Chương I. Đa thức

Bài 4. Phép nhân đa thức

SGK Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 1 · 15 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán8 #ChươngI #SGK_Tập1 #trang19–21 #CùngBàiBênSBT #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · HĐ1★Trang 20— Nhân đơn thức với đa thức một biến

HĐ1 (trang 20). Hãy nhớ lại quy tắc nhân đơn thức với đa thức trong trường hợp chúng có một biến bằng cách thực hiện phép nhân

(5 x^{2}) \cdot (3 x^{2} - x - 4)

Kiến thức cần nhớ

Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau.
Khi nhân hai luỹ thừa cùng cơ số ta cộng số mũ: $x^{m} \cdot x^{n} = x^{m + n}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu nhận dạng: một đơn thức nhân với một đa thức ba hạng tử, chỉ có một biến — đây đúng là quy tắc đã học ở lớp 7 và đề đang cho nhắc lại để mở rộng sang nhiều biến. Chọn hướng nhân phân phối vì đơn thức phải được nhân với TỪNG hạng tử, không được bỏ sót hạng tử nào. Bẫy của đề là hạng tử tự do

- 4

: nó không chứa

x

nên dễ bị quên, và dấu trừ của nó phải được giữ nguyên khi nhân với

5 x^{2}

dương.

1Cách 1. Nhân phân phối từng hạng tử.

Định hướng. Nhân đơn thức $5 x^{2}$ với từng hạng tử của đa thức $3 x^{2} - x - 4$ rồi cộng các tích lại.

5 x^{2} \cdot (3 x^{2} - x - 4) = 5 x^{2} \cdot 3 x^{2} + 5 x^{2} \cdot (- x) + 5 x^{2} \cdot (- 4)

= 15 x^{4} - 5 x^{3} - 20 x^{2}

Vậy $5 x^{2} \cdot (3 x^{2} - x - 4) = 15 x^{4} - 5 x^{3} - 20 x^{2}$ .

2Cách 2. Thay số kiểm tra chéo.

Định hướng. Thay một giá trị cụ thể của $x$ vào cả hai vế để kiểm tra chéo kết quả đã rút gọn.

Với

x = 1

5 \cdot 1^{2} \cdot (3 \cdot 1^{2} - 1 - 4) = 5 \cdot (- 2) = - 10

15 \cdot 1^{4} - 5 \cdot 1^{3} - 20 \cdot 1^{2} = 15 - 5 - 20 = - 10

Vậy hai vế cùng bằng $- 10$ khi $x = 1$ , khớp với kết quả $15 x^{4} - 5 x^{3} - 20 x^{2}$ .

Nhận xét. Thay số chỉ kiểm tra được một trường hợp riêng, kết quả chắc chắn với mọi $x$ vẫn dựa vào Cách 1.

3Cách 3. Đặt tính nhân theo cột dọc, xếp các hạng tử theo bậc giảm dần

Định hướng. Viết đa thức ở dòng trên, đơn thức nhân ở dòng dưới rồi nhân lần lượt từ trái sang phải, mỗi tích viết vào đúng cột bậc của nó; cách trình bày này không cho phép bỏ sót hạng tử nào.

Dòng trên:

3 x^{2} - x - 4

Dòng dưới: nhân với

5 x^{2}

Cột bậc

4

5 x^{2} \cdot 3 x^{2} = 15 x^{4}

Cột bậc

3

5 x^{2} \cdot (- x) = - 5 x^{3}

Cột bậc

2

5 x^{2} \cdot (- 4) = - 20 x^{2}

(5 x^{2}) \cdot (3 x^{2} - x - 4) = 15 x^{4} - 5 x^{3} - 20 x^{2}

Vậy $(5 x^{2}) \cdot (3 x^{2} - x - 4) = 15 x^{4} - 5 x^{3} - 20 x^{2}$ .

Nhận xét. Ba cột bậc $4$ , $3$ , $2$ nối tiếp nhau đúng thứ tự cho thấy phép nhân với $5 x^{2}$ đã đẩy mọi bậc lên thêm $2$ đơn vị — nhìn vào là biết ngay có sót hạng tử hay không.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhân phân phối ba lần là xong, ngắn nhất; Cách 3 chỉ nên dùng khi đa thức có nhiều hạng tử và muốn xếp cho dễ kiểm.

Đáp số.

15 x^{4} - 5 x^{3} - 20 x^{2}

Sai lầm thường gặp. Nhân sót hạng tử tự do

- 4

, hoặc quên đổi dấu khi nhân với hạng tử âm.

🚀 Mở rộng. Tổng quát hoá:

a x^{n} (b x^{2} + c x + d) = ab x^{n + 2} + a c x^{n + 1} + a d x^{n}

— mọi hạng tử của tích đều tăng đúng

n

đơn vị bậc so với hạng tử tương ứng của đa thức ban đầu.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · HĐ2★Trang 20— Nhân đơn thức với đa thức hai biến

HĐ2 (trang 20). Bằng cách tương tự, hãy làm phép nhân

(5 x^{2} y) \cdot (3 x^{2} y - x y - 4 y)

Kiến thức cần nhớ

Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau.
Với hai biến, nhân riêng phần biến $x$ và phần biến $y$ rồi cộng số mũ cùng cơ số.

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu nhận dạng: bài này lặp lại HĐ1 nhưng mọi hạng tử được gắn thêm biến

y

, đó là gợi ý rằng quy tắc nhân không đổi khi chuyển từ một biến sang nhiều biến. Chọn hướng nhân phân phối như cũ, chỉ cần cộng thêm số mũ của

y

. Bẫy của đề là số mũ của

y

5 x^{2} y \cdot x y

cho

y^{2}

chứ không phải

y

, ai chỉ để ý biến

x

sẽ viết thiếu một bậc của

y

1Cách 1. Nhân phân phối từng hạng tử.

Định hướng. Nhân đơn thức $5 x^{2} y$ với từng hạng tử của đa thức $3 x^{2} y - x y - 4 y$ rồi cộng các tích lại.

5 x^{2} y \cdot (3 x^{2} y - x y - 4 y) = 5 x^{2} y \cdot 3 x^{2} y + 5 x^{2} y \cdot (- x y) + 5 x^{2} y \cdot (- 4 y)

= 15 x^{4} y^{2} - 5 x^{3} y^{2} - 20 x^{2} y^{2}

Vậy $5 x^{2} y \cdot (3 x^{2} y - x y - 4 y) = 15 x^{4} y^{2} - 5 x^{3} y^{2} - 20 x^{2} y^{2}$ .

2Cách 2. Thay số kiểm tra chéo.

Định hướng. Thay giá trị cụ thể của $x, y$ vào cả hai vế để kiểm tra chéo.

Với

x = 1, y = 1

5 \cdot 1 \cdot (3 - 1 - 4) = 5 \cdot (- 2) = - 10

15 - 5 - 20 = - 10

Vậy hai vế cùng bằng $- 10$ , khớp với kết quả $15 x^{4} y^{2} - 5 x^{3} y^{2} - 20 x^{2} y^{2}$ .

Nhận xét. Thay số chỉ kiểm tra được một trường hợp riêng, phép khai triển ở Cách 1 mới đúng với mọi $x, y$ .

3Cách 3. Rút nhân tử chung y của đa thức rồi mượn kết quả HĐ1

Định hướng. Cả ba hạng tử $3 x^{2} y$ , $- x y$ , $- 4 y$ đều chứa $y$ ; rút $y$ ra ngoài thì đa thức còn lại đúng bằng đa thức của HĐ1, nên chỉ việc lấy kết quả HĐ1 nhân thêm với $y$ .

3 x^{2} y - x y - 4 y = y (3 x^{2} - x - 4)

(5 x^{2} y) \cdot (3 x^{2} y - x y - 4 y) = 5 x^{2} y \cdot y \cdot (3 x^{2} - x - 4)

= 5 x^{2} y^{2} (3 x^{2} - x - 4)

= 15 x^{4} y^{2} - 5 x^{3} y^{2} - 20 x^{2} y^{2}

Vậy $(5 x^{2} y) \cdot (3 x^{2} y - x y - 4 y) = 15 x^{4} y^{2} - 5 x^{3} y^{2} - 20 x^{2} y^{2}$ .

Nhận xét. So với HĐ1, mỗi hạng tử của kết quả chỉ được gắn thêm đúng $y^{2}$ — một $y$ từ đơn thức nhân và một $y$ từ nhân tử chung; nhìn vậy là kiểm tra được ngay số mũ của $y$ , đúng chỗ đề gài bẫy.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: nhận ra

y

là nhân tử chung của cả ba hạng tử rồi mượn thẳng kết quả HĐ1, chỉ hai dòng là xong và không phải nhân lại lần nào.

Đáp số.

15 x^{4} y^{2} - 5 x^{3} y^{2} - 20 x^{2} y^{2}

Sai lầm thường gặp. Nhầm số mũ khi nhân

x^{2} y \cdot x y

(cộng sai số mũ của

y

) hoặc bỏ sót dấu trừ.

