Chương VII. Biểu thức đại số và đa thức một biến

Luyện tập chung (trang 44-45)

SGK Toán 7 — Kết nối tri thức, tập 2 · 6 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Bài 1 · Bài 7.36★★Trang 45— Rút gọn biểu thức chứa phép chia và phép nhân đa thức cho đơn thức

Bài 7.36 (trang 45). Rút gọn biểu thức sau:

(5 x^{3} - 4 x^{2}) : 2 x^{2} + (3 x^{4} + 6 x) : 3 x - x (x^{2} - 1)

Kiến thức cần nhớ

$(am + an) : a = m + n$ (chia đa thức cho đơn thức, chia từng hạng tử).
Nhân đơn thức với đa thức: $a (b + c) = ab + a c$ .
Khi bỏ dấu ngoặc có dấu trừ đằng trước, phải đổi dấu tất cả các hạng tử trong ngoặc.

🧠 Phân tích tư duy

Biểu thức gồm ba khối nối bằng dấu cộng/trừ: hai phép chia đa thức cho đơn thức và một phép nhân đơn thức với đa thức — dấu hiệu là phải thực hiện đúng thứ tự chia/nhân trước khi cộng trừ, không được cộng trừ các đa thức khi chưa quy về cùng dạng đã rút gọn. Hướng an toàn là tính riêng từng khối rồi mới cộng trừ, tránh nhầm dấu khi bỏ ngoặc ở khối trừ cuối.

1Cách 1. Tính riêng từng khối rồi cộng trừ theo đúng thứ tự

Định hướng. Thực hiện lần lượt phép chia thứ nhất, phép chia thứ hai, phép nhân, rồi cộng trừ ba kết quả theo đúng thứ tự đề cho.

(5 x^{3} - 4 x^{2}) : 2 x^{2} = \frac{5}{2} x - 2

(3 x^{4} + 6 x) : 3 x = x^{3} + 2

x (x^{2} - 1) = x^{3} - x

Vậy biểu thức

= (\frac{5}{2} x - 2) + (x^{3} + 2) - (x^{3} - x)

= \frac{5}{2} x - 2 + x^{3} + 2 - x^{3} + x

= (x^{3} - x^{3}) + (\frac{5}{2} x + x) + (- 2 + 2)

= \frac{7}{2} x

Vậy biểu thức rút gọn bằng $\frac{7}{2} x$ .

2Cách 2. Gom hệ số theo từng bậc của

x

ngay khi khai triển

Định hướng. Khai triển đủ ba khối như Cách 1 nhưng xếp song song theo cột bậc $x^{3}$ , bậc $x$ , hằng số để cộng trừ ngay, không viết lại toàn bộ tổng trước khi rút gọn.

Bậc

x^{3}

+ x^{3}

(từ khối 2)

- x^{3}

(từ khối 3)

= 0

Bậc

x

+ \frac{5}{2} x

(từ khối 1)

+ x

(từ khối 3, đổi dấu)

= \frac{7}{2} x

Hằng số:

- 2

(khối 1)

+ 2

(khối 2)

= 0

Vậy tổng ba cột cho kết quả $\frac{7}{2} x$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Kiểm tra bằng phương pháp thế số

Định hướng. Thay hai giá trị $x$ khác nhau vào biểu thức gốc, so sánh với giá trị của $\frac{7}{2} x$ tại cùng $x$ đó — nếu trùng khớp ở nhiều giá trị thì kết quả rút gọn đáng tin cậy.

Tại

x = 1

: biểu thức gốc

= \frac{5 - 4}{2} + \frac{3 + 6}{3} - 1 \cdot (1 - 1) = \frac{1}{2} + 3 - 0 = \frac{7}{2}

; và

\frac{7}{2} \cdot 1 = \frac{7}{2}

(khớp)
Tại

x = 2

: biểu thức gốc

= \frac{40 - 16}{8} + \frac{48 + 12}{6} - 2 \cdot (4 - 1) = 3 + 10 - 6 = 7

; và

\frac{7}{2} \cdot 2 = 7

(khớp)

Vậy kết quả $\frac{7}{2} x$ được xác nhận đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tính riêng ba khối theo đúng thứ tự trong đề rồi cộng trừ là cách chắc chắn nhất, khó sai dấu nhất; Cách 3 (thế số) chỉ nên dùng để kiểm tra lại khi còn thời gian.

Đáp số.

