Bài 10. Tứ giác

Định hướng. Làm đúng như đề: cắt bốn tứ giác bằng nhau, đánh số $1$, $2$, $3$, $4$ rồi xoay từng mảnh sao cho bốn số KHÁC NHAU chụm về một điểm.

Vậy ghép được khít; bốn góc tại điểm chung là bốn góc khác nhau của tứ giác và tổng số đo của chúng bằng $360^{\circ }$.

Định hướng. Nêu cách xoay cụ thể để khẳng định hai mảnh kề nhau khít dọc theo cạnh chung, không hở cũng không chồng.

Vậy bốn mảnh ghép khít quanh $A$; tổng bốn góc tại điểm chung bằng $360^{\circ }$.

Định hướng. Khỏi cần cắt giấy: chia tứ giác thành hai tam giác thì tổng bốn góc lộ ra ngay.

Vậy tổng bốn góc của tứ giác bằng $360^{\circ }$, đúng bằng tổng các góc quanh một điểm nên bốn mảnh ghép khít.

Nhận xét. Cách 1 và Cách 2 cho thấy điều đó có thật bằng giấy, còn Cách 3 mới là lời chứng minh; chính Cách 3 sẽ được viết lại thành định lí ở trang 50.

Định hướng. Đi vòng quanh bốn điểm theo mép ngoài thì bốn đoạn nối liên tiếp không cắt nhau, cho ngay một tứ giác lồi.

Vậy $EGFH$ là một tứ giác, hơn nữa đó là tứ giác lồi.

Định hướng. Trong tứ giác, hai đỉnh đối nhau nối thành đường chéo; chọn đoạn nằm hẳn bên trong làm đường chéo thì hai đỉnh còn lại tự khắc về hai phía.

Vậy được tứ giác $EGFH$ với hai đường chéo $EF$ và $GH$.

Định hướng. Bốn điểm chỉ cho đúng ba cách ghép thành tứ giác, liệt kê hết rồi chọn cái đẹp nhất.

Vậy cả ba đều là tứ giác theo định nghĩa, trong đó $EGFH$ là tứ giác lồi.

Nhận xét. Từ nay khi nói tứ giác mà không chú thích gì thêm thì hiểu đó là tứ giác lồi, nên câu trả lời nên chọn $EGFH$.

Định hướng. Viết ra bốn cạnh rồi soi xem cặp đỉnh nào không cùng nằm trên một cạnh nào cả.

Vậy đường chéo còn lại là $BD$; cặp cạnh đối còn lại là $BC$ và $AD$; cặp góc đối còn lại là $\hat{B}$ và $\hat{D}$.

Định hướng. Xếp bốn đỉnh thành vòng thì 'đối nhau' chính là 'cách nhau một đỉnh', khỏi cần nhìn hình.

Vậy $BD$; cặp cạnh $BC$ và $AD$; cặp góc $\hat{B}$ và $\hat{D}$.

Định hướng. Mỗi loại chỉ có đúng hai cặp; đề đã cho một cặp nên cái còn lại là duy nhất.

Vậy đường chéo $BD$; cặp cạnh đối $BC$ và $AD$; cặp góc đối $\hat{B}$ và $\hat{D}$.

Nhận xét. Trên Hình 3.4 hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại một điểm nằm giữa mỗi đường — đó là dấu hiệu quen thuộc của tứ giác lồi.

Định hướng. Đường chéo $BD$ cắt tứ giác thành hai tam giác; cộng hai lần $180^{\circ }$ rồi gom các góc lại.

Vậy tổng các góc của tứ giác $ABCD$ bằng $360^{\circ }$.

Định hướng. Nối một điểm trong với bốn đỉnh được bốn tam giác; phần thừa đúng bằng các góc quanh điểm đó nên trừ đi là xong.

Vậy tổng các góc của tứ giác bằng $360^{\circ }$.

Định hướng. Dùng lại cách ghép ở bài toán mở đầu: bốn góc của tứ giác phủ vừa kín quanh một điểm.

Vậy tổng các góc của tứ giác bằng $360^{\circ }$.

Nhận xét. Cách 2 dùng được cho mọi đa giác: chia $n$-giác thành $n$ tam giác rồi trừ $360^{\circ }$, ta được tổng các góc là $(n-2)\cdot 180^{\circ }$.

Định hướng. Đọc ba góc đã biết từ hình rồi lấy $360^{\circ }$ trừ đi.

Vậy $\hat{F}=125^{\circ }$.

Định hướng. Đường chéo $HF$ nối hai đỉnh còn lại cắt tứ giác thành hai tam giác vuông tại $E$ và tại $G$; trong tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau.

Vậy $\hat{F}=125^{\circ }$.

Định hướng. Gọi số đo góc cần tìm là $x$ rồi viết điều kiện tổng bốn góc thành một phương trình bậc nhất.

Vậy $\hat{F}=125^{\circ }$.

Nhận xét. Cách 2 cho luôn một kết quả đẹp: tứ giác có hai góc đối vuông thì hai góc còn lại bù nhau, tức $\hat{F}+\hat{H}=180^{\circ }$.

Định hướng. So tổng bốn góc của tứ giác với tổng các góc quanh một điểm; hai số bằng nhau nên vừa khít.

Vậy ghép được bốn tứ giác khít nhau và tổng số đo bốn góc tại điểm chung bằng $360^{\circ }$.

Định hướng. Không dùng lại định lí mà dựng lại từ tam giác: mỗi mảnh là hai tam giác, bốn mảnh là tám tam giác.

