Chương I. Đa thức

Bài 2. Đa thức

SGK Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 1 · 15 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán8 #ChươngI #SGK_Tập1 #trang11–14 #CùngBàiBênSBT #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · HĐ1★Trang 11— Nhắc lại định nghĩa đa thức một biến và cho ví dụ

HĐ1 (trang 11). Hãy nhớ lại, đa thức một biến là gì? Nêu một ví dụ về đa thức một biến.

Kiến thức cần nhớ

Đa thức một biến là tổng của những đơn thức của cùng một biến (đã học ở lớp 7).

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu nhận dạng: câu hỏi mở đầu bài học, yêu cầu nhắc lại một khái niệm đã học ở lớp 7 để làm bàn đạp cho khái niệm đa thức nhiều biến sắp tới. Chọn hướng phát biểu định nghĩa rồi minh hoạ ngay bằng một ví dụ, vì định nghĩa suông rất khó nhớ nếu không gắn với một biểu thức cụ thể. Bẫy của đề là chữ "tổng": tổng ở đây được hiểu rộng, bao gồm cả trường hợp chỉ có MỘT đơn thức, nên mọi đơn thức một biến cũng là đa thức một biến.

1Cách 1. Nhắc lại định nghĩa rồi nêu ví dụ trực tiếp

Định hướng. Chỉ cần nhắc lại đúng định nghĩa đã học ở lớp 7 rồi chọn một tổng các đơn thức một biến để làm ví dụ.

Đa thức một biến là tổng của những đơn thức của cùng một biến
Chọn ví dụ:

2 x^{2} - 5 x + 3

Đây là tổng của ba đơn thức một biến

x

2 x^{2}

;

- 5 x

;

3

Vậy đa thức một biến là tổng của những đơn thức của cùng một biến; ví dụ $2 x^{2} - 5 x + 3$ là một đa thức một biến.

2Cách 2. Kiểm tra lại ví dụ bằng cách soi từng hạng tử

Định hướng. Soi từng hạng tử của ví dụ vừa chọn theo đúng định nghĩa đơn thức một biến để xác nhận lại.

Hạng tử

2 x^{2}

: đơn thức của biến

x

Hạng tử

- 5 x

: đơn thức của biến

x

Hạng tử

3

: một số, cũng là đơn thức của biến

x

Cả ba hạng tử đều là đơn thức của cùng biến

x

Vậy tổng $2 x^{2} - 5 x + 3$ đúng là một đa thức một biến, vì mọi hạng tử của nó đều là đơn thức của cùng biến $x$ .

Nhận xét. Có thể đổi ví dụ khác như $y^{3} - 7 y + 1$ hay $- 4 z + 2$ , miễn mọi hạng tử cùng chứa một biến duy nhất.

3Cách 3. Mô tả bằng dạng tổng quát rồi chọn bộ hệ số cụ thể

Định hướng. Thay vì chỉ nêu định nghĩa bằng lời, hãy viết khuôn tổng quát của một đa thức một biến rồi chọn một bộ hệ số cụ thể để có ngay ví dụ, cách này cho thấy vô số ví dụ chứ không chỉ một.

Đa thức một biến

x

bậc hai có dạng

a x^{2} + b x + c

với

a \neq = 0

Chọn

a = 2

;

b = - 5

;

c = 3

được

2 x^{2} - 5 x + 3

Chọn

a = 1

;

b = 0

;

c = - 4

được

x^{2} - 4

Mỗi hạng tử

2 x^{2}

;

- 5 x

;

3

đều là đơn thức của cùng biến

x

Vậy đa thức một biến là tổng của những đơn thức của cùng một biến; ví dụ $2 x^{2} - 5 x + 3$ là một đa thức của biến $x$ .

Nhận xét. Nhìn qua dạng tổng quát mới thấy vì sao một đơn thức cũng là đa thức: chỉ cần cho các hệ số còn lại bằng $0$ , chẳng hạn $b = c = 0$ cho đa thức $a x^{2}$ chỉ có đúng một hạng tử.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: phát biểu định nghĩa rồi nêu ngay một ví dụ là đủ trọn ý; Cách 3 đáng dùng khi đề đòi mô tả dạng tổng quát của đa thức một biến.

Đáp số. Đa thức một biến là tổng của những đơn thức của cùng một biến. Ví dụ:

2 x^{2} - 5 x + 3

Sai lầm thường gặp. Nhầm đa thức một biến với đơn thức một biến, cho rằng chỉ cần một hạng tử duy nhất là đủ.

🚀 Mở rộng. Tổng quát hoá: mọi đa thức một biến

x

đều viết được dưới dạng

a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}

, trong đó các hệ số là những số cho trước, và bậc của nó là số mũ lớn nhất có hệ số khác

0

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · HĐ2★Trang 11— Viết ví dụ đơn thức tuỳ ý và tự kiểm tra theo định nghĩa

HĐ2 (trang 11). Em hãy viết ra hai đơn thức tuỳ ý (không chứa biến, hoặc chứa từ một đến ba biến trong các biến

x

y

z

) rồi trao đổi với bạn ngồi cạnh để kiểm tra lại xem đã viết đúng chưa. Nếu chưa đúng, hãy cùng bạn sửa lại cho đúng.

Kiến thức cần nhớ

Đơn thức là một số, một biến, hoặc tích của những số và biến; đơn thức có thể không chứa biến (là một số) hoặc chứa 1 đến 3 biến $x$ , $y$ , $z$ .

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu nhận dạng: đề không có dữ kiện tính toán nào mà yêu cầu TỰ viết ví dụ rồi kiểm tra chéo, nên trọng tâm là nắm chắc định nghĩa đơn thức chứ không phải kĩ thuật biến đổi. Chọn hướng lấy hai ví dụ ở hai thái cực — một đơn thức không chứa biến và một đơn thức đủ ba biến — để phủ hết phạm vi mà đề cho phép. Bẫy của đề là những biểu thức trông giống đơn thức: có biến ở mẫu như

\frac{1}{x}

, hoặc có phép cộng như

x + y

, đều bị loại.

1Cách 1. Chọn trực tiếp hai đơn thức đúng dạng yêu cầu rồi kiểm tra bằng định nghĩa

Định hướng. Chỉ cần chọn một đơn thức không chứa biến và một đơn thức chứa vài biến trong $x$ , $y$ , $z$ , rồi soát lại theo đúng định nghĩa đơn thức.

Chọn đơn thức không chứa biến:

- 7

Chọn đơn thức chứa ba biến:

4 x^{2} y z

- 7

là một số — đúng định nghĩa đơn thức

4 x^{2} y z

là tích của số

4

với các biến

x^{2}

y

z

— đúng định nghĩa đơn thức

Vậy hai đơn thức $- 7$ và $4 x^{2} y z$ đều thoả yêu cầu của đề bài.

2Cách 2. Đổi vai kiểm tra chéo với bạn ngồi cạnh

Định hướng. Giả sử bạn ngồi cạnh viết hai đơn thức khác; soát lại đúng ba dấu hiệu: không có phép cộng/trừ, biến không ở mẫu, số mũ nguyên không âm.

Giả sử bạn viết

2 x y^{2}

và

\frac{3}{5} z

2 x y^{2}

: tích của số

2

với biến

x

y^{2}

— hợp lệ

\frac{3}{5} z = \frac{3}{5} \cdot z

: tích của số

\frac{3}{5}

với biến

z

— hợp lệ
Không có hạng tử nào chứa dấu cộng/trừ hay biến ở mẫu

Vậy hai đơn thức của bạn $2 x y^{2}$ và $\frac{3}{5} z$ cũng viết đúng; cả bốn đơn thức $- 7$ , $4 x^{2} y z$ , $2 x y^{2}$ , $\frac{3}{5} z$ đều hợp lệ để dùng ở HĐ3.

Nhận xét. Khi kiểm tra chéo, chỉ cần soát đúng ba dấu hiệu: không có phép cộng/trừ nối hạng tử, biến không nằm ở mẫu, số mũ của biến là số nguyên không âm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chọn ví dụ rồi đối chiếu định nghĩa cho chính ví dụ đó, tự mình kiểm được ngay mà không phụ thuộc vào bạn ngồi cạnh như Cách 2.

Đáp số. Ví dụ hai đơn thức:

- 7

và

4 x^{2} y z

(có nhiều đáp số khác đúng, miễn thoả định nghĩa đơn thức).

Sai lầm thường gặp. Viết nhầm biểu thức có biến ở mẫu (như

\frac{1}{x}

) hoặc có phép cộng/trừ (như

x + y

) vào danh sách đơn thức.

🚀 Mở rộng. Bài cùng dạng ở mức khó hơn: hãy viết hai đơn thức ba biến CÙNG BẬC nhưng KHÔNG đồng dạng với nhau, rồi giải thích vì sao chúng không đồng dạng.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · HĐ3★Trang 11— Viết tổng bốn đơn thức để nhận biết một ví dụ về đa thức

HĐ3 (trang 11). Viết tổng của bốn đơn thức mà em và bạn ngồi cạnh đã viết.

Kiến thức cần nhớ

Đa thức là tổng của những đơn thức; mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức đó.

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu nhận dạng: đề bảo viết TỔNG của bốn đơn thức vừa lập ở HĐ2, đây chính là bước dẫn để học sinh tự gặp một đa thức nhiều biến trước khi nghe định nghĩa. Chọn hướng nối bốn đơn thức bằng dấu cộng và giữ nguyên dấu của từng đơn thức. Bẫy của đề là những đơn thức mang hệ số âm như

- 7

: khi nối vào tổng phải viết

+ (- 7)

, thu gọn lại thành

- 7

, chứ không được tự ý bỏ dấu trừ.

1Cách 1. Cộng liên tiếp bốn đơn thức đã chọn ở HĐ2

Định hướng. Dùng lại đúng bốn đơn thức đã viết ở HĐ2 rồi nối chúng bằng dấu cộng để được một tổng.

Bốn đơn thức đã viết:

- 7

;

4 x^{2} y z

;

2 x y^{2}

;

\frac{3}{5} z

Tổng của chúng:

- 7 + 4 x^{2} y z + 2 x y^{2} + \frac{3}{5} z

Vậy tổng cần viết là $4 x^{2} y z + 2 x y^{2} + \frac{3}{5} z - 7$ , đây là một ví dụ về đa thức có bốn hạng tử.

2Cách 2. Đối chiếu tổng vừa viết với định nghĩa đa thức

Định hướng. Soi lại tổng vừa viết theo đúng định nghĩa đa thức để xác nhận đó là một ví dụ hợp lệ.

Đa thức là tổng của những đơn thức
Biểu thức

4 x^{2} y z + 2 x y^{2} + \frac{3}{5} z - 7

đúng là tổng của bốn đơn thức

4 x^{2} y z

2 x y^{2}

\frac{3}{5} z

- 7

Mỗi đơn thức trong tổng là một hạng tử của đa thức

Vậy $4 x^{2} y z + 2 x y^{2} + \frac{3}{5} z - 7$ là một đa thức có 4 hạng tử: $4 x^{2} y z$ , $2 x y^{2}$ , $\frac{3}{5} z$ , $- 7$ .

