Chương IV. Tam giác bằng nhau

Luyện tập chung (trang 85-86)

SGK Toán 7 — Kết nối tri thức, tập 1 · 4 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Bài 1 · Bài 4.29★★Trang 86— Tính góc và cạnh nhờ tổng ba góc trong tam giác kết hợp hai tam giác bằng nhau

Bài 4.29 (trang 86). Cho Hình 4.73. Hãy tìm số đo

x

y

của các góc và độ dài

a

b

của các đoạn thẳng trên hình vẽ.

Kiến thức cần nhớ

Tổng ba góc trong một tam giác bằng $18 0^{\circ}$ .
Tổng bốn góc trong một tứ giác bằng $36 0^{\circ}$ .
Trường hợp bằng nhau góc - cạnh - góc (g.c.g) của hai tam giác.

🧠 Phân tích tư duy

Đường chéo

A B

chia tứ giác

A B C D

thành hai tam giác

A B C

và

A B D

, mỗi tam giác đã biết hai góc nên tính ngay được góc còn lại bằng tổng ba góc bằng

18 0^{\circ}

— đây là dấu hiệu của dạng \u0022tính góc còn lại của tam giác\u0022. Sau khi có đủ ba góc, hai tam giác

A B C

A B D

hoá ra có chung cạnh

A B

và hai cặp góc kề cạnh đó bằng nhau từng đôi một, nên dùng

g . c . g

để suy ra hai cạnh

a

b

mà không cần đo. Bẫy của đề là nhầm góc

x

(tại đỉnh

A

, thuộc tam giác

A B D

) với góc

4 5^{\circ}

(tại đỉnh

A

, thuộc tam giác

A B C

) — hai góc này kề nhau nhưng không bằng nhau nếu chỉ nhìn lướt hình.

1Cách 1. Tính

x

y

bằng tổng ba góc của từng tam giác rồi dùng

g . c . g

Định hướng. Mỗi tam giác $A B C$ , $A B D$ đã biết hai góc, tính góc còn lại bằng $18 0^{\circ}$ trừ đi tổng hai góc đã biết; sau đó so sánh hai tam giác để tìm $a$ , $b$ .

Trong

△ A B C

B A C + A B C + A C B = 18 0^{\circ}

4 5^{\circ} + y + 7 5^{\circ} = 18 0^{\circ}

y = 18 0^{\circ} - 4 5^{\circ} - 7 5^{\circ} = 6 0^{\circ}

Trong

△ A B D

B A D + A B D + A D B = 18 0^{\circ}

x + 6 0^{\circ} + 7 5^{\circ} = 18 0^{\circ}

x = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} - 7 5^{\circ} = 4 5^{\circ}

Xét

△ A B C

và

△ A B D

B A C = B A D (= 4 5^{\circ})

A B

là cạnh chung,

A B C = A B D (= 6 0^{\circ})

Do đó

△ A B C = △ A B D

(g.c.g)
Suy ra

A C = A D

và

B C = B D

(hai cạnh tương ứng)

b = A D = A C = 4

a = B C = B D = 3, 3

Vậy $x = 4 5^{\circ}$ , $y = 6 0^{\circ}$ , $a = 3, 3$ cm, $b = 4$ cm.

2Cách 2. Dùng tính chất hai góc kề bù kết hợp góc ngoài của tam giác

Định hướng. Thay vì viết cả phương trình tổng ba góc, dùng ngay hệ quả: một góc trong tam giác bằng $18 0^{\circ}$ trừ tổng hai góc còn lại (chính là góc ngoài tại đỉnh đối diện), áp dụng trực tiếp cho $y$ rồi $x$ .

Góc

A B C

là góc còn lại của

△ A B C

nên:

y = 18 0^{\circ} - B A C - A C B = 18 0^{\circ} - 4 5^{\circ} - 7 5^{\circ} = 6 0^{\circ}

Góc

B A D

là góc còn lại của

△ A B D

nên:

x = 18 0^{\circ} - A B D - A D B = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} - 7 5^{\circ} = 4 5^{\circ}

Vì

B A C = B A D = 4 5^{\circ}

A B

chung,

A B C = A B D = 6 0^{\circ}

nên

△ A B C = △ A B D

(g.c.g)
Suy ra

b = A D = A C = 4

cm và

a = B C = B D = 3, 3

Vậy $x = 4 5^{\circ}$ , $y = 6 0^{\circ}$ , $a = 3, 3$ cm, $b = 4$ cm.