🚀 Mở rộng. Tổng quát hoá: nếu đa thức có nhân tử chung là một đơn thức thì luôn rút nhân tử ấy ra trước khi nhân, vì phép nhân đơn thức với đơn thức bao giờ cũng nhẹ hơn nhân đơn thức với đa thức.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Luyện tập 1★Trang 19— Nhân hai đơn thức

Luyện tập 1 (trang 19). Nhân hai đơn thức: a)

3 x^{2}

và

2 x^{3}

; b)

- x y

và

4 z^{3}

; c)

6 x y^{3}

và

- 0, 5 x^{2}

Kiến thức cần nhớ

Muốn nhân hai đơn thức, ta nhân hai hệ số với nhau và nhân hai phần biến với nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu nhận dạng: cả ba câu đều là tích của hai đơn thức, không có phép cộng trừ nào, nên chỉ cần nhân hệ số với nhau và nhân phần biến với nhau. Chọn hướng tách riêng hai việc ấy để dấu và số mũ không lẫn vào nhau. Bẫy của đề rải ở cả ba câu: câu b) có hai biến hoàn toàn khác nhau nên phần biến chỉ việc viết cạnh nhau, câu c) có hệ số thập phân âm

- 0, 5

nên kết quả đổi dấu.

1Cách 1. Nhân hệ số với hệ số, phần biến với phần biến.

Định hướng. Áp dụng quy tắc nhân hai đơn thức cho từng cặp.

3 x^{2} \cdot 2 x^{3} = (3 \cdot 2) (x^{2} \cdot x^{3}) = 6 x^{5}

.
b)

(- x y) \cdot 4 z^{3} = (- 1 \cdot 4) (x y \cdot z^{3}) = - 4 x y z^{3}

.
c)

6 x y^{3} \cdot (- 0, 5 x^{2}) = (6 \cdot (- 0, 5)) (x y^{3} \cdot x^{2}) = - 3 x^{3} y^{3}

Vậy $3 x^{2} \cdot 2 x^{3} = 6 x^{5}$ ; $(- x y) \cdot 4 z^{3} = - 4 x y z^{3}$ ; $6 x y^{3} \cdot (- 0, 5 x^{2}) = - 3 x^{3} y^{3}$ .

2Cách 2. Thay số kiểm tra chéo.

Định hướng. Thay $x = y = z = 2$ vào từng tích để kiểm tra chéo cả hệ số lẫn số mũ.

3 \cdot 2^{2} \cdot 2 \cdot 2^{3} = 12 \cdot 16 = 192 = 6 \cdot 2^{5}

.
b)

(- 2 \cdot 2) \cdot 4 \cdot 2^{3} = - 4 \cdot 32 = - 128 = - 4 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2^{3}

.
c)

6 \cdot 2 \cdot 2^{3} \cdot (- 0, 5 \cdot 2^{2}) = 96 \cdot (- 2) = - 192 = - 3 \cdot 2^{3} \cdot 2^{3}

Vậy cả ba kết quả ở Cách 1 đều khớp khi thay $x = y = z = 2$ .

Nhận xét. Chọn giá trị khác $1$ (ở đây là $2$ ) để kiểm tra chéo được cả phần số mũ, không chỉ phần hệ số.

3Cách 3. Viết tường minh thành tích các thừa số lặp lại rồi đếm

Định hướng. Viết mỗi luỹ thừa thành tích các thừa số bằng nhau rồi đếm số lần xuất hiện của từng biến; cách này giải thích vì sao số mũ cộng lại chứ không nhân lên.

3 x^{2} \cdot 2 x^{3} = 3 \cdot 2 \cdot (x \cdot x) \cdot (x \cdot x \cdot x) = 6 x^{5}

(- x y) \cdot 4 z^{3} = (- 1) \cdot 4 \cdot x \cdot y \cdot (z \cdot z \cdot z) = - 4 x y z^{3}

6 x y^{3} \cdot (- 0, 5 x^{2}) = 6 \cdot (- 0, 5) \cdot (x \cdot x \cdot x) \cdot (y \cdot y \cdot y) = - 3 x^{3} y^{3}

Vậy a) $6 x^{5}$ ; b) $- 4 x y z^{3}$ ; c) $- 3 x^{3} y^{3}$ .

Nhận xét. Đếm số lần xuất hiện của $x$ ở câu a) được $2 + 3 = 5$ chứ không phải $2 \cdot 3 = 6$ — viết tường minh một lần là nhớ mãi quy tắc cộng số mũ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhân hệ số rồi nhân phần biến, mỗi câu một dòng; Cách 3 chỉ nên dùng lúc mới học để hiểu vì sao số mũ lại cộng vào nhau.

Đáp số. a)

6 x^{5}

; b)

- 4 x y z^{3}

; c)

- 3 x^{3} y^{3}

Sai lầm thường gặp. Quên cộng số mũ khi nhân hai luỹ thừa cùng biến, hoặc tính sai dấu khi có hệ số âm.

🚀 Mở rộng. Tổng quát hoá: tích của hai đơn thức luôn là một đơn thức có hệ số bằng tích hai hệ số và bậc bằng tổng hai bậc — kiểm lại ba câu trên đều thấy đúng.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Luyện tập 2★Trang 20— Nhân đơn thức với đa thức

Luyện tập 2 (trang 20). Làm tính nhân: a)

(x y) \cdot (x^{2} + x y - y^{2})

; b)

(x y + y z + z x) \cdot (- x y z)

Kiến thức cần nhớ

Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu nhận dạng: cả hai câu đều là đơn thức nhân đa thức, chỉ khác là câu b) đặt đơn thức ở phía sau. Chọn hướng nhân phân phối vì đơn thức phải nhân với TỪNG hạng tử, và phép nhân có tính giao hoán nên đơn thức đứng trước hay sau đều như nhau. Bẫy của đề là câu b): ba hạng tử

x y

y z

z x

trông rất giống nhau nên rất dễ nhân sót một tích hoặc nhân trùng một tích hai lần.

1Cách 1. Nhân phân phối từng hạng tử.

Định hướng. Nhân đơn thức đã cho với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích.

(x y) (x^{2} + x y - y^{2}) = x y \cdot x^{2} + x y \cdot x y + x y \cdot (- y^{2}) = x^{3} y + x^{2} y^{2} - x y^{3}

.
b)

(x y + y z + z x) (- x y z) = x y \cdot (- x y z) + y z \cdot (- x y z) + z x \cdot (- x y z) = - x^{2} y^{2} z - x y^{2} z^{2} - x^{2} y z^{2}

Vậy $(x y) (x^{2} + x y - y^{2}) = x^{3} y + x^{2} y^{2} - x y^{3}$ và $(x y + y z + z x) (- x y z) = - x^{2} y^{2} z - x y^{2} z^{2} - x^{2} y z^{2}$ .

2Cách 2. Thay số kiểm tra chéo.

Định hướng. Thay $x = 1, y = 2, z = 3$ vào cả biểu thức gốc và kết quả để kiểm tra chéo.

x y = 2

;

x^{2} + x y - y^{2} = 1 + 2 - 4 = - 1

; tích

= - 2

x^{3} y + x^{2} y^{2} - x y^{3} = 2 + 4 - 8 = - 2

.
b)

x y + y z + z x = 2 + 6 + 3 = 11

;

- x y z = - 6

; tích

= - 66

- x^{2} y^{2} z - x y^{2} z^{2} - x^{2} y z^{2} = - 12 - 36 - 18 = - 66

Vậy hai cách cho cùng kết quả, xác nhận Cách 1 đúng.

3Cách 3. Lập bảng tích, mỗi ô là một tích riêng

Định hướng. Kẻ một hàng gồm các hạng tử của đa thức, mỗi ô ghi tích của hạng tử đó với đơn thức nhân; số ô phải bằng đúng số hạng tử nên không thể sót hay trùng.

a) Đơn thức nhân

x y

; ba ô ứng với

x^{2}

;

x y

;

- y^{2}

Ô 1:

x y \cdot x^{2} = x^{3} y

Ô 2:

x y \cdot x y = x^{2} y^{2}

Ô 3:

x y \cdot (- y^{2}) = - x y^{3}

b) Đơn thức nhân

- x y z

; ba ô ứng với

x y

;

y z

;

z x

Ô 1:

x y \cdot (- x y z) = - x^{2} y^{2} z

Ô 2:

y z \cdot (- x y z) = - x y^{2} z^{2}

Ô 3:

z x \cdot (- x y z) = - x^{2} y z^{2}

Vậy a) $(x y) \cdot (x^{2} + x y - y^{2}) = x^{3} y + x^{2} y^{2} - x y^{3}$ ; b) $(x y + y z + z x) \cdot (- x y z) = - x^{2} y^{2} z - x y^{2} z^{2} - x^{2} y z^{2}$ .

Nhận xét. Ba ô của câu b) cho ba đơn thức đôi một khác phần biến, dù cùng bậc $5$ — nếu ai ra hai ô giống nhau thì chắc chắn đã nhân trùng một hạng tử.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhân phân phối theo đúng thứ tự hạng tử của đa thức, vừa nhanh vừa dễ soát; Cách 3 đáng dùng riêng cho câu b) vì bảng buộc phải điền đủ ba ô.

Đáp số. a)

x^{3} y + x^{2} y^{2} - x y^{3}

; b)

- x^{2} y^{2} z - x y^{2} z^{2} - x^{2} y z^{2}

Sai lầm thường gặp. Bỏ sót hạng tử

z x \cdot (- x y z)

, hoặc cộng sai số mũ khi nhân hai đơn thức cùng chứa biến

x, y

🚀 Mở rộng. Bài cùng dạng ở mức khó hơn: cộng ba kết quả ở câu b) với

x^{2} y^{2} z^{2}

rồi rút nhân tử chung — thử xem biểu thức thu được có viết gọn lại thành một tích hay không.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Vận dụng★★Trang 20— Rút gọn biểu thức chứa tích đơn thức với đa thức

Vận dụng (trang 20). Rút gọn biểu thức:

x^{3} (x + y) - x (x^{3} + y^{3})

Kiến thức cần nhớ

Muốn nhân đơn thức với đa thức, nhân đơn thức với từng hạng tử rồi cộng các tích.
Khi rút gọn hiệu hai tích, giữ đúng dấu của từng hạng tử khi bỏ ngoặc.