Nhận xét. Đổi thứ tự các hạng tử (như đưa số $- 7$ ra sau) không làm thay đổi giá trị của đa thức, vì phép cộng có tính giao hoán.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nối thẳng bốn đơn thức đã có bằng dấu cộng rồi giữ nguyên dấu từng hạng tử, xong ngay; Cách 2 chỉ là bước đối chiếu với định nghĩa sau khi đã viết.

Đáp số. Tổng ví dụ:

4 x^{2} y z + 2 x y^{2} + \frac{3}{5} z - 7

— một đa thức có 4 hạng tử.

Sai lầm thường gặp. Quên giữ nguyên dấu của từng đơn thức khi viết tổng, ví dụ đổi dấu

- 7

thành

+ 7

🚀 Mở rộng. Bài cùng dạng ở mức khó hơn: nếu trong bốn đơn thức có hai đơn thức ĐỒNG DẠNG thì tổng viết ra còn thu gọn được nữa, hãy thử chọn bốn đơn thức sao cho tổng của chúng chỉ còn đúng ba hạng tử.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Luyện tập 1★★Trang 12— Nhận biết đa thức trong danh sách biểu thức và chỉ rõ hạng tử

Luyện tập 1 (trang 12). Biểu thức nào dưới đây là đa thức? Hãy chỉ rõ các hạng tử của mỗi đa thức ấy.

3 x y^{2} - 1

;

x + \frac{1}{x}

;

2 x + 3 y

;

x + x y + y

Kiến thức cần nhớ

Đa thức là tổng của những đơn thức.
Biến ở mẫu hoặc biến trong căn thức không phải là đơn thức nên biểu thức chứa chúng không phải là đa thức.

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu nhận dạng: bốn biểu thức đều là tổng của vài hạng tử, nên câu hỏi quy về việc từng hạng tử có phải đơn thức hay không. Chọn hướng soi hạng tử vì chỉ cần MỘT hạng tử hỏng là cả biểu thức bị loại, không phải xét tiếp. Bẫy của đề là

2 x + 3 y

trông rất giống

x + x y + y

: ở biểu thức trước, căn chỉ nằm ở HỆ SỐ nên vẫn là đa thức; ở biểu thức sau, BIẾN chui vào trong căn nên không còn là đa thức.

1Cách 1. Soi từng hạng tử của mỗi biểu thức theo định nghĩa đơn thức

Định hướng. Bốn biểu thức chỉ cần tách thành các hạng tử rồi soi từng hạng tử có đúng là đơn thức hay không.

3 x y^{2} - 1

: gồm hai hạng tử

3 x y^{2}

và

- 1

, đều là đơn thức — là đa thức

x + \frac{1}{x}

: hạng tử

\frac{1}{x}

có biến

x

ở mẫu, không là đơn thức — không là đa thức

2 x + 3 y

: gồm hai hạng tử

2 x

và

3 y

, hệ số là số vô tỉ nhưng vẫn là đơn thức — là đa thức

x + x y + y

: hạng tử

x y

có biến trong dấu căn, không là đơn thức — không là đa thức

Vậy $3 x y^{2} - 1$ và $2 x + 3 y$ là đa thức; $3 x y^{2} - 1$ có hai hạng tử $3 x y^{2}$ , $- 1$ , còn $2 x + 3 y$ có hai hạng tử $2 x$ , $3 y$ . Biểu thức $x + \frac{1}{x}$ và $x + x y + y$ không là đa thức.

2Cách 2. Tìm đúng hạng tử vi phạm khiến biểu thức bị loại

Định hướng. Thay vì soi dương tính từng biểu thức, chỉ cần lùng đúng hai dấu hiệu khiến một biểu thức không là đa thức: biến ở mẫu hoặc biến trong căn.

\frac{1}{x}

trong

x + \frac{1}{x}

có biến ở mẫu — vi phạm định nghĩa đơn thức

x y

trong

x + x y + y

có biến trong căn — vi phạm định nghĩa đơn thức

3 x y^{2}

- 1

2 x

3 y

đều là tích của số và biến với số mũ nguyên không âm — không vi phạm gì

Vậy hai biểu thức bị loại là $x + \frac{1}{x}$ và $x + x y + y$ ; còn lại $3 x y^{2} - 1$ (hạng tử $3 x y^{2}$ , $- 1$ ) và $2 x + 3 y$ (hạng tử $2 x$ , $3 y$ ) là đa thức.

Nhận xét. Dấu hiệu chung để loại một biểu thức khỏi tập đa thức là có hạng tử chứa biến ở mẫu hoặc biến trong căn thức — hai dạng này không bao giờ là đơn thức.

3Cách 3. Dùng tiêu chí đa thức luôn tính được giá trị tại mọi bộ số

Định hướng. Mọi đa thức chỉ gồm phép nhân, phép cộng và phép trừ nên tính được giá trị tại MỌI bộ số của biến; chỉ cần chỉ ra một bộ số làm biểu thức mất nghĩa là chắc chắn biểu thức đó không phải đa thức.

3 x y^{2} - 1

tại

x = 0

;

y = 0

cho

- 1

— vẫn tính được

2 x + 3 y

tại

x = 0

;

y = 0

cho

0

— vẫn tính được

x + \frac{1}{x}

tại

x = 0

— mẫu bằng

0

, không tính được

x + x y + y

tại

x = 1

;

y = - 1

— trong căn là số âm, không tính được

Vậy các đa thức là $3 x y^{2} - 1$ với hai hạng tử $3 x y^{2}$ và $- 1$ ; $2 x + 3 y$ với hai hạng tử $2 x$ và $3 y$ . Hai biểu thức $x + \frac{1}{x}$ và $x + x y + y$ không phải đa thức.

Nhận xét. Tiêu chí này cho một lí do rất trực quan: đa thức là biểu thức dùng được ở mọi nơi, còn phân thức và căn thức thì có những chỗ phải kiêng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: đi tìm ngay hạng tử vi phạm, gặp là loại luôn biểu thức đó, nhanh hơn Cách 1 phải xét đủ mọi hạng tử.

Đáp số. Đa thức:

3 x y^{2} - 1

(hạng tử

3 x y^{2}

- 1

) và

2 x + 3 y

(hạng tử

2 x

3 y

). Không phải đa thức:

x + \frac{1}{x}

;

x + x y + y

Sai lầm thường gặp. Cho rằng

2 x + 3 y

không phải đa thức vì hệ số có căn, trong khi hệ số của đơn thức được phép là số vô tỉ, chỉ cần biến không nằm trong căn hay ở mẫu.

🚀 Mở rộng. Bài cùng dạng ở mức khó hơn: xét

2 x + \frac{y}{3}

và

2 x + \frac{y}{3}

— hai biểu thức chỉ khác nhau ở chỗ đặt dấu căn, hãy chỉ ra biểu thức nào là đa thức.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Vận dụng★★Trang 12— Lập biểu thức đại số từ bài toán thực tế rồi nhận biết đa thức

Vận dụng (trang 12). Mỗi quyển vở giá

x

đồng. Mỗi cái bút giá

y

đồng. Viết biểu thức biểu thị số tiền phải trả để mua:
a) 8 quyển vở và 7 cái bút.
b) 3 xấp vở và 2 hộp bút, biết rằng mỗi xấp vở có 10 quyển, mỗi hộp bút có 12 chiếc.
c) Mỗi biểu thức tìm được ở hai câu trên có phải là đa thức không?

Kiến thức cần nhớ

Số tiền phải trả bằng số lượng nhân với đơn giá, tổng số tiền là tổng các khoản tiền thành phần.
Mỗi khoản tiền thành phần (số nhân với biến) là một đơn thức; tổng các đơn thức là một đa thức.

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu nhận dạng: bài toán thực tế cho đơn giá bằng chữ và số lượng bằng số, nên biểu thức cần lập luôn có dạng (số lượng) nhân (đơn giá) rồi cộng lại. Chọn hướng quy tất cả về số quyển và số chiếc trước khi nhân với đơn giá, vì đơn giá

x

y

được cho theo từng quyển, từng chiếc. Bẫy của đề là câu b) nói "xấp" và "hộp": phải đổi

3

xấp thành

30

quyển và

2

hộp thành

24

chiếc, quên đổi sẽ viết nhầm thành

3 x + 2 y

1Cách 1. Tính số lượng vở, bút rồi lập biểu thức tổng tiền

Định hướng. Số tiền mỗi loại bằng số lượng nhân đơn giá; cộng hai khoản tiền lại được biểu thức tổng số tiền phải trả.

8

quyển vở giá

8 x

đồng ;

7

cái bút giá

7 y

đồng
Biểu thức:

8 x + 7 y

(đồng)
b)

3

xấp vở

= 3 \cdot 10 = 30

quyển, giá

30 x

đồng

2

hộp bút

= 2 \cdot 12 = 24

chiếc, giá

24 y

đồng
Biểu thức:

30 x + 24 y

(đồng)
c)

8 x + 7 y

và

30 x + 24 y

đều là tổng của hai đơn thức

Vậy a) số tiền là $8 x + 7 y$ (đồng); b) số tiền là $30 x + 24 y$ (đồng); c) cả hai biểu thức đều là đa thức, vì mỗi biểu thức là tổng của hai đơn thức.

2Cách 2. Kiểm tra lại bằng cách thay một giá trị cụ thể của

x

y

Định hướng. Thay giá tiền cụ thể của vở và bút vào cả cách tính trực tiếp lẫn biểu thức vừa lập, hai bên phải cho cùng một số tiền.

Chọn

x = 5000

(đồng/quyển) ;

y = 3000

(đồng/cái)
a) Tính trực tiếp:

8 \cdot 5000 + 7 \cdot 3000 = 40000 + 21000 = 61000

Thay vào biểu thức:

8 x + 7 y = 8 \cdot 5000 + 7 \cdot 3000 = 61000

— khớp
b) Tính trực tiếp:

30 \cdot 5000 + 24 \cdot 3000 = 150000 + 72000 = 222000

Thay vào biểu thức:

30 x + 24 y = 30 \cdot 5000 + 24 \cdot 3000 = 222000

— khớp

Vậy hai biểu thức $8 x + 7 y$ và $30 x + 24 y$ ở câu a), b) đều tính đúng số tiền, và cả hai đều là đa thức.

Nhận xét. Việc thay số cụ thể chỉ kiểm tra được tính đúng đắn của biểu thức về giá trị; còn biểu thức có phải đa thức hay không vẫn phải soi theo đúng định nghĩa như Cách 1.

3Cách 3. Tính giá một xấp vở, một hộp bút rồi nhân với số xấp, số hộp

Định hướng. Giữ nguyên đơn vị đóng gói mà đề cho: tính trước giá tiền của MỘT xấp vở và MỘT hộp bút, rồi nhân với số xấp, số hộp cần mua.

