Bài 1. Đơn thức

Định hướng. Định nghĩa đơn thức chỉ cho phép biểu thức là một số, một biến, hoặc một tích các số và biến; cứ soi xem $x^2-2x$ có đúng dạng đó không là trả lời được.

Vậy $x^2-2x$ không phải là đơn thức một biến, vì nó là hiệu của hai hạng tử chứ không phải một tích; $3x^2$, $-5x$, $7$, $x^3$ đều là đơn thức một biến.

Định hướng. Nếu $x^2-2x$ là một đơn thức thì phải viết được nó dưới dạng một tích các số và biến; thử tìm cách viết đó sẽ thấy ngay có làm được hay không.

Vậy $x^2-2x$ không phải là đơn thức một biến; các đơn thức một biến khác có thể kể thêm: $-\frac{1}{2}{x}^4$ ; $0,5x$.

Nhận xét. Dù đổi cách viết bằng cách đặt nhân tử chung, thừa số còn lại vẫn chứa phép trừ nên kết luận không đổi — đây là dấu hiệu chắc chắn để loại một biểu thức khỏi tập đơn thức.

Định hướng. Ranh giới giữa hai nhóm chỉ nằm ở một dấu hiệu duy nhất — có phép cộng/trừ nối các hạng tử hay không — nên xét lần lượt bảy biểu thức theo đúng dấu hiệu đó.

Vậy Nhóm 1 (có cộng/trừ): $x^3-\frac{1}{2}x$ ; $-2x+7y$ ; $x+2y-z$. Nhóm 2 (còn lại): $-5x^{2}y$ ; $17z^4$ ; $-\frac{1}{5}{y}^2\cdot 5$ ; $xy\cdot 4x^2$. Nhóm 2 gồm những đơn thức.

Định hướng. Một biểu thức viết dưới dạng tổng đại số luôn tách được thành từ hai hạng tử trở lên; đếm số hạng tử của mỗi biểu thức cũng phân được hai nhóm như trên.

Vậy các biểu thức một hạng tử là $-5x^{2}y$ ; $17z^4$ ; $-\frac{1}{5}{y}^2\cdot 5$ ; $xy\cdot 4x^2$ — đây chính là Nhóm 2, nhóm các đơn thức; các biểu thức từ hai hạng tử trở lên thuộc Nhóm 1.

Nhận xét. Đếm số hạng tử là một cách nhìn khác của việc soi dấu cộng/trừ, nhưng tiện hơn khi biểu thức có tới ba, bốn hạng tử như $x+2y-z$.

Định hướng. Bảy biểu thức chỉ cần soi lần lượt theo đúng định nghĩa đơn thức: có phải một số, một biến, hay một tích các số-biến hay không.

Vậy đơn thức là $3x^{3}y$ ; $-4$ ; $12x^5$ ; $-\frac{5}{9}xyz$ ; $\frac{x^{2}y}{2}$; không phải đơn thức là $(3-x)x^2{y}^2$ và $\frac{3}{x}+y^2$.

Định hướng. Thay vì kiểm tra dương tính từng biểu thức, chỉ cần lùng đúng hai dấu hiệu khiến một biểu thức không là đơn thức: có phép cộng/trừ giữa các hạng tử, hoặc có biến ở mẫu.

Vậy loại $(3-x)x^2{y}^2$ và $\frac{3}{x}+y^2$; còn lại $3x^{3}y$ ; $-4$ ; $12x^5$ ; $-\frac{5}{9}xyz$ ; $\frac{x^{2}y}{2}$ đều là đơn thức.

Nhận xét. Cách 2 nhanh hơn khi danh sách dài, vì chỉ cần bắt đúng hai dấu hiệu loại thay vì soi đầy đủ từng biểu thức.

Định hướng. Phép cộng bị cấm trong định nghĩa đơn thức là phép cộng NỐI CÁC HẠNG TỬ của biểu thức; cần soi xem $1+\sqrt{2}$ đóng vai trò gì trong $(1+\sqrt{2})x^{2}y$ trước khi kết luận.

Vậy $(1+\sqrt{2})x^{2}y$ vẫn là một đơn thức, vì $1+\sqrt{2}$ chỉ đóng vai trò một hệ số; bạn cho rằng đó là một đơn thức đã nói đúng.

Định hướng. So sánh $(1+\sqrt{2})x^{2}y$ với một biểu thức có phép cộng NỐI CÁC HẠNG TỬ thật sự, như $x^{2}y+y$, sẽ thấy rõ chỗ khác nhau.

