Chương I. Đa thức

Bài 4. Phép nhân đa thức

SGK Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 1 · 15 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Bài 1 · HĐ1★Trang 20— Nhân đơn thức với đa thức một biến

HĐ1 (trang 20). Hãy nhớ lại quy tắc nhân đơn thức với đa thức trong trường hợp chúng có một biến bằng cách thực hiện phép nhân

(5 x^{2}) \cdot (3 x^{2} - x - 4)

Kiến thức cần nhớ

Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau.
Khi nhân hai luỹ thừa cùng cơ số ta cộng số mũ: $x^{m} \cdot x^{n} = x^{m + n}$ .

1Cách 1. Nhân phân phối từng hạng tử.

Định hướng. Nhân đơn thức $5 x^{2}$ với từng hạng tử của đa thức $3 x^{2} - x - 4$ rồi cộng các tích lại.

5 x^{2} \cdot (3 x^{2} - x - 4) = 5 x^{2} \cdot 3 x^{2} + 5 x^{2} \cdot (- x) + 5 x^{2} \cdot (- 4)

= 15 x^{4} - 5 x^{3} - 20 x^{2}

Vậy $5 x^{2} \cdot (3 x^{2} - x - 4) = 15 x^{4} - 5 x^{3} - 20 x^{2}$ .

2Cách 2. Thay số kiểm tra chéo.

Định hướng. Thay một giá trị cụ thể của $x$ vào cả hai vế để kiểm tra chéo kết quả đã rút gọn.

Với

x = 1

5 \cdot 1^{2} \cdot (3 \cdot 1^{2} - 1 - 4) = 5 \cdot (- 2) = - 10

15 \cdot 1^{4} - 5 \cdot 1^{3} - 20 \cdot 1^{2} = 15 - 5 - 20 = - 10

Vậy hai vế cùng bằng $- 10$ khi $x = 1$ , khớp với kết quả $15 x^{4} - 5 x^{3} - 20 x^{2}$ .

Nhận xét. Thay số chỉ kiểm tra được một trường hợp riêng, kết quả chắc chắn với mọi $x$ vẫn dựa vào Cách 1.

Đáp số.

15 x^{4} - 5 x^{3} - 20 x^{2}

Sai lầm thường gặp. Nhân sót hạng tử tự do

- 4

, hoặc quên đổi dấu khi nhân với hạng tử âm.

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 20

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · HĐ2★Trang 20— Nhân đơn thức với đa thức hai biến

HĐ2 (trang 20). Bằng cách tương tự, hãy làm phép nhân

(5 x^{2} y) \cdot (3 x^{2} y - x y - 4 y)

Kiến thức cần nhớ

Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau.
Với hai biến, nhân riêng phần biến $x$ và phần biến $y$ rồi cộng số mũ cùng cơ số.

1Cách 1. Nhân phân phối từng hạng tử.

Định hướng. Nhân đơn thức $5 x^{2} y$ với từng hạng tử của đa thức $3 x^{2} y - x y - 4 y$ rồi cộng các tích lại.

5 x^{2} y \cdot (3 x^{2} y - x y - 4 y) = 5 x^{2} y \cdot 3 x^{2} y + 5 x^{2} y \cdot (- x y) + 5 x^{2} y \cdot (- 4 y)

= 15 x^{4} y^{2} - 5 x^{3} y^{2} - 20 x^{2} y^{2}

Vậy $5 x^{2} y \cdot (3 x^{2} y - x y - 4 y) = 15 x^{4} y^{2} - 5 x^{3} y^{2} - 20 x^{2} y^{2}$ .

2Cách 2. Thay số kiểm tra chéo.

Định hướng. Thay giá trị cụ thể của $x, y$ vào cả hai vế để kiểm tra chéo.

Với

x = 1, y = 1

5 \cdot 1 \cdot (3 - 1 - 4) = 5 \cdot (- 2) = - 10

15 - 5 - 20 = - 10

Vậy hai vế cùng bằng $- 10$ , khớp với kết quả $15 x^{4} y^{2} - 5 x^{3} y^{2} - 20 x^{2} y^{2}$ .

Nhận xét. Thay số chỉ kiểm tra được một trường hợp riêng, phép khai triển ở Cách 1 mới đúng với mọi $x, y$ .

Đáp số.

15 x^{4} y^{2} - 5 x^{3} y^{2} - 20 x^{2} y^{2}

Sai lầm thường gặp. Nhầm số mũ khi nhân

x^{2} y \cdot x y

(cộng sai số mũ của

y

) hoặc bỏ sót dấu trừ.

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 20

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Luyện tập 1★Trang 19— Nhân hai đơn thức

Luyện tập 1 (trang 19). Nhân hai đơn thức: a)

3 x^{2}

và

2 x^{3}

; b)

- x y

và

4 z^{3}

; c)

6 x y^{3}

và

- 0, 5 x^{2}

Kiến thức cần nhớ

Muốn nhân hai đơn thức, ta nhân hai hệ số với nhau và nhân hai phần biến với nhau.

1Cách 1. Nhân hệ số với hệ số, phần biến với phần biến.

Định hướng. Áp dụng quy tắc nhân hai đơn thức cho từng cặp.