Giá một xấp vở:

10 x

(đồng)
Giá một hộp bút:

12 y

(đồng)
b) Số tiền mua

3

xấp vở và

2

hộp bút

3 \cdot 10 x + 2 \cdot 12 y = 30 x + 24 y

(đồng)
a) Số tiền mua

8

quyển vở và

7

cái bút là

8 x + 7 y

(đồng)
Mỗi hạng tử

8 x

;

7 y

;

30 x

;

24 y

đều là đơn thức

Vậy a) số tiền là $8 x + 7 y$ đồng; b) số tiền là $30 x + 24 y$ đồng; c) cả hai biểu thức đều là đa thức vì đều là tổng của hai đơn thức.

Nhận xét. Tính theo đơn vị đóng gói giúp nhìn ra ngay chỗ hay sai: hệ số $30$ và $24$ sinh ra từ hai phép nhân $3 \cdot 10$ và $2 \cdot 12$ , ai bỏ qua bước này sẽ viết nhầm thành $3 x + 2 y$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: quy hết về số quyển, số chiếc rồi nhân đơn giá, đây là con đường ngắn và ít chỗ nhầm nhất; Cách 3 hay ở chỗ giữ nguyên đơn vị đóng gói nên hợp với cách nghĩ khi đi mua thật.

Đáp số. a)

8 x + 7 y

(đồng). b)

30 x + 24 y

(đồng). c) Cả hai biểu thức đều là đa thức.

Sai lầm thường gặp. Quên nhân xấp vở với 10 hay hộp bút với 12, viết nhầm biểu thức câu b) thành

3 x + 2 y

🚀 Mở rộng. Tổng quát hoá: mua

m

xấp vở loại

p

quyển một xấp và

n

hộp bút loại

q

chiếc một hộp thì số tiền là

m p x + n q y

— luôn là một đa thức bậc nhất với hai biến

x

y

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Câu hỏi★Trang 12— Nhận biết đa thức thu gọn bằng cách soi các hạng tử đồng dạng

Câu hỏi (trang 12). Đa thức nêu trong tình huống mở đầu có phải là đa thức thu gọn không?
Tình huống mở đầu (trang 11): Biểu thức biểu thị diện tích của hình tạo bởi một tam giác vuông và hai hình vuông dựng trên hai cạnh góc vuông của nó là

x^{2} + y^{2} + \frac{1}{2} x y

Kiến thức cần nhớ

Đa thức thu gọn là đa thức không có hai hạng tử nào đồng dạng.

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu nhận dạng: câu hỏi chỉ có một từ khoá là "thu gọn", nên toàn bộ việc cần làm là kiểm tra xem trong đa thức còn hai hạng tử nào đồng dạng với nhau không. Chọn hướng so phần biến từng đôi một vì đa thức chỉ có ba hạng tử, đối chiếu ba cặp là hết. Bẫy của đề là sự khác nhau của ba phần biến

x^{2}

y^{2}

x y

làm ta tưởng đa thức "chưa gọn" vì trông rối; thu gọn chỉ xét hạng tử CÙNG phần biến nên ba phần biến khác nhau nghĩa là đã gọn.

1Cách 1. Soi từng cặp hạng tử xem có đồng dạng không

Định hướng. Đa thức chỉ có ba hạng tử nên chỉ cần soi từng cặp một xem phần biến có trùng nhau hay không.

Ba hạng tử:

x^{2}

;

y^{2}

;

\frac{1}{2} x y

x^{2}

và

y^{2}

: phần biến khác nhau — không đồng dạng

x^{2}

và

\frac{1}{2} x y

: phần biến khác nhau — không đồng dạng

y^{2}

và

\frac{1}{2} x y

: phần biến khác nhau — không đồng dạng

Vậy đa thức $x^{2} + y^{2} + \frac{1}{2} x y$ không có hai hạng tử nào đồng dạng, nên đó là một đa thức thu gọn.

2Cách 2. Liệt kê phần biến rồi kiểm tra trùng lặp

Định hướng. Viết rõ phần biến của từng hạng tử ra một hàng, nếu không có phần biến nào lặp lại thì đa thức đã thu gọn.

Phần biến của

x^{2}

là

x^{2}

Phần biến của

y^{2}

là

y^{2}

Phần biến của

\frac{1}{2} x y

là

x y

Ba phần biến

x^{2}

y^{2}

x y

đôi một khác nhau, không có phần biến nào lặp lại

Vậy vì không có phần biến nào trùng nhau, đa thức $x^{2} + y^{2} + \frac{1}{2} x y$ đúng là một đa thức thu gọn.

Nhận xét. Đây cũng là lí do đa thức trong tình huống mở đầu được giữ nguyên dạng $x^{2} + y^{2} + \frac{1}{2} x y$ mà không thể rút gọn thêm được nữa.

3Cách 3. Mã hoá mỗi hạng tử thành cặp số mũ của x và y

Định hướng. Hai hạng tử đồng dạng khi và chỉ khi cặp số mũ (số mũ của $x$ ; số mũ của $y$ ) của chúng trùng nhau; ghi ba hạng tử thành ba cặp số rồi so sánh là xong.

x^{2}

ứng với cặp

(2; 0)

y^{2}

ứng với cặp

(0; 2)

\frac{1}{2} x y

ứng với cặp

(1; 1)

Ba cặp

(2; 0)

;

(0; 2)

;

(1; 1)

đôi một khác nhau

Vậy không có hai hạng tử nào đồng dạng, nên $x^{2} + y^{2} + \frac{1}{2} x y$ LÀ một đa thức thu gọn.

Nhận xét. Ba cặp số trên đều có tổng bằng $2$ , nghĩa là ba hạng tử cùng bậc $2$ — một lần nữa cho thấy cùng bậc hoàn toàn không có nghĩa là đồng dạng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: mã hoá mỗi hạng tử thành cặp số mũ rồi xem ba cặp có đôi một khác nhau không, kết luận chắc chắn mà không phải so đi so lại bằng mắt.

Đáp số. Có. Đa thức

x^{2} + y^{2} + \frac{1}{2} x y

là một đa thức thu gọn.

Sai lầm thường gặp. Nhầm rằng có mặt cả ba loại luỹ thừa khác nhau (

x^{2}

y^{2}

x y

) là dấu hiệu CHƯA thu gọn, trong khi thu gọn chỉ xét các hạng tử có CÙNG phần biến.

🚀 Mở rộng. Bài cùng dạng ở mức khó hơn: nếu tam giác vuông ở tình huống mở đầu có hai cạnh góc vuông đều bằng

x

thì biểu thức diện tích trở thành gì, và khi đó đa thức mới còn thu gọn được nữa không?

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Luyện tập 2★★Trang 13— Thu gọn đa thức nhiều biến rồi xác định hệ số, bậc từng hạng tử

Luyện tập 2 (trang 13). Cho đa thức

N = 5 y^{2} z^{2} - 2 x y^{2} z + \frac{1}{3} x^{4} - 2 y^{2} z^{2} + \frac{2}{3} x^{4} + x y^{2} z

.
a) Thu gọn đa thức

N

.
b) Xác định hệ số và bậc của từng hạng tử (tức là bậc của từng đơn thức) trong dạng thu gọn của

N

Kiến thức cần nhớ

Muốn thu gọn đa thức, nhóm các hạng tử đồng dạng rồi cộng (trừ) hệ số của chúng, giữ nguyên phần biến.
Bậc của một hạng tử (đơn thức) là tổng số mũ của các biến trong hạng tử đó.

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu nhận dạng: đa thức có sáu hạng tử nhưng nhìn kĩ thấy

5 y^{2} z^{2}

với

- 2 y^{2} z^{2}

\frac{1}{3} x^{4}

với

\frac{2}{3} x^{4}

- 2 x y^{2} z

với

x y^{2} z

đứng thành từng cặp đồng dạng. Chọn hướng nhóm ba cặp ấy lại rồi cộng hệ số, vì sau khi gộp đa thức chỉ còn ba hạng tử nên câu b) làm rất nhanh. Bẫy của đề là cả ba hạng tử của dạng thu gọn đều có bậc

4

: nhiều bạn thấy cùng bậc lại tưởng còn gộp được tiếp.

1Cách 1. Nhóm các hạng tử đồng dạng rồi cộng hệ số

Định hướng. $N$ có ba cặp hạng tử đồng dạng ( $y^{2} z^{2}$ , $x y^{2} z$ , $x^{4}$ ); nhóm từng cặp rồi cộng hệ số là thu gọn được ngay.

N = (5 y^{2} z^{2} - 2 y^{2} z^{2}) + (- 2 x y^{2} z + x y^{2} z) + (\frac{1}{3} x^{4} + \frac{2}{3} x^{4})

= 3 y^{2} z^{2} - x y^{2} z + x^{4}

b) Hạng tử

x^{4}

: hệ số

1

, bậc

4

Hạng tử

- x y^{2} z

: hệ số

- 1

, bậc

1 + 2 + 1 = 4

Hạng tử

3 y^{2} z^{2}

: hệ số

3

, bậc

2 + 2 = 4

Vậy a) $N = x^{4} - x y^{2} z + 3 y^{2} z^{2}$ ; b) cả ba hạng tử đều có bậc $4$ , với hệ số lần lượt $1$ , $- 1$ , $3$ .

2Cách 2. Sắp lại các hạng tử đồng dạng đứng cạnh nhau rồi kiểm tra lại bậc bằng cách đếm số mũ

Định hướng. Viết lại $N$ theo thứ tự $x^{4}$ , $x y^{2} z$ , $y^{2} z^{2}$ cho các nhóm đồng dạng liền nhau, rồi đếm số mũ từng biến để kiểm tra lại bậc.

N = \frac{1}{3} x^{4} + \frac{2}{3} x^{4} - 2 x y^{2} z + x y^{2} z + 5 y^{2} z^{2} - 2 y^{2} z^{2}

= (\frac{1}{3} + \frac{2}{3}) x^{4} + (- 2 + 1) x y^{2} z + (5 - 2) y^{2} z^{2}

= x^{4} - x y^{2} z + 3 y^{2} z^{2}

x^{4}

: số mũ của

x

là

4

— bậc

4

- x y^{2} z

: số mũ của

x

y

z

lần lượt là

1

2

1

— tổng

1 + 2 + 1 = 4

3 y^{2} z^{2}

: số mũ của

y

z

lần lượt là

2

2

— tổng

2 + 2 = 4

Vậy kết quả thu gọn vẫn là $N = x^{4} - x y^{2} z + 3 y^{2} z^{2}$ , và cả ba hạng tử đều cùng có bậc $4$ .

Nhận xét. Ba hạng tử của $N$ tuy đều cùng bậc $4$ nhưng có phần biến khác nhau ( $x^{4}$ , $x y^{2} z$ , $y^{2} z^{2}$ ) nên không đồng dạng với nhau — đây là lí do dạng thu gọn của $N$ vẫn còn đủ ba hạng tử.