\frac{7}{2} x

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp: bỏ ngoặc ở khối trừ cuối

- x (x^{2} - 1)

nhưng quên đổi dấu số hạng

- 1

thành

+ 1

(tức viết

- x^{3} - x

thay vì

- x^{3} + x

), làm mất hẳn số hạng bậc nhất trong kết quả.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi hằng số

6

trong khối

(3 x^{4} + 6 x) : 3 x

thành

3 k

(

k

nguyên), kết quả rút gọn vẫn giữ dạng

\frac{7}{2} x

vì hằng số luôn triệt tiêu với

- 2

; chỉ hệ số của

x^{3}

và

x

mới cần tính lại khi đổi các hệ số khác của đề.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 7.37★★Trang 45— Rút gọn biểu thức chứa nhiều phép nhân đơn thức với đa thức

Bài 7.37 (trang 45). Rút gọn các biểu thức sau:
a)

2 x (x + 3) - 3 x^{2} (x + 2) + x (3 x^{2} + 4 x - 6)

;
b)

3 x (2 x^{2} - x) - 2 x^{2} (3 x + 1) + 5 (x^{2} - 1)

Kiến thức cần nhớ

Nhân đơn thức với đa thức: $a (b + c + d) = ab + a c + a d$ .
Nhân đơn thức với đơn thức: $a x^{m} \cdot b x^{n} = ab x^{m + n}$ .
Cộng trừ đa thức: cộng trừ các hạng tử cùng bậc của biến.

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai câu đều gồm ba tích đơn thức—đa thức cộng trừ nhau — dấu hiệu nhận ra là sau khi khai triển đủ, các số hạng bậc cao (bậc 3) sẽ triệt tiêu hết, chỉ còn một số rất đơn giản. Hướng an toàn là khai triển từng tích thật cẩn thận rồi nhóm theo bậc, không đoán trước kết quả để tránh bỏ sót dấu.

1Cách 1. Khai triển từng tích rồi cộng trừ theo thứ tự đề

Định hướng. Nhân phân phối từng đơn thức với đa thức trong ngoặc, giữ nguyên dấu, rồi gộp các hạng tử cùng bậc.

2 x (x + 3) = 2 x^{2} + 6 x

- 3 x^{2} (x + 2) = - 3 x^{3} - 6 x^{2}

x (3 x^{2} + 4 x - 6) = 3 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x

Tổng:

(2 x^{2} + 6 x) + (- 3 x^{3} - 6 x^{2}) + (3 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x)

= (- 3 x^{3} + 3 x^{3}) + (2 x^{2} - 6 x^{2} + 4 x^{2}) + (6 x - 6 x) = 0 + 0 + 0 = 0

3 x (2 x^{2} - x) = 6 x^{3} - 3 x^{2}

- 2 x^{2} (3 x + 1) = - 6 x^{3} - 2 x^{2}

5 (x^{2} - 1) = 5 x^{2} - 5

Tổng:

(6 x^{3} - 3 x^{2}) + (- 6 x^{3} - 2 x^{2}) + (5 x^{2} - 5)

= (6 x^{3} - 6 x^{3}) + (- 3 x^{2} - 2 x^{2} + 5 x^{2}) - 5 = 0 + 0 - 5 = - 5

Vậy a) biểu thức $= 0$ ; b) biểu thức $= - 5$ .

2Cách 2. Nhóm hạng tử cùng bậc ngay trong lúc khai triển

Định hướng. Khai triển như Cách 1 nhưng liệt kê song song theo cột bậc $x^{3}$ , $x^{2}$ , $x$ , hằng số để cộng dồn ngay từng cột, không viết tổng đầy đủ rồi mới gộp.

a) Cột

x^{3}

- 3 x^{3} + 3 x^{3} = 0

; cột

x^{2}

2 x^{2} - 6 x^{2} + 4 x^{2} = 0

; cột

x

6 x - 6 x = 0

\Rightarrow

kết quả

= 0

b) Cột

x^{3}

6 x^{3} - 6 x^{3} = 0

; cột

x^{2}

- 3 x^{2} - 2 x^{2} + 5 x^{2} = 0

; cột hằng:

- 5

\Rightarrow

kết quả

= - 5

Vậy cả hai câu cho cùng kết quả với Cách 1.

