Bài 1. Đơn thức

Định hướng. Định nghĩa đơn thức chỉ cho phép biểu thức là một số, một biến, hoặc một tích các số và biến; cứ soi xem $x^2-2x$ có đúng dạng đó không là trả lời được.

Vậy $x^2-2x$ không phải là đơn thức một biến, vì nó là hiệu của hai hạng tử chứ không phải một tích; $3x^2$, $-5x$, $7$, $x^3$ đều là đơn thức một biến.

Định hướng. Nếu $x^2-2x$ là một đơn thức thì phải viết được nó dưới dạng một tích các số và biến; thử tìm cách viết đó sẽ thấy ngay có làm được hay không.

Vậy $x^2-2x$ không phải là đơn thức một biến; các đơn thức một biến khác có thể kể thêm: $-\frac{1}{2}{x}^4$ ; $0,5x$.

Nhận xét. Dù đổi cách viết bằng cách đặt nhân tử chung, thừa số còn lại vẫn chứa phép trừ nên kết luận không đổi — đây là dấu hiệu chắc chắn để loại một biểu thức khỏi tập đơn thức.

Định hướng. Mọi đơn thức một biến $x$ đều viết được dưới dạng $a{x}^n$ với $a$ là một số cố định và $n$ là số tự nhiên; nếu $x^2-2x$ là đơn thức thì phải tồn tại cặp $a$, $n$ như vậy đúng với MỌI $x$, chỉ cần chỉ ra hai giá trị của $x$ làm điều đó không thể xảy ra là bác bỏ được.

Vậy không có cặp số $a$, $n$ nào để $x^2-2x=a{x}^n$ với mọi $x$, nên $x^2-2x$ không phải là đơn thức một biến. Một vài đơn thức một biến: $3x^2$ ; $-5x$ ; $7$ ; $x^3$.

Nhận xét. Cách bác bỏ bằng hai giá trị cụ thể tuy dài hơn nhưng cho thấy bản chất: đơn thức một biến là biểu thức luôn tỉ lệ với một luỹ thừa cố định của $x$, còn $x^2-2x$ thì lúc dương lúc âm lúc bằng $0$ theo kiểu không luỹ thừa nào theo kịp.

Định hướng. Ranh giới giữa hai nhóm chỉ nằm ở một dấu hiệu duy nhất — có phép cộng/trừ nối các hạng tử hay không — nên xét lần lượt bảy biểu thức theo đúng dấu hiệu đó.

Vậy Nhóm 1 (có cộng/trừ): $x^3-\frac{1}{2}x$ ; $-2x+7y$ ; $x+2y-z$. Nhóm 2 (còn lại): $-5x^{2}y$ ; $17z^4$ ; $-\frac{1}{5}{y}^2\cdot 5$ ; $xy\cdot 4x^2$. Nhóm 2 gồm những đơn thức.

Định hướng. Một biểu thức viết dưới dạng tổng đại số luôn tách được thành từ hai hạng tử trở lên; đếm số hạng tử của mỗi biểu thức cũng phân được hai nhóm như trên.

Vậy các biểu thức một hạng tử là $-5x^{2}y$ ; $17z^4$ ; $-\frac{1}{5}{y}^2\cdot 5$ ; $xy\cdot 4x^2$ — đây chính là Nhóm 2, nhóm các đơn thức; các biểu thức từ hai hạng tử trở lên thuộc Nhóm 1.

Nhận xét. Đếm số hạng tử là một cách nhìn khác của việc soi dấu cộng/trừ, nhưng tiện hơn khi biểu thức có tới ba, bốn hạng tử như $x+2y-z$.

Định hướng. Biểu thức nào thu gọn được về dạng một số nhân với các luỹ thừa của biến thì là đơn thức; biểu thức nào thu gọn xong vẫn còn từ hai hạng tử trở lên thì không phải.

Vậy Nhóm 1 gồm $x^3-\frac{1}{2}x$ ; $-2x+7y$ ; $x+2y-z$; Nhóm 2 gồm $-5x^{2}y$ ; $17z^4$ ; $-\frac{1}{5}{y}^2\cdot 5$ ; $xy\cdot 4x^2$ và chính Nhóm 2 là nhóm các đơn thức.