3Cách 3. Kiểm chứng dạng thu gọn bằng hai bộ giá trị cụ thể

Định hướng. Đa thức ban đầu và dạng thu gọn phải nhận cùng giá trị tại mọi bộ số; thử hai bộ số khác nhau, một bộ toàn số $1$ cho gọn và một bộ có $x$ khác $y$ , $z$ để lộ ra lỗi gộp nhầm hạng tử.

Tại

x = y = z = 1

N = 5 - 2 + \frac{1}{3} - 2 + \frac{2}{3} + 1 = 3

; dạng thu gọn cho

1 - 1 + 3 = 3

Tại

x = 2

;

y = z = 1

N = 5 - 2 \cdot 2 + \frac{1}{3} \cdot 16 - 2 + \frac{2}{3} \cdot 16 + 2 = 17

Dạng thu gọn cho

2^{4} - 2 \cdot 1 \cdot 1 + 3 = 16 - 2 + 3 = 17

Vậy a) $N = x^{4} - x y^{2} z + 3 y^{2} z^{2}$ ; b) hạng tử $x^{4}$ có hệ số $1$ , bậc $4$ ; hạng tử $- x y^{2} z$ có hệ số $- 1$ , bậc $4$ ; hạng tử $3 y^{2} z^{2}$ có hệ số $3$ , bậc $4$ .

Nhận xét. Bộ số thứ hai mới là bộ có giá trị kiểm tra: nếu ai gộp bừa ba hạng tử bậc $4$ thành một thì tại $x = 2$ kết quả lệch ngay, còn bộ toàn số $1$ thì nhiều lỗi vẫn lọt.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhóm ba cặp đồng dạng rồi cộng hệ số, chỉ hai dòng là ra dạng thu gọn cho câu a) và đọc luôn được câu b).

Đáp số. a)

N = x^{4} - x y^{2} z + 3 y^{2} z^{2}

. b)

x^{4}

: hệ số

1

, bậc

4

;

- x y^{2} z

: hệ số

- 1

, bậc

4

;

3 y^{2} z^{2}

: hệ số

3

, bậc

4

Sai lầm thường gặp. Gộp nhầm cả ba hạng tử

x^{4}

- x y^{2} z

3 y^{2} z^{2}

vào một nhóm vì cùng bậc

4

, quên rằng cùng bậc không có nghĩa là đồng dạng.

🚀 Mở rộng. Bài cùng dạng ở mức khó hơn: giữ nguyên

N

nhưng đổi

\frac{2}{3} x^{4}

thành

- \frac{1}{3} x^{4}

— khi đó dạng thu gọn còn mấy hạng tử và bậc của

N

thay đổi thế nào?

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Luyện tập 3★★Trang 13— Thu gọn đa thức và xác định bậc

Luyện tập 3 (trang 13). Với mỗi đa thức sau, thu gọn (nếu cần) và tìm bậc của nó:
a)

Q = 5 x^{2} - 7 x y + 2, 5 y^{2} + 2 x - 8, 3 y + 1

;
b)

H = 4 x^{5} - \frac{1}{2} x^{3} y + \frac{3}{4} x^{2} y^{2} - 4 x^{5} + 2 y^{2} - 7

Kiến thức cần nhớ

Đa thức đã thu gọn nếu không còn hạng tử nào đồng dạng; nếu còn thì phải nhóm và cộng trừ hệ số.
Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn.

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu nhận dạng: đề ghi rõ "thu gọn (nếu cần)", tức là có đa thức đã gọn sẵn và có đa thức chưa — phải kiểm tra trước khi đi tìm bậc. Chọn hướng soi cặp hạng tử đồng dạng của từng đa thức rồi mới lấy bậc lớn nhất, vì bậc phải đọc trên dạng ĐÃ thu gọn. Bẫy của đề nằm ở

H

: hai hạng tử

4 x^{5}

và

- 4 x^{5}

triệt tiêu hoàn toàn, ai vội nhìn thấy

x^{5}

sẽ trả lời bậc

5

trong khi bậc đúng là

4

1Cách 1. Soi hạng tử đồng dạng của từng đa thức rồi thu gọn

Định hướng. Soi lần lượt các hạng tử của $Q$ và $H$ xem có cặp nào đồng dạng để gộp lại, sau đó lấy bậc lớn nhất trong dạng đã gọn.

a) Sáu hạng tử của

Q

5 x^{2}

- 7 x y

2, 5 y^{2}

2 x

- 8, 3 y

1

đôi một không đồng dạng

Q

đã là đa thức thu gọn
Bậc của

5 x^{2}

- 7 x y

2, 5 y^{2}

đều bằng

2

; bậc của

2 x

- 8, 3 y

bằng

1

; bậc của

1

bằng

0

H = 4 x^{5} - \frac{1}{2} x^{3} y + \frac{3}{4} x^{2} y^{2} - 4 x^{5} + 2 y^{2} - 7

Hai hạng tử

4 x^{5}

và

- 4 x^{5}

đồng dạng

H = (4 x^{5} - 4 x^{5}) - \frac{1}{2} x^{3} y + \frac{3}{4} x^{2} y^{2} + 2 y^{2} - 7 = - \frac{1}{2} x^{3} y + \frac{3}{4} x^{2} y^{2} + 2 y^{2} - 7

Bậc của

- \frac{1}{2} x^{3} y

là

4

; bậc của

\frac{3}{4} x^{2} y^{2}

là

4

; bậc của

2 y^{2}

là

2

; bậc của

- 7

là

0

Vậy a) $Q$ đã thu gọn, có bậc $2$ ; b) $H = - \frac{1}{2} x^{3} y + \frac{3}{4} x^{2} y^{2} + 2 y^{2} - 7$ , có bậc $4$ .

2Cách 2. Kiểm tra lại bằng cách liệt kê bậc của mọi hạng tử rồi lấy giá trị lớn nhất

Định hướng. Liệt kê bậc của từng hạng tử trước khi thu gọn, xem có cặp bậc cao nào triệt tiêu nhau không, rồi mới chốt bậc của đa thức.

a) Bậc từng hạng tử của

Q

2, 1, 2, 1, 1, 0

— lớn nhất là

2

b) Trước khi thu gọn, bậc từng hạng tử của

H

5, 4, 4, 5, 2, 0

Hai hạng tử bậc

5

(

4 x^{5}

và

- 4 x^{5}

) triệt tiêu nhau vì cùng phần biến, hệ số đối nhau
Sau khi thu gọn còn lại các bậc

4, 4, 2, 0

— lớn nhất là

4

Vậy bậc của $Q$ là $2$ , bậc của $H$ (sau khi thu gọn) là $4$ , đúng như kết quả ở Cách 1.

Nhận xét. Đa thức $H$ là một ví dụ cho thấy phải thu gọn trước rồi mới tìm bậc: nếu vội lấy bậc lớn nhất $5$ ngay từ dạng chưa gọn sẽ ra kết quả sai, vì hai hạng tử bậc $5$ đã triệt tiêu nhau.

3Cách 3. Thay mọi biến bởi cùng một chữ t để soát lại bậc

Định hướng. Khi thay mọi biến bởi cùng một chữ $t$ , mỗi hạng tử biến thành một luỹ thừa của $t$ có số mũ đúng bằng bậc của nó, nên số mũ cao nhất còn lại sau khi thu gọn chỉ ra ngay bậc của đa thức.

Q

với

x = y = t

cho

5 t^{2} - 7 t^{2} + 2, 5 t^{2} + 2 t - 8, 3 t + 1

= 0, 5 t^{2} - 6, 3 t + 1

— số mũ cao nhất là

2

H

với

x = y = t

cho

4 t^{5} - \frac{1}{2} t^{4} + \frac{3}{4} t^{4} - 4 t^{5} + 2 t^{2} - 7

= \frac{1}{4} t^{4} + 2 t^{2} - 7

— số mũ cao nhất là

4

Vậy a) $Q = 5 x^{2} - 7 x y + 2, 5 y^{2} + 2 x - 8, 3 y + 1$ đã thu gọn và có bậc $2$ ; b) $H = - \frac{1}{2} x^{3} y + \frac{3}{4} x^{2} y^{2} + 2 y^{2} - 7$ và có bậc $4$ .

Nhận xét. Phép thay này bắt đúng bẫy của câu b): hai hạng tử $t^{5}$ tự triệt tiêu ngay trước mắt, không còn cách nào kết luận nhầm bậc $5$ được nữa.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: soi cặp đồng dạng rồi lấy bậc lớn nhất, ngắn gọn; Cách 3 là mẹo soát lại rất đáng dùng với những đa thức có hạng tử bậc cao triệt tiêu như

H

Đáp số. a)

Q

đã thu gọn, bậc

2

. b)

H = - \frac{1}{2} x^{3} y + \frac{3}{4} x^{2} y^{2} + 2 y^{2} - 7

, bậc

4

Sai lầm thường gặp. Kết luận vội bậc của

H

là

5

vì thấy hạng tử

x^{5}

xuất hiện, quên rằng

4 x^{5}

và

- 4 x^{5}

triệt tiêu nhau sau khi thu gọn.

🚀 Mở rộng. Bài cùng dạng ở mức khó hơn: tìm số

m

để đa thức

4 x^{5} - \frac{1}{2} x^{3} y + \frac{3}{4} x^{2} y^{2} + m x^{5} + 2 y^{2} - 7

có bậc đúng bằng

5

, và cho biết với giá trị nào của

m

thì bậc tụt xuống

4

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Tranh luận★★Trang 14— Viết đa thức thu gọn thoả điều kiện cho trước về bậc và hệ số

Tranh luận (trang 14). Hãy viết một vài đa thức bậc hai thu gọn với hai biến (

x

và

y

) mà mỗi hạng tử của nó đều có hệ số bằng

1

Kiến thức cần nhớ

Đa thức bậc hai với hai biến $x$ , $y$ có các hạng tử bậc không vượt quá 2, trong đó phần biến bậc 2 khả dĩ là $x^{2}$ , $x y$ , $y^{2}$ .
Đa thức thu gọn không có hai hạng tử đồng dạng; hệ số bằng 1 nghĩa là mỗi hạng tử chỉ có phần biến, không kèm số đứng trước.

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu nhận dạng: đề đặt ba điều kiện cùng lúc — đa thức bậc hai, hai biến

x

và

y

, mọi hệ số bằng

1

— nên phải kiểm đủ cả ba chứ không chỉ nhìn bậc. Chọn hướng liệt kê các phần biến có bậc không vượt quá

2

rồi ghép lại, vì như vậy chắc chắn không sinh ra hạng tử bậc

3

ngoài ý muốn. Bẫy của đề là chữ "hệ số bằng

1

": hạng tử

- x^{2}

có hệ số

- 1

chứ không phải

1

, nên không được dùng.

1Cách 1. Chọn phần biến bậc không vượt quá 2, đôi một khác nhau, hệ số đều bằng 1

Định hướng. Liệt kê các phần biến bậc từ 0 đến 2 của hai biến $x$ , $y$ , chọn vài phần biến khác nhau (có ít nhất một phần biến bậc 2) rồi cộng lại với hệ số 1.

