Bài 2. Đa thức

Định hướng. Chỉ cần nhắc lại đúng định nghĩa đã học ở lớp 7 rồi chọn một tổng các đơn thức một biến để làm ví dụ.

Vậy đa thức một biến là tổng của những đơn thức của cùng một biến; ví dụ $2x^2-5x+3$ là một đa thức một biến.

Định hướng. Soi từng hạng tử của ví dụ vừa chọn theo đúng định nghĩa đơn thức một biến để xác nhận lại.

Vậy tổng $2x^2-5x+3$ đúng là một đa thức một biến, vì mọi hạng tử của nó đều là đơn thức của cùng biến $x$.

Nhận xét. Có thể đổi ví dụ khác như $y^3-7y+1$ hay $-4z+2$, miễn mọi hạng tử cùng chứa một biến duy nhất.

Định hướng. Chỉ cần chọn một đơn thức không chứa biến và một đơn thức chứa vài biến trong $x$, $y$, $z$, rồi soát lại theo đúng định nghĩa đơn thức.

Vậy hai đơn thức $-7$ và $4x^{2}yz$ đều thoả yêu cầu của đề bài.

Định hướng. Giả sử bạn ngồi cạnh viết hai đơn thức khác; soát lại đúng ba dấu hiệu: không có phép cộng/trừ, biến không ở mẫu, số mũ nguyên không âm.

Vậy hai đơn thức của bạn $2x{y}^2$ và $\frac{3}{5}z$ cũng viết đúng; cả bốn đơn thức $-7$, $4x^{2}yz$, $2x{y}^2$, $\frac{3}{5}z$ đều hợp lệ để dùng ở HĐ3.

Nhận xét. Khi kiểm tra chéo, chỉ cần soát đúng ba dấu hiệu: không có phép cộng/trừ nối hạng tử, biến không nằm ở mẫu, số mũ của biến là số nguyên không âm.

Định hướng. Dùng lại đúng bốn đơn thức đã viết ở HĐ2 rồi nối chúng bằng dấu cộng để được một tổng.

Vậy tổng cần viết là $4x^{2}yz+2x{y}^2+\frac{3}{5}z-7$, đây là một ví dụ về đa thức có bốn hạng tử.

Định hướng. Soi lại tổng vừa viết theo đúng định nghĩa đa thức để xác nhận đó là một ví dụ hợp lệ.

Vậy $4x^{2}yz+2x{y}^2+\frac{3}{5}z-7$ là một đa thức có 4 hạng tử: $4x^{2}yz$, $2x{y}^2$, $\frac{3}{5}z$, $-7$.

Nhận xét. Đổi thứ tự các hạng tử (như đưa số $-7$ ra sau) không làm thay đổi giá trị của đa thức, vì phép cộng có tính giao hoán.

Định hướng. Bốn biểu thức chỉ cần tách thành các hạng tử rồi soi từng hạng tử có đúng là đơn thức hay không.

Vậy $3x{y}^2-1$ và $\sqrt{2}x+\sqrt{3}y$ là đa thức; $3x{y}^2-1$ có hai hạng tử $3x{y}^2$, $-1$, còn $\sqrt{2}x+\sqrt{3}y$ có hai hạng tử $\sqrt{2}x$, $\sqrt{3}y$. Biểu thức $x+\frac{1}{x}$ và $x+\sqrt{xy}+y$ không là đa thức.

Định hướng. Thay vì soi dương tính từng biểu thức, chỉ cần lùng đúng hai dấu hiệu khiến một biểu thức không là đa thức: biến ở mẫu hoặc biến trong căn.

Vậy hai biểu thức bị loại là $x+\frac{1}{x}$ và $x+\sqrt{xy}+y$; còn lại $3x{y}^2-1$ (hạng tử $3x{y}^2$, $-1$) và $\sqrt{2}x+\sqrt{3}y$ (hạng tử $\sqrt{2}x$, $\sqrt{3}y$) là đa thức.

Nhận xét. Dấu hiệu chung để loại một biểu thức khỏi tập đa thức là có hạng tử chứa biến ở mẫu hoặc biến trong căn thức — hai dạng này không bao giờ là đơn thức.

