thích trực quan vì sao hệ số của $x^3$ đúng bằng tích ba số tỉ lệ $1\cdot 2\cdot 3=6$, không cần nhớ máy móc công thức nhân ba biểu thức.

Định hướng. Câu b thế trực tiếp $x=35$ vào $T(x)$; câu a, c cho biết $T(x)$ nên lập và giải phương trình bậc nhất theo $x$.

Vậy a) $0{}^{\circ }F\approx -17,8{}^{\circ }C$; b) $35{}^{\circ }C=95{}^{\circ }F$; c) $41{}^{\circ }F=5{}^{\circ }C$.

Định hướng. Từ $T=1,8x+32$ rút $x$ theo $T$ một lần duy nhất, sau đó chỉ cần thế số cho cả hai câu hỏi ngược, khỏi giải lại phương trình từng câu.

Vậy kết quả trùng Cách 1 ở cả ba câu; công thức ngược giúp trả lời nhanh mọi câu hỏi "cho độ F, tìm độ C" tiếp theo mà không cần lập lại phương trình.

Định hướng. Dùng nhận xét mỗi $1{}^{\circ }C$ tương ứng $1,8{}^{\circ }F$ và mốc $0{}^{\circ }C=32{}^{\circ }F$ để suy luận trực tiếp bằng phép chia, cộng, trừ thông thường.

Vậy cả ba kết quả đều trùng Cách 1 và Cách 2.

Định hướng. Khai triển $P+Q$ và $P-Q$ bằng cách nhóm các hạng tử cùng bậc, xác định bậc, rồi thay $x=1$, $x=-1$, $x=0$ vào chính hai đa thức đã rút gọn.

Vậy $P+Q$ bậc $3$, $P-Q$ bậc $4$; giá trị tại $x=1,x=-1$ như trên; vì $(P+Q)(0)=0$ nên $P+Q$ có nghiệm $x=0$, còn $P-Q$ thì không.

Định hướng. Viết $P$, $Q$ thẳng cột theo bậc giảm dần rồi cộng (trừ) từng cột, sau đó tính giá trị như Cách 1.

Vậy $P+Q=-x^3+6x^2+4x$ (bậc $3$), $P-Q=-10x^4+7x^3+8x^2-2x-6$ (bậc $4$) — trùng kết quả Cách 1, các giá trị tại $x=1,-1,0$ tính giống Cách 1.

Định hướng. Không khai triển toàn bộ: chỉ so sánh hệ số $x^4$ của $P$ và $Q$ để biết ngay bậc của tổng/hiệu; muốn tính giá trị thì thế số vào $P$, $Q$ riêng biệt trước rồi mới cộng/trừ kết quả số.

Vậy mọi kết quả trùng khớp Cách 1, Cách 2: $P+Q$ bậc $3$ và có nghiệm $x=0$; $P-Q$ bậc $4$ và không có nghiệm $x=0$.

Nhận xét. Cách 3 tránh khai triển toàn bộ đa thức khi chỉ cần biết bậc hoặc một vài giá trị riêng lẻ, tiết kiệm thời gian tính toán.

Định hướng. Xe du lịch đi $x$ giờ nên $D(x)=85x$; xe khách xuất phát sớm hơn $\frac{5}{12}$ giờ nên khi xe du lịch đã đi $x$ giờ, xe khách đã đi $x+\frac{5}{12}$ giờ, suy ra $K(x)=60\left(x+\frac{5}{12}\right)$.

Vậy $D(x)=85x$, $K(x)=60x+25$; vì $f(1)=0$ nên $x=1$ đúng là nghiệm của $f(x)$. Ý nghĩa: sau khi xe du lịch đi được $1$ giờ, hai xe đi được quãng đường bằng nhau, tức xe du lịch vừa đuổi kịp xe khách.

Định hướng. Coi đây là bài toán đuổi kịp cổ điển: tại thời điểm xe du lịch xuất phát, xe khách đã đi trước một quãng đường, và xe du lịch rút ngắn khoảng cách đó nhờ hiệu vận tốc.

Vậy xe du lịch đuổi kịp xe khách sau đúng $1$ giờ kể từ lúc xuất phát, khớp với nghiệm $x=1$ của $f(x)=K(x)-D(x)$ đã lập ở Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 tìm ra thời điểm gặp nhau bằng lập luận vận tốc – khoảng cách quen thuộc, không cần lập đa thức $f(x)$ trước, rồi mới quay lại kiểm chứng bằng đa thức.

Định hướng. Lập $f(x)=K(x)-D(x)$ như Cách 1, rồi giải phương trình bậc nhất $f(x)=0$ trực tiếp để tìm nghiệm, thay vì chỉ thế sẵn $x=1$ để "chứng tỏ".

Vậy giải trực tiếp phương trình $f(x)=0$ cũng cho đúng một nghiệm $x=1$, xác nhận đây là nghiệm duy nhất của $f(x)$ chứ không phải chỉ là một giá trị "tình cờ" thoả mãn.