Vậy $(1+\sqrt{2})x^{2}y$ là một đơn thức có hệ số $1+\sqrt{2}$, khác hẳn trường hợp $x^{2}y+y$; bạn cho rằng có phép cộng nên không phải đơn thức đã nhầm.

Nhận xét. Đây là điểm dễ nhầm nhất khi hệ số là một biểu thức chứa căn: chỉ cần hệ số rút về đúng một số là đơn thức vẫn hợp lệ, bất kể số đó viết dưới dạng tổng hay hiệu.

Định hướng. Ba đơn thức đã ở dạng thu gọn nên chỉ cần tách đúng phần số đứng trước và phần biến đứng sau, rồi cộng số mũ để ra bậc.

Vậy $2,5x$ có hệ số $2,5$, phần biến $x$, bậc $1$; $-\frac{1}{4}{y}^2{z}^3$ có hệ số $-\frac{1}{4}$, phần biến $y^2{z}^3$, bậc $5$; $0,35x{y}^2{z}^4$ có hệ số $0,35$, phần biến $x{y}^2{z}^4$, bậc $7$.

Định hướng. Số mũ của một biến chính là biến đó xuất hiện bao nhiêu lần trong tích; viết tường minh phép nhân lặp lại rồi đếm sẽ ra đúng bậc mà không cần nhớ công thức cộng số mũ.

Vậy bậc của $2,5x$ là $1$, của $-\frac{1}{4}{y}^2{z}^3$ là $5$, của $0,35x{y}^2{z}^4$ là $7$; hệ số và phần biến giữ nguyên như đã tách ở trên.

Nhận xét. Đếm trực tiếp là cách chậm nhưng trực quan để kiểm tra lại kết quả cộng số mũ, hữu ích khi số mũ lớn dễ cộng nhầm.

Định hướng. Đơn thức có hai hệ số ($4,5$ và $-2$) và biến $x$ xuất hiện hai lần, nên gộp riêng phần số rồi gộp riêng từng biến là thu gọn được ngay.

Vậy đơn thức thu gọn là $-9x^3{y}^{2}z$, có bậc $6$.

Định hướng. Trước khi nhân, gom hết các thừa số cùng loại đứng cạnh nhau (số với số, $x$ với $x$, $y$ với $y$) theo đúng thứ tự chữ cái, để phép tính chỉ còn nhân lần lượt từng nhóm.

Vậy đơn thức thu gọn là $-9x^3{y}^{2}z$, có hệ số $-9$, phần biến $x^3{y}^{2}z$, bậc $6$.

Nhận xét. Viết tường minh số mũ dạng $x^{2+1}$ trước khi cộng giúp kiểm tra chéo không bị nhầm khi có nhiều biến giống nhau.

Định hướng. Muốn cùng bậc với $M=3x^2$ thì phần biến bắt buộc phải là $x^2$; chỉ còn tự do chọn hệ số khác $0$ đứng trước.

Vậy $5x^2$ ; $-7x^2$ ; $\frac{1}{2}{x}^2$ là ba đơn thức cùng bậc với $M$; cả ba đều có phần biến $x^2$, giống hệt nhau.

Định hướng. Sau khi chọn ba đơn thức, đếm lại đúng số mũ của $x$ trong từng đơn thức để chắc chắn cả ba cùng bậc $2$ như $M$, không lệch đi đâu.

Vậy ba đơn thức trên đúng là cùng bậc với $M$, và phần biến của chúng đều là $x^2$.

Nhận xét. Với đơn thức một biến, cùng bậc kéo theo cùng phần biến một cách tự động, vì phần biến chỉ có một luỹ thừa duy nhất của một biến duy nhất.

Định hướng. Bậc chỉ cần cộng số mũ nên tính trước cho cả ba đơn thức; sau đó nhìn thẳng vào cách viết phần biến để so xem có trùng nhau chữ nào ra chữ nấy hay không.

Vậy a) ba đơn thức $A$, $B$, $C$ đều có bậc $5$; b) $A$ và $B$ có cùng phần biến $x^2{y}^3$, còn $C$ có phần biến $x^3{y}^2$ khác hẳn.

Định hướng. Thay vì so cả cụm phần biến, tách riêng số mũ của $x$ và số mũ của $y$ ở từng đơn thức để thấy ngay chỗ giống và khác.