Định hướng. Số tiền mỗi loại bằng số lượng nhân đơn giá; cộng hai khoản tiền lại được biểu thức tổng số tiền phải trả.

Vậy a) số tiền là $8x+7y$ (đồng); b) số tiền là $30x+24y$ (đồng); c) cả hai biểu thức đều là đa thức, vì mỗi biểu thức là tổng của hai đơn thức.

Định hướng. Thay giá tiền cụ thể của vở và bút vào cả cách tính trực tiếp lẫn biểu thức vừa lập, hai bên phải cho cùng một số tiền.

Vậy hai biểu thức $8x+7y$ và $30x+24y$ ở câu a), b) đều tính đúng số tiền, và cả hai đều là đa thức.

Nhận xét. Việc thay số cụ thể chỉ kiểm tra được tính đúng đắn của biểu thức về giá trị; còn biểu thức có phải đa thức hay không vẫn phải soi theo đúng định nghĩa như Cách 1.

Định hướng. Đa thức chỉ có ba hạng tử nên chỉ cần soi từng cặp một xem phần biến có trùng nhau hay không.

Vậy đa thức $x^2+y^2+\frac{1}{2}xy$ không có hai hạng tử nào đồng dạng, nên đó là một đa thức thu gọn.

Định hướng. Viết rõ phần biến của từng hạng tử ra một hàng, nếu không có phần biến nào lặp lại thì đa thức đã thu gọn.

Vậy vì không có phần biến nào trùng nhau, đa thức $x^2+y^2+\frac{1}{2}xy$ đúng là một đa thức thu gọn.

Nhận xét. Đây cũng là lí do đa thức trong tình huống mở đầu được giữ nguyên dạng $x^2+y^2+\frac{1}{2}xy$ mà không thể rút gọn thêm được nữa.

Định hướng. $N$ có ba cặp hạng tử đồng dạng ($y^2{z}^2$, $x{y}^{2}z$, $x^4$); nhóm từng cặp rồi cộng hệ số là thu gọn được ngay.

Vậy a) $N=x^4-x{y}^{2}z+3y^2{z}^2$; b) cả ba hạng tử đều có bậc $4$, với hệ số lần lượt $1$, $-1$, $3$.

Định hướng. Viết lại $N$ theo thứ tự $x^4$, $x{y}^{2}z$, $y^2{z}^2$ cho các nhóm đồng dạng liền nhau, rồi đếm số mũ từng biến để kiểm tra lại bậc.

Vậy kết quả thu gọn vẫn là $N=x^4-x{y}^{2}z+3y^2{z}^2$, và cả ba hạng tử đều cùng có bậc $4$.

Nhận xét. Ba hạng tử của $N$ tuy đều cùng bậc $4$ nhưng có phần biến khác nhau ($x^4$, $x{y}^{2}z$, $y^2{z}^2$) nên không đồng dạng với nhau — đây là lí do dạng thu gọn của $N$ vẫn còn đủ ba hạng tử.

Định hướng. Soi lần lượt các hạng tử của $Q$ và $H$ xem có cặp nào đồng dạng để gộp lại, sau đó lấy bậc lớn nhất trong dạng đã gọn.

Vậy a) $Q$ đã thu gọn, có bậc $2$; b) $H=-\frac{1}{2}{x}^{3}y+\frac{3}{4}{x}^2{y}^2+2y^2-7$, có bậc $4$.

Định hướng. Liệt kê bậc của từng hạng tử trước khi thu gọn, xem có cặp bậc cao nào triệt tiêu nhau không, rồi mới chốt bậc của đa thức.

Vậy bậc của $Q$ là $2$, bậc của $H$ (sau khi thu gọn) là $4$, đúng như kết quả ở Cách 1.

Nhận xét. Đa thức $H$ là một ví dụ cho thấy phải thu gọn trước rồi mới tìm bậc: nếu vội lấy bậc lớn nhất $5$ ngay từ dạng chưa gọn sẽ ra kết quả sai, vì hai hạng tử bậc $5$ đã triệt tiêu nhau.