3Cách 3. Kiểm tra bằng phương pháp thế số

Định hướng. Vì cả hai kết quả không còn chứa $x$ , giá trị biểu thức phải giữ nguyên dù thay $x$ bằng số nào — thay hai giá trị khác nhau để kiểm tra.

a) Tại

x = 1

2 \cdot 1 \cdot 4 - 3 \cdot 1 \cdot 3 + 1 \cdot (3 + 4 - 6) = 8 - 9 + 1 = 0

; tại

x = 2

2 \cdot 2 \cdot 5 - 3 \cdot 4 \cdot 4 + 2 \cdot (12 + 8 - 6) = 20 - 48 + 28 = 0

(khớp

0

)
b) Tại

x = 1

3 \cdot 1 \cdot (2 - 1) - 2 \cdot 1 \cdot (3 + 1) + 5 \cdot (1 - 1) = 3 - 8 + 0 = - 5

; tại

x = 2

3 \cdot 2 \cdot (8 - 2) - 2 \cdot 4 \cdot (6 + 1) + 5 \cdot (4 - 1) = 36 - 56 + 15 = - 5

(khớp

- 5

)

Vậy hai kết quả $0$ và $- 5$ được xác nhận đúng với mọi $x$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: khai triển tuần tự rồi gộp là chắc chắn nhất; nếu nghi ngờ sai dấu, dùng nhanh Cách 3 với

x = 1

để kiểm tra kết quả có phải hằng số như đã tính hay không.

Đáp số. a)

0

; b)

- 5

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp: ở câu a) khai triển

- 3 x^{2} (x + 2)

thành

- 3 x^{3} + 6 x^{2}

(quên nhân dấu trừ với cả hai hạng tử trong ngoặc), làm sai dấu số hạng bậc hai và kết quả cuối không còn bằng

0

🚀 Mở rộng. Nếu đổi hệ số

5

trong câu b) thành

k

tuỳ ý ở hạng tử

k (x^{2} - 1)

, kết quả tổng quát sẽ là

- k

(vì các hạng tử bậc

x^{3}

x^{2}

luôn triệt tiêu như đã thấy, chỉ còn phần hằng số

- k

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 7.38★★Trang 45— Tìm x từ phương trình có chứa phép nhân đơn thức với đa thức

Bài 7.38 (trang 45). Tìm giá trị của

x

, biết rằng:
a)

3 x^{2} - 3 x (x - 2) = 36

;
b)

5 x (4 x^{2} - 2 x + 1) - 2 x (10 x^{2} - 5 x + 2) = - 36

Kiến thức cần nhớ

Nhân đơn thức với đa thức: $a (b + c) = ab + a c$ .
Giải phương trình bậc nhất một ẩn: chuyển vế, thu gọn rồi chia cho hệ số của $x$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai phương trình đều chứa tích đơn thức—đa thức bậc cao ở vế trái, nhưng sau khi khai triển các số hạng bậc cao luôn triệt tiêu, chỉ còn lại phương trình bậc nhất rất đơn giản. Dấu hiệu nhận ra là các đơn thức nhân vào có phần biến giống nhau ở mức độ nào đó (

3 x

và

3 x

ở câu a;

5 x

và

2 x

với đa thức trong ngoặc gần giống nhau ở câu b) — nên trước khi khai triển toàn bộ, thử quan sát xem có triệt tiêu nhanh được không.

1Cách 1. Khai triển toàn bộ rồi rút gọn về phương trình bậc nhất

Định hướng. Nhân phân phối đầy đủ ở vế trái, thu gọn các hạng tử cùng bậc, rồi giải phương trình bậc nhất thu được.

3 x^{2} - 3 x (x - 2) = 36

3 x^{2} - 3 x^{2} + 6 x = 36

6 x = 36 \Rightarrow x = 6

5 x (4 x^{2} - 2 x + 1) - 2 x (10 x^{2} - 5 x + 2) = - 36

20 x^{3} - 10 x^{2} + 5 x - 20 x^{3} + 10 x^{2} - 4 x = - 36

(20 x^{3} - 20 x^{3}) + (- 10 x^{2} + 10 x^{2}) + (5 x - 4 x) = - 36

x = - 36

Vậy a) $x = 6$ ; b) $x = - 36$ .

2Cách 2. Nhận xét đặt nhân tử chung/triệt tiêu trước khi khai triển hết

Định hướng. Quan sát trước để rút gọn nhanh mà không cần khai triển mọi số hạng bậc cao: câu a) đặt $x$ làm nhân tử chung của hai đơn thức đứng đầu; câu b) nhận ra từng cặp hạng tử bậc $x^{3}$ và bậc $x^{2}$ triệt tiêu ngay khi nhân, chỉ cần tính riêng phần bậc $x$ .