Vậy $A$ và $B$ có phần biến giống nhau hệt từng biến một; $C$ tuy cùng bậc $5$ nhưng phần biến khác $A$, $B$.

Nhận xét. Bậc bằng nhau chỉ là điều kiện cần chứ không đủ để hai đơn thức có cùng phần biến — $C$ là ví dụ rõ nhất, cùng bậc $5$ với $A$, $B$ nhưng số mũ của $x$ và $y$ đã đổi chỗ cho nhau.

Định hướng. Bảy đơn thức chỉ có ba dạng phần biến khác nhau; viết rõ phần biến từng đơn thức ra là gom được đúng nhóm ngay.

Vậy Nhóm $x^{2}y$: $\frac{5}{3}{x}^{2}y$ ; $-\frac{1}{4}{x}^{2}y$. Nhóm $x{y}^2$: $-x{y}^2$ ; $-2x{y}^2$ ; $3x{y}^2$. Nhóm $x^4$: $0,5x^4$ ; $2,75x^4$.

Định hướng. Trước tiên tách các đơn thức theo bậc, sau đó trong mỗi bậc mới soát tiếp số mũ riêng của $x$ và $y$ để tránh gộp nhầm hai phần biến khác nhau mà cùng bậc.

Vậy kết quả phân nhóm giống Cách 1: Nhóm $x^{2}y$: $\frac{5}{3}{x}^{2}y$ ; $-\frac{1}{4}{x}^{2}y$. Nhóm $x{y}^2$: $-x{y}^2$ ; $-2x{y}^2$ ; $3x{y}^2$. Nhóm $x^4$: $0,5x^4$ ; $2,75x^4$.

Nhận xét. Bậc $3$ xuất hiện ở cả $x^{2}y$ và $x{y}^2$ nhưng đây là hai phần biến khác nhau — nhắc lại đúng bài học của HĐ4: cùng bậc chưa chắc đồng dạng.

Định hướng. Muốn bác bỏ một khẳng định luôn đúng, chỉ cần chỉ ra đúng một trường hợp trái lại; HĐ4 vừa cho sẵn một cặp đơn thức hai biến cùng bậc mà không đồng dạng.

Vậy điều đó KHÔNG còn đúng với đơn thức nhiều biến: $A$ và $C$ cùng bậc $5$, cùng gồm hai biến $x$, $y$, nhưng không đồng dạng.

Định hướng. Dựng thêm một cặp đơn thức khác, không lấy lại HĐ4, để chắc chắn đây không phải là trường hợp đặc biệt hiếm gặp.

Vậy $P=x^{4}y$ và $Q=x{y}^4$ là một phản ví dụ khác, cùng khẳng định điều đó KHÔNG còn đúng với đơn thức nhiều biến.

Nhận xét. Có thể tạo vô số phản ví dụ tương tự bằng cách hoán đổi số mũ giữa hai biến — đây là lí do vì sao với đơn thức nhiều biến phải kiểm tra đúng phần biến chứ không thể chỉ dựa vào bậc.

Định hướng. Ví dụ có dạng $ab+ac$ với $b=c=3^2\cdot 5^3$, còn $a$ đóng vai trò hai số hạng $2,5$ và $8,5$; so khớp với công thức phân phối tổng quát là nhận ra ngay tính chất được dùng.

Vậy ví dụ trên vận dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng, đặt nhân tử chung $3^2\cdot 5^3$.

Định hướng. Tính riêng vế trái và vế phải bằng số cụ thể, nếu ra cùng một kết quả thì phép biến đổi thu gọn ở trên là hợp lệ, đúng bản chất phân phối.

Vậy hai vế cho cùng kết quả $12375$, xác nhận phép thu gọn dùng đúng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng.

Nhận xét. Kiểm tra bằng số cụ thể là cách chắc chắn để tin vào một phép biến đổi đại số, nhất là khi mới học một tính chất.

Định hướng. $M$ và $P$ đồng dạng nên có chung phần biến $x^2{y}^3$; đặt phần biến đó làm nhân tử chung, phần còn lại chỉ là cộng, trừ hai hệ số.

Vậy $M+P=11x^2{y}^3$ và $M-P=-6x^2{y}^3$.

Định hướng. Thay cùng một cặp giá trị $x$, $y$ vào cả hai vế của mỗi đẳng thức vừa tìm được, nếu hai vế ra cùng một số thì kết quả thu gọn là đúng.

Vậy kết quả $M+P=11x^2{y}^3$ và $M-P=-6x^2{y}^3$ đều được xác nhận đúng qua phép thử.