Các phần biến bậc

\leq 2

của

x

y

x^{2}

;

y^{2}

;

x y

;

x

;

y

;

1

Chọn ba phần biến khác nhau, có phần biến bậc

2

x^{2}

y

1

Đa thức:

x^{2} + y + 1

— bậc

2

, ba hạng tử đều hệ số

1

Vậy $x^{2} + y + 1$ là một đa thức bậc hai thu gọn với hai biến $x$ , $y$ , mỗi hạng tử có hệ số $1$ .

2Cách 2. Ghép cả ba dạng bậc hai

x^{2}

x y

y^{2}

thành một đa thức khác

Định hướng. Thử một cách chọn khác: lấy đúng ba phần biến bậc hai $x^{2}$ , $x y$ , $y^{2}$ để xem có tạo được một đa thức hợp lệ khác hay không.

Chọn phần biến:

x^{2}

;

x y

;

y^{2}

Cả ba đều là hạng tử bậc

2

, đôi một không đồng dạng (phần biến khác nhau)
Đa thức:

x^{2} + x y + y^{2}

Vậy $x^{2} + x y + y^{2}$ cũng là một đa thức bậc hai thu gọn khác, mỗi hạng tử đều có hệ số $1$ , thoả yêu cầu đề bài.

Nhận xét. Có vô số đáp số đúng, ví dụ thêm $x^{2} + x + y$ hay $x + y + x y$ ; miễn phần biến đôi một khác nhau, hệ số mọi hạng tử bằng $1$ và hạng tử bậc cao nhất có bậc đúng bằng $2$ .

3Cách 3. Liệt kê đủ mọi phần biến có bậc không vượt quá hai rồi chọn ra

Định hướng. Một đa thức thu gọn hai biến bậc hai chỉ được ghép từ những phần biến có bậc không vượt quá $2$ , và phải có ít nhất một phần biến bậc đúng bằng $2$ ; liệt kê hết các phần biến ấy rồi chọn.

Phần biến bậc

0

1

Phần biến bậc

1

x

;

y

Phần biến bậc

2

x^{2}

;

x y

;

y^{2}

Ghép

x^{2}

với

y

và

1

được

x^{2} + y + 1

Ghép cả ba phần biến bậc

2

được

x^{2} + x y + y^{2}

Ghép

x y

với

x

được

x y + x

Vậy một vài đa thức thoả mãn là $x^{2} + y + 1$ ; $x^{2} + x y + y^{2}$ ; $x y + x$ — mỗi đa thức đều thu gọn, bậc hai, hai biến và mọi hệ số bằng $1$ .

Nhận xét. Danh sách sáu phần biến ở trên cho thấy đề có rất nhiều đáp án đúng; điều kiện duy nhất dễ bị quên là phải có mặt ít nhất một phần biến bậc $2$ , nếu không đa thức chỉ còn bậc $1$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: liệt kê đủ sáu phần biến có bậc không quá

2

rồi chọn ra, cách này bảo đảm không bỏ sót phương án nào và tự tránh được hạng tử hệ số âm.

Đáp số. Ví dụ:

x^{2} + y + 1

hoặc

x^{2} + x y + y^{2}

(có nhiều đáp số khác đúng).

Sai lầm thường gặp. Viết đa thức có hạng tử hệ số

- 1

(như

- x^{2} + y

) và coi đó cũng là hệ số bằng

1

, nhầm giữa hệ số bằng 1 với hệ số có giá trị tuyệt đối bằng 1.

🚀 Mở rộng. Bài cùng dạng ở mức khó hơn: có tất cả bao nhiêu đa thức thu gọn hai biến

x

y

, bậc hai, mọi hệ số bằng

1

? Hãy đếm theo số tập hợp con của danh sách sáu phần biến ở Cách 3.

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 1.8★★Trang 14— Nhận biết đa thức trong danh sách biểu thức đại số

Bài 1.8 (trang 14). Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đa thức?

- x^{2} + 3 x + 1

;

\frac{x}{5}

;

x - \frac{5}{x}

;

2024

;

3 x^{2} y^{2} - 5 x \cdot 3 y + 2, 4

;

\frac{1}{x ^{2} + x + 1}

Kiến thức cần nhớ

Đa thức là tổng của những đơn thức; đơn thức không cần viết ở dạng thu gọn, chỉ cần là tích của số và biến.
Biến ở mẫu là dấu hiệu chắc chắn loại một biểu thức khỏi tập đa thức.

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu nhận dạng: sáu biểu thức được bày ra để đụng đủ các tình huống dễ nhầm — căn ở mẫu của hệ số, biến ở mẫu, hạng tử chưa thu gọn, cả một phân thức có đa thức ở mẫu. Chọn hướng tìm dấu hiệu bị loại là BIẾN NẰM Ở MẪU, vì đó là điểm chung của đúng hai biểu thức phải loại. Bẫy của đề có hai chỗ:

\frac{x}{5}

có căn ở MẪU nhưng mẫu chỉ là số nên vẫn là đa thức, còn

3 x^{2} y^{2} - 5 x \cdot 3 y + 2, 4

chưa thu gọn nhưng đơn thức không bắt buộc phải viết ở dạng thu gọn.

1Cách 1. Soi từng biểu thức theo định nghĩa đa thức

Định hướng. Sáu biểu thức chỉ cần tách hạng tử rồi soi từng hạng tử có phải đơn thức hay không, đặc biệt chú ý biến ở mẫu.

- x^{2} + 3 x + 1

: ba hạng tử

- x^{2}

3 x

1

đều là đơn thức — là đa thức

\frac{x}{5} = \frac{1}{5} \cdot x

: tích của số

\frac{1}{5}

với biến

x

— là đơn thức, cũng là đa thức

x - \frac{5}{x}

: hạng tử

\frac{5}{x}

có biến

x

ở mẫu — không là đa thức

2024

: một số — là đơn thức, cũng là đa thức

3 x^{2} y^{2} - 5 x \cdot 3 y + 2, 4

: ba hạng tử

3 x^{2} y^{2}

- 5 x \cdot 3 y

2, 4

đều là tích của số và biến — là đa thức

\frac{1}{x ^{2} + x + 1}

: biến

x

nằm ở mẫu — không là đa thức

Vậy các biểu thức là đa thức: $- x^{2} + 3 x + 1$ ; $\frac{x}{5}$ ; $2024$ ; $3 x^{2} y^{2} - 5 x \cdot 3 y + 2, 4$ . Hai biểu thức không phải đa thức: $x - \frac{5}{x}$ ; $\frac{1}{x ^{2} + x + 1}$ .

2Cách 2. Tìm đúng dấu hiệu bị loại — biến ở mẫu

Định hướng. Chỉ cần lùng đúng những biểu thức có biến ở mẫu số, vì đó là dấu hiệu duy nhất khiến các biểu thức này không phải đa thức.

x - \frac{5}{x}

có biến

x

ở mẫu của hạng tử

\frac{5}{x}

— vi phạm

\frac{1}{x ^{2} + x + 1}

có biến

x

ở mẫu của cả biểu thức — vi phạm
Bốn biểu thức còn lại không có biến nào ở mẫu, mọi hạng tử đều là tích hữu hạn của số và biến với số mũ nguyên không âm

Vậy chỉ có hai biểu thức $x - \frac{5}{x}$ và $\frac{1}{x ^{2} + x + 1}$ bị loại; bốn biểu thức còn lại — $- x^{2} + 3 x + 1$ , $\frac{x}{5}$ , $2024$ , $3 x^{2} y^{2} - 5 x \cdot 3 y + 2, 4$ — đều là đa thức.

Nhận xét. Hạng tử $- 5 x \cdot 3 y$ tuy chưa viết gọn (chưa nhân hai hệ số $- 5$ và $3$ với nhau) nhưng vẫn là tích của số và biến nên vẫn là một đơn thức hợp lệ; đây là điểm dễ nhầm nhất của bài.

3Cách 3. Thu gọn từng biểu thức rồi kiểm tra mọi hạng tử theo dạng chuẩn

Định hướng. Thu gọn trước rồi mới xét: biểu thức là đa thức khi mọi hạng tử sau khi thu gọn đều viết được thành một số nhân với các luỹ thừa của biến.

- x^{2} + 3 x + 1

— ba hạng tử đều đạt dạng chuẩn

\frac{x}{5} = \frac{1}{5} \cdot x

— hệ số

\frac{1}{5}

là một số

2024

— một số, là đa thức chỉ có hạng tử tự do

3 x^{2} y^{2} - 5 x \cdot 3 y + 2, 4 = 3 x^{2} y^{2} - 15 x y + 2, 4

— ba hạng tử đều đạt

x - \frac{5}{x}

— hạng tử thứ hai có biến

x

ở mẫu

\frac{1}{x ^{2} + x + 1}

— cả một đa thức nằm dưới mẫu

Vậy các đa thức là $- x^{2} + 3 x + 1$ ; $\frac{x}{5}$ ; $2024$ ; $3 x^{2} y^{2} - 5 x \cdot 3 y + 2, 4$ ; hai biểu thức $x - \frac{5}{x}$ và $\frac{1}{x ^{2} + x + 1}$ không phải đa thức.

Nhận xét. Bước thu gọn làm rõ hai chỗ dễ nhầm cùng lúc: $\frac{1}{5}$ chỉ là một con số nên được làm hệ số, còn $- 5 x \cdot 3 y$ chỉ cần gộp lại là thành đơn thức $- 15 x y$ hoàn toàn hợp lệ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: soi ngay xem biến có nằm ở mẫu hay không, hai biểu thức phải loại lộ ra lập tức; Cách 3 dùng khi cần giải thích cho bạn vì sao hai biểu thức trông lạ kia vẫn là đa thức.

Đáp số. Đa thức:

- x^{2} + 3 x + 1

;

\frac{x}{5}

;

2024

;

3 x^{2} y^{2} - 5 x \cdot 3 y + 2, 4

. Không phải đa thức:

x - \frac{5}{x}

;

\frac{1}{x ^{2} + x + 1}

Sai lầm thường gặp. Cho rằng

3 x^{2} y^{2} - 5 x \cdot 3 y + 2, 4

không phải đa thức vì hạng tử

- 5 x \cdot 3 y

chưa gọn (còn hai số nhân riêng), trong khi một đơn thức không bắt buộc phải viết ở dạng thu gọn.

🚀 Mở rộng. Bài cùng dạng ở mức khó hơn: xét

\frac{x + 1}{5}

và

\frac{5}{x + 1}

— hai biểu thức chỉ khác nhau ở chỗ lật ngược phân số, hãy chỉ ra biểu thức nào là đa thức và vì sao.

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 1.9★Trang 14— Xác định hệ số, bậc của từng hạng tử trong đa thức thu gọn

Bài 1.9 (trang 14). Xác định hệ số và bậc của từng hạng tử trong đa thức sau:
a)

x^{2} y - 3 x y + 5 x^{2} y^{2} + 0, 5 x - 4

;
b)

x 2 - 2 x y^{3} + y^{3} - 7 x^{3} y

Kiến thức cần nhớ

Hệ số của một hạng tử là phần số đứng trước phần biến; bậc của hạng tử là tổng số mũ của các biến trong hạng tử đó.

