Luyện tập chung (trang 58)

Định hướng. Vì $AD\perp AB$, $AD\perp CD$ nên $\hat{A}=\hat{D}=90^{\circ }$; dùng tổng bốn góc tứ giác để lập phương trình tính $\hat{B}$, $\hat{C}$.

Vậy $\hat{A}=\hat{D}=90^{\circ }$, $\hat{C}=60^{\circ }$, $\hat{B}=120^{\circ }$.

Định hướng. $AB\parallel CD$ (hai đáy hình thang), cát tuyến $BC$ cho ngay cặp góc trong cùng phía $\hat{B}$, $\hat{C}$ có tổng $180^{\circ }$ mà không cần qua tổng bốn góc tứ giác.

Vậy hình thang $ABCD$ có $\hat{A}=\hat{D}=90^{\circ }$, $\hat{C}=60^{\circ }$, $\hat{B}=120^{\circ }$.

Định hướng. Kẻ thêm $BE\perp CD$ tại $E$ để tách $\hat{B}$ thành góc của một hình chữ nhật cộng góc của một tam giác vuông, tính trực tiếp bằng một phương trình bậc nhất một ẩn.

Vậy $\hat{A}=\hat{D}=90^{\circ }$, $\hat{C}=60^{\circ }$, $\hat{B}=120^{\circ }$ — khớp hai cách trên.

Nhận xét. Cách 3 không cần nhắc lại tổng bốn góc tứ giác vì dữ kiện $\hat{B}=2\hat{C}$ đã được lồng thẳng vào một phương trình bậc nhất một ẩn duy nhất.

Định hướng. Đặt tên giao điểm rồi dùng dấu hiệu góc so le trong bằng nhau để suy ra song song — cách chứng minh cơ bản nhất của định lí.

Vậy hai góc so le trong bằng nhau, theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song thì $a\parallel b$.

Định hướng. Cùng giả thiết, kết luận như Cách 1, nhưng chọn cặp góc đồng vị thay vì so le trong.

Vậy hai góc đồng vị bằng nhau, theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song thì $a\parallel b$.

Định hướng. Giả sử $a$ không song song $b$, chúng phải cắt nhau; dùng định lí tổng ba góc của tam giác để chỉ ra mâu thuẫn.

Vậy điều giả sử sai, tức $a$ và $b$ không cắt nhau; kết hợp $a$, $b$ phân biệt nên $a\parallel b$.

Nhận xét. Đây là kiểu chứng minh phản chứng gắn với tổng ba góc tam giác không thể vượt quá $180^{\circ }$.

Định hướng. Vì $c\parallel d$, cặp góc so le trong mà $Ax$, $By$ chia đôi đã bằng nhau; tia phân giác chia đôi hai góc bằng nhau thì các nửa góc cũng bằng nhau, cho ngay một cặp góc so le trong mới bằng nhau.

Vậy $\widehat{xAB}$ và $\widehat{yBA}$ là hai góc so le trong bằng nhau tạo bởi cát tuyến $AB$ (thuộc $b$) cắt $Ax$ và $By$, theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song thì $Ax\parallel By$.

Định hướng. Vì $b\perp c$, $b\perp d$ nên mọi góc tại $A$, $B$ đều bằng $90^{\circ }$; tính thẳng ra số đo $45^{\circ }$ của các góc mà $Ax$, $By$ tạo với $b$ rồi so sánh trực tiếp.

Vậy hai góc so le trong $\widehat{xAB}$, $\widehat{yBA}$ cùng bằng $45^{\circ }$, theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song thì $Ax\parallel By$.

Định hướng. Giả sử $Ax$ không song song $By$, chúng cắt nhau tại một điểm; dùng định lí góc ngoài của tam giác để chỉ ra mâu thuẫn với $\widehat{xAB}=\widehat{yBA}$ đã có ở Cách 2.

Vậy $Ax$ và $By$ không thể cắt nhau, tức là $Ax\parallel By$.

Nhận xét. Cách 3 không dùng trực tiếp dấu hiệu song song mà dùng tính chất góc ngoài luôn lớn hơn góc trong không kề — một hướng chứng minh khác hẳn về bản chất.

Định hướng. Áp dụng liên tiếp định lí Bài 3.28 cho câu a), b) rồi dùng tính chất hai đường thẳng song song cho câu c).

Vậy $a\parallel b$; $c\parallel d$; $b\perp d$.

Định hướng. Không dùng lại định lí đã chứng minh, mà lập luận lại từ đầu bằng số đo góc vuông tại từng giao điểm.

Vậy $a\parallel b$; $c\parallel d$; $b\perp d$ — khớp Cách 1.

Định hướng. Chứng minh câu a), b) bằng phản chứng dùng tổng ba góc tam giác, rồi suy câu c) bằng tính chất song song.

Vậy $a\parallel b$; $c\parallel d$; $b\perp d$.

Nhận xét. Ba cách đều thống nhất phải tách riêng câu c) sang dùng tính chất song song — không thể tiếp tục dùng định lí 'cùng vuông góc thì song song' vì $b$ và $d$ không cùng vuông góc với một đường thứ ba đã biết.

Định hướng. Dùng cặp góc so le trong bằng nhau tại $A$, $C$ (cát tuyến $AC$) để có $d\parallel BC$, sau đó dùng tính chất hai đường thẳng song song với $AH\perp BC$ để suy ra $d\perp AH$.

Vậy a) $d\parallel BC$; b) $d\perp AH$.

Định hướng. Tính trực tiếp góc $\widehat{HAC}$ trong tam giác vuông $AHC$, ghép với góc $50^{\circ }$ đã cho để chứng minh $d\perp AH$ trước, rồi suy $d\parallel BC$ từ định lí 'hai đường cùng vuông góc với đường thứ ba' (Bài 3.28) — đảo thứ tự so với Cách 1.

Vậy a) $d\parallel BC$; b) $d\perp AH$ — khớp Cách 1, nhưng chứng minh b) trước a).

Định hướng. Chứng minh câu a) bằng phản chứng dùng định lí góc ngoài tam giác, rồi suy câu b) như Cách 1.

Vậy a) $d\parallel BC$; b) $d\perp AH$.

Nhận xét. Câu c): kết luận a) $d\parallel BC$ được suy ra từ dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song (từ cặp góc so le trong bằng nhau); kết luận b) $d\perp AH$ được suy ra từ tính chất của hai đường thẳng song song (từ $d\parallel BC$ và $AH\perp BC$).