Nhận xét. Thu gọn về dạng chuẩn còn cho luôn hệ số và phần biến của mỗi đơn thức, tiện cho các câu hỏi tiếp theo của bài học; đổi lại nó tốn thời gian hơn khi chỉ cần phân loại.

Định hướng. Bảy biểu thức chỉ cần soi lần lượt theo đúng định nghĩa đơn thức: có phải một số, một biến, hay một tích các số-biến hay không.

Vậy đơn thức là $3x^{3}y$ ; $-4$ ; $12x^5$ ; $-\frac{5}{9}xyz$ ; $\frac{x^{2}y}{2}$; không phải đơn thức là $(3-x)x^2{y}^2$ và $\frac{3}{x}+y^2$.

Định hướng. Thay vì kiểm tra dương tính từng biểu thức, chỉ cần lùng đúng hai dấu hiệu khiến một biểu thức không là đơn thức: có phép cộng/trừ giữa các hạng tử, hoặc có biến ở mẫu.

Vậy loại $(3-x)x^2{y}^2$ và $\frac{3}{x}+y^2$; còn lại $3x^{3}y$ ; $-4$ ; $12x^5$ ; $-\frac{5}{9}xyz$ ; $\frac{x^{2}y}{2}$ đều là đơn thức.

Nhận xét. Cách 2 nhanh hơn khi danh sách dài, vì chỉ cần bắt đúng hai dấu hiệu loại thay vì soi đầy đủ từng biểu thức.

Định hướng. Đơn thức là biểu thức viết được thành tích của một số với các biến, mỗi biến lặp lại một số nguyên dương lần; thử viết lại từng biểu thức theo đúng khuôn ấy, viết được là đơn thức, không viết được thì không.

Vậy các đơn thức là $3x^{3}y$ ; $-4$ ; $12x^5$ ; $-\frac{5}{9}xyz$ ; $\frac{x^{2}y}{2}$; hai biểu thức còn lại $(3-x)x^2{y}^2$ và $\frac{3}{x}+y^2$ không phải đơn thức.

Nhận xét. Viết tường minh thành tích các biến lặp lại giúp thấy rõ vì sao $\frac{x^{2}y}{2}$ là đơn thức còn $\frac{3}{x}$ thì không: chia cho số $2$ chính là nhân với $\frac{1}{2}$, còn chia cho biến $x$ thì không đưa được về phép nhân các biến.

Định hướng. Phép cộng bị cấm trong định nghĩa đơn thức là phép cộng NỐI CÁC HẠNG TỬ của biểu thức; cần soi xem $1+\sqrt{2}$ đóng vai trò gì trong $(1+\sqrt{2})x^{2}y$ trước khi kết luận.

Vậy $(1+\sqrt{2})x^{2}y$ vẫn là một đơn thức, vì $1+\sqrt{2}$ chỉ đóng vai trò một hệ số; bạn cho rằng đó là một đơn thức đã nói đúng.

Định hướng. So sánh $(1+\sqrt{2})x^{2}y$ với một biểu thức có phép cộng NỐI CÁC HẠNG TỬ thật sự, như $x^{2}y+y$, sẽ thấy rõ chỗ khác nhau.

Vậy $(1+\sqrt{2})x^{2}y$ là một đơn thức có hệ số $1+\sqrt{2}$, khác hẳn trường hợp $x^{2}y+y$; bạn cho rằng có phép cộng nên không phải đơn thức đã nhầm.

Nhận xét. Đây là điểm dễ nhầm nhất khi hệ số là một biểu thức chứa căn: chỉ cần hệ số rút về đúng một số là đơn thức vẫn hợp lệ, bất kể số đó viết dưới dạng tổng hay hiệu.

Định hướng. Cụm $1+\sqrt{2}$ không chứa biến nên nó là một số cố định; đặt cho nó một tên là $a$ thì biểu thức mang đúng dạng quen thuộc $a{x}^{2}y$, khi đó câu trả lời hiện ra ngay.

Vậy $(1+\sqrt{2})x^{2}y$ có dạng một số nhân với $x^{2}y$, nên nó LÀ một đơn thức với hệ số $1+\sqrt{2}$, phần biến $x^{2}y$; bạn cho rằng đúng là bạn nói đúng.