3 x^{2} - 3 x (x - 2) = 3 x [x - (x - 2)] = 3 x \cdot 2 = 6 x

, nên

6 x = 36 \Rightarrow x = 6

b) Bậc

x^{3}

5 x \cdot 4 x^{2} = 20 x^{3}

và

2 x \cdot 10 x^{2} = 20 x^{3}

triệt tiêu; bậc

x^{2}

5 x \cdot (- 2 x) = - 10 x^{2}

và

2 x \cdot (- 5 x) = - 10 x^{2}

(cùng dấu trừ) triệt tiêu; bậc

x

5 x \cdot 1 = 5 x

và

- 2 x \cdot 2 = - 4 x

, còn lại

5 x - 4 x = x

. Vậy

x = - 36

Vậy hai kết quả khớp Cách 1 mà không cần khai triển đầy đủ bậc ba.

3Cách 3. Thử lại bằng cách thế nghiệm vào phương trình gốc

Định hướng. Thay nghiệm vừa tìm được vào đúng vế trái của phương trình ban đầu, tính ra số và so sánh với vế phải.

x = 6

3 \cdot 6^{2} - 3 \cdot 6 \cdot (6 - 2) = 108 - 72 = 36

(đúng vế phải)
b)

x = - 36

: cộng kềnh nhưng theo Cách 2 phần bậc ba và bậc hai luôn triệt tiêu với mọi

x

, chỉ còn

x = - 36

đúng theo yêu cầu; thử lại nhanh hơn bằng cách kiểm tra riêng biểu thức đã rút gọn

x = - 36

khớp với phương trình rút gọn

x = - 36

Vậy cả hai nghiệm $x = 6$ và $x = - 36$ đều được xác nhận đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: nhận ra ngay các số hạng bậc cao triệt tiêu (đặt nhân tử chung ở câu a, so sánh cặp hệ số ở câu b) giúp bỏ qua bước khai triển dài, giải nhanh và khó sai dấu hơn Cách 1.

Đáp số. a)

x = 6

; b)

x = - 36

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp: ở câu b) khai triển

- 2 x (10 x^{2} - 5 x + 2)

thành

- 20 x^{3} + 10 x^{2} - 4 x

nhưng chép nhầm dấu số hạng bậc hai thành

- 10 x^{2}

, khiến các số hạng bậc hai không triệt tiêu và ra phương trình sai.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi vế phải câu a) thành

6 k

(với

k

là số bất kì) thì nghiệm tổng quát là

x = k

, vì phương trình rút gọn luôn có dạng

6 x = 6 k

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 7.39★★Trang 45— Chia và nhân đa thức có thể đưa về hằng đẳng thức đáng nhớ

Bài 7.39 (trang 45). Thực hiện các phép tính sau:
a)

(x^{3} - 8) : (x - 2)

;
b)

(x - 1) (x + 1) (x^{2} + 1)

Kiến thức cần nhớ

Hằng đẳng thức hiệu hai lập phương: $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ .
Hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .
Đặt tính chia đa thức một biến theo từng bước chia hạng tử bậc cao nhất.

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) là phép chia đa thức cho nhị thức

x - 2

, và

8 = 2^{3}

nên

x^{3} - 8

có dạng hiệu hai lập phương — dấu hiệu để dùng hằng đẳng thức thay vì đặt tính chia dài dòng. Câu b) là tích ba nhân tử trong đó hai nhân tử đầu

(x - 1) (x + 1)

có dạng hiệu hai bình phương — nên nhân hai nhân tử đó trước để bài toán gọn lại thành tích của hai nhân tử.