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu nhận dạng: hai đa thức đều đã thu gọn nên chỉ việc đọc hệ số của từng hạng tử và cộng số mũ để ra bậc. Chọn hướng tách hệ số rồi cộng số mũ cho từng hạng tử, làm lần lượt nên không sót. Bẫy của đề gồm ba chỗ: hạng tử

x^{2} y

và

y^{3}

có hệ số ngầm là

1

, hạng tử tự do

- 4

có bậc

0

, và

x 2

viết hệ số ở phía sau nên phải đọc là

2 x

1Cách 1. Tách hệ số và cộng số mũ từng hạng tử

Định hướng. Mỗi hạng tử đã ở dạng thu gọn nên chỉ cần tách đúng phần số đứng trước và cộng số mũ các biến còn lại để ra bậc.

x^{2} y

: hệ số

1

, bậc

2 + 1 = 3

- 3 x y

: hệ số

- 3

, bậc

1 + 1 = 2

5 x^{2} y^{2}

: hệ số

5

, bậc

2 + 2 = 4

0, 5 x

: hệ số

0, 5

, bậc

1

- 4

: hệ số

- 4

, bậc

0

x 2 = 2 x

: hệ số

2

, bậc

1

- 2 x y^{3}

: hệ số

- 2

, bậc

1 + 3 = 4

y^{3}

: hệ số

1

, bậc

3

- 7 x^{3} y

: hệ số

- 7

, bậc

3 + 1 = 4

Vậy a) $x^{2} y$ (hệ số $1$ , bậc $3$ ), $- 3 x y$ (hệ số $- 3$ , bậc $2$ ), $5 x^{2} y^{2}$ (hệ số $5$ , bậc $4$ ), $0, 5 x$ (hệ số $0, 5$ , bậc $1$ ), $- 4$ (hệ số $- 4$ , bậc $0$ ); b) $2 x$ (hệ số $2$ , bậc $1$ ), $- 2 x y^{3}$ (hệ số $- 2$ , bậc $4$ ), $y^{3}$ (hệ số $1$ , bậc $3$ ), $- 7 x^{3} y$ (hệ số $- 7$ , bậc $4$ ).

2Cách 2. Kiểm tra lại bằng cách viết tường minh phép nhân lặp lại của từng biến

Định hướng. Với các hạng tử có nhiều biến, viết tường minh mỗi biến nhân lặp lại rồi đếm số lần xuất hiện để kiểm tra lại bậc vừa tính.

5 x^{2} y^{2} = 5 \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y

: biến xuất hiện

4

lần — bậc

4

, hệ số

5

- 3 x y = - 3 \cdot x \cdot y

: biến xuất hiện

2

lần — bậc

2

, hệ số

- 3

- 2 x y^{3} = - 2 \cdot x \cdot y \cdot y \cdot y

: biến xuất hiện

4

lần — bậc

4

, hệ số

- 2

- 7 x^{3} y = - 7 \cdot x \cdot x \cdot x \cdot y

: biến xuất hiện

4

lần — bậc

4

, hệ số

- 7

Vậy kết quả đếm trực tiếp trùng khớp với Cách 1: các bậc và hệ số như đã nêu ở trên.

Nhận xét. Hạng tử $y^{3}$ và $- 2 x y^{3}$ tuy đều chứa $y^{3}$ nhưng phần biến khác nhau (thiếu, có thêm $x$ ) nên không đồng dạng — đa thức b) đã ở dạng thu gọn.

3Cách 3. Soát hệ số bằng phép thay mọi biến bằng 1, soát bậc bằng phép thay mọi biến bằng t

Định hướng. Thay mọi biến bởi $1$ thì mỗi hạng tử thu về đúng hệ số của nó, nên tổng đa thức phải bằng tổng các hệ số vừa đọc; thay mọi biến bởi $t$ thì mỗi hạng tử thành một luỹ thừa của $t$ với số mũ bằng bậc của hạng tử ấy.

a) Với

x = y = t

t^{3} - 3 t^{2} + 5 t^{4} + 0, 5 t - 4

— các bậc lần lượt là

3

;

2

;

4

;

1

;

0

Với

x = y = 1

1 - 3 + 5 + 0, 5 - 4 = - 0, 5

, đúng bằng tổng các hệ số

1

;

- 3

;

5

;

0, 5

;

- 4

b) Với

x = y = t

2 t - 2 t^{4} + t^{3} - 7 t^{4}

— các bậc lần lượt là

1

;

4

;

3

;

4

Với

x = y = 1

2 - 2 + 1 - 7 = 2 - 8

, đúng bằng tổng các hệ số

2

;

- 2

;

1

;

- 7

Vậy a) $x^{2} y$ có hệ số $1$ , bậc $3$ ; $- 3 x y$ có hệ số $- 3$ , bậc $2$ ; $5 x^{2} y^{2}$ có hệ số $5$ , bậc $4$ ; $0, 5 x$ có hệ số $0, 5$ , bậc $1$ ; $- 4$ có hệ số $- 4$ , bậc $0$ . b) $2 x$ có hệ số $2$ , bậc $1$ ; $- 2 x y^{3}$ có hệ số $- 2$ , bậc $4$ ; $y^{3}$ có hệ số $1$ , bậc $3$ ; $- 7 x^{3} y$ có hệ số $- 7$ , bậc $4$ .

Nhận xét. Hai phép thay bắt đúng hai lỗi hay gặp: quên hệ số ngầm $1$ thì tổng tại $x = y = 1$ lệch ngay, còn quên số mũ $1$ của biến viết trần thì số mũ của $t$ không khớp.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tách hệ số rồi cộng số mũ, mỗi hạng tử một dòng, đủ nhanh và rõ ràng để chấm điểm; Cách 3 dùng để soát lại toàn bộ hệ số và bậc chỉ bằng hai phép thay.

Đáp số. a)

x^{2} y

: hệ số

1

, bậc

3

;

- 3 x y

: hệ số

- 3

, bậc

2

;

5 x^{2} y^{2}

: hệ số

5

, bậc

4

;

0, 5 x

: hệ số

0, 5

, bậc

1

;

- 4

: hệ số

- 4

, bậc

0

. b)

2 x

: hệ số

2

, bậc

1

;

- 2 x y^{3}

: hệ số

- 2

, bậc

4

;

y^{3}

: hệ số

1

, bậc

3

;

- 7 x^{3} y

: hệ số

- 7

, bậc

4

Sai lầm thường gặp. Quên hệ số

1

ẩn của hạng tử

x^{2} y

hay

y^{3}

, tưởng rằng hạng tử không viết số đứng trước thì không có hệ số.

🚀 Mở rộng. Tổng quát hoá: giá trị của một đa thức tại

x = y = 1

luôn bằng tổng tất cả các hệ số của nó, và khi thay mọi biến bởi

t

thì số mũ của

t

ở mỗi hạng tử chính là bậc của hạng tử ấy.

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 1.10★★Trang 14— Thu gọn đa thức nhiều hạng tử đồng dạng

Bài 1.10 (trang 14). Thu gọn đa thức:
a)

5 x^{4} - 2 x^{3} y + 20 x y^{3} + 6 x^{3} y - 3 x^{2} y^{2} + x y^{3} - y^{4}

;
b)

0, 6 x^{3} + x^{2} z - 2, 7 x y^{2} + 0, 4 x^{3} + 1, 7 x y^{2}

Kiến thức cần nhớ

Muốn thu gọn đa thức, nhóm các hạng tử đồng dạng rồi cộng (trừ) hệ số, giữ nguyên phần biến.

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu nhận dạng: cả hai đa thức đều có nhiều hạng tử và trong đó có những cặp cùng phần biến nằm cách xa nhau, đây đúng là dạng thu gọn đa thức nhiều biến. Chọn hướng nhóm các hạng tử đồng dạng lại rồi cộng hệ số, đúng quy trình chuẩn. Bẫy của đề là câu a) có tới năm loại phần biến trong đó

x^{2} y^{2}

và

x y^{3}

đều chứa

y

với số mũ lớn, rất dễ gom nhầm vào cùng một nhóm.

1Cách 1. Nhóm các hạng tử đồng dạng

Định hướng. Soi các hạng tử có cùng phần biến ở mỗi đa thức, nhóm chúng lại rồi cộng hệ số.

5 x^{4} - 2 x^{3} y + 20 x y^{3} + 6 x^{3} y - 3 x^{2} y^{2} + x y^{3} - y^{4}

= 5 x^{4} + (- 2 x^{3} y + 6 x^{3} y) + (20 x y^{3} + x y^{3}) - 3 x^{2} y^{2} - y^{4}

= 5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 x^{2} y^{2} + 21 x y^{3} - y^{4}

0, 6 x^{3} + x^{2} z - 2, 7 x y^{2} + 0, 4 x^{3} + 1, 7 x y^{2}

= (0, 6 x^{3} + 0, 4 x^{3}) + x^{2} z + (- 2, 7 x y^{2} + 1, 7 x y^{2})

= x^{3} + x^{2} z - x y^{2}

Vậy a) $5 x^{4} - 2 x^{3} y + 20 x y^{3} + 6 x^{3} y - 3 x^{2} y^{2} + x y^{3} - y^{4} = 5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 x^{2} y^{2} + 21 x y^{3} - y^{4}$ ; b) $0, 6 x^{3} + x^{2} z - 2, 7 x y^{2} + 0, 4 x^{3} + 1, 7 x y^{2} = x^{3} + x^{2} z - x y^{2}$ .

2Cách 2. Kiểm tra lại bằng cách thay một giá trị cụ thể của biến

Định hướng. Thay cùng một giá trị vào cả biểu thức ban đầu và biểu thức đã thu gọn; hai bên cho cùng kết quả thì phép thu gọn đúng.

a) Chọn

x = 1

y = 1

: giá trị ban đầu

= 5 - 2 + 20 + 6 - 3 + 1 - 1 = 26

Giá trị đa thức thu gọn:

5 + 4 - 3 + 21 - 1 = 26

— khớp
b) Chọn

x = 1

y = 1

z = 1

: giá trị ban đầu

= 0, 6 + 1 - 2, 7 + 0, 4 + 1, 7 = 1

Giá trị đa thức thu gọn:

1 + 1 - 1 = 1

— khớp

Vậy kết quả thu gọn ở Cách 1 là đúng, được xác nhận lại bằng phép thử giá trị.

Nhận xét. Thử với $x = y = z = 1$ chỉ kiểm tra được tổng các hệ số, không phát hiện được lỗi cộng sai số mũ của biến; vẫn nên soát lại phần biến bằng Cách 1.

