Luyện tập chung (trang 50)

Định hướng. Cát tuyến là $AC$. Câu a) so sánh hai góc ở hai đỉnh $A$, $C$ nằm hai bên $AC$; câu b) so sánh hai góc ở hai đỉnh $N$, $C$ nằm cùng một bên $AC$.

Vậy $AB\parallel CD$ và $MN\parallel CD$.

Định hướng. Thay vì so sánh hai góc bằng nhau, ta lấy góc kề bù để đưa về tổng $180^{\circ }$; dấu hiệu này dùng được cho cả hai câu và rất tiện khi đề cho sẵn góc tù.

Vậy $AB\parallel CD$ và $MN\parallel CD$.

Định hướng. Ba góc cùng bằng $45^{\circ }$ nên $MN$ vừa song song với $CD$, vừa song song với $AB$; đi vòng qua $MN$ sẽ thấy rõ vì sao ba đường thẳng $AB$, $MN$, $CD$ cùng nghiêng như nhau so với $AC$.

Vậy $MN\parallel CD$, đồng thời $AB\parallel MN$ nên $AB$ và $CD$ cùng song song với $MN$.

Nhận xét. Từ $AB\parallel MN$ và $MN\parallel CD$ ta rất muốn viết ngay $AB\parallel CD$, nhưng tính chất hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau phải sang Bài 10 mới được học. Ở thời điểm này, câu a) vẫn phải kết luận trực tiếp bằng cặp góc so le trong như Cách 1.

Định hướng. Nhìn hai cạnh của góc đã cho để biết cạnh nào là cát tuyến; cạnh còn lại thuộc đường thẳng thứ nhất, đường thẳng thứ hai là đường mà cát tuyến cắt ở đỉnh kia.

Vậy so le trong với $\widehat{FIP}$ là $\widehat{IPQ}$, so le trong với $\widehat{NMI}$ là $\widehat{MIE}$; đồng vị với $\widehat{EQP}$ là $\widehat{MEF}$, đồng vị với $\widehat{IFP}$ là $\widehat{MNP}$.

Định hướng. Ghi mỗi góc dưới dạng một cặp gồm đường thẳng và cát tuyến, rồi tìm giao điểm còn lại của cát tuyến đó; cách này chỉ đọc chữ, không cần nhìn hình nên rất an toàn khi hình rối.

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: $\widehat{IPQ}$, $\widehat{MIE}$, $\widehat{MEF}$, $\widehat{MNP}$.

Định hướng. Một lần viết ra tất cả các cặp có tên trên hình theo từng cát tuyến, sau đó chỉ việc nhặt cặp nào chứa góc đề hỏi; chậm hơn nhưng không bao giờ sót và tự kiểm tra được hai cách trên.

Vậy nhặt ra: $\widehat{FIP}$ đi với $\widehat{IPQ}$, $\widehat{NMI}$ đi với $\widehat{MIE}$, $\widehat{EQP}$ đi với $\widehat{MEF}$, $\widehat{IFP}$ đi với $\widehat{MNP}$.

Nhận xét. Bảng liệt kê cho thấy $\widehat{MPQ}$ (cũng chính là $\widehat{IPQ}$) đồng thời so le trong với cả $\widehat{FIP}$ lẫn $\widehat{NMI}$, bởi vì $M$, $I$, $P$ cùng nằm trên một cát tuyến; một góc có thể đóng nhiều vai tuỳ đường thẳng ta đem ra so.

Định hướng. Cát tuyến là đường thẳng $zA$; hai góc đề cho nằm ở hai đỉnh $A$, $B$, cùng một phía cát tuyến và cùng mở về phía $z$ nên chúng đồng vị.

Vậy $Ax\parallel By$.

Định hướng. Chuyển góc ở đỉnh $B$ sang góc kề bù của nó để hai góc cùng nằm trong dải giữa $Ax$ và $By$, rồi kiểm tra tổng có bằng $180^{\circ }$ hay không.

Vậy $Ax\parallel By$.

Định hướng. Vẽ thêm tia đối của tia $By$ thì góc ở đỉnh $B$ được chuyển sang phía bên kia cát tuyến, khi đó nó và góc ở đỉnh $A$ thành cặp so le trong.