Nhận xét. Phép thử này cũng chỉ ra ranh giới: nếu trong ngoặc có mặt biến, chẳng hạn $(1+y)x^{2}y$, thì không đặt được thành một số $a$ nữa và biểu thức thôi không còn là đơn thức.

Định hướng. Ba đơn thức đã ở dạng thu gọn nên chỉ cần tách đúng phần số đứng trước và phần biến đứng sau, rồi cộng số mũ để ra bậc.

Vậy $2,5x$ có hệ số $2,5$, phần biến $x$, bậc $1$; $-\frac{1}{4}{y}^2{z}^3$ có hệ số $-\frac{1}{4}$, phần biến $y^2{z}^3$, bậc $5$; $0,35x{y}^2{z}^4$ có hệ số $0,35$, phần biến $x{y}^2{z}^4$, bậc $7$.

Định hướng. Số mũ của một biến chính là biến đó xuất hiện bao nhiêu lần trong tích; viết tường minh phép nhân lặp lại rồi đếm sẽ ra đúng bậc mà không cần nhớ công thức cộng số mũ.

Vậy bậc của $2,5x$ là $1$, của $-\frac{1}{4}{y}^2{z}^3$ là $5$, của $0,35x{y}^2{z}^4$ là $7$; hệ số và phần biến giữ nguyên như đã tách ở trên.

Nhận xét. Đếm trực tiếp là cách chậm nhưng trực quan để kiểm tra lại kết quả cộng số mũ, hữu ích khi số mũ lớn dễ cộng nhầm.

Định hướng. Nếu thay tất cả các biến của một đơn thức bởi cùng một chữ $t$ thì mọi số mũ tự động cộng dồn lại; số mũ của $t$ thu được chính là bậc, nên đây là phép soát bậc rất nhanh.

Vậy $2,5x$ có hệ số $2,5$, phần biến $x$, bậc $1$; $-\frac{1}{4}{y}^2{z}^3$ có hệ số $-\frac{1}{4}$, phần biến $y^2{z}^3$, bậc $5$; $0,35x{y}^2{z}^4$ có hệ số $0,35$, phần biến $x{y}^2{z}^4$, bậc $7$.

Nhận xét. Phép thay mọi biến bởi $t$ tự khắc đếm cả số mũ $1$ của biến viết trần, nên bắt được đúng cái lỗi hay gặp nhất của dạng bài này.

Định hướng. Đơn thức có hai hệ số ($4,5$ và $-2$) và biến $x$ xuất hiện hai lần, nên gộp riêng phần số rồi gộp riêng từng biến là thu gọn được ngay.

Vậy đơn thức thu gọn là $-9x^3{y}^{2}z$, có bậc $6$.

Định hướng. Trước khi nhân, gom hết các thừa số cùng loại đứng cạnh nhau (số với số, $x$ với $x$, $y$ với $y$) theo đúng thứ tự chữ cái, để phép tính chỉ còn nhân lần lượt từng nhóm.

Vậy đơn thức thu gọn là $-9x^3{y}^{2}z$, có hệ số $-9$, phần biến $x^3{y}^{2}z$, bậc $6$.

Nhận xét. Viết tường minh số mũ dạng $x^{2+1}$ trước khi cộng giúp kiểm tra chéo không bị nhầm khi có nhiều biến giống nhau.

Định hướng. Tích ban đầu và đơn thức thu gọn phải nhận cùng một giá trị tại mọi bộ số; chọn bộ số dễ tính rồi so hai giá trị ấy là biết phép thu gọn có sót thừa số nào không.

Vậy $4,5x^{2}y(-2)xyz=-9x^3{y}^{2}z$ và đơn thức này có bậc $6$.

Nhận xét. Dòng cuối thay cả ba biến bởi $t$ vừa xác nhận bậc $6$ vừa cho thấy nếu quên nhân số $-2$ thì giá trị thử sẽ ra $288$ chứ không phải $-576$ — sai lệch lộ ra ngay.

