Luyện tập chung (trang 37-38)

Định hướng. Ghép hình vuông cạnh $1$ cm ở giữa với bốn tam giác vuông (hai cạnh góc vuông $1$ cm và $2$ cm) xung quanh để được một hình vuông mới; cộng diện tích các mảnh để ra diện tích hình vuông mới, từ đó suy ra cạnh của nó cũng chính là đường chéo hình chữ nhật ban đầu.

Vậy a) hình vuông mới có diện tích $5$ cm²; b) đường chéo hình chữ nhật xấp xỉ $2,24$ cm.

Định hướng. Đường chéo của hình chữ nhật $2$ cm $\times 1$ cm chính là cạnh huyền của tam giác vuông có hai cạnh góc vuông $2$ cm và $1$ cm nên tính trực tiếp bằng định lí Pythagore, sau đó suy ra diện tích hình vuông mới bằng bình phương đường chéo đó, dùng kiểm tra lại Cách 1.

Vậy đường chéo xấp xỉ $2,24$ cm và diện tích hình vuông mới bằng $5$ cm², trùng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 ghép hình rồi cộng diện tích từng mảnh để tìm ra hình vuông mới trước, sau đó mới suy ra đường chéo; Cách 2 dùng ngay định lí Pythagore trên tam giác vuông có sẵn để tính thẳng đường chéo mà không cần hình dung việc ghép hình, hai cách bổ sung cho nhau và cho cùng kết quả.

Định hướng. Xếp bốn tam giác vuông vào bốn góc của một hình vuông lớn cạnh $1+2=3$ cm; phần còn lại ở giữa chính là hình vuông nghiêng cần tìm, nên lấy diện tích hình lớn trừ đi bốn tam giác.

Vậy a) diện tích hình vuông mới bằng $5$ cm²; b) đường chéo xấp xỉ $2,24$ cm, trùng khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Hình vuông bao ngoài cho thấy con số $5$ sinh ra từ $9-4$, một cách nhìn khác hẳn việc cộng dồn $1+4$ ở Cách 1.

Định hướng. Nhận diện đúng dạng của từng biểu thức: hai biểu thức đầu và biểu thức cuối có dạng $\sqrt{x^2}$ với $x\ge 0$ nên bằng $x$; biểu thức giữa có dạng ${\left(\sqrt{b}\right)}^2$ với $b\ge 0$ nên bằng $b$.

Vậy $\sqrt{3^2}=3$; ${\left(\sqrt{4,1}\right)}^2=4,1$; $\sqrt{a^2}=a$.

Định hướng. Với hai biểu thức dạng $\sqrt{x^2}$, dùng công thức tổng quát $\sqrt{x^2}=|x|$ đúng với mọi số thực $x$ rồi bỏ dấu giá trị tuyệt đối vì $x\ge 0$; với biểu thức giữa, tính gần đúng $\sqrt{4,1}$ bằng máy tính cầm tay rồi bình phương lại để kiểm tra Cách 1.

Vậy cả ba kết quả đều trùng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 áp dụng thẳng hai công thức căn bậc hai số học nên rất nhanh; Cách 2 dùng công thức tổng quát $\sqrt{x^2}=|x|$ và phép tính gần đúng bằng máy tính cầm tay để kiểm tra lại, hữu ích khi cần chắc chắn dấu của kết quả.

Định hướng. Gọi mỗi biểu thức là một ẩn, viết ra hai điều kiện mà định nghĩa bắt buộc (không âm và bình phương bằng số dưới căn), rồi dùng tính duy nhất để kết luận.

Vậy $\sqrt{3^2}=3$; ${\left(\sqrt{4,1}\right)}^2=4,1$; $\sqrt{a^2}=a$, trùng khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Cách 3 làm lộ rõ chỗ điều kiện $a>0$ được dùng vào việc gì, nên hiểu được vì sao bỏ điều kiện ấy đi là kết quả sai ngay.

Định hướng. Đưa mỗi phân số về dạng tối giản rồi phân tích mẫu ra thừa số nguyên tố; mẫu chỉ chứa thừa số $2$ và $5$ thì phân số viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn. Với phân số còn lại, đổi ra số thập phân để so sánh với $\sqrt{2}$ đã cho.