Nhận xét. Chọn $x=y=1$ giúp phép thử gọn nhẹ nhất vì phần biến quy về $1$, chỉ còn so sánh đúng phần hệ số.

Định hướng. Ba đơn thức đều có phần biến $x^{3}y$ nên cộng thẳng ba hệ số $-1$, $4$, $-2$ để ra tổng $S$ ở dạng thu gọn, rồi mới thay $x=2$, $y=-3$.

Vậy a) $S=x^{3}y$; b) $S=-24$ tại $x=2$, $y=-3$.

Định hướng. Không thu gọn trước mà thay $x=2$, $y=-3$ vào từng đơn thức riêng rồi mới cộng ba kết quả lại — nếu ra cùng đáp số với Cách 1 thì phép thu gọn ở câu a) chắc chắn đúng.

Vậy $S=-24$, trùng khớp với kết quả tính theo Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 tốn công hơn vì phải thay số ba lần, nhưng là phép kiểm tra chéo chắc chắn cho kết quả thu gọn $S=x^{3}y$ ở câu a).

Định hướng. Biểu thức của Tròn là tổng hai đơn thức đồng dạng, còn chưa thu gọn; thu gọn nó bằng đúng quy tắc cộng đơn thức đồng dạng vừa học rồi đối chiếu với biểu thức của Vuông.

Vậy $12xy+4,5xy=16,5xy$: cả hai bạn đều lập luận đúng, hai biểu thức chỉ khác nhau ở chỗ Tròn viết dạng chưa thu gọn, Vuông viết dạng đã thu gọn của cùng một đơn thức.

Định hướng. Chọn một cặp $x$, $y$ cụ thể, tính giá trị của cả hai biểu thức theo cách của Tròn và của Vuông; nếu ra cùng một số tiền thì hai lập luận thực sự tương đương.

Vậy với $x=2$, $y=3$ cả hai cách đều cho ra $99$ nghìn đồng, xác nhận hai lập luận cho cùng một biểu thức sau khi thu gọn.

Nhận xét. Bài toán này chính là ứng dụng thực tế của quy tắc cộng đơn thức đồng dạng: đơn thức của Vuông ($16,5xy$) là đơn thức của Tròn ($12xy+4,5xy$) sau khi được thu gọn.

Định hướng. Sáu biểu thức có ba kiểu khác nhau dễ nhầm — phép cộng chứa biến, biến ở mẫu, biến dưới căn — nên xét lần lượt theo đúng định nghĩa đơn thức.

Vậy đơn thức là $-x$ ; $(3+\sqrt{3})xy$ ; $0$. Không phải đơn thức là $(1+x)y^2$ ; $\frac{1}{y}{x}^2$ ; $2\sqrt{xy}$.

Định hướng. Hai bẫy dễ nhầm nhất là $(1+x)y^2$ và $(3+\sqrt{3})xy$; đối chiếu với bài Tranh luận trang $6$ (đơn thức $(1+\sqrt{2})x^{2}y$ vì $1+\sqrt{2}$ là một số) sẽ tách được ngay hai trường hợp này.

Vậy kết quả không đổi: đơn thức là $-x$ ; $(3+\sqrt{3})xy$ ; $0$; không phải đơn thức là $(1+x)y^2$ ; $\frac{1}{y}{x}^2$ ; $2\sqrt{xy}$.

Nhận xét. Chỗ khác nhau mấu chốt giữa $(1+x)y^2$ và $(3+\sqrt{3})xy$ là bên trong ngoặc có biến $x$ hay chỉ toàn số; hễ còn biến bên trong ngoặc cộng thì không thể coi đó là một hệ số.

Định hướng. $A$ và $C$ có biến lặp lại nên chưa thu gọn; với $C$ cần tính xong phần hệ số bằng số $1+2\cdot 4,5$ trước khi gộp biến, còn $B$, $D$ đã sẵn ở dạng thu gọn.

Vậy a) $B$, $D$ đã là đơn thức thu gọn; $A$ thu gọn thành $-8x^{3}y$, $C$ thu gọn thành $2x^2{y}^4$.
b) $A=-8x^{3}y$: hệ số $-8$, phần biến $x^{3}y$, bậc $4$. $B=12,75xyz$: hệ số $12,75$, phần biến $xyz$, bậc $3$. $C=2x^2{y}^4$: hệ số $2$, phần biến $x^2{y}^4$, bậc $6$. $D=(2-\sqrt{5})x$: hệ số $2-\sqrt{5}$, phần biến $x$, bậc $1$.