Định hướng. Muốn cùng bậc với $M=3x^2$ thì phần biến bắt buộc phải là $x^2$; chỉ còn tự do chọn hệ số khác $0$ đứng trước.

Vậy $5x^2$ ; $-7x^2$ ; $\frac{1}{2}{x}^2$ là ba đơn thức cùng bậc với $M$; cả ba đều có phần biến $x^2$, giống hệt nhau.

Định hướng. Sau khi chọn ba đơn thức, đếm lại đúng số mũ của $x$ trong từng đơn thức để chắc chắn cả ba cùng bậc $2$ như $M$, không lệch đi đâu.

Vậy ba đơn thức trên đúng là cùng bậc với $M$, và phần biến của chúng đều là $x^2$.

Nhận xét. Với đơn thức một biến, cùng bậc kéo theo cùng phần biến một cách tự động, vì phần biến chỉ có một luỹ thừa duy nhất của một biến duy nhất.

Định hướng. Thay vì chỉ nêu ba ví dụ rồi nhận xét, hãy lập luận trên một đơn thức bất kì để thấy kết luận đúng cho mọi trường hợp chứ không phải ăn may với ba ví dụ vừa chọn.

Vậy ba đơn thức $5x^2$ ; $-7x^2$ ; $\frac{1}{2}{x}^2$ đều cùng bậc $2$ với $M=3x^2$, và MỌI đơn thức biến $x$ bậc $2$ đều có chung phần biến $x^2$ với $M$.

Nhận xét. Kết luận mạnh hơn hẳn việc liệt kê ví dụ: với đơn thức MỘT biến, cùng bậc thì chắc chắn cùng phần biến — và ở HĐ4 ta sẽ thấy điều này không còn đúng khi có từ hai biến trở lên.

Định hướng. Bậc chỉ cần cộng số mũ nên tính trước cho cả ba đơn thức; sau đó nhìn thẳng vào cách viết phần biến để so xem có trùng nhau chữ nào ra chữ nấy hay không.

Vậy a) ba đơn thức $A$, $B$, $C$ đều có bậc $5$; b) $A$ và $B$ có cùng phần biến $x^2{y}^3$, còn $C$ có phần biến $x^3{y}^2$ khác hẳn.

Định hướng. Thay vì so cả cụm phần biến, tách riêng số mũ của $x$ và số mũ của $y$ ở từng đơn thức để thấy ngay chỗ giống và khác.

Vậy $A$ và $B$ có phần biến giống nhau hệt từng biến một; $C$ tuy cùng bậc $5$ nhưng phần biến khác $A$, $B$.

Nhận xét. Bậc bằng nhau chỉ là điều kiện cần chứ không đủ để hai đơn thức có cùng phần biến — $C$ là ví dụ rõ nhất, cùng bậc $5$ với $A$, $B$ nhưng số mũ của $x$ và $y$ đã đổi chỗ cho nhau.

Định hướng. Hai đơn thức có cùng phần biến thì thương của chúng rút gọn hết biến và chỉ còn một số; ngược lại nếu thương vẫn còn biến thì phần biến của chúng khác nhau. Lập thương từng cặp là có ngay câu trả lời.

Vậy a) cả ba đơn thức $A$, $B$, $C$ đều có bậc $5$; b) $A$ và $B$ có cùng phần biến $x^2{y}^3$, còn $C$ có phần biến $x^3{y}^2$ khác hẳn hai đơn thức kia.

Nhận xét. Dòng cuối cho thấy vì sao bậc không đủ để phân biệt: thay mọi biến bởi $t$ thì cả ba đều thành bội của $t^5$, mọi thông tin về việc số mũ nào thuộc biến nào đã bị xoá sạch.

Định hướng. Bảy đơn thức chỉ có ba dạng phần biến khác nhau; viết rõ phần biến từng đơn thức ra là gom được đúng nhóm ngay.

Vậy Nhóm $x^{2}y$: $\frac{5}{3}{x}^{2}y$ ; $-\frac{1}{4}{x}^{2}y$. Nhóm $x{y}^2$: $-x{y}^2$ ; $-2x{y}^2$ ; $3x{y}^2$. Nhóm $x^4$: $0,5x^4$ ; $2,75x^4$.