3Cách 3. Lập bảng hệ số theo từng cặp số mũ rồi cộng theo từng ô

Định hướng. Mỗi hạng tử ứng với một cặp số mũ; ghi hệ số của nó vào ô mang đúng cặp số mũ đó, cộng dồn các hệ số rơi vào cùng một ô rồi viết lại đa thức từ bảng.

a) Ô

(4; 0)

5

(3; 1)

- 2 + 6 = 4

(2; 2)

- 3

(1; 3)

20 + 1 = 21

(0; 4)

- 1

b) Ô

x^{3}

0, 6 + 0, 4 = 1

x^{2} z

1

x y^{2}

- 2, 7 + 1, 7 = - 1

Vậy a) đa thức thu gọn là $5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 x^{2} y^{2} + 21 x y^{3} - y^{4}$ ; b) đa thức thu gọn là $x^{3} + x^{2} z - x y^{2}$ .

Nhận xét. Bảng hệ số cho thấy ngay $x^{2} y^{2}$ nằm ở ô $(2; 2)$ còn $x y^{3}$ nằm ở ô $(1; 3)$ — hai ô khác nhau nên không đời nào cộng chung được, đúng cái bẫy mà đề gài.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: lập bảng hệ số theo từng cặp số mũ rồi cộng theo cột, cách này máy móc nên bảo đảm không gom nhầm hai phần biến khác nhau như bẫy của câu a).

Đáp số. a)

5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 x^{2} y^{2} + 21 x y^{3} - y^{4}

. b)

x^{3} + x^{2} z - x y^{2}

Sai lầm thường gặp. Gộp nhầm hạng tử

- 3 x^{2} y^{2}

với

20 x y^{3}

hoặc

x y^{3}

vì đều chứa

y

số mũ cao, quên rằng phần biến

x^{2} y^{2}

khác hẳn

x y^{3}

🚀 Mở rộng. Tổng quát hoá: mọi đa thức hai biến đều được xác định hoàn toàn bởi bảng hệ số theo cặp số mũ; thu gọn đa thức chính là cộng dồn các hệ số vào đúng ô của bảng ấy.

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · 1.11★★Trang 14— Thu gọn đa thức rồi tìm bậc

Bài 1.11 (trang 14). Thu gọn (nếu cần) và tìm bậc của mỗi đa thức sau:
a)

x^{4} - 3 x^{2} y^{2} + 3 x y^{2} - x^{4} + 1

;
b)

5 x^{2} y + 8 x y - 2 x^{2} - 5 x^{2} y + x^{2}

Kiến thức cần nhớ

Nhóm các hạng tử đồng dạng để thu gọn; sau khi thu gọn mới xác định bậc bằng hạng tử có bậc cao nhất.

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu nhận dạng: đề ghi "thu gọn (nếu cần) và tìm bậc", nghĩa là bậc phải đọc trên dạng ĐÃ thu gọn chứ không đọc trên đa thức ban đầu. Chọn hướng nhóm hạng tử đồng dạng trước rồi mới lấy bậc lớn nhất. Bẫy của đề là cả hai câu đều có một cặp hạng tử bậc cao triệt tiêu nhau:

x^{4}

với

- x^{4}

ở câu a),

5 x^{2} y

với

- 5 x^{2} y

ở câu b) — nhìn lướt là trả lời nhầm bậc

4

và bậc

3

1Cách 1. Nhóm hạng tử đồng dạng rồi lấy bậc lớn nhất

Định hướng. Cả hai đa thức đều có một cặp hạng tử đồng dạng triệt tiêu nhau; nhóm và cộng hệ số trước, rồi mới xét bậc của dạng thu gọn.

x^{4} - 3 x^{2} y^{2} + 3 x y^{2} - x^{4} + 1 = (x^{4} - x^{4}) - 3 x^{2} y^{2} + 3 x y^{2} + 1

= - 3 x^{2} y^{2} + 3 x y^{2} + 1

Bậc của

- 3 x^{2} y^{2}

là

4

; bậc của

3 x y^{2}

là

3

; bậc của

1

là

0

5 x^{2} y + 8 x y - 2 x^{2} - 5 x^{2} y + x^{2} = (5 x^{2} y - 5 x^{2} y) + 8 x y + (- 2 x^{2} + x^{2})

= 8 x y - x^{2}

Bậc của

8 x y

là

2

; bậc của

- x^{2}

là

2

Vậy a) $x^{4} - 3 x^{2} y^{2} + 3 x y^{2} - x^{4} + 1 = - 3 x^{2} y^{2} + 3 x y^{2} + 1$ , có bậc $4$ ; b) $5 x^{2} y + 8 x y - 2 x^{2} - 5 x^{2} y + x^{2} = 8 x y - x^{2}$ , có bậc $2$ .

2Cách 2. Kiểm tra lại bằng cách liệt kê bậc mọi hạng tử trước khi thu gọn

Định hướng. Liệt kê bậc từng hạng tử ngay từ dạng ban đầu để phát hiện cặp hạng tử bậc cao nhất triệt tiêu nhau, tránh kết luận sai bậc.

a) Bậc từng hạng tử ban đầu:

4, 4, 3, 4, 0

Hai hạng tử bậc

4

là

x^{4}

và

- x^{4}

triệt tiêu nhau (cùng phần biến, hệ số đối)
Hạng tử bậc

4

còn lại là

- 3 x^{2} y^{2}

— bậc của đa thức vẫn là

4

b) Bậc từng hạng tử ban đầu:

3, 2, 2, 3, 2

Hai hạng tử bậc

3

là

5 x^{2} y

và

- 5 x^{2} y

triệt tiêu nhau
Các hạng tử còn lại đều bậc

2

— bậc của đa thức là

2

Vậy bậc của đa thức a) là $4$ , bậc của đa thức b) là $2$ , đúng như tính ở Cách 1.

Nhận xét. Cả hai câu đều có bẫy: hạng tử bậc cao nhất ban đầu ( $x^{4}$ ở câu a, $5 x^{2} y$ ở câu b) bị triệt tiêu sau khi thu gọn, nên phải thu gọn xong mới được kết luận bậc.

3Cách 3. Thay mọi biến bởi cùng một chữ t để đọc bậc sau khi triệt tiêu

Định hướng. Thay mọi biến bởi $t$ thì mỗi hạng tử thành một luỹ thừa của $t$ có số mũ bằng bậc của nó; những hạng tử cùng bậc gộp lại, số mũ cao nhất còn sống sót chính là bậc của đa thức.

a) Với

x = y = t

t^{4} - 3 t^{4} + 3 t^{3} - t^{4} + 1

= - 3 t^{4} + 3 t^{3} + 1

— số mũ cao nhất là

4

b) Với

x = y = t

5 t^{3} + 8 t^{2} - 2 t^{2} - 5 t^{3} + t^{2}

= 7 t^{2}

— số mũ cao nhất là

2

Vậy a) $x^{4} - 3 x^{2} y^{2} + 3 x y^{2} - x^{4} + 1 = - 3 x^{2} y^{2} + 3 x y^{2} + 1$ , bậc $4$ ; b) $5 x^{2} y + 8 x y - 2 x^{2} - 5 x^{2} y + x^{2} = 8 x y - x^{2}$ , bậc $2$ .

Nhận xét. Phép thay chỉ dùng để ĐỌC BẬC chứ không thay được dạng thu gọn, vì nó xoá mất thông tin biến nào mang số mũ nào; ở câu a) hai hạng tử $x^{4}$ và $- x^{4}$ thật sự triệt tiêu, còn $- 3 x^{2} y^{2}$ vẫn sống nên bậc vẫn là $4$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: thay mọi biến bởi

t

thì hai cặp hạng tử bậc cao tự triệt tiêu ngay trên giấy, không còn cơ hội đọc nhầm bậc nữa.

Đáp số. a)

- 3 x^{2} y^{2} + 3 x y^{2} + 1

, bậc

4

. b)

8 x y - x^{2}

, bậc

2

Sai lầm thường gặp. Kết luận vội bậc của đa thức a) là

4

chỉ vì thấy

x^{4}

xuất hiện lúc đầu mà không thu gọn; hoặc kết luận bậc của b) là

3

vì thấy

5 x^{2} y

xuất hiện trước khi thu gọn.

🚀 Mở rộng. Bài cùng dạng ở mức khó hơn: tìm tất cả các số

m

để đa thức

m x^{4} - 3 x^{2} y^{2} + 3 x y^{2} - x^{4} + 1

có bậc bằng

3

, và cho biết khi nào bậc bằng

4

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · 1.12★★Trang 14— Thu gọn đa thức rồi tính giá trị tại giá trị cho trước của biến

Bài 1.12 (trang 14). Thu gọn rồi tính giá trị của đa thức:

M = \frac{1}{3} x^{2} y + x y^{2} - x y + \frac{1}{2} x y^{2} - 5 x y - \frac{1}{3} x^{2} y

tại

x = 0, 5

và

y = 1

Kiến thức cần nhớ

Thu gọn đa thức bằng cách nhóm và cộng trừ hệ số các hạng tử đồng dạng.
Tính giá trị đa thức bằng cách thay số vào dạng đã thu gọn để công việc tính toán gọn nhẹ hơn.

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu nhận dạng: đa thức có sáu hạng tử nhưng chia thành ba cặp đồng dạng, trong đó cặp

\frac{1}{3} x^{2} y

và

- \frac{1}{3} x^{2} y

triệt tiêu hoàn toàn. Chọn hướng thu gọn trước rồi mới thay số, vì sau khi gộp chỉ còn hai hạng tử nên việc tính giá trị rất nhẹ. Bẫy của đề chính là cặp triệt tiêu ấy: nếu cứ thay số vào cả sáu hạng tử thì vừa mất công vừa dễ nhầm dấu hai phân số

\frac{1}{3}

1Cách 1. Thu gọn trước rồi thay số vào dạng gọn

Định hướng. $M$ có hai hạng tử $\frac{1}{3} x^{2} y$ và $- \frac{1}{3} x^{2} y$ triệt tiêu nhau; nhóm hết các hạng tử đồng dạng rồi mới thay số sẽ tính nhanh hơn.

M = (\frac{1}{3} x^{2} y - \frac{1}{3} x^{2} y) + (x y^{2} + \frac{1}{2} x y^{2}) + (- x y - 5 x y)

= \frac{3}{2} x y^{2} - 6 x y

Thay

x = 0, 5

;

y = 1

M = \frac{3}{2} \cdot 0, 5 \cdot 1^{2} - 6 \cdot 0, 5 \cdot 1

= 0, 75 - 3

= - 2, 25

Vậy $M = \frac{3}{2} x y^{2} - 6 x y$ , và $M = - 2, 25$ tại $x = 0, 5$ , $y = 1$ .

