Bài 11. Hình thang cân

Định hướng. Lấy ngay $\hat{D}$ từ tính chất hai góc kề đáy $CD$, sau đó mỗi cạnh bên cho một góc còn lại.

Vậy $\hat{C}=\hat{D}=40^{\circ }$ và $\hat{A}=\hat{B}=140^{\circ }$.

Định hướng. Hình thang cân cho ngay hai cặp góc bằng nhau, nên tổng $360^{\circ }$ biến thành một phép tính một ẩn.

Vậy $\hat{C}=\hat{D}=40^{\circ }$ và $\hat{A}=\hat{B}=140^{\circ }$.

Định hướng. Đường cao $AH$ vừa vuông góc với $CD$ vừa vuông góc với $AB$, nên nó cắt $\hat{A}$ thành một góc vuông và một góc nhọn của tam giác vuông $AHD$.

Vậy $\hat{C}=\hat{D}=40^{\circ }$ và $\hat{A}=\hat{B}=140^{\circ }$.

Nhận xét. Cách 3 dài hơn nhưng cho thấy vì sao đáy nhỏ luôn ngắn hơn đáy lớn khi góc ở đáy lớn nhọn: chân đường cao $H$ nằm giữa $D$ và $C$.

Định hướng. Cạnh $AI$ là cầu nối: nó vừa là cạnh chung của hai tam giác ở câu a), vừa tạo ra hai cặp góc so le trong nhờ $AH\parallel BI$ và $AB\parallel HI$.

Vậy $AH=BI$ và $AD=BC$.

Định hướng. Vì $BI\perp AB$ nên $\Delta AHI$ và $\Delta IBA$ là hai tam giác vuông có chung cạnh huyền $AI$; còn ở câu b), kéo dài hai cạnh bên cho cắt nhau sẽ được hai tam giác cân lồng nhau.

Vậy $AH=BI$ và $AD=BC$.

Định hướng. Kẻ thêm một đường song song với cạnh bên là mẹo kinh điển: nó biến $\hat{C}$ thành góc đáy của một tam giác cân, cho ngay $AD=BC$; có $AD=BC$ rồi thì hai tam giác vuông $AHD$, $BIC$ bằng nhau theo cạnh huyền — góc nhọn.

Vậy $AD=BC$ và $AH=BI$.

Nhận xét. Ba cách đều chỉ dùng giả thiết $\hat{D}=\hat{C}$; điều đó cho thấy chính hai góc kề đáy mới là gốc của mọi tính chất trong bài, còn “hai cạnh bên bằng nhau” chỉ là hệ quả.

Định hướng. Dùng cặp góc đồng vị để có hai đáy song song, sau đó giả thiết $\hat{A}=\hat{B}$ đúng là điều kiện của hình thang cân.

Vậy $AD=BC$.

Định hướng. Khi hai đáy đã song song, giao điểm $K$ của hai cạnh bên tạo ra hai tam giác cân lồng nhau, hiệu hai cạnh cho ngay điều phải chứng minh.

Vậy $AD=BC$.

Định hướng. Dời cạnh $CB$ về sát cạnh $DA$ bằng một đường song song: tam giác nhận được vừa cân, vừa cho phép so sánh $DE$ với $CB$.

Vậy $AD=BC$.

Nhận xét. Cách 3 không dùng đến Định lí 1 mà chứng minh lại nó ngay trong bài; đó cũng chính là lối chứng minh Định lí 1 khi hình vẽ không có sẵn đường cao.

Định hướng. Cạnh $DC$ là cạnh chung, góc kề đáy lớn bằng nhau theo định nghĩa, cạnh bên bằng nhau theo Định lí 1 — đủ bộ c.g.c.

Vậy $\Delta ACD=\Delta BDC$ và $AC=BD$.

Định hướng. Đổi sang cặp tam giác nhận $AB$ làm cạnh chung: cặp góc kề đáy $AB$ cũng bằng nhau nên vẫn đủ c.g.c, và hai cạnh tương ứng lần này là $BD$ với $AC$.

Vậy $AC=BD$.