Định hướng. Trước tiên tách các đơn thức theo bậc, sau đó trong mỗi bậc mới soát tiếp số mũ riêng của $x$ và $y$ để tránh gộp nhầm hai phần biến khác nhau mà cùng bậc.

Vậy kết quả phân nhóm giống Cách 1: Nhóm $x^{2}y$: $\frac{5}{3}{x}^{2}y$ ; $-\frac{1}{4}{x}^{2}y$. Nhóm $x{y}^2$: $-x{y}^2$ ; $-2x{y}^2$ ; $3x{y}^2$. Nhóm $x^4$: $0,5x^4$ ; $2,75x^4$.

Nhận xét. Bậc $3$ xuất hiện ở cả $x^{2}y$ và $x{y}^2$ nhưng đây là hai phần biến khác nhau — nhắc lại đúng bài học của HĐ4: cùng bậc chưa chắc đồng dạng.

Định hướng. Hai đơn thức khác $0$ đồng dạng khi và chỉ khi thương của chúng là một số; lấy mỗi nhóm một đơn thức làm đại diện rồi chia các đơn thức còn lại cho đại diện ấy.

Vậy ba nhóm đồng dạng là: nhóm $x^{2}y$ gồm $\frac{5}{3}{x}^{2}y$ và $-\frac{1}{4}{x}^{2}y$; nhóm $x{y}^2$ gồm $-x{y}^2$, $-2x{y}^2$, $3x{y}^2$; nhóm $x^4$ gồm $0,5x^4$ và $2,75x^4$.

Nhận xét. Dòng kiểm chéo cuối là chỗ đáng giá nhất: nó chứng minh bằng phép tính rằng $\frac{5}{3}{x}^{2}y$ và $-x{y}^2$ không đồng dạng, chứ không chỉ nói suông rằng phần biến khác nhau.

Định hướng. Muốn bác bỏ một khẳng định luôn đúng, chỉ cần chỉ ra đúng một trường hợp trái lại; HĐ4 vừa cho sẵn một cặp đơn thức hai biến cùng bậc mà không đồng dạng.

Vậy điều đó KHÔNG còn đúng với đơn thức nhiều biến: $A$ và $C$ cùng bậc $5$, cùng gồm hai biến $x$, $y$, nhưng không đồng dạng.

Định hướng. Dựng thêm một cặp đơn thức khác, không lấy lại HĐ4, để chắc chắn đây không phải là trường hợp đặc biệt hiếm gặp.

Vậy $P=x^{4}y$ và $Q=x{y}^4$ là một phản ví dụ khác, cùng khẳng định điều đó KHÔNG còn đúng với đơn thức nhiều biến.

Nhận xét. Có thể tạo vô số phản ví dụ tương tự bằng cách hoán đổi số mũ giữa hai biến — đây là lí do vì sao với đơn thức nhiều biến phải kiểm tra đúng phần biến chứ không thể chỉ dựa vào bậc.

Định hướng. Thay vì chỉ nêu một phản ví dụ, hãy liệt kê mọi phần biến có thể có của đơn thức hai biến bậc $5$ để thấy phản ví dụ không phải chuyện hiếm mà là chuyện thường gặp.

Vậy với đơn thức nhiều biến, cùng bậc KHÔNG còn kéo theo đồng dạng: riêng bậc $5$ hai biến đã có tới sáu nhóm đồng dạng khác nhau, muốn đồng dạng thì số mũ của TỪNG biến phải trùng nhau.

Nhận xét. Con số $6$ ở trên giải thích luôn vì sao tính chất đúng với một biến: khi chỉ có một biến thì bậc $5$ chỉ ứng với đúng một phần biến $x^5$, nên cùng bậc buộc phải cùng phần biến.

Định hướng. Ví dụ có dạng $ab+ac$ với $b=c=3^2\cdot 5^3$, còn $a$ đóng vai trò hai số hạng $2,5$ và $8,5$; so khớp với công thức phân phối tổng quát là nhận ra ngay tính chất được dùng.

Vậy ví dụ trên vận dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng, đặt nhân tử chung $3^2\cdot 5^3$.