1Cách 1. Đặt tính chia đa thức theo cột (câu a) và nhân lần lượt hai đa thức (câu b)

Định hướng. Câu a) đặt tính chia $x^{3} - 8$ cho $x - 2$ theo đúng 3 bước như Ví dụ 2 trong sách. Câu b) nhân hai đa thức đầu trước, rồi nhân kết quả với đa thức còn lại.

x^{3} + 0 x^{2} + 0 x - 8

chia

x - 2

x^{3} : x = x^{2}

x^{2} (x - 2) = x^{3} - 2 x^{2}

, còn lại

2 x^{2} + 0 x - 8

; tiếp tục

2 x^{2} : x = 2 x

2 x (x - 2) = 2 x^{2} - 4 x

, còn lại

4 x - 8

; tiếp tục

4 x : x = 4

4 (x - 2) = 4 x - 8

, còn lại

0

Thương:

x^{2} + 2 x + 4

(x - 1) (x + 1) = x^{2} + x - x - 1 = x^{2} - 1

(x^{2} - 1) (x^{2} + 1) = x^{4} + x^{2} - x^{2} - 1 = x^{4} - 1

Vậy a) $= x^{2} + 2 x + 4$ ; b) $= x^{4} - 1$ .

2Cách 2. Dùng hằng đẳng thức đáng nhớ

Định hướng. Câu a) viết $x^{3} - 8 = x^{3} - 2^{3}$ rồi áp dụng trực tiếp $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ . Câu b) áp dụng hai lần hằng đẳng thức hiệu hai bình phương.

x^{3} - 8 = x^{3} - 2^{3} = (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)

\Rightarrow (x^{3} - 8) : (x - 2) = x^{2} + 2 x + 4

(x - 1) (x + 1) = x^{2} - 1^{2} = x^{2} - 1

(x^{2} - 1) (x^{2} + 1) = (x^{2})^{2} - 1^{2} = x^{4} - 1

Vậy hai kết quả trùng khớp Cách 1, nhưng tính nhanh hơn nhờ hằng đẳng thức.

3Cách 3. Thử lại bằng phép nhân ngược (câu a) và thế số (câu b)

Định hướng. Câu a) nhân thương với số chia, phải ra đúng đa thức bị chia. Câu b) thay một giá trị $x$ cụ thể vào cả tích ban đầu và kết quả rút gọn để so sánh.

(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 2 x^{2} - 4 x - 8 = x^{3} - 8

(đúng đa thức bị chia)
b) Tại

x = 2

(2 - 1) (2 + 1) (4 + 1) = 1 \cdot 3 \cdot 5 = 15

; và

x^{4} - 1 = 16 - 1 = 15

(khớp)

Vậy cả hai kết quả $x^{2} + 2 x + 4$ và $x^{4} - 1$ đều được xác nhận đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: nhận ra ngay dạng hằng đẳng thức (hiệu hai lập phương ở câu a, hai lần hiệu hai bình phương ở câu b) cho lời giải ngắn nhất, không cần đặt tính chia hay nhân từng hạng tử.

Đáp số. a)

x^{2} + 2 x + 4

; b)

x^{4} - 1

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp: ở câu a) áp dụng nhầm hằng đẳng thức thành

(x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)

(sai dấu số hạng giữa, nhớ nhầm sang hằng đẳng thức tổng hai lập phương); ở câu b) chỉ nhân hai nhân tử rồi dừng lại ở

x^{2} - 1

, quên nhân tiếp với

x^{2} + 1

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm,

(x^{3} + 8) : (x + 2) = x^{2} - 2 x + 4

theo hằng đẳng thức tổng hai lập phương

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})

; và

(x - 1) (x + 1) (x^{2} + 1) (x^{4} + 1) = x^{8} - 1

nếu nhân thêm nhân tử

x^{4} + 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 7.40★★★Trang 45— Rút gọn đa thức trước khi tính giá trị để tính nhanh

Bài 7.40 (trang 45). Trong một trò chơi ở câu lạc bộ Toán học, chủ trò viết lên bảng biểu thức:

P (x) = x^{2} (7 x - 5) - (28 x^{5} - 20 x^{4} - 12 x^{3}) : 4 x^{2}

.
Luật chơi là sau khi chủ trò đọc một số

a

nào đó, các đội chơi phải tính giá trị của

P (x)

tại

x = a

. Đội nào tính đúng và tính nhanh nhất thì thắng cuộc.
Khi chủ trò vừa đọc

a = 5

, Vuông đã tính ngay được

P (a) = 15

và thắng cuộc. Em có biết Vuông làm cách nào không?

Kiến thức cần nhớ

$(am + an + a p) : a = m + n + p$ (chia đa thức cho đơn thức, chia từng hạng tử).
Nhân đơn thức với đa thức, cộng trừ đa thức cùng bậc.
Rút gọn đa thức về dạng đơn giản nhất trước khi thay số giúp tính nhanh và ít sai sót hơn.