3Cách 3. Lập hệ phương trình từ tam giác ABD và tứ giác ABCD rồi giải đồng thời

Định hướng. Tận dụng thêm tính chất tổng bốn góc trong tứ giác bằng $36 0^{\circ}$ để lập một phương trình thứ hai, ghép với phương trình của riêng $△ A B D$ thành hệ hai ẩn $x$ , $y$ .

Trong

△ A B D

x + 6 0^{\circ} + 7 5^{\circ} = 18 0^{\circ}

(1)
Trong tứ giác

A B C D

(4 5^{\circ} + x) + (y + 6 0^{\circ}) + 7 5^{\circ} + 7 5^{\circ} = 36 0^{\circ}

(2)
Từ (1):

x = 4 5^{\circ}

Thay vào (2):

(4 5^{\circ} + 4 5^{\circ}) + (y + 6 0^{\circ}) + 15 0^{\circ} = 36 0^{\circ}

y = 36 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - 6 0^{\circ} - 15 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

Vì

B A C = B A D = 4 5^{\circ}

A B

chung,

A B C = A B D = 6 0^{\circ}

nên

△ A B C = △ A B D

(g.c.g), suy ra

b = A D = A C = 4

cm,

a = B C = B D = 3, 3

Vậy $x = 4 5^{\circ}$ , $y = 6 0^{\circ}$ , $a = 3, 3$ cm, $b = 4$ cm.

Nhận xét. Phương trình (2) chỉ là hệ quả cộng lại của hai phương trình riêng từng tam giác, nên Cách 3 chủ yếu hữu ích để tự kiểm tra chéo kết quả của Cách 1, Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 1 hoặc Cách 2 (bản chất như nhau): tính

x

y

trực tiếp từ tổng ba góc của từng tam giác rồi dùng

g . c . g

suy ra

a

b

— nhanh và không cần lập hệ; Cách 3 chỉ nên dùng để kiểm tra lại đáp số.

Đáp số.

x = 4 5^{\circ}

;

y = 6 0^{\circ}

;

a = 3, 3

cm;

b = 4

cm.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là gán nhầm

x

và

4 5^{\circ}

là cùng một góc (vì cùng ở đỉnh

A

) nên tính thiếu một tam giác, hoặc quên rằng

a

b

phải suy ra từ hai tam giác bằng nhau chứ không thể đo trực tiếp trên hình.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi

A C B

và

A D B

thành hai giá trị khác nhau (không còn cùng

7 5^{\circ}

) thì

△ A B C

và

△ A B D

không còn bằng nhau nữa, khi đó

a

b

phải cho thêm dữ kiện khác mới tính được.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 4.30★★Trang 86— Chứng minh hai tam giác bằng nhau nhờ một góc chung tại đỉnh của góc cho trước

Bài 4.30 (trang 86). Cho góc

x O y

. Trên tia

O x

lấy hai điểm

A

M

; trên tia

O y

lấy hai điểm

B

N

sao cho

O A = O B

O M = O N

O A > O M

. Chứng minh rằng:
a)

△ O A N = △ O B M

;
b)

△ A M N = △ B N M

Kiến thức cần nhớ

Trường hợp bằng nhau cạnh - góc - cạnh (c.g.c) của hai tam giác.
Trường hợp bằng nhau cạnh - cạnh - cạnh (c.c.c) của hai tam giác.
Tính chất tam giác cân: hai góc ở đáy bằng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Hai tam giác

O A N

và

O B M

có chung đỉnh

O

và cùng nhận góc

x O y

làm góc ở đỉnh (vì

A, M

trên

O x

còn

N, B

trên

O y

) — đây là dấu hiệu rõ của trường hợp

c . g . c

với góc xen giữa là góc chung. Sau khi có

△ O A N = △ O B M

, hai cạnh còn lại

A M

và

B N

(phần thừa ra ngoài đoạn

O M

O N

) bằng nhau vì là hiệu của hai cặp đoạn bằng nhau, nên tam giác

A M N

B N M

tiếp tục bằng nhau nhờ cạnh chung

M N

. Bẫy của đề là nhầm thứ tự tương ứng đỉnh: phải ghép

O \leftrightarrow O

A \leftrightarrow B

N \leftrightarrow M

(không phải

A \leftrightarrow M

1Cách 1. Chứng minh bằng c.g.c rồi dùng phép trừ đoạn thẳng

Định hướng. Câu a dùng ngay góc $x O y$ làm góc chung xen giữa hai cặp cạnh bằng nhau; câu b tính $A M$ , $B N$ bằng phép trừ đoạn thẳng rồi ghép với kết quả câu a.

