Luyện tập chung (trang 37-38)

Định hướng. Ghép hình vuông cạnh $1$ cm ở giữa với bốn tam giác vuông (hai cạnh góc vuông $1$ cm và $2$ cm) xung quanh để được một hình vuông mới; cộng diện tích các mảnh để ra diện tích hình vuông mới, từ đó suy ra cạnh của nó cũng chính là đường chéo hình chữ nhật ban đầu.

Vậy a) hình vuông mới có diện tích $5$ cm²; b) đường chéo hình chữ nhật xấp xỉ $2,24$ cm.

Định hướng. Đường chéo của hình chữ nhật $2$ cm $\times 1$ cm chính là cạnh huyền của tam giác vuông có hai cạnh góc vuông $2$ cm và $1$ cm nên tính trực tiếp bằng định lí Pythagore, sau đó suy ra diện tích hình vuông mới bằng bình phương đường chéo đó, dùng kiểm tra lại Cách 1.

Vậy đường chéo xấp xỉ $2,24$ cm và diện tích hình vuông mới bằng $5$ cm², trùng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 ghép hình rồi cộng diện tích từng mảnh để tìm ra hình vuông mới trước, sau đó mới suy ra đường chéo; Cách 2 dùng ngay định lí Pythagore trên tam giác vuông có sẵn để tính thẳng đường chéo mà không cần hình dung việc ghép hình, hai cách bổ sung cho nhau và cho cùng kết quả.

Định hướng. Nhận diện đúng dạng của từng biểu thức: hai biểu thức đầu và biểu thức cuối có dạng $\sqrt{x^2}$ với $x\ge 0$ nên bằng $x$; biểu thức giữa có dạng ${\left(\sqrt{b}\right)}^2$ với $b\ge 0$ nên bằng $b$.

Vậy $\sqrt{3^2}=3$; ${\left(\sqrt{4,1}\right)}^2=4,1$; $\sqrt{a^2}=a$.

Định hướng. Với hai biểu thức dạng $\sqrt{x^2}$, dùng công thức tổng quát $\sqrt{x^2}=|x|$ đúng với mọi số thực $x$ rồi bỏ dấu giá trị tuyệt đối vì $x\ge 0$; với biểu thức giữa, tính gần đúng $\sqrt{4,1}$ bằng máy tính cầm tay rồi bình phương lại để kiểm tra Cách 1.

Vậy cả ba kết quả đều trùng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 áp dụng thẳng hai công thức căn bậc hai số học nên rất nhanh; Cách 2 dùng công thức tổng quát $\sqrt{x^2}=|x|$ và phép tính gần đúng bằng máy tính cầm tay để kiểm tra lại, hữu ích khi cần chắc chắn dấu của kết quả.

Định hướng. Đưa mỗi phân số về dạng tối giản rồi phân tích mẫu ra thừa số nguyên tố; mẫu chỉ chứa thừa số $2$ và $5$ thì phân số viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn. Với phân số còn lại, đổi ra số thập phân để so sánh với $\sqrt{2}$ đã cho.

Vậy a) phân số $\frac{133}{91}$ (rút gọn $\frac{19}{13}$) không viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn; b) $\frac{133}{91}>\sqrt{2}$.

Định hướng. Với phân số nghi ngờ, chia trực tiếp tử cho mẫu (sau khi rút gọn) để kiểm tra phép chia có bao giờ dừng lại hay không; sau đó so sánh phân số đó với $\sqrt{2}$ bằng cách so sánh bình phương của hai số dương, dùng kiểm tra lại Cách 1.

Vậy $\frac{133}{91}$ là số thập phân vô hạn tuần hoàn và $\frac{133}{91}>\sqrt{2}$ (vì cả hai số đều dương và ${\left(\frac{19}{13}\right)}^2>2$), trùng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 xét dấu hiệu qua thừa số nguyên tố của mẫu rồi so sánh trực tiếp từng chữ số thập phân; Cách 2 chia tay để tận mắt thấy chu kì lặp lại rồi so sánh bằng bình phương, tránh phải viết nhiều chữ số thập phân mà vẫn chắc chắn về kết quả.