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu nhận dạng: biểu thức là hiệu của hai tích, mỗi tích đều có dạng đơn thức nhân đa thức, nên phải khai triển cả hai rồi mới thu gọn. Chọn hướng nhân phân phối từng tích rồi trừ, vì hai tích đều chỉ có hai hạng tử. Bẫy của đề là dấu trừ đứng trước tích thứ hai: cả

x^{4}

lẫn

x y^{3}

đều phải đổi dấu, quên một trong hai là sai ngay, mà đúng chỗ

x^{4}

triệt tiêu là chỗ đề muốn kiểm tra.

1Cách 1. Nhân phân phối rồi thu gọn.

Định hướng. Nhân phân phối từng tích rồi cộng trừ các hạng tử cùng loại.

x^{3} (x + y) - x (x^{3} + y^{3}) = x^{3} \cdot x + x^{3} \cdot y - x \cdot x^{3} - x \cdot y^{3}

= x^{4} + x^{3} y - x^{4} - x y^{3}

= x^{3} y - x y^{3}

Vậy $x^{3} (x + y) - x (x^{3} + y^{3}) = x^{3} y - x y^{3}$ .

2Cách 2. Thay số kiểm tra chéo.

Định hướng. Thay $x = 2, y = 3$ vào biểu thức gốc và vào kết quả để kiểm tra chéo.

x^{3} (x + y) = 8 \cdot 5 = 40

;

x (x^{3} + y^{3}) = 2 \cdot 35 = 70

; hiệu

= 40 - 70 = - 30

x^{3} y - x y^{3} = 8 \cdot 3 - 2 \cdot 27 = 24 - 54 = - 30

Vậy hai vế cùng bằng $- 30$ , xác nhận kết quả rút gọn đúng.

3Cách 3. Rút nhân tử chung xy sau khi thu gọn

Định hướng. Sau khi khai triển và thu gọn, hai hạng tử còn lại đều chứa $x y$ ; rút $x y$ ra ngoài để được một dạng tích gọn hơn và nói được nhiều hơn về biểu thức.

x^{3} (x + y) - x (x^{3} + y^{3}) = x^{4} + x^{3} y - x^{4} - x y^{3}

= x^{3} y - x y^{3}

= x y (x^{2} - y^{2})

Thử tại

x = 2

;

y = 1

x^{3} y - x y^{3} = 8 - 2 = 6

;

x y (x^{2} - y^{2}) = 2 \cdot (4 - 1) = 6

Vậy $x^{3} (x + y) - x (x^{3} + y^{3}) = x^{3} y - x y^{3} = x y (x^{2} - y^{2})$ .

Nhận xét. Dòng $x^{4} - x^{4}$ triệt tiêu là bằng chứng rằng dấu trừ đã được phân phối đúng cho cả hai hạng tử của ngoặc thứ hai; nếu quên đổi dấu $x^{4}$ thì hạng tử bậc bốn còn sót lại và không rút được nhân tử chung $x y$ nữa.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: khai triển hai tích rồi thu gọn, chỉ ba dòng; Cách 3 làm thêm một bước rút nhân tử chung nên cho kết quả ở dạng đẹp hơn, tiện cho các bài phía sau.

Đáp số.

x^{3} y - x y^{3}

Sai lầm thường gặp. Quên đổi dấu khi trừ

x (x^{3} + y^{3})

, dẫn tới sai dấu của hạng tử

x y^{3}

🚀 Mở rộng. Tổng quát hoá: kết quả

x y (x^{2} - y^{2})

cho thấy biểu thức bằng

0

ngay khi

x = 0

, hoặc

y = 0

, hoặc

x = y

, hoặc

x = - y

— điều mà dạng khai triển

x^{3} y - x y^{3}

không nói thẳng ra.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · HĐ3★★Trang 20— Nhân đa thức với đa thức một biến

HĐ3 (trang 20). Hãy nhớ lại quy tắc nhân hai đa thức một biến bằng cách thực hiện phép nhân

(2 x + 3) \cdot (x^{2} - 5 x + 4)

Kiến thức cần nhớ

Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu nhận dạng: hai đa thức một biến nhân nhau, đa thức đầu hai hạng tử, đa thức sau ba hạng tử nên tích sẽ có sáu tích con trước khi thu gọn. Chọn hướng nhân phân phối từng hạng tử của đa thức đầu với cả đa thức sau, đủ sáu tích rồi mới gom. Bẫy của đề là bước gom: có tới hai cặp hạng tử cùng bậc phải cộng lại, và

- 10 x^{2}

với

3 x^{2}

khác bậc với

8 x

và

- 15 x

nên tuyệt đối không được gom lẫn.

1Cách 1. Nhân phân phối từng hạng tử.

Định hướng. Nhân từng hạng tử của $2 x + 3$ với từng hạng tử của $x^{2} - 5 x + 4$ rồi cộng các tích.

(2 x + 3) (x^{2} - 5 x + 4) = 2 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot (- 5 x) + 2 x \cdot 4 + 3 \cdot x^{2} + 3 \cdot (- 5 x) + 3 \cdot 4

= 2 x^{3} - 10 x^{2} + 8 x + 3 x^{2} - 15 x + 12

= 2 x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 12

Vậy $(2 x + 3) (x^{2} - 5 x + 4) = 2 x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 12$ .

2Cách 2. Đặt tính cột dọc.

Định hướng. Nhân cả đa thức $x^{2} - 5 x + 4$ với từng hạng tử của $2 x + 3$ theo cột dọc rồi cộng các hạng tử cùng bậc.

(x^{2} - 5 x + 4) \cdot 3 = 3 x^{2} - 15 x + 12

(x^{2} - 5 x + 4) \cdot 2 x = 2 x^{3} - 10 x^{2} + 8 x

2 x^{3} - 10 x^{2} + 8 x + 3 x^{2} - 15 x + 12 = 2 x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 12

Vậy $(2 x + 3) (x^{2} - 5 x + 4) = 2 x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 12$ .

3Cách 3. Kiểm chứng kết quả bằng hai giá trị cụ thể của x

Định hướng. Tích và kết quả khai triển phải nhận cùng giá trị tại mọi $x$ ; chọn $x = 1$ cho phép tính nhẹ nhất, rồi thêm $x = 2$ để chắc chắn, vì một đẳng thức sai hiếm khi qua được cả hai phép thử.

Tại

x = 1

(2 + 3) (1 - 5 + 4) = 5 \cdot 0 = 0

2 - 7 - 7 + 12 = 0

Tại

x = 2

(4 + 3) (4 - 10 + 4) = 7 \cdot (- 2) = - 14

2 \cdot 8 - 7 \cdot 4 - 7 \cdot 2 + 12 = 16 - 28 - 14 + 12 = - 14

Vậy $(2 x + 3) \cdot (x^{2} - 5 x + 4) = 2 x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 12$ .

Nhận xét. Giá trị $x = 1$ đặc biệt tiện vì khi đó mỗi đa thức thu về tổng các hệ số của nó; nếu tổng hệ số hai bên đã lệch nhau thì chắc chắn khai triển sai, khỏi cần thử thêm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: đặt tính cột dọc thì các hạng tử cùng bậc tự nằm thẳng cột, gần như không thể gom nhầm như khi viết tràn trên một dòng.

Đáp số.

2 x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 12

Sai lầm thường gặp. Cộng sai các hạng tử cùng bậc (nhầm

- 10 x^{2}

với

- 15 x

), hoặc quên nhân đủ với hằng số

4

🚀 Mở rộng. Tổng quát hoá: tích của một đa thức bậc

1

với một đa thức bậc

2

luôn là đa thức bậc

3

, và số tích con trước khi thu gọn luôn bằng tích số hạng tử của hai đa thức, ở đây là

2 \cdot 3 = 6

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · HĐ4★★Trang 20— Nhân đa thức với đa thức hai biến

HĐ4 (trang 20). Bằng cách tương tự, hãy thử làm phép nhân

(2 x + 3 y) \cdot (x^{2} - 5 x y + 4 y^{2})

Kiến thức cần nhớ

Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu nhận dạng: bài này là HĐ3 với mọi hằng số được thay bằng luỹ thừa của

y

—

3

thành

3 y

- 5 x

thành

- 5 x y

4

thành

4 y^{2}

— nên tích cũng chỉ là tích của HĐ3 được gắn thêm

y

. Chọn hướng nhân phân phối như HĐ3 rồi cộng thêm số mũ của

y

. Bẫy của đề là hai hạng tử giữa: chúng cùng bậc

3

nhưng một hạng tử là

x^{2} y

, một hạng tử là

x y^{2}

nên tuyệt đối không được cộng vào nhau.

1Cách 1. Nhân phân phối từng hạng tử.

Định hướng. Nhân từng hạng tử của $2 x + 3 y$ với từng hạng tử của $x^{2} - 5 x y + 4 y^{2}$ rồi cộng các tích.

(2 x + 3 y) (x^{2} - 5 x y + 4 y^{2}) = 2 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot (- 5 x y) + 2 x \cdot 4 y^{2} + 3 y \cdot x^{2} + 3 y \cdot (- 5 x y) + 3 y \cdot 4 y^{2}

= 2 x^{3} - 10 x^{2} y + 8 x y^{2} + 3 x^{2} y - 15 x y^{2} + 12 y^{3}

= 2 x^{3} - 7 x^{2} y - 7 x y^{2} + 12 y^{3}

Vậy $(2 x + 3 y) (x^{2} - 5 x y + 4 y^{2}) = 2 x^{3} - 7 x^{2} y - 7 x y^{2} + 12 y^{3}$ .