🧠 Phân tích tư duy

Đề hỏi "làm cách nào tính nhanh" — đây là dấu hiệu cho thấy Vuông không thay

x = 5

trực tiếp vào biểu thức cồng kềnh ban đầu (sẽ ra số rất lớn và mất thời gian), mà đã rút gọn

P (x)

về dạng đơn giản nhất trước, rồi mới thay số. Bẫy của bài là nếu không rút gọn trước, việc tính tay với

x = 5

và luỹ thừa bậc 5 sẽ rất chậm, không thể "thắng cuộc" về tốc độ.

1Cách 1. Rút gọn

P (x)

trước rồi mới thay

x = 5

(cách của Vuông)

Định hướng. Khai triển và rút gọn $P (x)$ về dạng đơn giản nhất, sau đó thay $x = 5$ — đây chính là cách giúp Vuông tính nhẩm ra ngay $P (5) = 15$ .

x^{2} (7 x - 5) = 7 x^{3} - 5 x^{2}

(28 x^{5} - 20 x^{4} - 12 x^{3}) : 4 x^{2} = 7 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x

P (x) = (7 x^{3} - 5 x^{2}) - (7 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x)

= 7 x^{3} - 5 x^{2} - 7 x^{3} + 5 x^{2} + 3 x = 3 x

Vậy

P (x) = 3 x

, nên

P (5) = 3 \cdot 5 = 15

Vậy Vuông đã rút gọn $P (x) = 3 x$ trước, nên chỉ cần nhẩm $3 \times 5 = 15$ trong tích tắc.

2Cách 2. Thay

x = 5

trực tiếp vào biểu thức gốc rồi tính số học

Định hướng. Không rút gọn trước, thay ngay $x = 5$ vào từng khối của biểu thức gốc rồi tính bằng số — cách này vẫn ra đúng đáp số nhưng chậm hơn hẳn Cách 1, cho thấy vì sao Vuông không làm theo cách này.

x^{2} (7 x - 5)

tại

x = 5

25 \cdot (35 - 5) = 25 \cdot 30 = 750

28 x^{5} - 20 x^{4} - 12 x^{3}

tại

x = 5

28 \cdot 3125 - 20 \cdot 625 - 12 \cdot 125 = 87500 - 12500 - 1500 = 73500

4 x^{2}

tại

x = 5

4 \cdot 25 = 100

(28 x^{5} - 20 x^{4} - 12 x^{3}) : 4 x^{2}

tại

x = 5

73500 : 100 = 735

P (5) = 750 - 735 = 15

Vậy kết quả vẫn là $15$ nhưng phải tính với các số rất lớn (như $87500$ ), chậm và dễ sai hơn nhiều so với Cách 1.

3Cách 3. Thử lại bằng một giá trị

x

khác để xác nhận

P (x) = 3 x

Định hướng. Thay thêm một giá trị $x$ khác vào cả biểu thức gốc và kết quả rút gọn $P (x) = 3 x$ để chắc chắn công thức rút gọn ở Cách 1 là đúng với mọi $x$ , không chỉ đúng ngẫu nhiên tại $x = 5$ .

Tại

x = 1

x^{2} (7 x - 5) = 1 \cdot 2 = 2

;

(28 - 20 - 12) : 4 = - 4 : 4 = - 1

;

P (1) = 2 - (- 1) = 3

; và

3 x = 3 \cdot 1 = 3

(khớp)

Vậy công thức rút gọn $P (x) = 3 x$ được xác nhận đúng với mọi $x$ , không riêng $x = 5$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi (hoặc chơi trò chơi tính nhanh) luôn dùng Cách 1: rút gọn biểu thức về dạng đơn giản nhất trước, chỉ thay số ở bước cuối cùng — đây chính là bí quyết giúp Vuông thắng cuộc vì tính nhẩm nhanh hơn hẳn Cách 2.

Đáp số.