Định hướng. Thực hiện phép chia $1$ cho $9$ và $1$ cho $99$ để tìm chu kì của mỗi thương, so sánh số chữ số $9$ ở mẫu với số chữ số trong chu kì rồi dự đoán cho $\frac{1}{999}$.

Vậy a) $\frac{1}{9}=0,(1)$, $\frac{1}{99}=0,(01)$, số chữ số trong chu kì bằng số chữ số $9$ ở mẫu; b) dự đoán $\frac{1}{999}=0,(001)$.

Định hướng. Thay vì chỉ suy luận theo quy luật, chia trực tiếp $1$ cho $999$ để kiểm tra lại dự đoán ở Cách 1 có đúng hay không.

Vậy $\frac{1}{999}=0,(001)$, trùng khớp với dự đoán ở Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 khái quát hoá quy luật từ hai trường hợp đã tính để dự đoán trường hợp mới mà chưa cần chia; Cách 2 chia trực tiếp để kiểm chứng lại dự đoán đó bằng phép tính cụ thể.

Định hướng. Thực hiện phép chia $5$ cho $9$ và $5$ cho $99$ để tìm chu kì của mỗi thương.

Vậy $\frac{5}{9}=0,(5)$ và $\frac{5}{99}=0,(05)$.

Định hướng. Tận dụng kết quả đã có ở Bài 2.20 là $\frac{1}{9}=0,(1)$ và $\frac{1}{99}=0,(01)$, nhân cả hai vế của mỗi đẳng thức với $5$ để suy ra kết quả cần tìm mà không cần chia lại từ đầu, dùng kiểm tra lại Cách 1.

Vậy $\frac{5}{9}=0,(5)$ và $\frac{5}{99}=0,(05)$, trùng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 chia trực tiếp từ đầu; Cách 2 tận dụng kết quả đã tính được ở bài trước rồi nhân với $5$, nhanh hơn và cho thấy mối liên hệ giữa hai bài tập.

Định hướng. Mỗi đơn vị trên trục số được chia thành $10$ vạch nhỏ bằng nhau; đếm số vạch từ mốc $13$ hoặc $14$ gần nhất tới mỗi điểm để đọc số thập phân điểm đó biểu diễn, rồi áp dụng quy tắc làm tròn với độ chính xác $0,05$ cho điểm $C$.

Vậy a) $A$ biểu diễn số $13,4$, $B$ biểu diễn số $14,2$; b) làm tròn số thập phân biểu diễn bởi $C$ với độ chính xác $0,05$ ta được $14,6$.

Định hướng. Với câu b), thay vì đọc chính xác từng chữ số thập phân của $C$, chỉ cần so sánh trực quan trên hình xem $C$ gần mốc $14,5$ hay mốc $14,6$ hơn để suy ra kết quả làm tròn, dùng kiểm tra lại Cách 1.

Vậy làm tròn số thập phân biểu diễn bởi $C$ với độ chính xác $0,05$ vẫn được $14,6$, trùng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 đếm vạch chia để đọc chính xác từng chữ số thập phân của $A$, $B$ rồi ước lượng $C$ trước khi làm tròn; Cách 2 chỉ so sánh trực quan khoảng cách của $C$ với hai mốc $0,05$ liền kề mà không cần đọc chính xác giá trị của $C$, vẫn cho cùng kết quả làm tròn.

Định hướng. Đổi bất đẳng thức giữa hai số âm thành bất đẳng thức ngược chiều giữa hai giá trị tuyệt đối dương tương ứng, rồi so sánh lần lượt từng chữ số để tìm chữ số thích hợp thay cho "?".

Vậy a) $\text{?}=0$, tức $-7,02<-7,0(1)$; b) $\text{?}=9$, tức $-15,39021<-15,3819$.