Định hướng. Hai đường cao chia đáy lớn thành ba phần; hai phần ngoài bằng nhau nên hai tam giác vuông chứa hai đường chéo có hai cạnh góc vuông bằng nhau từng đôi một.

Vậy $AC=BD$.

Nhận xét. Cách 3 còn cho thấy hai đường chéo của hình thang cân cắt nhau tại một điểm nằm trên đường trung trực chung của hai đáy — đó là trục đối xứng của hình thang cân.

Định hướng. Câu a) cho ngay hình thang cân, câu b) chỉ là đọc lại kết luận của Định lí 2 vì $BE$ và $CD$ đúng là hai đường chéo của tứ giác đó.

Vậy tứ giác $DECB$ là hình thang cân và $BE=CD$.

Định hướng. Đưa $BE$ và $CD$ vào hai tam giác cùng đỉnh $A$: chúng có chung góc $A$, còn hai cặp cạnh kề góc đó bằng nhau nhờ tam giác $ABC$ cân và tam giác $ADE$ cân.

Vậy $DECB$ là hình thang cân và $BE=CD$.

Định hướng. Tam giác cân có sẵn một trục đối xứng; chỉ cần kiểm tra trục đó biến $B$ thành $C$ và $D$ thành $E$ thì hai đoạn $BE$, $CD$ là ảnh của nhau nên bằng nhau.

Vậy $DECB$ là hình thang cân và $BE=CD$.

Nhận xét. Đường trung trực $m$ của $BC$ đồng thời là trục đối xứng của cả tam giác cân $ABC$ lẫn hình thang cân $DECB$ — nhìn ra trục này thì rất nhiều bài về hình thang cân trở nên hiển nhiên.

Định hướng. Chỉ cần khẳng định hai điều: $ABCD$ là hình thang, và hai đường chéo của nó bằng nhau vì cùng bằng bán kính.

Vậy $ABCD$ là hình thang cân (Định lí 3).

Định hướng. Hạ hai đường vuông góc từ $C$ và $D$ xuống $a$: hai tam giác vuông nhận được có cạnh huyền bằng nhau (hai đường chéo) và một cạnh góc vuông bằng nhau (khoảng cách giữa $a$ và $b$).

Vậy $ABCD$ là hình thang cân (theo định nghĩa).

Định hướng. Chính cách dựng đã đối xứng: hai cung tròn cùng bán kính, hai tâm $A$, $B$ đối xứng qua đường trung trực của $AB$, mà hai đường thẳng $a$, $b$ cũng biến thành chính nó qua đường đó.

Vậy hình thang $ABCD$ có hai góc kề đáy $DC$ bằng nhau nên nó là hình thang cân.

Nhận xét. Ba cách cho thấy ba khuôn mặt của cùng một hình: hai đường chéo bằng nhau, hai góc kề một đáy bằng nhau, và có một trục đối xứng — nắm cả ba thì gặp dạng nào cũng có lối ra.

Định hướng. Chứng minh hình ghép là một hình thang (ba điểm thẳng hàng ở mỗi đáy), rồi so sánh hai góc kề đáy dưới bằng một cặp góc so le trong và một câu “phép lật giữ nguyên số đo góc”.

Vậy hình thang $M{N}^{\prime }{M}^{\prime }N$ có hai góc kề đáy $N{M}^{\prime }$ bằng nhau nên nó là hình thang cân.

Định hướng. Hai đường chéo $M{M}^{\prime }$, $N{N}^{\prime }$ của hình mới chẳng qua là hai đường chéo $AC$, $BD$ của hình cũ được “trượt” đi một đoạn, nên chúng bằng nhau.

Vậy hình thang $M{N}^{\prime }{M}^{\prime }N$ có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình thang cân (Định lí 3).

Định hướng. Chỉ một ẩn duy nhất là góc giữa nhát cắt và đáy lớn; mọi góc của hình mới đều viết được theo ẩn đó, nhìn bảng góc là thấy ngay hình thang cân.