2Cách 2. Đặt tính cột dọc.

Định hướng. Nhân cả đa thức $x^{2} - 5 x y + 4 y^{2}$ với từng hạng tử của $2 x + 3 y$ theo cột dọc rồi cộng các hạng tử cùng bậc.

(x^{2} - 5 x y + 4 y^{2}) \cdot 3 y = 3 x^{2} y - 15 x y^{2} + 12 y^{3}

(x^{2} - 5 x y + 4 y^{2}) \cdot 2 x = 2 x^{3} - 10 x^{2} y + 8 x y^{2}

2 x^{3} - 10 x^{2} y + 8 x y^{2} + 3 x^{2} y - 15 x y^{2} + 12 y^{3} = 2 x^{3} - 7 x^{2} y - 7 x y^{2} + 12 y^{3}

Vậy $(2 x + 3 y) (x^{2} - 5 x y + 4 y^{2}) = 2 x^{3} - 7 x^{2} y - 7 x y^{2} + 12 y^{3}$ .

3Cách 3. Mượn kết quả HĐ3 rồi bù luỹ thừa của y cho mọi hạng tử cùng bậc ba

Định hướng. Mọi hạng tử của $2 x + 3 y$ đều bậc $1$ , mọi hạng tử của $x^{2} - 5 x y + 4 y^{2}$ đều bậc $2$ , nên mọi hạng tử của tích đều bậc $3$ . Cho $y = 1$ thì bài trở về đúng HĐ3, vậy chỉ cần lấy kết quả HĐ3 rồi bù luỹ thừa của $y$ vào từng hạng tử cho đủ bậc $3$ .

Cho

y = 1

(2 x + 3) (x^{2} - 5 x + 4) = 2 x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 12

Bù luỹ thừa của

y

cho mỗi hạng tử đủ bậc

3

2 x^{3}

giữ nguyên ;

- 7 x^{2}

thành

- 7 x^{2} y

;

- 7 x

thành

- 7 x y^{2}

;

12

thành

12 y^{3}

(2 x + 3 y) (x^{2} - 5 x y + 4 y^{2}) = 2 x^{3} - 7 x^{2} y - 7 x y^{2} + 12 y^{3}

Thử tại

x = 2

;

y = 1

(4 + 3) (4 - 10 + 4) = - 14

;

16 - 28 - 14 + 12 = - 14

Vậy $(2 x + 3 y) \cdot (x^{2} - 5 x y + 4 y^{2}) = 2 x^{3} - 7 x^{2} y - 7 x y^{2} + 12 y^{3}$ .

Nhận xét. Mẹo bù luỹ thừa chỉ dùng được khi MỌI hạng tử của cả hai đa thức cùng bậc; nếu đa thức có lẫn hạng tử khác bậc thì cách này không còn đúng và phải quay lại nhân phân phối.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: mọi hạng tử của tích đều cùng bậc

3

nên chỉ cần lấy kết quả HĐ3 rồi bù luỹ thừa của

y

cho đủ bậc, một dòng là xong và đã tự kiểm tra lẫn nhau với HĐ3.

Đáp số.

2 x^{3} - 7 x^{2} y - 7 x y^{2} + 12 y^{3}

Sai lầm thường gặp. Nhầm lẫn giữa hai hạng tử đồng dạng

x^{2} y

và

x y^{2}

khi cộng.

🚀 Mở rộng. Tổng quát hoá: khi mọi hạng tử của hai đa thức đều cùng bậc thì mọi hạng tử của tích cũng cùng bậc, nên cho

y = 1

ta được bài một biến tương ứng, và ngược lại từ bài một biến bù luỹ thừa

y

là khôi phục được bài hai biến.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Luyện tập 3★★Trang 21— Nhân đa thức, nhận dạng hằng đẳng thức

Luyện tập 3 (trang 21). Thực hiện phép nhân: a)

(2 x + y) (4 x^{2} - 2 x y + y^{2})

; b)

(x^{2} y^{2} - 3) (3 + x^{2} y^{2})

Kiến thức cần nhớ

Muốn nhân đa thức với đa thức, nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích.
Có thể nhận dạng các tích đặc biệt để tính nhanh hơn.

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu nhận dạng: câu a) có

2 x + y

nhân với

4 x^{2} - 2 x y + y^{2}

mà

4 x^{2} = (2 x)^{2}

và

2 x y

là tích chéo — đó là khuôn của tổng hai lập phương; câu b) là tích của một hiệu với một tổng của cùng hai số hạng

x^{2} y^{2}

và

3

. Chọn hướng nhận dạng hằng đẳng thức vì khi đó kết quả chỉ còn hai hạng tử thay vì phải khai triển rồi thu gọn. Bẫy của đề là câu b) viết đảo thứ tự thành

(x^{2} y^{2} - 3) (3 + x^{2} y^{2})

, làm ta không nhận ra ngay đó là hiệu nhân tổng.

1Cách 1. Nhân phân phối từng hạng tử.

Định hướng. Nhân phân phối đầy đủ từng cặp hạng tử rồi cộng gộp các hạng tử cùng loại.

(2 x + y) (4 x^{2} - 2 x y + y^{2}) = 2 x \cdot 4 x^{2} + 2 x \cdot (- 2 x y) + 2 x \cdot y^{2} + y \cdot 4 x^{2} + y \cdot (- 2 x y) + y \cdot y^{2}

= 8 x^{3} - 4 x^{2} y + 2 x y^{2} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2} + y^{3}

= 8 x^{3} + y^{3}

.
b)

(x^{2} y^{2} - 3) (3 + x^{2} y^{2}) = x^{2} y^{2} \cdot 3 + x^{2} y^{2} \cdot x^{2} y^{2} - 3 \cdot 3 - 3 \cdot x^{2} y^{2}

= 3 x^{2} y^{2} + x^{4} y^{4} - 9 - 3 x^{2} y^{2}

= x^{4} y^{4} - 9

Vậy $(2 x + y) (4 x^{2} - 2 x y + y^{2}) = 8 x^{3} + y^{3}$ và $(x^{2} y^{2} - 3) (3 + x^{2} y^{2}) = x^{4} y^{4} - 9$ .

2Cách 2. Nhận dạng hằng đẳng thức.

Định hướng. Nhận ra dạng đặc biệt $(a + b) (a^{2} - ab + b^{2}) = a^{3} + b^{3}$ và $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$ để tính nhanh không cần khai triển đủ.

a) Đặt

a = 2 x, b = y

4 x^{2} - 2 x y + y^{2} = a^{2} - ab + b^{2}

, suy ra tích

= a^{3} + b^{3} = (2 x)^{3} + y^{3} = 8 x^{3} + y^{3}

.
b) Đặt

a = x^{2} y^{2}

(a - 3) (3 + a) = (a - 3) (a + 3) = a^{2} - 9 = (x^{2} y^{2})^{2} - 9 = x^{4} y^{4} - 9

Vậy hai kết quả trùng với Cách 1: $8 x^{3} + y^{3}$ và $x^{4} y^{4} - 9$ .

3Cách 3. Kiểm chứng hai kết quả bằng giá trị cụ thể của x, y

Định hướng. Khi đã dùng hằng đẳng thức, nên thử lại bằng số để chắc chắn mình không nhận nhầm khuôn; chọn bộ số nhỏ rồi so giá trị hai vế.

a) Tại

x = 1

;

y = 1

(2 + 1) (4 - 2 + 1) = 3 \cdot 3 = 9

;

8 x^{3} + y^{3} = 8 + 1 = 9

Tại

x = 1

;

y = - 1

(2 - 1) (4 + 2 + 1) = 1 \cdot 7 = 7

;

8 - 1 = 7

b) Tại

x = 1

;

y = 1

(1 - 3) (3 + 1) = - 2 \cdot 4 = - 8

;

x^{4} y^{4} - 9 = 1 - 9 = - 8

Tại

x = 2

;

y = 1

(4 - 3) (3 + 4) = 1 \cdot 7 = 7

;

16 - 9 = 7

Vậy a) $(2 x + y) (4 x^{2} - 2 x y + y^{2}) = 8 x^{3} + y^{3}$ ; b) $(x^{2} y^{2} - 3) (3 + x^{2} y^{2}) = x^{4} y^{4} - 9$ .

Nhận xét. Bộ số $x = 1$ , $y = - 1$ ở câu a) rất đáng dùng vì nó phân biệt được tổng hai lập phương với hiệu hai lập phương — hai khuôn chỉ khác nhau đúng một dấu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: nhận dạng hằng đẳng thức thì mỗi câu chỉ một dòng, trong khi Cách 1 phải khai triển tới sáu và bốn tích con rồi mới thu gọn.

Đáp số. a)

8 x^{3} + y^{3}

; b)

x^{4} y^{4} - 9

Sai lầm thường gặp. Không nhận ra dạng lập phương của một tổng hoặc hiệu hai bình phương nên khai triển thiếu hoặc thừa hạng tử.

🚀 Mở rộng. Tổng quát hoá:

(a + b) (a^{2} - ab + b^{2}) = a^{3} + b^{3}

và

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

— câu a) ứng với

a = 2 x

b = y

; câu b) ứng với

a = x^{2} y^{2}

b = 3

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Thử thách nhỏ★★★Trang 21— Rút gọn và chứng minh chia hết dùng phép nhân đa thức

Thử thách nhỏ (trang 21). Xét biểu thức đại số với hai biến

k

và

m

P = (2 k - 3) (3 m - 2) - (3 k - 2) (2 m - 3)

. a) Rút gọn biểu thức

P

. b) Chứng minh rằng tại mọi giá trị nguyên của

k

và

m

, giá trị của biểu thức

P

luôn là một số nguyên chia hết cho 5.

