Luyện tập chung (trang 68-69)

Định hướng. Mỗi tam giác có một góc vuông $90^{\circ }$ và một góc nhọn đã cho, góc còn lại tính từ tổng ba góc bằng $180^{\circ }$.

Vậy $x=30^{\circ }$, $y=40^{\circ }$, $z=45^{\circ }$.

Định hướng. Trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau nên góc nhọn còn lại bằng $90^{\circ }$ trừ đi góc nhọn đã cho, không cần viết lại góc vuông trong phép tính.

Vậy $x=30^{\circ }$, $y=40^{\circ }$, $z=45^{\circ }$.

Nhận xét. Tam giác thứ ba có hai góc nhọn $45^{\circ }=45^{\circ }$ bằng nhau nên đó là tam giác vuông cân.

Định hướng. Áp dụng tổng ba góc bằng $180^{\circ }$ cho từng tam giác, sau đó so sánh góc còn lại với $90^{\circ }$.

Vậy $\hat{B}=120^{\circ }$, $\hat{F}=60^{\circ }$, $\hat{P}=90^{\circ }$; vì $\hat{P}=90^{\circ }$ nên tam giác $MNP$ là tam giác vuông (vuông tại $P$).

Định hướng. Không cần trừ ngay: cộng thử từng cặp góc đã cho, cặp nào cho tổng đúng $90^{\circ }$ thì tam giác đó vuông.

Vậy nhận ra ngay tam giác $MNP$ vuông tại $P$; tính tiếp được $\hat{B}=120^{\circ }$ và $\hat{F}=60^{\circ }$ cho hai tam giác còn lại bằng phép trừ $180^{\circ }$ thông thường.

Nhận xét. Cách 2 trả lời thẳng câu hỏi \u0022tam giác nào vuông\u0022 ngay từ bước đầu, không phải chờ tính xong cả ba góc mới so sánh.

Định hướng. Xét hai tam giác $ABD$ và $ACD$ có chung cạnh $AD$, cùng với hai cặp cạnh đã cho bằng nhau, đủ điều kiện c.c.c.

Vậy $\widehat{DAB}=\widehat{DAC}=60^{\circ }$.

Định hướng. Vì $A$ cách đều $B$, $C$ ($AB=AC$) và $D$ cũng cách đều $B$, $C$ ($DB=DC$) nên cả $A$ lẫn $D$ đều nằm trên đường trung trực của đoạn $BC$; do đó chính đường thẳng $AD$ là đường trung trực của $BC$, và $B$, $C$ đối xứng với nhau qua $AD$.

Vậy $\widehat{DAB}=60^{\circ }$.

Nhận xét. Cách 2 không cần viết đủ ba điều kiện c.c.c, chỉ cần nhận ra $AD$ là trục đối xứng chung của hai tam giác cân $ABC$ và $DBC$ (cùng đáy $BC$).

Định hướng. Dùng góc kề bù tại $M$ để ra $\widehat{AMB}$, dùng tổng ba góc của $△AMC$ để ra $\widehat{MAC}$, cộng dồn để ra $\widehat{BAC}$, cuối cùng dùng tổng ba góc của $△ABC$.

Vậy $\widehat{AMB}=100^{\circ }$, $\widehat{BAC}=60^{\circ }$, $\widehat{ABC}=60^{\circ }$.

Định hướng. Góc $\widehat{AMC}$ là góc ngoài tại đỉnh $M$ của $△ABM$, nên bằng tổng hai góc trong không kề là $\widehat{ABM}$ và $\widehat{BAM}$ — từ đó ra ngay $\widehat{ABC}$ mà không cần tính $\widehat{AMB}$ hay $\widehat{MAC}$ trước.

Vậy $\widehat{ABC}=60^{\circ }$, $\widehat{BAC}=60^{\circ }$, $\widehat{AMB}=100^{\circ }$.

Định hướng. Gọi $\widehat{MAC}=\gamma$ và $\widehat{ABC}=\beta$ là hai ẩn, viết đồng thời ba hệ thức góc (kề bù tại $M$, tổng góc $△AMC$, tổng góc $△ABC$) rồi giải hệ.

Vậy $\widehat{AMB}=100^{\circ }$, $\widehat{BAC}=20^{\circ }+40^{\circ }=60^{\circ }$, $\widehat{ABC}=60^{\circ }$.

Nhận xét. Cả ba cách đều cho cùng kết quả; thú vị là tam giác $ABC$ hoá ra là tam giác đều vì cả ba góc đều bằng $60^{\circ }$.

Định hướng. Từ $△ABC=△DEF$ (đỉnh tương ứng $A\leftrightarrow D$, $B\leftrightarrow E$, $C\leftrightarrow F$), suy ngay $\hat{D}$ và $\hat{B}$, rồi dùng tổng ba góc của $△ABC$ để ra $\hat{C}$.

Vậy $\hat{B}=80^{\circ }$, $\hat{C}=40^{\circ }$, $\hat{D}=60^{\circ }$, $\hat{F}=40^{\circ }$.

Định hướng. Đổi thứ tự: tính thẳng góc thứ ba của $△DEF$ (đã có sẵn $\hat{D}=\hat{A}=60^{\circ }$ và $\hat{E}=80^{\circ }$ ngay trong cùng một tam giác), rồi mới suy sang $△ABC$.

Vậy $\hat{D}=60^{\circ }$, $\hat{F}=40^{\circ }$, $\hat{C}=40^{\circ }$, $\hat{B}=80^{\circ }$.

Nhận xét. Hai cách cho cùng một kết quả; Cách 2 tiện hơn khi hai góc đã cho ($\hat{A}$ và $\hat{E}$) không nằm cùng một tam giác nhưng lại đủ để khép kín tổng ba góc của $△DEF$ ngay từ đầu.