Định hướng. Liệt kê các phần biến bậc từ 0 đến 2 của hai biến $x$, $y$, chọn vài phần biến khác nhau (có ít nhất một phần biến bậc 2) rồi cộng lại với hệ số 1.

Vậy $x^2+y+1$ là một đa thức bậc hai thu gọn với hai biến $x$, $y$, mỗi hạng tử có hệ số $1$.

Định hướng. Thử một cách chọn khác: lấy đúng ba phần biến bậc hai $x^2$, $xy$, $y^2$ để xem có tạo được một đa thức hợp lệ khác hay không.

Vậy $x^2+xy+y^2$ cũng là một đa thức bậc hai thu gọn khác, mỗi hạng tử đều có hệ số $1$, thoả yêu cầu đề bài.

Nhận xét. Có vô số đáp số đúng, ví dụ thêm $x^2+x+y$ hay $x+y+xy$; miễn phần biến đôi một khác nhau, hệ số mọi hạng tử bằng $1$ và hạng tử bậc cao nhất có bậc đúng bằng $2$.

Định hướng. Sáu biểu thức chỉ cần tách hạng tử rồi soi từng hạng tử có phải đơn thức hay không, đặc biệt chú ý biến ở mẫu.

Vậy các biểu thức là đa thức: $-x^2+3x+1$ ; $\frac{x}{\sqrt{5}}$ ; $2024$ ; $3x^2{y}^2-5x\cdot 3y+2,4$. Hai biểu thức không phải đa thức: $x-\frac{\sqrt{5}}{x}$ ; $\frac{1}{x^2+x+1}$.

Định hướng. Chỉ cần lùng đúng những biểu thức có biến ở mẫu số, vì đó là dấu hiệu duy nhất khiến các biểu thức này không phải đa thức.

Vậy chỉ có hai biểu thức $x-\frac{\sqrt{5}}{x}$ và $\frac{1}{x^2+x+1}$ bị loại; bốn biểu thức còn lại — $-x^2+3x+1$, $\frac{x}{\sqrt{5}}$, $2024$, $3x^2{y}^2-5x\cdot 3y+2,4$ — đều là đa thức.

Nhận xét. Hạng tử $-5x\cdot 3y$ tuy chưa viết gọn (chưa nhân hai hệ số $-5$ và $3$ với nhau) nhưng vẫn là tích của số và biến nên vẫn là một đơn thức hợp lệ; đây là điểm dễ nhầm nhất của bài.

Định hướng. Mỗi hạng tử đã ở dạng thu gọn nên chỉ cần tách đúng phần số đứng trước và cộng số mũ các biến còn lại để ra bậc.

Vậy a) $x^{2}y$ (hệ số $1$, bậc $3$), $-3xy$ (hệ số $-3$, bậc $2$), $5x^2{y}^2$ (hệ số $5$, bậc $4$), $0,5x$ (hệ số $0,5$, bậc $1$), $-4$ (hệ số $-4$, bậc $0$); b) $\sqrt{2}x$ (hệ số $\sqrt{2}$, bậc $1$), $-2x{y}^3$ (hệ số $-2$, bậc $4$), $y^3$ (hệ số $1$, bậc $3$), $-7x^{3}y$ (hệ số $-7$, bậc $4$).

Định hướng. Với các hạng tử có nhiều biến, viết tường minh mỗi biến nhân lặp lại rồi đếm số lần xuất hiện để kiểm tra lại bậc vừa tính.

Vậy kết quả đếm trực tiếp trùng khớp với Cách 1: các bậc và hệ số như đã nêu ở trên.

Nhận xét. Hạng tử $y^3$ và $-2x{y}^3$ tuy đều chứa $y^3$ nhưng phần biến khác nhau (thiếu, có thêm $x$) nên không đồng dạng — đa thức b) đã ở dạng thu gọn.

Định hướng. Soi các hạng tử có cùng phần biến ở mỗi đa thức, nhóm chúng lại rồi cộng hệ số.