Vậy a) phân số $\frac{133}{91}$ (rút gọn $\frac{19}{13}$) không viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn; b) $\frac{133}{91}>\sqrt{2}$.

Định hướng. Với phân số nghi ngờ, chia trực tiếp tử cho mẫu (sau khi rút gọn) để kiểm tra phép chia có bao giờ dừng lại hay không; sau đó so sánh phân số đó với $\sqrt{2}$ bằng cách so sánh bình phương của hai số dương, dùng kiểm tra lại Cách 1.

Vậy $\frac{133}{91}$ là số thập phân vô hạn tuần hoàn và $\frac{133}{91}>\sqrt{2}$ (vì cả hai số đều dương và ${\left(\frac{19}{13}\right)}^2>2$), trùng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 xét dấu hiệu qua thừa số nguyên tố của mẫu rồi so sánh trực tiếp từng chữ số thập phân; Cách 2 chia tay để tận mắt thấy chu kì lặp lại rồi so sánh bằng bình phương, tránh phải viết nhiều chữ số thập phân mà vẫn chắc chắn về kết quả.

Định hướng. Một phân số tối giản cho số thập phân hữu hạn đúng khi nhân thêm được vào mẫu một số để mẫu thành luỹ thừa của $10$; câu b) thì chèn một số thập phân đơn giản vào giữa hai số cần so.

Vậy a) chỉ $\frac{133}{91}$ không viết được dạng thập phân hữu hạn; b) $\frac{133}{91}>1,45>\sqrt{2}$, trùng khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Chèn số trung gian $1,45$ cắt bài so sánh thành hai phép so dễ, không phải dùng tới dãy chữ số thập phân dài của $\sqrt{2}$.

Định hướng. Thực hiện phép chia $1$ cho $9$ và $1$ cho $99$ để tìm chu kì của mỗi thương, so sánh số chữ số $9$ ở mẫu với số chữ số trong chu kì rồi dự đoán cho $\frac{1}{999}$.

Vậy a) $\frac{1}{9}=0,(1)$, $\frac{1}{99}=0,(01)$, số chữ số trong chu kì bằng số chữ số $9$ ở mẫu; b) dự đoán $\frac{1}{999}=0,(001)$.

Định hướng. Thay vì chỉ suy luận theo quy luật, chia trực tiếp $1$ cho $999$ để kiểm tra lại dự đoán ở Cách 1 có đúng hay không.

Vậy $\frac{1}{999}=0,(001)$, trùng khớp với dự đoán ở Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 khái quát hoá quy luật từ hai trường hợp đã tính để dự đoán trường hợp mới mà chưa cần chia; Cách 2 chia trực tiếp để kiểm chứng lại dự đoán đó bằng phép tính cụ thể.

Định hướng. Đặt mỗi số thập phân cần kiểm là một ẩn rồi nhân với luỹ thừa của $10$ đúng bằng độ dài chu kì; phần thập phân lặp lại y hệt nên hiệu hai số là một số nguyên.

Vậy a) $\frac{1}{9}=0,(1)$ và $\frac{1}{99}=0,(01)$, số chữ số $9$ ở mẫu bằng số chữ số của chu kì; b) $\frac{1}{999}=0,(001)$, trùng khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Cách 3 không dự đoán mà CHỨNG MINH luôn cho $\frac{1}{999}$, nên kết quả câu b) chắc chắn chứ không còn là phỏng đoán.

Định hướng. Thực hiện phép chia $5$ cho $9$ và $5$ cho $99$ để tìm chu kì của mỗi thương.

Vậy $\frac{5}{9}=0,(5)$ và $\frac{5}{99}=0,(05)$.

Định hướng. Tận dụng kết quả đã có ở Bài 2.20 là $\frac{1}{9}=0,(1)$ và $\frac{1}{99}=0,(01)$, nhân cả hai vế của mỗi đẳng thức với $5$ để suy ra kết quả cần tìm mà không cần chia lại từ đầu, dùng kiểm tra lại Cách 1.

Vậy $\frac{5}{9}=0,(5)$ và $\frac{5}{99}=0,(05)$, trùng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 chia trực tiếp từ đầu; Cách 2 tận dụng kết quả đã tính được ở bài trước rồi nhân với $5$, nhanh hơn và cho thấy mối liên hệ giữa hai bài tập.