Vậy bốn góc lấp vừa đủ quanh điểm chung, tức bốn mảnh ghép khít; tổng số đo của chúng là $360^{\circ }$.

Định hướng. Chỉ rõ từng phép xoay thì thấy ngay hai mảnh kề nhau dán khít theo một cạnh, khỏi cần tính số đo.

Vậy ghép được khít và tổng bốn góc tại điểm chung bằng $360^{\circ }$.

Nhận xét. Lặp mãi cách ghép này ta lát kín được cả mặt phẳng bằng những viên gạch hình tứ giác như nhau — chính là hình ở mục Em có biết trang 51.

Định hướng. Giả sử có đủ bốn góc cùng loại rồi cộng lại, so với $360^{\circ }$ là thấy vô lí ngay.

Vậy một tứ giác có nhiều nhất $3$ góc tù và nhiều nhất $3$ góc nhọn.

Định hướng. Gọi $n$ là số góc cùng loại, chặn tổng bốn góc bằng $n$ rồi giải bất phương trình theo $n$.

Vậy số góc tù nhiều nhất là $3$ và số góc nhọn nhiều nhất là $3$.

Định hướng. Mỗi góc trong tù thì góc ngoài kề bù với nó là góc nhọn; tổng bốn góc ngoài cũng là $360^{\circ }$ nên lập luận lặp lại y hệt.

Vậy nhiều nhất $3$ góc tù và nhiều nhất $3$ góc nhọn.

Nhận xét. Con số $3$ đạt được đồng thời: tứ giác $95^{\circ }$, $95^{\circ }$, $95^{\circ }$, $75^{\circ }$ có $3$ góc tù, còn tứ giác $85^{\circ }$, $85^{\circ }$, $85^{\circ }$, $105^{\circ }$ có $3$ góc nhọn; nhưng không tứ giác nào vừa có $3$ góc tù vừa có $3$ góc nhọn vì tất cả chỉ có $4$ góc.

Định hướng. Đọc các ô vuông góc cho câu a); với câu b) dùng hai góc kề bù để đổi $60^{\circ }$ và $110^{\circ }$ thành góc trong, rồi mới cộng trừ.

Vậy a) $\hat{C}=90^{\circ }$; b) $\hat{U}=120^{\circ }$, $\hat{S}=70^{\circ }$, $\hat{R}=80^{\circ }$.

Định hướng. Không gọi định lí về tứ giác mà quay về tổng ba góc trong tam giác — cách này dùng được cả khi chưa học định lí.

Vậy a) $\hat{C}=90^{\circ }$; b) $\hat{U}=120^{\circ }$, $\hat{S}=70^{\circ }$, $\hat{R}=80^{\circ }$.

Định hướng. Gọi ẩn là số đo góc chưa biết rồi viết điều kiện tổng bốn góc thành phương trình bậc nhất.

Vậy a) $\hat{C}=90^{\circ }$; b) $\hat{U}=120^{\circ }$, $\hat{S}=70^{\circ }$, $\hat{R}=80^{\circ }$.

Nhận xét. Câu a) cho thấy tứ giác có ba góc vuông thì góc thứ tư cũng vuông — đó chính là một dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật sẽ học ở Bài 13.

Định hướng. Gọi $\hat{E}$ là ẩn, viết $\hat{H}$ theo ẩn đó rồi thay vào định lí tổng bốn góc.

Vậy $\hat{E}=120^{\circ }$ và $\hat{H}=130^{\circ }$.

Định hướng. Lấy tổng hai góc chưa biết trước, đã có hiệu là $10^{\circ }$ nên áp thẳng công thức tổng – hiệu.

Vậy $\hat{H}=130^{\circ }$ và $\hat{E}=120^{\circ }$.

Định hướng. Nếu hai góc bằng nhau thì mỗi góc là nửa của $250^{\circ }$; hiệu $10^{\circ }$ chia đôi thành $5^{\circ }$ lệch về mỗi bên.

Vậy $\hat{H}=130^{\circ }$, $\hat{E}=120^{\circ }$.

Nhận xét. Cả hai góc đều nhỏ hơn $180^{\circ }$ nên tứ giác vẫn lồi, phù hợp với Hình 3.9.

Định hướng. $A$ và $C$ đều cách đều $B$, $D$ nên cả hai nằm trên đường trung trực của $BD$; câu b) dùng hai tam giác bằng nhau.

Vậy $AC$ là đường trung trực của $BD$ và $\hat{B}=\hat{D}=100^{\circ }$.

Định hướng. Chứng minh $AC$ là phân giác của $\widehat{BAD}$ trước, rồi dùng tính chất trong tam giác cân đường phân giác kẻ từ đỉnh cũng là đường trung trực của cạnh đáy.

Vậy $AC$ là đường trung trực của $BD$; $\hat{B}=\hat{D}=100^{\circ }$.

Định hướng. Đặt tên giao điểm rồi chứng minh trực tiếp hai điều của định nghĩa trung trực: $I$ là trung điểm $BD$ và $AC$ vuông góc $BD$; câu b) tính qua các nửa góc.

Vậy $AC$ là đường trung trực của $BD$ và $\hat{B}=\hat{D}=100^{\circ }$.

Nhận xét. Kết quả $\hat{B}=\hat{D}=100^{\circ }$ trùng đúng với $\hat{A}=100^{\circ }$ chỉ là ngẫu nhiên do $100^{\circ }+60^{\circ }=160^{\circ }$; đổi $\hat{C}$ thành $80^{\circ }$ thì $\hat{B}=\hat{D}=90^{\circ }$.