Định hướng. Một đơn thức chưa thu gọn luôn lộ ra dấu hiệu: biến bị lặp lại từ hai lần trở lên; đếm số lần xuất hiện của mỗi biến ngay trong biểu thức gốc để kiểm tra lại đâu là đơn thức đã thu gọn.

Vậy đúng như Cách 1: $B$, $D$ đã thu gọn; $A$, $C$ phải thu gọn lại thành $-8x^{3}y$ và $2x^2{y}^4$ như trên.

Nhận xét. Đếm số lần một biến xuất hiện là cách nhanh nhất để phát hiện đơn thức chưa thu gọn mà không cần tính toán gì, rất hữu ích khi kiểm tra nhanh một danh sách dài.

Định hướng. Cả $A$ và $B$ đều có biến lặp lại, nên thu gọn thành dạng chỉ còn mỗi biến một luỹ thừa duy nhất trước, việc thay số phía sau sẽ gọn và ít sai hơn.

Vậy a) $A=-x^3{y}^2$ và $A=2$ tại $x=-2$, $y=\frac{1}{2}$; b) $B=-0,5x{y}^3{z}^2$ và $B=-1$ tại $x=4$, $y=0,5$, $z=2$.

Định hướng. Không thu gọn mà thay ngay $x$, $y$, $z$ vào biểu thức gốc, nhân lần lượt từng thừa số — nếu ra cùng đáp số với Cách 1 thì bước thu gọn ở trên chắc chắn không sai.

Vậy $A=2$ và $B=-1$, đúng khớp với kết quả tính theo đơn thức đã thu gọn ở Cách 1.

Nhận xét. Thay số trực tiếp vào biểu thức gốc dễ tính sai vì phải nhân quá nhiều thừa số nhỏ lẻ; thu gọn trước như Cách 1 vừa nhanh vừa ít khả năng nhầm dấu hơn.

Định hướng. Sáu đơn thức chỉ ứng với ba dạng phần biến; viết rõ phần biến của từng đơn thức, kể cả $y\sqrt{2}=\sqrt{2}\cdot y$, là gom đúng nhóm ngay.

Vậy Nhóm $x^3{y}^2$: $3x^3{y}^2$ ; $7x^3{y}^2$. Nhóm $x^2{y}^3$: $-0,2x^2{y}^3$ ; $\frac{3}{4}{x}^2{y}^3$. Nhóm $y$: $-4y$ ; $y\sqrt{2}$.

Định hướng. Tách theo bậc trước, rồi trong nhóm cùng bậc soát tiếp số mũ riêng của $x$ và $y$ để không gộp nhầm $x^3{y}^2$ với $x^2{y}^3$.

Vậy kết quả không đổi: Nhóm $x^3{y}^2$: $3x^3{y}^2$, $7x^3{y}^2$. Nhóm $x^2{y}^3$: $-0,2x^2{y}^3$, $\frac{3}{4}{x}^2{y}^3$. Nhóm $y$: $-4y$, $y\sqrt{2}$.

Nhận xét. $y\sqrt{2}$ dễ bị bỏ sót khỏi nhóm với $-4y$ vì hệ số viết ở sau biến; viết lại thành $\sqrt{2}\cdot y$ theo đúng thứ tự hệ số trước, phần biến sau sẽ tránh nhầm lẫn này.

Định hướng. $\frac{1}{2}{x}^2{y}^5$ và $\frac{5}{2}{x}^2{y}^5$ là hai đơn thức đồng dạng, trừ hệ số cho nhau để rút gọn $S$ về một đơn thức duy nhất trước khi thay số.

Vậy $S=-2x^2{y}^5$ và $S=-8$ tại $x=-2$, $y=1$.

Định hướng. Thay $x=-2$, $y=1$ ngay vào biểu thức gốc của $S$ (chưa rút gọn), tính riêng từng hạng tử rồi trừ — nếu trùng với Cách 1 thì bước rút gọn ở trên chắc chắn không sai.

Vậy $S=-8$, trùng khớp với kết quả tính theo đơn thức đã rút gọn ở Cách 1.

Nhận xét. Vì $y=1$ nên $y^5=1$ không ảnh hưởng tới kết quả; nếu đề đổi $y$ thành một số khác $1$ thì bắt buộc phải tính $y^5$ cẩn thận ở cả hai cách.