Định hướng. Mọi phân số có mẫu gồm toàn chữ số $9$ đều cho số thập phân vô hạn tuần hoàn mà chu kì chính là tử số, viết đủ số chữ số bằng số chữ số $9$ ở mẫu.

Vậy $\frac{5}{9}=0,(5)$ và $\frac{5}{99}=0,(05)$, trùng khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Câu “viết đủ số chữ số bằng số chữ số $9$ ở mẫu” chính là chỗ chặn đứng lỗi đánh rơi chữ số $0$ mà rất nhiều bạn mắc phải.

Định hướng. Mỗi đơn vị trên trục số được chia thành $10$ vạch nhỏ bằng nhau; đếm số vạch từ mốc $13$ hoặc $14$ gần nhất tới mỗi điểm để đọc số thập phân điểm đó biểu diễn, rồi áp dụng quy tắc làm tròn với độ chính xác $0,05$ cho điểm $C$.

Vậy a) $A$ biểu diễn số $13,4$, $B$ biểu diễn số $14,2$; b) làm tròn số thập phân biểu diễn bởi $C$ với độ chính xác $0,05$ ta được $14,6$.

Định hướng. Với câu b), thay vì đọc chính xác từng chữ số thập phân của $C$, chỉ cần so sánh trực quan trên hình xem $C$ gần mốc $14,5$ hay mốc $14,6$ hơn để suy ra kết quả làm tròn, dùng kiểm tra lại Cách 1.

Vậy làm tròn số thập phân biểu diễn bởi $C$ với độ chính xác $0,05$ vẫn được $14,6$, trùng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 đếm vạch chia để đọc chính xác từng chữ số thập phân của $A$, $B$ rồi ước lượng $C$ trước khi làm tròn; Cách 2 chỉ so sánh trực quan khoảng cách của $C$ với hai mốc $0,05$ liền kề mà không cần đọc chính xác giá trị của $C$, vẫn cho cùng kết quả làm tròn.

Định hướng. Vì $0,05=\frac{1}{20}$ nên làm tròn về bội của $0,05$ cũng là nhân số đó với $20$, làm tròn về số nguyên gần nhất rồi chia lại cho $20$.

Vậy a) $A=13,4$ và $B=14,2$; b) làm tròn số ứng với $C$ được $14,6$, trùng khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Mẹo nhân với $20$ dùng được cho mọi độ chính xác dạng $\frac{1}{n}$, khỏi phải đi liệt kê các mốc như Cách 1.

Định hướng. Đổi bất đẳng thức giữa hai số âm thành bất đẳng thức ngược chiều giữa hai giá trị tuyệt đối dương tương ứng, rồi so sánh lần lượt từng chữ số để tìm chữ số thích hợp thay cho "?".

Vậy a) $\text{?}=0$, tức $-7,02<-7,0(1)$; b) $\text{?}=9$, tức $-15,39021<-15,3819$.

Định hướng. Lần lượt thay "?" bằng các chữ số từ $0$ đến $9$, mỗi lần tính giá trị gần đúng của số thập phân rồi kiểm tra bất đẳng thức có đúng hay không, dùng kiểm tra lại Cách 1 mà không cần lập luận tổng quát.

Vậy chữ số thích hợp là $\text{?}=0$ ở câu a) và $\text{?}=9$ ở câu b), trùng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 lập luận trực tiếp theo từng hàng chữ số nên tìm ra ngay chữ số duy nhất thoả mãn; Cách 2 thử lần lượt các chữ số lân cận, phù hợp khi muốn chắc chắn không bỏ sót trường hợp nào.

Định hướng. Dịch yêu cầu của đề thành vị trí trên trục số, rồi đổi tiếp thành khoảng cách tới gốc $O$: ở nửa âm, điểm càng xa $O$ thì số càng bé.

Vậy a) dấu hỏi là $0$; b) dấu hỏi là $9$, trùng khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Nói bằng ngôn ngữ “bên trái - bên phải” thì việc đảo chiều không còn là quy tắc phải nhớ mà là điều nhìn thấy được trên hình.

Định hướng. Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn thành dạng thập phân với đủ vài chữ số đầu để thấy rõ giá trị, sau đó so sánh phần nguyên rồi đến từng chữ số thập phân.

Vậy a) $12,26>12,(24)$; b) $31,3(5)>29,9(8)$.