P (x) = 3 x

, nên

P (5) = 15

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp: quên rút gọn trước, thay

x = 5

ngay vào biểu thức cồng kềnh ban đầu rồi tính sai một trong các luỹ thừa bậc cao (như

5^{5} = 3125

), dẫn đến kết quả sai và mất nhiều thời gian hơn hẳn đối thủ.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi luật chơi thành đọc số

a = 10

, Vuông vẫn chỉ cần nhẩm

P (10) = 3 \times 10 = 30

theo đúng công thức đã rút gọn — cho thấy sức mạnh của việc rút gọn biểu thức một lần, dùng lại được cho mọi giá trị

a

sau đó.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 7.41★★★Trang 45— Tìm hệ số để một đa thức chia hết cho nhị thức bậc nhất

Bài 7.41 (trang 45). Tìm số

b

sao cho đa thức

x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - b

chia hết cho đa thức

x - 3

Kiến thức cần nhớ

Phép chia đa thức $A (x)$ cho $B (x)$ hết khi và chỉ khi số dư bằng $0$ .
Đặt tính chia đa thức một biến theo từng bước chia hạng tử bậc cao nhất.
Số dư khi chia đa thức $A (x)$ cho nhị thức $x - c$ chính bằng giá trị $A (c)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho phép chia của một đa thức bậc ba chứa tham số

b

cho nhị thức

x - 3

, yêu cầu phép chia hết — dấu hiệu của dạng "tìm tham số để chia hết" giống hệt Ví dụ 2 trong sách (tìm

m

để

3 x^{2} + 7 x - 11 m

chia hết cho

x - 5

). Hướng làm là đặt tính chia theo

b

, số dư thu được (một biểu thức chứa

b

) phải bằng

0

; ngoài ra có thể quan sát nhanh hơn bằng cách thay

x = 3

vào chính đa thức bị chia, vì số dư của phép chia cho

x - 3

luôn bằng giá trị của đa thức tại

x = 3

1Cách 1. Đặt tính chia đa thức theo cột, cho số dư bằng 0

Định hướng. Đặt tính chia $x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - b$ cho $x - 3$ như Ví dụ 2 của sách, biểu diễn số dư theo $b$ rồi giải phương trình số dư bằng $0$ .

x^{3} : x = x^{2}

x^{2} (x - 3) = x^{3} - 3 x^{2}

, còn lại

2 x - b

; tiếp tục

2 x : x = 2

2 (x - 3) = 2 x - 6

, còn lại

(2 x - b) - (2 x - 6) = 6 - b

Thương:

x^{2} + 2

; số dư

= 6 - b

Phép chia hết khi số dư bằng

0

, tức

6 - b = 0

, suy ra

b = 6

Vậy $b = 6$ .

2Cách 2. Tính nhanh số dư bằng giá trị đa thức tại

x = 3

Định hướng. Không cần đặt tính chia đầy đủ: số dư của phép chia $A (x)$ cho $x - 3$ luôn bằng $A (3)$ — chỉ cần thay $x = 3$ vào đa thức bị chia rồi cho kết quả bằng $0$ .

A (3) = 3^{3} - 3 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - b = 27 - 27 + 6 - b = 6 - b

Phép chia hết khi

A (3) = 0

, tức

6 - b = 0

, suy ra

b = 6

Vậy $b = 6$ , khớp Cách 1 nhưng tính nhanh hơn nhiều vì không cần đặt tính chia.

3Cách 3. Thử lại bằng cách thay

b = 6

rồi đặt tính chia kiểm tra

Định hướng. Thay $b = 6$ vào đa thức ban đầu rồi chia lại cho $x - 3$ , kiểm tra số dư có thực sự bằng $0$ hay không.

Với

b = 6

x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 6

chia cho

x - 3

x^{3} : x = x^{2}

;

x^{2} (x - 3) = x^{3} - 3 x^{2}

; dư

2 x - 6

2 x : x = 2

;

2 (x - 3) = 2 x - 6

; dư

0

Thương

x^{2} + 2

, dư

0

(đúng là chia hết)

Vậy $b = 6$ được xác nhận đúng, đa thức thương là $x^{2} + 2$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: thay trực tiếp

x = 3

vào đa thức bị chia rồi cho bằng

0

là cách nhanh nhất, không cần đặt tính chia dài dòng như Cách 1.

Đáp số.

b = 6

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp: nhầm dấu khi tính

A (3)

, ghi

27 + 27 + 6 - b

thay vì

27 - 27 + 6 - b

(quên đổi dấu số hạng

- 3 x^{2}

khi thay

x = 3

), dẫn đến tìm sai giá trị

b

🚀 Mở rộng. Tổng quát: đa thức

x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - b

chia hết cho

x - c

(với

c

bất kì) khi

b = c^{3} - 3 c^{2} + 2 c

; đây chính là cách tìm nhanh tham số để một đa thức chia hết cho nhị thức bậc nhất bất kì, không riêng

x - 3

Mở bài này trong app ↗