2Cách 2. Kiểm tra lại bằng cách thay số trực tiếp vào từng hạng tử ban đầu rồi cộng

Định hướng. Không thu gọn trước mà thay $x = 0, 5$ , $y = 1$ vào cả sáu hạng tử ban đầu rồi cộng lại; nếu ra cùng kết quả với Cách 1 thì phép thu gọn là đúng.

x^{2} y = 0, 5^{2} \cdot 1 = 0, 25

;

x y^{2} = 0, 5 \cdot 1^{2} = 0, 5

;

x y = 0, 5 \cdot 1 = 0, 5

M = \frac{1}{3} (0, 25) + 0, 5 - 0, 5 + \frac{1}{2} (0, 5) - 5 (0, 5) - \frac{1}{3} (0, 25)

= (\frac{1}{3} \cdot 0, 25 - \frac{1}{3} \cdot 0, 25) + (0, 5 - 0, 5) + 0, 25 - 2, 5

= 0 + 0 + 0, 25 - 2, 5 = - 2, 25

Vậy $M = - 2, 25$ , trùng khớp với kết quả tính theo dạng thu gọn ở Cách 1.

Nhận xét. Thu gọn trước khi thay số (Cách 1) nhanh hơn hẳn vì hai hạng tử $\frac{1}{3} x^{2} y$ và $- \frac{1}{3} x^{2} y$ triệt tiêu nhau ngay từ đầu, không cần tính giá trị của chúng.

3Cách 3. Đặt nhân tử chung xy cho dạng thu gọn rồi tính nhẩm giá trị

Định hướng. Hai hạng tử của dạng thu gọn đều chứa $x y$ ; đưa $x y$ ra ngoài làm nhân tử chung thì phần còn lại rất dễ tính nhẩm khi thay số.

M = \frac{1}{3} x^{2} y + x y^{2} - x y + \frac{1}{2} x y^{2} - 5 x y - \frac{1}{3} x^{2} y

= (\frac{1}{3} - \frac{1}{3}) x^{2} y + (1 + \frac{1}{2}) x y^{2} + (- 1 - 5) x y

= \frac{3}{2} x y^{2} - 6 x y

= \frac{3}{2} x y (y - 4)

Tại

x = 0, 5

;

y = 1

M = \frac{3}{2} \cdot 0, 5 \cdot 1 \cdot (1 - 4) = 0, 75 \cdot (- 3) = - 2, 25

Vậy $M = \frac{3}{2} x y^{2} - 6 x y$ và $M = - 2, 25$ tại $x = 0, 5$ , $y = 1$ .

Nhận xét. Dạng $\frac{3}{2} x y (y - 4)$ cho biết thêm điều mà dạng khai triển giấu đi: $M$ bằng $0$ khi $x = 0$ , hoặc $y = 0$ , hoặc $y = 4$ — bất kể giá trị còn lại là bao nhiêu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: thu gọn xuống còn hai hạng tử rồi thay số, ngắn hơn hẳn Cách 2 phải tính sáu giá trị riêng; Cách 3 thêm một bước đặt nhân tử chung nên tính nhẩm được ngay kết quả.

Đáp số.

M = \frac{3}{2} x y^{2} - 6 x y

;

M = - 2, 25

tại

x = 0, 5

y = 1

Sai lầm thường gặp. Quên hạng tử

- \frac{1}{3} x^{2} y

triệt tiêu với

\frac{1}{3} x^{2} y

, cộng nhầm cả hai vào kết quả thu gọn.

🚀 Mở rộng. Bài cùng dạng ở mức khó hơn: với dạng đã đặt nhân tử chung

M = \frac{3}{2} x y (y - 4)

, hãy tìm tất cả các cặp

(x; y)

làm cho

M = 0

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · 1.13★★★Trang 14— Thu gọn đa thức ba biến, tìm bậc rồi tính giá trị

Bài 1.13 (trang 14). Cho đa thức

P = 8 x^{2} y^{2} z - 2 x y z + 5 y^{2} z - 5 x^{2} y^{2} z + x^{2} y^{2} - 3 x^{2} y^{2} z

.
a) Thu gọn và tìm bậc của đa thức

P

;
b) Tính giá trị của đa thức

P

tại

x = - 4

;

y = 2

và

z = 1

Kiến thức cần nhớ

Nhóm các hạng tử đồng dạng (cùng phần biến) để thu gọn đa thức ba biến.
Sau khi thu gọn, bậc của đa thức là bậc lớn nhất trong các hạng tử; tính giá trị bằng cách thay số vào dạng đã thu gọn.

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu nhận dạng: ba trong sáu hạng tử của

P

cùng mang phần biến

x^{2} y^{2} z

với hệ số

8

- 5

- 3

— tổng ba hệ số này bằng

0

nên cả nhóm triệt tiêu. Chọn hướng gộp nhóm đó trước rồi mới thay số, vì nếu giữ lại thì tại

x = - 4

y = 2

ta phải tính những số rất lớn. Bẫy của đề là bậc: ba hạng tử bị triệt tiêu đều có bậc

5

, ai giữ sót một hạng tử sẽ trả lời bậc

5

thay vì bậc

4

1Cách 1. Nhóm hạng tử đồng dạng, thu gọn rồi thay số

Định hướng. $P$ có ba hạng tử cùng chứa $x^{2} y^{2} z$ ; cộng hệ số của chúng trước, sau đó tìm bậc và thay số vào dạng đã gọn.

P = 8 x^{2} y^{2} z - 2 x y z + 5 y^{2} z - 5 x^{2} y^{2} z + x^{2} y^{2} - 3 x^{2} y^{2} z

= (8 - 5 - 3) x^{2} y^{2} z - 2 x y z + 5 y^{2} z + x^{2} y^{2}

= 0 \cdot x^{2} y^{2} z - 2 x y z + 5 y^{2} z + x^{2} y^{2}

= x^{2} y^{2} - 2 x y z + 5 y^{2} z

Bậc của

x^{2} y^{2}

là

4

; bậc của

- 2 x y z

là

3

; bậc của

5 y^{2} z

là

3

Bậc của

P

là

4

b) Thay

x = - 4

;

y = 2

;

z = 1

P = (- 4)^{2} (2)^{2} - 2 (- 4) (2) (1) + 5 (2)^{2} (1)

= 64 + 16 + 20

= 100

Vậy a) $P = x^{2} y^{2} - 2 x y z + 5 y^{2} z$ , có bậc $4$ ; b) $P = 100$ tại $x = - 4$ , $y = 2$ , $z = 1$ .

2Cách 2. Kiểm tra lại bằng cách thay số trực tiếp vào đa thức ban đầu

Định hướng. Không thu gọn trước mà thay $x = - 4$ , $y = 2$ , $z = 1$ vào cả sáu hạng tử ban đầu của $P$ rồi cộng lại; nếu ra cùng kết quả thì cả bước thu gọn lẫn bước tính giá trị đều đúng.

x^{2} y^{2} z = 16 \cdot 4 \cdot 1 = 64

;

x y z = (- 4) (2) (1) = - 8

;

y^{2} z = 4 \cdot 1 = 4

;

x^{2} y^{2} = 16 \cdot 4 = 64

P = 8 (64) - 2 (- 8) + 5 (4) - 5 (64) + 64 - 3 (64)

= 512 + 16 + 20 - 320 + 64 - 192

= 100

Vậy $P = 100$ , trùng khớp với kết quả tính theo dạng thu gọn ở Cách 1, xác nhận cả bước thu gọn lẫn bước tính giá trị đều đúng.

Nhận xét. Ba hạng tử $8 x^{2} y^{2} z$ , $- 5 x^{2} y^{2} z$ , $- 3 x^{2} y^{2} z$ có tổng hệ số $8 - 5 - 3 = 0$ nên triệt tiêu hoàn toàn; nếu không phát hiện ra, dễ tính sai cả bậc lẫn giá trị của $P$ .

3Cách 3. Đặt nhân tử chung cho nhóm triệt tiêu, rồi đặt y bình phương làm nhân tử chung khi tính giá trị

Định hướng. Gộp ba hạng tử chứa $x^{2} y^{2} z$ bằng cách đặt chính $x^{2} y^{2} z$ làm nhân tử chung để thấy chúng triệt tiêu; sau đó ở dạng thu gọn lại đặt $y^{2}$ làm nhân tử chung cho hai hạng tử chứa nó, việc thay số chỉ còn hai phép nhân.

8 x^{2} y^{2} z - 5 x^{2} y^{2} z - 3 x^{2} y^{2} z = (8 - 5 - 3) x^{2} y^{2} z = 0

P = x^{2} y^{2} - 2 x y z + 5 y^{2} z

P = y^{2} (x^{2} + 5 z) - 2 x y z

Tại

x = - 4

;

y = 2

;

z = 1

y^{2} (x^{2} + 5 z) = 4 \cdot (16 + 5) = 4 \cdot 21 = 84

- 2 x y z = - 2 \cdot (- 4) \cdot 2 \cdot 1 = 16

P = 84 + 16 = 100

Vậy a) $P = x^{2} y^{2} - 2 x y z + 5 y^{2} z$ , bậc $4$ ; b) $P = 100$ tại $x = - 4$ , $y = 2$ , $z = 1$ .

Nhận xét. Viết rõ dòng $(8 - 5 - 3) x^{2} y^{2} z = 0$ là cách an toàn nhất để không sót hạng tử bậc $5$ ; còn dạng $y^{2} (x^{2} + 5 z) - 2 x y z$ gom được hai phép bình phương vào một chỗ nên thay số cho số âm $x = - 4$ cũng không sợ lạc dấu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: gộp nhóm ba hạng tử về

0

rồi thay số vào ba hạng tử còn lại, gọn hơn nhiều so với Cách 2 phải tính đủ sáu giá trị với

x = - 4

Đáp số. a)

P = x^{2} y^{2} - 2 x y z + 5 y^{2} z

, bậc

4

. b)

P = 100

Sai lầm thường gặp. Không nhận ra ba hạng tử chứa

x^{2} y^{2} z

triệt tiêu hoàn toàn (vì

8 - 5 - 3 = 0

), dẫn tới giữ sót một hạng tử bậc

5

không có thật trong dạng thu gọn.

🚀 Mở rộng. Bài cùng dạng ở mức khó hơn: tìm số

m

để đa thức

8 x^{2} y^{2} z - 2 x y z + 5 y^{2} z + m x^{2} y^{2} z + x^{2} y^{2} - 3 x^{2} y^{2} z

có bậc bằng

5

, và cho biết với

m

nào thì bậc tụt xuống

4

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

‹ Bài trướcBài 1. Đơn thức Bài tiếp theo ›Bài 3. Phép cộng và phép trừ đa thức

📚 Cùng chương: Chương I. Đa thức

📘 Sách & 🎓 khóa học cùng chủ đề

Học sâu hơn về Đa thức, hằng đẳng thức, phân thức — đọc thử miễn phí trước khi mua.

📘 Sách

Bài 2. Đa thức

🎯 Học tiếp

📚 Cùng chương: Chương I. Đa thức

📘 Sách & 🎓 khóa học cùng chủ đề

Toán 8 Luxury – Trọn bộ

Tuyển tập 100 đề giữa kì I Toán 8

Đề HSG Toán 8 – Lời giải chi tiết

Toán 8 – Bản Luxury

Bồi dưỡng HSG THCS