Vậy hai góc kề đáy $N{M}^{\prime }$ cùng bằng $\mu$ (và hai góc kề đáy $M{N}^{\prime }$ cùng bằng $180^{\circ }-\mu$) nên $M{N}^{\prime }{M}^{\prime }N$ là hình thang cân.

Nhận xét. Cách 3 còn cho biết luôn cả bốn góc: nếu nhát cắt vuông góc với hai đáy ($\mu =90^{\circ }$) thì hình ghép được có bốn góc vuông.

Định hướng. Hai góc kề cạnh bên $AD$ bù nhau, cho ngay $\hat{D}$; sau đó so hai góc cùng kề đáy $CD$.

Vậy hình thang trong Hình 3.23 không phải là hình thang cân.

Định hướng. Đổi sang cặp góc kề đáy $AB$: chỉ cần $\hat{B}$, lấy từ cặp góc trong cùng phía trên cạnh bên $BC$.

Vậy hình thang trong Hình 3.23 không phải là hình thang cân.

Định hướng. Giả sử hình thang đó cân thì hai cặp góc kề hai đáy bằng nhau, tổng bốn góc tính được ngay và sẽ vênh với $360^{\circ }$.

Vậy điều giả sử là sai, hình thang trong Hình 3.23 không phải là hình thang cân.

Nhận xét. Từ Cách 3 rút ra một mẹo kiểm tra rất nhanh: hình thang $ABCD$ ($AB\parallel CD$) là hình thang cân khi và chỉ khi tổng hai góc ở hai đỉnh chéo nhau, chẳng hạn $\hat{A}+\hat{C}$, đúng bằng $180^{\circ }$.

Định hướng. Hai góc vuông tại $C$ và $D$ biến cặp góc đáy của tam giác cân $ECD$ thành cặp góc $\widehat{ACD}$, $\widehat{BDC}$; đó chính là giả thiết của Ví dụ 2 đã chứng minh trong bài học.

Vậy hình thang $ABCD$ có $\widehat{ACD}=\widehat{BDC}$ nên nó là hình thang cân (Ví dụ 2).

Định hướng. Từ $\widehat{ACD}=\widehat{BDC}$, gọi giao điểm hai đường chéo là $I$ thì có hai tam giác cân chồng lên nhau, cộng lại được $AC=BD$.

Vậy hình thang $ABCD$ có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình thang cân (Định lí 3).

Định hướng. Giả thiết $EC=ED$ đặt $E$ lên đường trung trực của $CD$; lấy đối xứng qua đường đó thì $C$ đổi chỗ cho $D$, còn hai đường chéo đổi chỗ cho nhau.

Vậy hình thang $ABCD$ có hai góc kề đáy $CD$ bằng nhau nên nó là hình thang cân.

Nhận xét. Cách 3 cho thấy $m$ vừa là trung trực của $CD$, vừa là trung trực của $AB$ và là trục đối xứng của cả hình thang — nhìn ra trục này thì mọi kết luận về hình thang cân đều hiện ra cùng lúc.

Định hướng. Đáy lớn cho trước, mỗi đỉnh còn lại là giao của hai cung tròn: một cung mang cạnh bên, một cung mang đường chéo.

Vậy $ABCD$ là hình thang cân cần vẽ (Định lí 3).

Định hướng. Ba dữ kiện của đề gom đúng vào tam giác $BCD$; đỉnh $A$ sinh ra từ trục đối xứng nên không phải chọn lựa gì thêm.

Vậy $ABCD$ là hình thang cân cần vẽ, với $AD=BC=2$ cm và $AC=BD=3$ cm.

Định hướng. Dựng trước tam giác chứa cạnh bên $AD$ và đường chéo $AC$, sau đó tìm $B$ trên đường thẳng qua $A$ song song với $CD$ — nhớ chọn đúng một trong hai giao điểm.

Vậy với cách chọn trên, $ABCD$ là hình thang cân cần vẽ (Định lí 3).

Nhận xét. Đo lại trên hình vẽ được đáy nhỏ $AB=1,25$ cm và chiều cao khoảng $1,45$ cm; đó cũng là giá trị đúng, sẽ tính được chính xác khi học định lí Pythagore.