Kiến thức cần nhớ

Muốn nhân đa thức với đa thức, nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích.
Một số chia hết cho 5 khi viết được dưới dạng $5 n$ với $n$ là số nguyên.

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu nhận dạng: hai tích trong

P

có cùng bốn con số

2

3

2

3

nhưng đổi chỗ cho nhau, đó là dấu hiệu nhiều hạng tử sẽ triệt tiêu khi trừ. Chọn hướng khai triển rồi rút gọn, vì sau khi trừ chỉ còn lại hai hạng tử bậc nhất. Bẫy của đề là câu b): đề đòi chứng minh chia hết cho

5

với MỌI

k

m

nguyên, nên không được thử vài bộ số rồi kết luận mà phải đưa

P

về dạng

5

nhân với một số nguyên.

1Cách 1. Nhân phân phối rồi rút gọn.

Định hướng. Khai triển từng tích rồi trừ hai kết quả để rút gọn $P$ về dạng $5 n$ , từ đó suy ra tính chia hết cho 5.

(2 k - 3) (3 m - 2) = 6 k m - 4 k - 9 m + 6

(3 k - 2) (2 m - 3) = 6 k m - 9 k - 4 m + 6

P = (6 k m - 4 k - 9 m + 6) - (6 k m - 9 k - 4 m + 6) = 5 k - 5 m = 5 (k - m)

Vậy $P = 5 (k - m)$ ; vì $k, m$ là số nguyên nên $k - m$ cũng là số nguyên, đặt $n = k - m$ thì $P = 5 n$ chia hết cho 5 với mọi $k, m$ nguyên.

2Cách 2. Thay số kiểm tra chéo.

Định hướng. Thay vài cặp giá trị nguyên của $k, m$ vào $P$ để kiểm tra chéo công thức $P = 5 (k - m)$ .

Với

k = 2, m = 1

P = (1) (1) - (4) (- 1) = 1 + 4 = 5 = 5 (2 - 1)

.
Với

k = 0, m = 3

P = (- 3) (7) - (- 2) (3) = - 21 + 6 = - 15 = 5 (0 - 3)

Vậy cả hai phép thử đều cho $P$ chia hết cho 5, khớp với công thức tổng quát $P = 5 (k - m)$ ở Cách 1.

Nhận xét. Thay số chỉ minh hoạ một vài trường hợp, phép chứng minh đúng với mọi $k, m$ nguyên vẫn dựa vào Cách 1.

3Cách 3. Chỉ so các hạng tử chứa k và chứa m, bỏ qua phần giống nhau

Định hướng. Khai triển hai tích thì hạng tử $k m$ và hạng tử tự do của chúng giống hệt nhau nên khi trừ sẽ triệt tiêu; chỉ cần tính các hạng tử chứa riêng $k$ và riêng $m$ là đủ, khỏi khai triển đầy đủ.

Trong

(2 k - 3) (3 m - 2)

: hạng tử chứa

k m

là

6 k m

; chứa

k

là

- 4 k

; chứa

m

là

- 9 m

; tự do là

6

Trong

(3 k - 2) (2 m - 3)

: hạng tử chứa

k m

là

6 k m

; chứa

k

là

- 9 k

; chứa

m

là

- 4 m

; tự do là

6

k m

6 k m - 6 k m = 0

; tự do:

6 - 6 = 0

k

- 4 k - (- 9 k) = 5 k

m

- 9 m - (- 4 m) = - 5 m

P = 5 k - 5 m = 5 (k - m)

b) Với

k

m

nguyên thì

k - m

nguyên, nên

P = 5 (k - m)

là bội của

5

Vậy a) $P = 5 (k - m)$ ; b) với mọi giá trị nguyên của $k$ và $m$ , giá trị của $P$ luôn là một số nguyên chia hết cho $5$ .

Nhận xét. Dạng $5 (k - m)$ mới là lời chứng minh, còn việc thử vài cặp số chỉ là kiểm tra; đây là chỗ phân biệt giữa "đúng với các số đã thử" và "đúng với mọi số".

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: chỉ tính riêng những hạng tử chứa

k

và chứa

m

, bỏ qua hai hạng tử

6 k m

và

6

vì chúng giống hệt nhau ở cả hai tích — rút ngắn được một nửa khối lượng khai triển so với Cách 1.

Đáp số.

P = 5 (k - m)

;

P

luôn chia hết cho 5 với mọi

k, m

nguyên.

Sai lầm thường gặp. Nhân sai dấu khi khai triển

(3 k - 2) (2 m - 3)

, làm rút gọn

P

sai và mất kết luận chia hết cho 5.

🚀 Mở rộng. Tổng quát hoá: với hai số

a

b

bất kì thì

(ak - b) (bm - a) - (bk - a) (am - b) = (a^{2} - b^{2}) (k - m)

, nên

P

luôn chia hết cho

a^{2} - b^{2}

; bài này ứng với

a = 2

b = 3

cho

a^{2} - b^{2} = - 5

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Bài 1.24★Trang 21— Nhân hai đơn thức

Bài 1.24 (trang 21). Nhân hai đơn thức: a)

5 x^{2} y

và

2 x y^{2}

; b)

\frac{3}{4} x y

và

8 x^{3} y^{2}

; c)

1, 5 x y^{2} z^{3}

và

2 x^{3} y^{2} z

Kiến thức cần nhớ

Muốn nhân hai đơn thức, ta nhân hai hệ số với nhau và nhân hai phần biến với nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu nhận dạng: ba câu đều là tích hai đơn thức, khác nhau ở kiểu hệ số — số nguyên, phân số, số thập phân — nên phần biến làm giống nhau, chỉ phần số là phải cẩn thận. Chọn hướng nhân hệ số riêng, phần biến riêng. Bẫy của đề là câu c) có tới ba biến

x

y

z

với số mũ lệch nhau, cộng số mũ vội một biến là sai cả đơn thức.

1Cách 1. Nhân hệ số với hệ số, phần biến với phần biến.

Định hướng. Áp dụng quy tắc nhân hai đơn thức cho từng cặp.

5 x^{2} y \cdot 2 x y^{2} = (5 \cdot 2) (x^{2} \cdot x) (y \cdot y^{2}) = 10 x^{3} y^{3}

.
b)

\frac{3}{4} x y \cdot 8 x^{3} y^{2} = (\frac{3}{4} \cdot 8) (x \cdot x^{3}) (y \cdot y^{2}) = 6 x^{4} y^{3}

.
c)

1, 5 x y^{2} z^{3} \cdot 2 x^{3} y^{2} z = (1, 5 \cdot 2) (x \cdot x^{3}) (y^{2} \cdot y^{2}) (z^{3} \cdot z) = 3 x^{4} y^{4} z^{4}

Vậy $5 x^{2} y \cdot 2 x y^{2} = 10 x^{3} y^{3}$ ; $\frac{3}{4} x y \cdot 8 x^{3} y^{2} = 6 x^{4} y^{3}$ ; $1, 5 x y^{2} z^{3} \cdot 2 x^{3} y^{2} z = 3 x^{4} y^{4} z^{4}$ .

2Cách 2. Thay số kiểm tra chéo.

Định hướng. Thay $x = y = z = 2$ vào từng tích để kiểm tra chéo hệ số và số mũ.

5 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4 = 40 \cdot 16 = 640 = 10 \cdot 2^{3} \cdot 2^{3}

.
b)

\frac{3}{4} \cdot 2 \cdot 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 4 = 3 \cdot 256 = 768 = 6 \cdot 2^{4} \cdot 2^{3}

.
c)

1, 5 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot 2 \cdot 8 \cdot 4 \cdot 2 = 96 \cdot 128 = 12288 = 3 \cdot 2^{4} \cdot 2^{4} \cdot 2^{4}

Vậy cả ba kết quả ở Cách 1 đều được xác nhận đúng.

3Cách 3. Soát hệ số bằng phép thay mọi biến bằng 1, soát bậc bằng phép thay mọi biến bằng t

Định hướng. Thay mọi biến bởi $1$ thì mỗi đơn thức thu về đúng hệ số của nó, nên tích hai hệ số phải bằng hệ số của kết quả; thay mọi biến bởi $t$ thì số mũ của $t$ cho biết bậc, và bậc của tích phải bằng tổng hai bậc.

a) Với

x = y = 1

5 \cdot 2 = 10

; với

x = y = t

5 t^{3} \cdot 2 t^{3} = 10 t^{6}

b) Với

x = y = 1

\frac{3}{4} \cdot 8 = 6

; với

x = y = t

\frac{3}{4} t^{2} \cdot 8 t^{5} = 6 t^{7}

c) Với

x = y = z = 1

1, 5 \cdot 2 = 3

; với

x = y = z = t

1, 5 t^{6} \cdot 2 t^{4} = 3 t^{10}

Vậy a) $5 x^{2} y \cdot 2 x y^{2} = 10 x^{3} y^{3}$ ; b) $\frac{3}{4} x y \cdot 8 x^{3} y^{2} = 6 x^{4} y^{3}$ ; c) $1, 5 x y^{2} z^{3} \cdot 2 x^{3} y^{2} z = 3 x^{4} y^{4} z^{4}$ .