Vậy $Ax\parallel By$.

Nhận xét. Ba cách chỉ là ba lối đi tới cùng một dấu hiệu. Khi đề cho hai góc ở hai đỉnh khác nhau trên cùng một cát tuyến và chúng bằng nhau thì gần như chắc chắn chúng đồng vị hoặc so le trong, chỉ cần gọi đúng tên vị trí là xong.

Định hướng. Chỉ cần ê ke và thước thẳng: hai đường cùng vuông góc với một đường thứ ba thì tạo với đường ấy hai góc đồng vị cùng bằng $90^{\circ }$ nên song song.

Vậy hình vẽ bên là một hình thoả mãn cả hai yêu cầu.

Định hướng. Không cần ê ke: vẽ một cát tuyến bất kì rồi dựng ở đỉnh thứ hai một góc bằng góc ở đỉnh thứ nhất, đặt đúng vị trí đồng vị (hoặc so le trong) là được.

Vậy hai yêu cầu đều được thoả mãn, căn cứ là cặp góc đồng vị và cặp góc so le trong bằng nhau.

Định hướng. Hai mép thước luôn cách đều nhau nên vạch theo hai mép là ra ngay hai đường thẳng song song; đây là cách nhanh nhất khi chỉ cần một cặp song song bất kì.

Vậy hình vẽ thu được giống hệt hai cách trên, chỉ khác dụng cụ.

Nhận xét. Ba cách khác nhau ở DỤNG CỤ nhưng chỗ tựa toán học thì như nhau, đều quy về một cặp góc bằng nhau ở vị trí đồng vị. Riêng Cách 3 nhanh nhất nhưng khoảng cách giữa hai đường song song bị khoá cứng bằng bề ngang thước, nên khi đề đòi một khoảng cách cho trước thì phải quay lại Cách 1.

Định hướng. Cát tuyến là $NQ$; hai góc đề cho đã sẵn ở hai phía cát tuyến và cùng nằm trong dải giữa $MN$ với $QP$ nên chỉ việc gọi đúng tên vị trí.

Vậy $MN\parallel QP$.

Định hướng. Vẽ tia đối của tia $NM$ để chuyển góc ở đỉnh $N$ sang cùng phía với góc ở đỉnh $Q$, rồi kiểm tra tổng hai góc có bằng $180^{\circ }$ hay không.

Vậy $MN\parallel QP$.

Định hướng. Lấy góc đối đỉnh của $\widehat{MNQ}$ thì được một góc nằm cùng phía và cùng hướng mở với $\widehat{PQN}$, tức là một cặp đồng vị.

Vậy $MN\parallel QP$.

Nhận xét. Ba cách dùng ba dấu hiệu khác nhau nhưng đều xoay quanh đúng một cặp góc $35^{\circ }$ ban đầu; điều đó cho thấy so le trong, đồng vị và trong cùng phía bù nhau chỉ là ba cách phát biểu của cùng một sự việc.

Định hướng. Vẽ hai tia về hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ $AB$ để đúng vị trí so le trong, rồi áp dụng dấu hiệu nhận biết.

Vậy hai đường thẳng chứa hai tia $Ax$ và $By$ song song với nhau.

Định hướng. Vẽ tia đối của tia $Ax$ để hai góc cùng về một phía cát tuyến, rồi kiểm tra tổng hai góc.

Vậy hai đường thẳng chứa hai tia $Ax$ và $By$ song song với nhau.

Định hướng. Lấy góc đối đỉnh của $\widehat{yBA}$ thì được một góc cùng phía và cùng hướng mở với $\widehat{xAB}$, tức là một cặp đồng vị.

Vậy hai đường thẳng chứa hai tia $Ax$ và $By$ song song với nhau.

Nhận xét. Nếu vẽ $Ax$ và $By$ về CÙNG một nửa mặt phẳng bờ $AB$ thì hai góc ấy thành cặp trong cùng phía với tổng $60^{\circ }+60^{\circ }=120^{\circ }\ne 180^{\circ }$, hai tia sẽ cắt nhau ngay ở phía đó; chính chi tiết so le trong trong đề mới bảo đảm hai đường thẳng song song.