a) Xét

△ O A N

và

△ O B M

O A = O B

(giả thiết)

A O N = B O M

(cùng là góc

x O y

)

O N = O M

(giả thiết)
Do đó

△ O A N = △ O B M

(c.g.c)
b) Từ câu a suy ra

A N = B M

(hai cạnh tương ứng)
Vì

M

nằm giữa

O

A

và

N

nằm giữa

O

B

(do

O A > O M

O B > O N

) nên:

A M = O A - O M

B N = O B - O N

Mà

O A = O B

O M = O N

nên

A M = B N

Xét

△ A M N

và

△ B N M

A M = B N

M N

là cạnh chung,

N A = M B

(theo câu a)
Do đó

△ A M N = △ B N M

(c.c.c)

Vậy $△ O A N = △ O B M$ và $△ A M N = △ B N M$ .

2Cách 2. Dùng tam giác cân OMN để tìm góc bằng nhau, chứng minh câu b theo c.g.c

Định hướng. Câu a giữ nguyên như Cách 1; câu b thay vì tính lại độ dài, dùng tính chất tam giác cân $O M N$ ( $O M = O N$ ) để suy ra một cặp góc kề bù bằng nhau, rồi ghép $c . g . c$ .

△ O A N = △ O B M

(c.g.c) như Cách 1, suy ra

A N = B M

và

O N A = O M B

△ O M N

có

O M = O N

nên cân tại

O

, suy ra

O M N = O N M

Vì

A

thuộc tia đối của tia

M O

tại

M

nên

N M A = 18 0^{\circ} - O M N

Vì

B

thuộc tia đối của tia

N O

tại

N

nên

M N B = 18 0^{\circ} - O N M

Mà

O M N = O N M

nên

N M A = M N B

Xét

△ A M N

và

△ B N M

N A = M B

(theo câu a),

N M A = M N B

(vừa chứng minh),

M N

là cạnh chung
Do đó

△ A M N = △ B N M

(c.g.c)

Vậy $△ O A N = △ O B M$ và $△ A M N = △ B N M$ .

Nhận xét. Cách 2 tránh phải lập luận M nằm giữa O, A để trừ đoạn thẳng, thay bằng tính chất tam giác cân sẵn có.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 1: chỉ cần một phép trừ đoạn thẳng đơn giản (

A M = O A - O M

), không phải chứng minh thêm tam giác cân như Cách 2.

Đáp số.

△ O A N = △ O B M

(c.g.c) và

△ A M N = △ B N M

(c.c.c).

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là ghép sai cặp đỉnh tương ứng khi viết

△ O A N = △ O B M

(ví dụ viết nhầm thành

△ O A N = △ O M B

), dẫn đến suy luận sai cặp cạnh bằng nhau ở bước sau.

🚀 Mở rộng. Nếu thay điều kiện

O A > O M

bằng

O A < O M

thì thứ tự M nằm giữa O, A không còn đúng, phải xét lại vị trí các điểm trước khi trừ đoạn thẳng, nhưng kết quả hai tam giác vẫn bằng nhau tương tự.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 4.31★★Trang 86— Chứng minh hai đoạn thẳng và hai tam giác bằng nhau nhờ góc đối đỉnh

Bài 4.31. Cho Hình 4.74, biết

O A = O B

O C = O D

. Chứng minh rằng:
a)

A C = B D

;
b)

△ A C D = △ B D C

Kiến thức cần nhớ

Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.
Trường hợp bằng nhau cạnh - góc - cạnh (c.g.c) và cạnh - cạnh - cạnh (c.c.c) của hai tam giác.
Tính chất tam giác cân: hai góc ở đáy bằng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Hai đoạn

A D

và

B C

cắt nhau tại

O

nên góc

A O C

và

B O D

là hai góc đối đỉnh — dấu hiệu để dùng

c . g . c

cho

△ O A C

và

△ O B D

mà không cần đo góc. Sau khi có

A C = B D

, tam giác

A C D

và

B D C

còn thiếu một cặp cạnh bằng nhau (

A D

và

B C

), có thể lấy từ phép cộng đoạn thẳng (

A D = A O + O D

B C = B O + O C

) hoặc từ một cặp tam giác bằng nhau khác dựng theo đúng cách làm với góc đối đỉnh còn lại (

A O D = B O C

). Bẫy của đề là tưởng

A C

B D

đã có sẵn trên hình (chúng không được vẽ liền nét trong Hình 4.74) nên phải chứng minh bằng lập luận, không được đo.