Nhận xét. Phép thay bằng $t$ ở câu c) cho $t^{10}$ , đúng bằng tổng hai bậc $6 + 4$ ; nếu cộng nhầm số mũ của một biến thì tổng số mũ lệch ngay khỏi $10$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhân hệ số rồi cộng số mũ từng biến, mỗi câu một dòng; Cách 3 dùng để soát nhanh cả ba câu chỉ bằng hai phép thay.

Đáp số. a)

10 x^{3} y^{3}

; b)

6 x^{4} y^{3}

; c)

3 x^{4} y^{4} z^{4}

Sai lầm thường gặp. Cộng sai số mũ của biến chung, hoặc tính sai tích các hệ số có phân số hay số thập phân.

🚀 Mở rộng. Tổng quát hoá: bậc của tích hai đơn thức luôn bằng tổng hai bậc — kiểm ba câu trên:

3 + 3 = 6

;

2 + 5 = 7

;

6 + 4 = 10

, khớp với số mũ của

t

ở Cách 3.

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · Bài 1.25★★Trang 21— Nhân đơn thức với đa thức có hệ số phân số, thập phân

Bài 1.25 (trang 21). Tìm tích của đơn thức với đa thức: a)

(- 0, 5) x y^{2} (2 x y - x^{2} + 4 y)

; b)

(x^{3} y - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{3} x y) \cdot 6 x y^{3}

Kiến thức cần nhớ

Muốn nhân đơn thức với đa thức, nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích, giữ đúng dấu và hệ số.

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu nhận dạng: hai câu đều là đơn thức nhân đa thức ba hạng tử, khác nhau ở chỗ đơn thức đứng trước hay đứng sau. Chọn hướng nhân phân phối vì phép nhân có tính giao hoán nên vị trí đơn thức không ảnh hưởng gì. Bẫy của đề là hệ số: câu a) có

- 0, 5

âm nên mọi hạng tử đổi dấu theo dấu của hạng tử trong ngoặc, câu b) có

- \frac{1}{2}

và

\frac{1}{3}

nhân với

6

ra số nguyên, tính vội rất dễ sai.

1Cách 1. Nhân phân phối từng hạng tử.

Định hướng. Nhân đơn thức đã cho với từng hạng tử của đa thức, chú ý dấu và hệ số phân số, thập phân.

(- 0, 5 x y^{2}) (2 x y - x^{2} + 4 y) = (- 0, 5 x y^{2}) \cdot 2 x y + (- 0, 5 x y^{2}) \cdot (- x^{2}) + (- 0, 5 x y^{2}) \cdot 4 y

= - x^{2} y^{3} + 0, 5 x^{3} y^{2} - 2 x y^{3}

.
b)

(x^{3} y - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{3} x y) \cdot 6 x y^{3} = x^{3} y \cdot 6 x y^{3} - \frac{1}{2} x^{2} \cdot 6 x y^{3} + \frac{1}{3} x y \cdot 6 x y^{3}

= 6 x^{4} y^{4} - 3 x^{3} y^{3} + 2 x^{2} y^{4}

Vậy a) kết quả là $- x^{2} y^{3} + 0, 5 x^{3} y^{2} - 2 x y^{3}$ ; b) kết quả là $6 x^{4} y^{4} - 3 x^{3} y^{3} + 2 x^{2} y^{4}$ .

2Cách 2. Thay số kiểm tra chéo.

Định hướng. Thay $x = 2, y = 1$ vào biểu thức gốc và kết quả để kiểm tra chéo.

- 0, 5 \cdot 2 \cdot 1 \cdot (4 - 4 + 4) = - 1 \cdot 4 = - 4

;

- 4 \cdot 1 + 0, 5 \cdot 8 \cdot 1 - 2 \cdot 2 \cdot 1 = - 4 + 4 - 4 = - 4

.
b)

(8 - 2 + \frac{2}{3}) \cdot 12 = \frac{20}{3} \cdot 12 = 80

;

6 \cdot 16 - 3 \cdot 8 + 2 \cdot 4 = 96 - 24 + 8 = 80

Vậy hai cách cho cùng kết quả, xác nhận Cách 1 đúng.

3Cách 3. Lập bảng tích, mỗi ô là một tích riêng

Định hướng. Kẻ một hàng gồm các hạng tử của đa thức, mỗi ô ghi tích của hạng tử ấy với đơn thức nhân; số ô đúng bằng số hạng tử nên không bỏ sót, và mỗi ô chỉ phải lo một phép nhân hệ số duy nhất.

a) Đơn thức nhân

- 0, 5 x y^{2}

; ba ô ứng với

2 x y

;

- x^{2}

;

4 y

Ô 1:

- 0, 5 x y^{2} \cdot 2 x y = - x^{2} y^{3}

Ô 2:

- 0, 5 x y^{2} \cdot (- x^{2}) = 0, 5 x^{3} y^{2}

Ô 3:

- 0, 5 x y^{2} \cdot 4 y = - 2 x y^{3}

b) Đơn thức nhân

6 x y^{3}

; ba ô ứng với

x^{3} y

;

- \frac{1}{2} x^{2}

;

\frac{1}{3} x y

Ô 1:

x^{3} y \cdot 6 x y^{3} = 6 x^{4} y^{4}

Ô 2:

- \frac{1}{2} x^{2} \cdot 6 x y^{3} = - 3 x^{3} y^{3}

Ô 3:

\frac{1}{3} x y \cdot 6 x y^{3} = 2 x^{2} y^{4}

Vậy a) $(- 0, 5) x y^{2} (2 x y - x^{2} + 4 y) = - x^{2} y^{3} + 0, 5 x^{3} y^{2} - 2 x y^{3}$ ; b) $(x^{3} y - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{3} x y) \cdot 6 x y^{3} = 6 x^{4} y^{4} - 3 x^{3} y^{3} + 2 x^{2} y^{4}$ .

Nhận xét. Ở ô 2 câu a), hai dấu trừ gặp nhau cho hạng tử DƯƠNG $0, 5 x^{3} y^{2}$ — đây là ô duy nhất đổi dấu trong cả bài và cũng là chỗ hay mất điểm nhất.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhân phân phối ba lần cho mỗi câu là đủ; Cách 3 lập bảng nên hợp với câu b) vì buộc phải điền đủ ba ô, không sót hạng tử phân số nào.

Đáp số. a)

- x^{2} y^{3} + 0, 5 x^{3} y^{2} - 2 x y^{3}

; b)

6 x^{4} y^{4} - 3 x^{3} y^{3} + 2 x^{2} y^{4}

Sai lầm thường gặp. Nhân sai dấu khi đơn thức có hệ số âm, hoặc tính sai các hệ số phân số

\frac{1}{2}, \frac{1}{3}

🚀 Mở rộng. Bài cùng dạng ở mức khó hơn: nhân tiếp kết quả câu b) với

\frac{1}{2} x y

rồi cho biết bậc của đa thức thu được tăng thêm bao nhiêu đơn vị.

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · Bài 1.26★★Trang 21— Rút gọn tổng ba tích đơn thức với đa thức

Bài 1.26 (trang 21). Rút gọn biểu thức:

x (x^{2} - y) - x^{2} (x + y) + x y (x - 1)

Kiến thức cần nhớ

Muốn nhân đơn thức với đa thức, nhân đơn thức với từng hạng tử rồi cộng các tích.
Khi bỏ ngoặc có dấu trừ đứng trước, phải đổi dấu tất cả các hạng tử trong ngoặc.

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu nhận dạng: biểu thức gồm ba tích đơn thức với đa thức, và cả ba tích đều có chung nhân tử

x

ở phía trước. Chọn hướng khai triển rồi thu gọn là con đường tự nhiên, nhưng nhận ra nhân tử chung

x

cho một lời giải ngắn hơn hẳn. Bẫy của đề là dấu trừ trước tích thứ hai: cả

x^{3}

lẫn

x^{2} y

đều phải đổi dấu, và cũng chính

x^{3}

là hạng tử sẽ triệt tiêu với

x^{3}

của tích đầu.

1Cách 1. Nhân phân phối từng tích rồi thu gọn.

Định hướng. Nhân phân phối từng tích trong biểu thức rồi cộng trừ các hạng tử cùng loại.

x (x^{2} - y) = x^{3} - x y

x^{2} (x + y) = x^{3} + x^{2} y

x y (x - 1) = x^{2} y - x y

x (x^{2} - y) - x^{2} (x + y) + x y (x - 1) = (x^{3} - x y) - (x^{3} + x^{2} y) + (x^{2} y - x y)

= x^{3} - x y - x^{3} - x^{2} y + x^{2} y - x y

= - 2 x y

Vậy $x (x^{2} - y) - x^{2} (x + y) + x y (x - 1) = - 2 x y$ .

2Cách 2. Thay số kiểm tra chéo.

Định hướng. Thay $x = 2, y = 3$ vào biểu thức gốc và vào kết quả để kiểm tra chéo.

2 (4 - 3) - 4 (5) + 6 (1) = 2 - 20 + 6 = - 12

- 2 \cdot 2 \cdot 3 = - 12

Vậy hai vế cùng bằng $- 12$ , xác nhận kết quả rút gọn $- 2 x y$ đúng.