Định hướng. Lần lượt thay "?" bằng các chữ số từ $0$ đến $9$, mỗi lần tính giá trị gần đúng của số thập phân rồi kiểm tra bất đẳng thức có đúng hay không, dùng kiểm tra lại Cách 1 mà không cần lập luận tổng quát.

Vậy chữ số thích hợp là $\text{?}=0$ ở câu a) và $\text{?}=9$ ở câu b), trùng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 lập luận trực tiếp theo từng hàng chữ số nên tìm ra ngay chữ số duy nhất thoả mãn; Cách 2 thử lần lượt các chữ số lân cận, phù hợp khi muốn chắc chắn không bỏ sót trường hợp nào.

Định hướng. Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn thành dạng thập phân với đủ vài chữ số đầu để thấy rõ giá trị, sau đó so sánh phần nguyên rồi đến từng chữ số thập phân.

Vậy a) $12,26>12,(24)$; b) $31,3(5)>29,9(8)$.

Định hướng. Chỉ với câu a) là cần so sánh cẩn thận (câu b) đã thấy ngay nhờ phần nguyên khác nhau), đổi $12,(24)$ ra phân số bằng công thức số thập phân tuần hoàn rồi so sánh với $12,26$ dưới dạng phân số có cùng mẫu, dùng kiểm tra lại Cách 1.

Vậy $12,26>12,(24)$, trùng khớp với Cách 1; câu b) vẫn có $31,3(5)>29,9(8)$ vì $31>29$.

Nhận xét. Cách 1 so sánh trực tiếp từng chữ số thập phân, nhanh gọn cho cả hai câu; Cách 2 đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn ra phân số để so sánh bằng phép nhân chéo, chắc chắn hơn khi các chữ số thập phân đầu tiên giống nhau nhiều.

Định hướng. Cộng các số trong dấu căn ở từng câu rồi tìm số không âm có bình phương bằng tổng đó theo định nghĩa căn bậc hai số học.

Vậy a) $\sqrt{1}=1$; b) $\sqrt{1+2+1}=2$; c) $\sqrt{1+2+3+2+1}=3$.

Định hướng. Quan sát ba tổng đã cho đều có dạng tăng dần từ $1$ đến một số rồi giảm dần về $1$, đây là tổng đối xứng luôn bằng bình phương của số lớn nhất ở giữa; áp dụng quy luật này để tính nhanh mà không cần cộng từng số hạng, dùng kiểm tra lại Cách 1.

Vậy kết quả trùng khớp với Cách 1: a) $1$; b) $2$; c) $3$.

Nhận xét. Cách 1 cộng trực tiếp các số hạng nên chắc chắn không sai sót; Cách 2 nhận ra quy luật tổng đối xứng bằng bình phương của số ở giữa, giúp tính nhẩm rất nhanh và dự đoán được ngay kết quả của những tổng dạng tương tự với số lớn hơn.

Định hướng. Với $b\ge 0$, căn bậc hai số học $\sqrt{b}$ là số không âm có bình phương bằng $b$, nên bình phương của $\sqrt{b}$ luôn bằng chính $b$.

Vậy a) ${\left(\sqrt{3}\right)}^2=3$; b) ${\left(\sqrt{21}\right)}^2=21$.

Định hướng. Tính giá trị gần đúng của $\sqrt{3}$ và $\sqrt{21}$ bằng máy tính cầm tay rồi bình phương lại kết quả gần đúng đó để kiểm tra lại Cách 1.

Vậy cả hai kết quả đều trùng khớp với Cách 1: a) $3$; b) $21$.

Nhận xét. Cách 1 áp dụng thẳng định nghĩa nên có kết quả đúng tuyệt đối và rất nhanh; Cách 2 dùng máy tính cầm tay tính giá trị gần đúng rồi bình phương lại, chỉ mang tính kiểm tra vì kết quả là số gần đúng.