1Cách 1. Ghép c.g.c với góc đối đỉnh rồi cộng đoạn thẳng

Định hướng. Dùng góc đối đỉnh tại O để có ΔOAC = ΔOBD (c.g.c) suy ra AC = BD; sau đó cộng đoạn thẳng để có AD = BC rồi ghép c.c.c cho câu b.

a) Vì

A D

và

B C

cắt nhau tại

O

nên

A O C = B O D

(hai góc đối đỉnh)
Xét

△ O A C

và

△ O B D

O A = O B

(giả thiết),

A O C = B O D

O C = O D

(giả thiết)
Do đó

△ O A C = △ O B D

(c.g.c)
Suy ra

A C = B D

(hai cạnh tương ứng)
b) Vì

O

nằm giữa

A

D

và

O

nằm giữa

B

C

nên:

A D = A O + O D

B C = B O + O C

Mà

A O = B O

O D = O C

nên

A D = B C

Xét

△ A C D

và

△ B D C

A C = B D

(câu a),

C D

là cạnh chung,

D A = C B

(vừa chứng minh)
Do đó

△ A C D = △ B D C

(c.c.c)

Vậy $A C = B D$ và $△ A C D = △ B D C$ .

2Cách 2. Ghép c.g.c với góc đối đỉnh rồi dùng góc thay cho cạnh AD, BC

Định hướng. Câu a giữ như Cách 1; câu b không cộng đoạn thẳng mà chứng minh $A C D = B D C$ nhờ tam giác cân $O C D$ kết hợp góc tương ứng ở câu a, rồi ghép c.g.c.

△ O A C = △ O B D

(c.g.c) như Cách 1, suy ra

A C = B D

và

O C A = O D B

(hai góc tương ứng)
b)

△ O C D

có

O C = O D

nên cân tại

O

, suy ra

O C D = O D C

Cộng hai góc kề:

A C D = O C D + O C A

và

B D C = O D C + O D B

Vì

O C D = O D C

và

O C A = O D B

nên

A C D = B D C

Xét

△ A C D

và

△ B D C

C D

là cạnh chung,

A C D = B D C

A C = B D

(câu a)
Do đó

△ A C D = △ B D C

(c.g.c)

Vậy $A C = B D$ và $△ A C D = △ B D C$ .

3Cách 3. Ghép thêm một cặp tam giác bằng nhau thứ hai để tránh phép cộng đoạn thẳng

Định hướng. Thay vì cộng đoạn thẳng như Cách 1, chứng minh song song thêm $△ O A D = △ O B C$ bằng chính góc đối đỉnh còn lại tại O, để lấy $A D = B C$ trực tiếp từ hai cạnh tương ứng.

△ O A C = △ O B D

(c.g.c, dùng

A O C = B O D

đối đỉnh) như Cách 1, suy ra

A C = B D

Mặt khác

A O D = B O C

(hai góc đối đỉnh còn lại tại O)
Xét

△ O A D

và

△ O B C

O A = O B

A O D = B O C

O D = O C

Do đó

△ O A D = △ O B C

(c.g.c), suy ra

A D = B C

(hai cạnh tương ứng)
Xét

△ A C D

và

△ B D C

A C = B D

C D

chung,

D A = C B

Do đó

△ A C D = △ B D C

(c.c.c)

Vậy $A C = B D$ và $△ A C D = △ B D C$ .

Nhận xét. Cách 3 không cần lập luận O nằm giữa A, D hay B, C, nên chặt chẽ hơn khi chưa chắc thứ tự các điểm trên hình.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 1: phép cộng đoạn thẳng

A D = A O + O D

ngắn và trực quan hơn hẳn việc chứng minh thêm một cặp tam giác bằng nhau như Cách 3.

Đáp số.

A C = B D

;

△ A C D = △ B D C

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là tưởng

A O C

và

B O C

là hai góc đối đỉnh (nhầm cặp cạnh), trong khi cặp góc đối đỉnh đúng phải là

A O C

với

B O D

(hai cạnh của góc này là tia đối của hai cạnh của góc kia).

🚀 Mở rộng. Cùng cách chứng minh này còn dùng được để suy ra

C A D = D B C

(từ

△ A C D = △ B D C

), tức là hai đoạn AB nhìn đoạn CD dưới hai góc bằng nhau tại A và B.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 4.32★★★Trang 86— Chứng minh tam giác đều nhờ đường trung trực hoặc tam giác bằng nhau

Bài 4.32. Cho tam giác

M B C

vuông tại

M

có

B = 6 0^{\circ}

. Gọi

A

là điểm nằm trên tia đối của tia

M B

sao cho

M A = M B

. Chứng minh rằng tam giác

A B C

là tam giác đều.