3Cách 3. Rút nhân tử chung x cho cả ba tích rồi rút gọn trong ngoặc

Định hướng. Cả ba tích đều chứa nhân tử $x$ ; đưa $x$ ra ngoài thì phần còn lại chỉ là những đa thức bậc thấp, rút gọn xong mới nhân $x$ trở lại.

x (x^{2} - y) - x^{2} (x + y) + x y (x - 1) = x [(x^{2} - y) - x (x + y) + y (x - 1)]

= x [x^{2} - y - x^{2} - x y + x y - y]

= x [(x^{2} - x^{2}) + (- x y + x y) + (- y - y)]

= x \cdot (- 2 y)

= - 2 x y

Vậy $x (x^{2} - y) - x^{2} (x + y) + x y (x - 1) = - 2 x y$ .

Nhận xét. Trong ngoặc vuông, $x^{2}$ triệt tiêu với $- x^{2}$ và $- x y$ triệt tiêu với $x y$ , chỉ còn $- y - y$ — nhờ rút $x$ ra trước mà toàn bộ phần triệt tiêu nằm gọn trên một dòng, rất dễ soát.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: rút nhân tử chung

x

ra ngoài thì phần trong ngoặc rút gọn gần hết chỉ trong một dòng, nhanh hơn Cách 1 phải khai triển sáu hạng tử.

Đáp số.

- 2 x y

Sai lầm thường gặp. Quên đổi dấu khi trừ ngoặc thứ hai

- x^{2} (x + y)

, dẫn tới sai dấu của hạng tử

x^{2} y

🚀 Mở rộng. Bài cùng dạng ở mức khó hơn: giữ nguyên hai tích đầu, đổi tích cuối thành

x y (x + 1)

rồi rút gọn lại — kết quả có còn là một đơn thức nữa không?

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · Bài 1.27★★Trang 21— Nhân đa thức với đa thức

Bài 1.27 (trang 21). Làm tính nhân: a)

(x^{2} - x y + 1) (x y + 3)

; b)

(x^{2} y^{2} - \frac{1}{2} x y + 2) (x - 2 y)

Kiến thức cần nhớ

Muốn nhân đa thức với đa thức, nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích.

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu nhận dạng: cả hai câu đều là đa thức ba hạng tử nhân đa thức hai hạng tử, nên trước khi thu gọn sẽ có sáu tích con. Chọn hướng nhân phân phối đủ sáu tích rồi gom, và nên nhân theo thứ tự cố định để không sót. Bẫy của đề là câu a): hai hạng tử

3 x^{2}

và

- x^{2} y^{2}

trông giống nhau vì cùng chứa

x^{2}

nhưng phần biến khác hẳn, tuyệt đối không gom chung.

1Cách 1. Nhân phân phối từng hạng tử.

Định hướng. Nhân từng hạng tử của đa thức thứ nhất với từng hạng tử của đa thức thứ hai rồi cộng các tích.

(x^{2} - x y + 1) (x y + 3) = x^{2} \cdot x y + x^{2} \cdot 3 - x y \cdot x y - x y \cdot 3 + 1 \cdot x y + 1 \cdot 3

= x^{3} y + 3 x^{2} - x^{2} y^{2} - 3 x y + x y + 3

= x^{3} y + 3 x^{2} - x^{2} y^{2} - 2 x y + 3

.
b)

(x^{2} y^{2} - \frac{1}{2} x y + 2) (x - 2 y) = x^{2} y^{2} \cdot x - x^{2} y^{2} \cdot 2 y - \frac{1}{2} x y \cdot x + \frac{1}{2} x y \cdot 2 y + 2 \cdot x - 2 \cdot 2 y

= x^{3} y^{2} - 2 x^{2} y^{3} - \frac{1}{2} x^{2} y + x y^{2} + 2 x - 4 y

Vậy a) kết quả là $x^{3} y + 3 x^{2} - x^{2} y^{2} - 2 x y + 3$ ; b) kết quả là $x^{3} y^{2} - 2 x^{2} y^{3} - \frac{1}{2} x^{2} y + x y^{2} + 2 x - 4 y$ .

2Cách 2. Đặt tính cột dọc.

Định hướng. Nhân cả đa thức thứ nhất với từng hạng tử của đa thức thứ hai theo cột dọc rồi cộng lại.

(x^{2} - x y + 1) \cdot 3 = 3 x^{2} - 3 x y + 3

(x^{2} - x y + 1) \cdot x y = x^{3} y - x^{2} y^{2} + x y

x^{3} y - x^{2} y^{2} + x y + 3 x^{2} - 3 x y + 3 = x^{3} y + 3 x^{2} - x^{2} y^{2} - 2 x y + 3

.
b)

(x^{2} y^{2} - \frac{1}{2} x y + 2) \cdot x = x^{3} y^{2} - \frac{1}{2} x^{2} y + 2 x

(x^{2} y^{2} - \frac{1}{2} x y + 2) \cdot (- 2 y) = - 2 x^{2} y^{3} + x y^{2} - 4 y

x^{3} y^{2} - \frac{1}{2} x^{2} y + 2 x - 2 x^{2} y^{3} + x y^{2} - 4 y = x^{3} y^{2} - 2 x^{2} y^{3} - \frac{1}{2} x^{2} y + x y^{2} + 2 x - 4 y

Vậy hai kết quả trùng khớp với Cách 1.

3Cách 3. Kiểm chứng kết quả bằng bộ giá trị cụ thể của x, y

Định hướng. Chọn một bộ số rồi tính giá trị của tích ban đầu và của đa thức kết quả; nếu có sót một tích con thì hai giá trị lệch nhau ngay.

a) Tại

x = 1

;

y = 1

(1 - 1 + 1) (1 + 3) = 1 \cdot 4 = 4

x^{3} y + 3 x^{2} - x^{2} y^{2} - 2 x y + 3 = 1 + 3 - 1 - 2 + 3 = 4

a) Tại

x = 2

;

y = 1

(4 - 2 + 1) (2 + 3) = 3 \cdot 5 = 15

8 + 12 - 4 - 4 + 3 = 15

b) Tại

x = 1

;

y = 1

(1 - \frac{1}{2} + 2) (1 - 2) = \frac{5}{2} \cdot (- 1) = - \frac{5}{2}

1 - 2 - \frac{1}{2} + 1 + 2 - 4 = - \frac{5}{2}

Vậy a) $(x^{2} - x y + 1) (x y + 3) = x^{3} y + 3 x^{2} - x^{2} y^{2} - 2 x y + 3$ ; b) $(x^{2} y^{2} - \frac{1}{2} x y + 2) (x - 2 y) = x^{3} y^{2} - 2 x^{2} y^{3} - \frac{1}{2} x^{2} y + x y^{2} + 2 x - 4 y$ .

Nhận xét. Bộ $x = 2$ , $y = 1$ ở câu a) là bộ đáng giá: nó phân biệt được $3 x^{2}$ với $- x^{2} y^{2}$ , trong khi bộ toàn số $1$ thì hai hạng tử ấy cho cùng độ lớn nên lỗi gom nhầm vẫn lọt.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: đặt tính cột dọc thì hạng tử đồng dạng tự nằm thẳng cột, an toàn hơn hẳn khi phải xử lí sáu tích con; Cách 3 dùng để soát lại kết quả.

Đáp số. a)

x^{3} y + 3 x^{2} - x^{2} y^{2} - 2 x y + 3

; b)

x^{3} y^{2} - 2 x^{2} y^{3} - \frac{1}{2} x^{2} y + x y^{2} + 2 x - 4 y

Sai lầm thường gặp. Bỏ sót một cặp tích khi nhân đủ ba hạng tử với hai hạng tử, hoặc cộng nhầm hai hạng tử đồng dạng

- 3 x y

và

x y

🚀 Mở rộng. Tổng quát hoá: tích của một đa thức

m

hạng tử với một đa thức

n

hạng tử luôn có đúng

m \cdot n

tích con trước khi thu gọn — đếm đủ

6

tích con là điều kiện cần để chắc chắn không sót.

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · Bài 1.28★★★Trang 21— Rút gọn chứng minh biểu thức không phụ thuộc biến

Bài 1.28 (trang 21). Rút gọn biểu thức sau để thấy rằng giá trị của nó không phụ thuộc vào giá trị của biến:

(x - 5) (2 x + 3) - 2 x (x - 3) + x + 7

Kiến thức cần nhớ

Muốn nhân đa thức với đa thức, nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích.
Biểu thức không phụ thuộc biến khi sau khi rút gọn chỉ còn lại một hằng số.

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu nhận dạng: đề nói thẳng rằng giá trị không phụ thuộc vào biến, tức là sau khi rút gọn mọi hạng tử chứa

x

phải biến mất và chỉ còn một hằng số. Chọn hướng khai triển rồi thu gọn, nhưng biết trước kết quả phải là hằng số nên chỉ cần tập trung kiểm tra hệ số của

x^{2}

và của

x

có về

0

hay không. Bẫy của đề là dấu trừ trước

2 x (x - 3)

: nếu quên đổi dấu hạng tử

- 3 x

thì hệ số của

x

không triệt tiêu và kết luận của bài sụp đổ.

1Cách 1. Nhân phân phối rồi rút gọn.

Định hướng. Khai triển từng tích rồi cộng trừ các hạng tử để kiểm tra biểu thức có còn chứa $x$ hay không.

(x - 5) (2 x + 3) = 2 x^{2} + 3 x - 10 x - 15 = 2 x^{2} - 7 x - 15

2 x (x - 3) = 2 x^{2} - 6 x

(x - 5) (2 x + 3) - 2 x (x - 3) + x + 7 = (2 x^{2} - 7 x - 15) - (2 x^{2} - 6 x) + x + 7

= 2 x^{2} - 7 x - 15 - 2 x^{2} + 6 x + x + 7

= - 8

Vậy biểu thức rút gọn bằng $- 8$ , một hằng số không chứa $x$ , nên giá trị của nó không phụ thuộc vào giá trị của biến.