Vậy a) $5x^4-2x^{3}y+20x{y}^3+6x^{3}y-3x^2{y}^2+x{y}^3-y^4=5x^4+4x^{3}y-3x^2{y}^2+21x{y}^3-y^4$; b) $0,6x^3+x^{2}z-2,7x{y}^2+0,4x^3+1,7x{y}^2=x^3+x^{2}z-x{y}^2$.

Định hướng. Thay cùng một giá trị vào cả biểu thức ban đầu và biểu thức đã thu gọn; hai bên cho cùng kết quả thì phép thu gọn đúng.

Vậy kết quả thu gọn ở Cách 1 là đúng, được xác nhận lại bằng phép thử giá trị.

Nhận xét. Thử với $x=y=z=1$ chỉ kiểm tra được tổng các hệ số, không phát hiện được lỗi cộng sai số mũ của biến; vẫn nên soát lại phần biến bằng Cách 1.

Định hướng. Cả hai đa thức đều có một cặp hạng tử đồng dạng triệt tiêu nhau; nhóm và cộng hệ số trước, rồi mới xét bậc của dạng thu gọn.

Vậy a) $x^4-3x^2{y}^2+3x{y}^2-x^4+1=-3x^2{y}^2+3x{y}^2+1$, có bậc $4$; b) $5x^{2}y+8xy-2x^2-5x^{2}y+x^2=8xy-x^2$, có bậc $2$.

Định hướng. Liệt kê bậc từng hạng tử ngay từ dạng ban đầu để phát hiện cặp hạng tử bậc cao nhất triệt tiêu nhau, tránh kết luận sai bậc.

Vậy bậc của đa thức a) là $4$, bậc của đa thức b) là $2$, đúng như tính ở Cách 1.

Nhận xét. Cả hai câu đều có bẫy: hạng tử bậc cao nhất ban đầu ($x^4$ ở câu a, $5x^{2}y$ ở câu b) bị triệt tiêu sau khi thu gọn, nên phải thu gọn xong mới được kết luận bậc.

Định hướng. $M$ có hai hạng tử $\frac{1}{3}{x}^{2}y$ và $-\frac{1}{3}{x}^{2}y$ triệt tiêu nhau; nhóm hết các hạng tử đồng dạng rồi mới thay số sẽ tính nhanh hơn.

Vậy $M=\frac{3}{2}x{y}^2-6xy$, và $M=-2,25$ tại $x=0,5$, $y=1$.

Định hướng. Không thu gọn trước mà thay $x=0,5$, $y=1$ vào cả sáu hạng tử ban đầu rồi cộng lại; nếu ra cùng kết quả với Cách 1 thì phép thu gọn là đúng.

Vậy $M=-2,25$, trùng khớp với kết quả tính theo dạng thu gọn ở Cách 1.

Nhận xét. Thu gọn trước khi thay số (Cách 1) nhanh hơn hẳn vì hai hạng tử $\frac{1}{3}{x}^{2}y$ và $-\frac{1}{3}{x}^{2}y$ triệt tiêu nhau ngay từ đầu, không cần tính giá trị của chúng.

Định hướng. $P$ có ba hạng tử cùng chứa $x^2{y}^{2}z$; cộng hệ số của chúng trước, sau đó tìm bậc và thay số vào dạng đã gọn.

Vậy a) $P=x^2{y}^2-2xyz+5y^{2}z$, có bậc $4$; b) $P=100$ tại $x=-4$, $y=2$, $z=1$.

Định hướng. Không thu gọn trước mà thay $x=-4$, $y=2$, $z=1$ vào cả sáu hạng tử ban đầu của $P$ rồi cộng lại; nếu ra cùng kết quả thì cả bước thu gọn lẫn bước tính giá trị đều đúng.

Vậy $P=100$, trùng khớp với kết quả tính theo dạng thu gọn ở Cách 1, xác nhận cả bước thu gọn lẫn bước tính giá trị đều đúng.

Nhận xét. Ba hạng tử $8x^2{y}^{2}z$, $-5x^2{y}^{2}z$, $-3x^2{y}^{2}z$ có tổng hệ số $8-5-3=0$ nên triệt tiêu hoàn toàn; nếu không phát hiện ra, dễ tính sai cả bậc lẫn giá trị của $P$.