Kiến thức cần nhớ

Tính chất đường trung trực của đoạn thẳng: điểm nằm trên trung trực thì cách đều hai mút đoạn thẳng.
Trường hợp bằng nhau hai cạnh góc vuông của tam giác vuông.
Tam giác cân có một góc bằng $6 0^{\circ}$ là tam giác đều.

🧠 Phân tích tư duy

Vì

A

nằm trên tia đối của tia

M B

và

M A = M B

nên

M

chính là trung điểm của

A B

; kết hợp

C M ⊥ A B

tại

M

(do góc

M

vuông) cho thấy

C M

chính là đường trung trực của đoạn

A B

— đây là dấu hiệu để dùng ngay kiến thức vừa học ở Bài 16. Từ đó

C A = C B

, tam giác

A B C

cân tại

C

, và góc ở đáy

B = 6 0^{\circ}

cho sẵn giúp suy ra cả ba góc bằng nhau. Bẫy của đề là quên chứng minh

M

là trung điểm

A B

trước khi áp dụng tính chất trung trực — phải nêu rõ

A

M

B

thẳng hàng và

M A = M B

1Cách 1. Dùng tính chất đường trung trực của đoạn thẳng (Bài 16)

Định hướng. Nhận ra CM là đường trung trực của AB rồi áp dụng ngay tính chất điểm trên trung trực cách đều hai mút, không cần chứng minh lại bằng tam giác bằng nhau.

Vì

A

thuộc tia đối của tia

M B

và

M A = M B

nên

A

M

B

thẳng hàng và

M

là trung điểm của

A B

Vì

△ M B C

vuông tại

M

nên

C M ⊥ A B

tại

M

Do đó

C M

là đường trung trực của đoạn thẳng

A B

Suy ra

C A = C B

(tính chất đường trung trực), tức

△ A B C

cân tại

C

Vì

△ A B C

cân tại

C

nên

C A B = C B A = B = 6 0^{\circ}

A C B = 18 0^{\circ} - C A B - C B A = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

Vậy $△ A B C$ có ba góc bằng nhau và bằng $6 0^{\circ}$ nên $△ A B C$ là tam giác đều.

2Cách 2. Chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau (c.g.c) rồi suy ra tam giác cân

Định hướng. Không dùng trực tiếp định lí trung trực mà tự chứng minh lại CA = CB bằng hai tam giác vuông bằng nhau, phù hợp khi chưa quen áp dụng tính chất trung trực.

Vì

A

thuộc tia đối của tia

M B

và

M A = M B

nên

A

M

B

thẳng hàng,

M

là trung điểm

A B

Xét

△ C M A

và

△ C M B

C M

là cạnh chung,

C M A = C M B = 9 0^{\circ}

M A = M B

(giả thiết)
Do đó

△ C M A = △ C M B

(hai cạnh góc vuông)
Suy ra

C A = C B

(hai cạnh tương ứng) và

C A M = C B M = B = 6 0^{\circ}

(hai góc tương ứng)

A C B = 18 0^{\circ} - C A B - C B A = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

Vậy $△ A B C$ có ba góc bằng nhau và bằng $6 0^{\circ}$ nên $△ A B C$ là tam giác đều.

Nhận xét. Cách 2 thực chất chứng minh lại đúng nội dung định lí trung trực bằng tam giác bằng nhau, nên kết quả trùng Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 1: áp dụng thẳng tính chất đường trung trực (vừa học ở Bài 16) cho lời giải ngắn nhất, khỏi phải chứng minh lại hai tam giác bằng nhau.

Đáp số.

△ A B C

là tam giác đều (ba góc đều bằng

6 0^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là quên chứng minh

A

M

B

thẳng hàng với

M

là trung điểm

A B

trước khi dùng tính chất trung trực, hoặc kết luận tam giác đều chỉ vì có một góc

6 0^{\circ}

mà chưa chứng minh tam giác cân trước.

🚀 Mở rộng. Nếu thay góc

B = 6 0^{\circ}

bằng một góc khác, tam giác

A B C

vẫn luôn cân tại

C

(vì

C M

luôn là trung trực của

A B

) nhưng chỉ đều khi góc đáy đúng bằng

6 0^{\circ}

Mở bài này trong app ↗