2Cách 2. Thay số kiểm tra chéo.

Định hướng. Thay hai giá trị khác nhau của $x$ để kiểm tra chéo xem biểu thức có luôn ra cùng một kết quả hay không.

Với

x = 0

(- 5) (3) - 0 + 0 + 7 = - 15 + 7 = - 8

.
Với

x = 4

(- 1) (11) - 8 (1) + 4 + 7 = - 11 - 8 + 11 = - 8

Vậy cả hai giá trị đều cho kết quả $- 8$ , khớp với Cách 1.

Nhận xét. Thay số chỉ minh hoạ vài trường hợp, kết luận đúng với mọi $x$ dựa vào phép rút gọn ở Cách 1.

3Cách 3. Chỉ tính hệ số của x mũ hai và của x để chỉ ra chúng đều bằng không

Định hướng. Biểu thức không phụ thuộc vào $x$ khi và chỉ khi mọi hệ số của các hạng tử chứa $x$ đều bằng $0$ ; vậy chỉ cần tính riêng ba loại hệ số của $x^{2}$ , của $x$ và hạng tử tự do, không cần khai triển đầy đủ.

Hệ số của

x^{2}

: từ

(x - 5) (2 x + 3)

được

2

; từ

- 2 x (x - 3)

được

- 2

Tổng:

2 - 2 = 0

Hệ số của

x

: từ

(x - 5) (2 x + 3)

được

3 - 10 = - 7

; từ

- 2 x (x - 3)

được

6

; từ hạng tử

x

được

1

Tổng:

- 7 + 6 + 1 = 0

Hạng tử tự do: từ

(x - 5) (2 x + 3)

được

- 15

; từ hạng tử

7

được

7

Tổng:

- 15 + 7 = - 8

Vậy $(x - 5) (2 x + 3) - 2 x (x - 3) + x + 7 = - 8$ với mọi giá trị của biến $x$ .

Nhận xét. Cách tính theo từng loại hệ số cho thấy rõ vai trò của hạng tử $+ x$ trong đề: thiếu nó thì hệ số của $x$ chỉ còn $- 1$ và biểu thức sẽ phụ thuộc vào $x$ ngay.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: chỉ tính riêng hệ số của

x^{2}

và của

x

rồi chỉ ra chúng bằng

0

, nhanh hơn khai triển đủ và lại nhắm đúng vào điều đề yêu cầu chứng minh.

Đáp số.

- 8

với mọi giá trị của biến

x

Sai lầm thường gặp. Quên đổi dấu khi trừ ngoặc

- 2 x (x - 3)

nên kết quả còn sót hạng tử chứa

x

hoặc

x^{2}

🚀 Mở rộng. Bài cùng dạng ở mức khó hơn: tìm số

a

để biểu thức

(x - 5) (2 x + 3) - 2 x (x - 3) + a x + 7

không phụ thuộc vào

x

, và khi đó giá trị không đổi ấy bằng bao nhiêu.

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · Bài 1.29★★★Trang 21— Chứng minh đẳng thức bằng phép nhân đa thức

Bài 1.29 (trang 21). Chứng minh đẳng thức sau:

(2 x + y) (2 x^{2} + x y - y^{2}) = (2 x - y) (2 x^{2} + 3 x y + y^{2})

Kiến thức cần nhớ

Muốn nhân đa thức với đa thức, nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích.
Chứng minh đẳng thức bằng cách khai triển riêng hai vế rồi so sánh kết quả.

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu nhận dạng: đề đòi CHỨNG MINH một đẳng thức chứ không phải tính, nên phải làm việc với mọi

x

y

chứ không được thử vài bộ số rồi kết luận. Chọn hướng khai triển riêng hai vế rồi so sánh, vì cả hai vế đều là tích của đa thức hai hạng tử với đa thức ba hạng tử. Bẫy của đề là vế phải có

2 x - y

với dấu trừ: mọi tích con sinh từ

- y

đều đổi dấu, quên một tích là hai vế không khớp dù đẳng thức vốn đúng.

1Cách 1. Khai triển riêng hai vế rồi so sánh.

Định hướng. Khai triển vế trái và vế phải một cách độc lập rồi so sánh hai kết quả.

(2 x + y) (2 x^{2} + x y - y^{2}) = 2 x \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot x y + 2 x \cdot (- y^{2}) + y \cdot 2 x^{2} + y \cdot x y + y \cdot (- y^{2})

= 4 x^{3} + 2 x^{2} y - 2 x y^{2} + 2 x^{2} y + x y^{2} - y^{3}

= 4 x^{3} + 4 x^{2} y - x y^{2} - y^{3}

(2 x - y) (2 x^{2} + 3 x y + y^{2}) = 2 x \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 3 x y + 2 x \cdot y^{2} - y \cdot 2 x^{2} - y \cdot 3 x y - y \cdot y^{2}

= 4 x^{3} + 6 x^{2} y + 2 x y^{2} - 2 x^{2} y - 3 x y^{2} - y^{3}

= 4 x^{3} + 4 x^{2} y - x y^{2} - y^{3}

Vậy hai vế cùng bằng $4 x^{3} + 4 x^{2} y - x y^{2} - y^{3}$ , nên đẳng thức đã cho được chứng minh đúng với mọi $x, y$ .

2Cách 2. Thay số kiểm tra chéo.

Định hướng. Thay vài cặp giá trị của $x, y$ vào cả hai vế để kiểm tra chéo đẳng thức.

Với

x = 1, y = 2

(4) (2 + 2 - 4) = 4 \cdot 0 = 0

;

(0) (2 + 6 + 4) = 0 \cdot 12 = 0

.
Với

x = 2, y = 1

(5) (8 + 2 - 1) = 5 \cdot 9 = 45

;

(3) (8 + 6 + 1) = 3 \cdot 15 = 45

Vậy hai vế cùng giá trị ở cả hai phép thử, phù hợp với kết quả chứng minh ở Cách 1.

Nhận xét. Thay số chỉ minh hoạ một vài trường hợp, phép chứng minh đúng với mọi $x, y$ vẫn dựa vào khai triển ở Cách 1.

3Cách 3. Xét hiệu hai vế và rút gọn về không

Định hướng. Hai vế bằng nhau khi và chỉ khi hiệu của chúng bằng $0$ với mọi $x$ , $y$ ; lập hiệu rồi khai triển, các hạng tử sẽ triệt tiêu từng đôi ngay trong lúc rút gọn.

Xét

H = (2 x + y) (2 x^{2} + x y - y^{2}) - (2 x - y) (2 x^{2} + 3 x y + y^{2})

(2 x + y) (2 x^{2} + x y - y^{2}) = 4 x^{3} + 2 x^{2} y - 2 x y^{2} + 2 x^{2} y + x y^{2} - y^{3}

= 4 x^{3} + 4 x^{2} y - x y^{2} - y^{3}

(2 x - y) (2 x^{2} + 3 x y + y^{2}) = 4 x^{3} + 6 x^{2} y + 2 x y^{2} - 2 x^{2} y - 3 x y^{2} - y^{3}

= 4 x^{3} + 4 x^{2} y - x y^{2} - y^{3}

H = (4 x^{3} + 4 x^{2} y - x y^{2} - y^{3}) - (4 x^{3} + 4 x^{2} y - x y^{2} - y^{3}) = 0

Vậy hiệu hai vế bằng $0$ với mọi $x$ , $y$ , nên $(2 x + y) (2 x^{2} + x y - y^{2}) = (2 x - y) (2 x^{2} + 3 x y + y^{2})$ ; giá trị chung của hai vế là $4 x^{3} + 4 x^{2} y - x y^{2} - y^{3}$ .

Nhận xét. Xét hiệu là cách trình bày chuẩn cho mọi bài chứng minh đẳng thức: kết luận $H = 0$ đúng với MỌI $x$ , $y$ nên mạnh hơn hẳn việc thử một vài bộ số cụ thể.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: khai triển hai vế rồi so từng hạng tử, đây là lời chứng minh đầy đủ và được trọn điểm; Cách 3 cũng là chứng minh hợp lệ và ngắn hơn một chút vì các hạng tử tự triệt tiêu ngay.

Đáp số. Hai vế đều bằng

4 x^{3} + 4 x^{2} y - x y^{2} - y^{3}

, đẳng thức đúng với mọi

x, y

Sai lầm thường gặp. Nhân sai dấu khi khai triển vế phải chứa

(2 x - y)

, làm hai vế không khớp dù đẳng thức đúng.

🚀 Mở rộng. Tổng quát hoá: cả hai vế đều bằng

(2 x + y) (2 x - y) (x + y)

nếu phân tích tiếp; đây là lí do hai tích trông khác nhau lại luôn cho cùng một kết quả.

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

‹ Bài trướcLuyện tập chung Bài tiếp theo ›Bài 5. Phép chia đa thức cho đơn thức

📚 Cùng chương: Chương I. Đa thức

📘 Sách & 🎓 khóa học cùng chủ đề

Học sâu hơn về Đa thức, hằng đẳng thức, phân thức — đọc thử miễn phí trước khi mua.

📘 Sách

Bài 4. Phép nhân đa thức

🎯 Học tiếp

📚 Cùng chương: Chương I. Đa thức

📘 Sách & 🎓 khóa học cùng chủ đề

Toán 8 Luxury – Trọn bộ

Tuyển tập 100 đề giữa kì I Toán 8

Đề HSG Toán 8 – Lời giải chi tiết

Toán 8 – Bản Luxury

Bồi dưỡng HSG THCS