Định hướng. Tính riêng vế trái và vế phải bằng số cụ thể, nếu ra cùng một kết quả thì phép biến đổi thu gọn ở trên là hợp lệ, đúng bản chất phân phối.

Vậy hai vế cho cùng kết quả $12375$, xác nhận phép thu gọn dùng đúng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng.

Nhận xét. Kiểm tra bằng số cụ thể là cách chắc chắn để tin vào một phép biến đổi đại số, nhất là khi mới học một tính chất.

Định hướng. Cụm $3^2\cdot 5^3$ có mặt nguyên vẹn ở cả hai số hạng và không hề bị biến đổi; đặt cho nó một tên là $a$ để nhìn thấy khung của phép biến đổi mà không bị các con số làm rối mắt.

Vậy phép biến đổi trong ví dụ đã vận dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng, viết ở dạng đặt nhân tử chung $ma+na=(m+n)a$.

Nhận xét. Nhìn qua chữ $a$ mới thấy rõ tính chất giao hoán chỉ đổi chỗ thừa số, tính chất kết hợp chỉ đổi cách đặt ngoặc, còn ở đây hai số hạng đã GỘP thành một — chỉ tính chất phân phối làm được điều đó.

Định hướng. $M$ và $P$ đồng dạng nên có chung phần biến $x^2{y}^3$; đặt phần biến đó làm nhân tử chung, phần còn lại chỉ là cộng, trừ hai hệ số.

Vậy $M+P=11x^2{y}^3$ và $M-P=-6x^2{y}^3$.

Định hướng. Thay cùng một cặp giá trị $x$, $y$ vào cả hai vế của mỗi đẳng thức vừa tìm được, nếu hai vế ra cùng một số thì kết quả thu gọn là đúng.

Vậy kết quả $M+P=11x^2{y}^3$ và $M-P=-6x^2{y}^3$ đều được xác nhận đúng qua phép thử.

Nhận xét. Chọn $x=y=1$ giúp phép thử gọn nhẹ nhất vì phần biến quy về $1$, chỉ còn so sánh đúng phần hệ số.

Định hướng. Phần biến $x^2{y}^3$ xuất hiện nguyên vẹn ở cả $M$ và $P$; đặt nó bằng một chữ $t$ thì bài trở thành cộng, trừ hai đơn thức một biến $t$ đã quá quen từ lớp 7.

Vậy a) $M+P=11x^2{y}^3$; b) $M-P=-6x^2{y}^3$.

Nhận xét. Nhìn qua chữ $t$ thì việc "không được cộng phần biến" trở nên hiển nhiên: chẳng ai viết $2,5t+8,5t=11t^2$ cả, mà $x^4{y}^6$ chính là $t^2$.

Định hướng. Ba đơn thức đều có phần biến $x^{3}y$ nên cộng thẳng ba hệ số $-1$, $4$, $-2$ để ra tổng $S$ ở dạng thu gọn, rồi mới thay $x=2$, $y=-3$.

Vậy a) $S=x^{3}y$; b) $S=-24$ tại $x=2$, $y=-3$.

Định hướng. Không thu gọn trước mà thay $x=2$, $y=-3$ vào từng đơn thức riêng rồi mới cộng ba kết quả lại — nếu ra cùng đáp số với Cách 1 thì phép thu gọn ở câu a) chắc chắn đúng.

Vậy $S=-24$, trùng khớp với kết quả tính theo Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 tốn công hơn vì phải thay số ba lần, nhưng là phép kiểm tra chéo chắc chắn cho kết quả thu gọn $S=x^{3}y$ ở câu a).

Định hướng. Cả ba đơn thức đều mang phần biến $x^{3}y$; đặt nó bằng $t$ thì câu a) thành phép cộng ba đơn thức một biến, còn câu b) chỉ cần tính giá trị của $t$ đúng một lần rồi nhân với hệ số cuối cùng.

Vậy a) $S=x^{3}y$; b) $S=-24$ tại $x=2$, $y=-3$.

Nhận xét. Viết hệ số của $-x^{3}y$ thành $-1$ ngay trong dòng $(-1+4-2)$ là mẹo tránh lỗi phổ biến nhất của bài: bỏ quên đơn thức không có số đứng trước.