Định hướng. Chỉ với câu a) là cần so sánh cẩn thận (câu b) đã thấy ngay nhờ phần nguyên khác nhau), đổi $12,(24)$ ra phân số bằng công thức số thập phân tuần hoàn rồi so sánh với $12,26$ dưới dạng phân số có cùng mẫu, dùng kiểm tra lại Cách 1.

Vậy $12,26>12,(24)$, trùng khớp với Cách 1; câu b) vẫn có $31,3(5)>29,9(8)$ vì $31>29$.

Nhận xét. Cách 1 so sánh trực tiếp từng chữ số thập phân, nhanh gọn cho cả hai câu; Cách 2 đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn ra phân số để so sánh bằng phép nhân chéo, chắc chắn hơn khi các chữ số thập phân đầu tiên giống nhau nhiều.

Định hướng. Chọn một số thập phân đơn giản nằm hẳn giữa hai số cần so, khi ấy chỉ còn hai phép so rất dễ mà kết luận vẫn chặt.

Vậy a) $12,26>12,(24)$; b) $31,3(5)>29,9(8)$, trùng khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Số trung gian $30$ ở câu b) cho thấy ngay khoảng cách giữa hai số là hơn một đơn vị, nên không có chu kì nào lấp nổi.

Định hướng. Cộng các số trong dấu căn ở từng câu rồi tìm số không âm có bình phương bằng tổng đó theo định nghĩa căn bậc hai số học.

Vậy a) $\sqrt{1}=1$; b) $\sqrt{1+2+1}=2$; c) $\sqrt{1+2+3+2+1}=3$.

Định hướng. Quan sát ba tổng đã cho đều có dạng tăng dần từ $1$ đến một số rồi giảm dần về $1$, đây là tổng đối xứng luôn bằng bình phương của số lớn nhất ở giữa; áp dụng quy luật này để tính nhanh mà không cần cộng từng số hạng, dùng kiểm tra lại Cách 1.

Vậy kết quả trùng khớp với Cách 1: a) $1$; b) $2$; c) $3$.

Nhận xét. Cách 1 cộng trực tiếp các số hạng nên chắc chắn không sai sót; Cách 2 nhận ra quy luật tổng đối xứng bằng bình phương của số ở giữa, giúp tính nhẩm rất nhanh và dự đoán được ngay kết quả của những tổng dạng tương tự với số lớn hơn.

Định hướng. Xếp các chấm tròn thành những hàng có $1$, $2$, $3$, $2$, $1$ chấm; hình thu được là một hình vuông đặt nghiêng, nên tổng số chấm là một số chính phương và cạnh hình vuông chính là căn cần tìm.

Vậy a) $1$; b) $2$; c) $3$, trùng khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Nhìn bằng hình thì thấy ngay vì sao tổng đối xứng lại luôn là số chính phương, điều mà việc cộng thuần tuý không giải thích được.

Định hướng. Với $b\ge 0$, căn bậc hai số học $\sqrt{b}$ là số không âm có bình phương bằng $b$, nên bình phương của $\sqrt{b}$ luôn bằng chính $b$.

Vậy a) ${\left(\sqrt{3}\right)}^2=3$; b) ${\left(\sqrt{21}\right)}^2=21$.

Định hướng. Tính giá trị gần đúng của $\sqrt{3}$ và $\sqrt{21}$ bằng máy tính cầm tay rồi bình phương lại kết quả gần đúng đó để kiểm tra lại Cách 1.

Vậy cả hai kết quả đều trùng khớp với Cách 1: a) $3$; b) $21$.

Nhận xét. Cách 1 áp dụng thẳng định nghĩa nên có kết quả đúng tuyệt đối và rất nhanh; Cách 2 dùng máy tính cầm tay tính giá trị gần đúng rồi bình phương lại, chỉ mang tính kiểm tra vì kết quả là số gần đúng.

Định hướng. Bình phương một số là nhân số đó với chính nó; gộp tích hai căn bậc hai số học vào chung một dấu căn rồi khai căn số chính phương thu được.

Vậy a) ${\left(\sqrt{3}\right)}^2=3$; b) ${\left(\sqrt{21}\right)}^2=21$, trùng khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Đi vòng qua $\sqrt{441}$ cho thấy kết quả $21$ không phải do “xoá căn” tuỳ tiện mà do $441$ đúng là số chính phương của $21$.