3 x^{2} \cdot 2 x^{3} = (3 \cdot 2) (x^{2} \cdot x^{3}) = 6 x^{5}

.
b)

(- x y) \cdot 4 z^{3} = (- 1 \cdot 4) (x y \cdot z^{3}) = - 4 x y z^{3}

.
c)

6 x y^{3} \cdot (- 0, 5 x^{2}) = (6 \cdot (- 0, 5)) (x y^{3} \cdot x^{2}) = - 3 x^{3} y^{3}

Vậy $3 x^{2} \cdot 2 x^{3} = 6 x^{5}$ ; $(- x y) \cdot 4 z^{3} = - 4 x y z^{3}$ ; $6 x y^{3} \cdot (- 0, 5 x^{2}) = - 3 x^{3} y^{3}$ .

2Cách 2. Thay số kiểm tra chéo.

Định hướng. Thay $x = y = z = 2$ vào từng tích để kiểm tra chéo cả hệ số lẫn số mũ.

3 \cdot 2^{2} \cdot 2 \cdot 2^{3} = 12 \cdot 16 = 192 = 6 \cdot 2^{5}

.
b)

(- 2 \cdot 2) \cdot 4 \cdot 2^{3} = - 4 \cdot 32 = - 128 = - 4 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2^{3}

.
c)

6 \cdot 2 \cdot 2^{3} \cdot (- 0, 5 \cdot 2^{2}) = 96 \cdot (- 2) = - 192 = - 3 \cdot 2^{3} \cdot 2^{3}

Vậy cả ba kết quả ở Cách 1 đều khớp khi thay $x = y = z = 2$ .

Nhận xét. Chọn giá trị khác $1$ (ở đây là $2$ ) để kiểm tra chéo được cả phần số mũ, không chỉ phần hệ số.

Đáp số. a)

6 x^{5}

; b)

- 4 x y z^{3}

; c)

- 3 x^{3} y^{3}

Sai lầm thường gặp. Quên cộng số mũ khi nhân hai luỹ thừa cùng biến, hoặc tính sai dấu khi có hệ số âm.

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 19

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Luyện tập 2★Trang 20— Nhân đơn thức với đa thức

Luyện tập 2 (trang 20). Làm tính nhân: a)

(x y) \cdot (x^{2} + x y - y^{2})

; b)

(x y + y z + z x) \cdot (- x y z)

Kiến thức cần nhớ

Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau.

1Cách 1. Nhân phân phối từng hạng tử.

Định hướng. Nhân đơn thức đã cho với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích.

(x y) (x^{2} + x y - y^{2}) = x y \cdot x^{2} + x y \cdot x y + x y \cdot (- y^{2}) = x^{3} y + x^{2} y^{2} - x y^{3}

.
b)

(x y + y z + z x) (- x y z) = x y \cdot (- x y z) + y z \cdot (- x y z) + z x \cdot (- x y z) = - x^{2} y^{2} z - x y^{2} z^{2} - x^{2} y z^{2}

Vậy $(x y) (x^{2} + x y - y^{2}) = x^{3} y + x^{2} y^{2} - x y^{3}$ và $(x y + y z + z x) (- x y z) = - x^{2} y^{2} z - x y^{2} z^{2} - x^{2} y z^{2}$ .

2Cách 2. Thay số kiểm tra chéo.

Định hướng. Thay $x = 1, y = 2, z = 3$ vào cả biểu thức gốc và kết quả để kiểm tra chéo.

x y = 2

;

x^{2} + x y - y^{2} = 1 + 2 - 4 = - 1

; tích

= - 2

x^{3} y + x^{2} y^{2} - x y^{3} = 2 + 4 - 8 = - 2

.
b)

x y + y z + z x = 2 + 6 + 3 = 11

;

- x y z = - 6

; tích

= - 66

- x^{2} y^{2} z - x y^{2} z^{2} - x^{2} y z^{2} = - 12 - 36 - 18 = - 66

Vậy hai cách cho cùng kết quả, xác nhận Cách 1 đúng.

Đáp số. a)

x^{3} y + x^{2} y^{2} - x y^{3}

; b)

- x^{2} y^{2} z - x y^{2} z^{2} - x^{2} y z^{2}

Sai lầm thường gặp. Bỏ sót hạng tử

z x \cdot (- x y z)

, hoặc cộng sai số mũ khi nhân hai đơn thức cùng chứa biến

x, y

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 20

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Vận dụng★★Trang 20— Rút gọn biểu thức chứa tích đơn thức với đa thức

Vận dụng (trang 20). Rút gọn biểu thức:

x^{3} (x + y) - x (x^{3} + y^{3})

Kiến thức cần nhớ

Muốn nhân đơn thức với đa thức, nhân đơn thức với từng hạng tử rồi cộng các tích.
Khi rút gọn hiệu hai tích, giữ đúng dấu của từng hạng tử khi bỏ ngoặc.

1Cách 1. Nhân phân phối rồi thu gọn.

Định hướng. Nhân phân phối từng tích rồi cộng trừ các hạng tử cùng loại.

x^{3} (x + y) - x (x^{3} + y^{3}) = x^{3} \cdot x + x^{3} \cdot y - x \cdot x^{3} - x \cdot y^{3}

= x^{4} + x^{3} y - x^{4} - x y^{3}

= x^{3} y - x y^{3}

Vậy $x^{3} (x + y) - x (x^{3} + y^{3}) = x^{3} y - x y^{3}$ .

2Cách 2. Thay số kiểm tra chéo.

Định hướng. Thay $x = 2, y = 3$ vào biểu thức gốc và vào kết quả để kiểm tra chéo.

x^{3} (x + y) = 8 \cdot 5 = 40

;

x (x^{3} + y^{3}) = 2 \cdot 35 = 70

; hiệu

= 40 - 70 = - 30

x^{3} y - x y^{3} = 8 \cdot 3 - 2 \cdot 27 = 24 - 54 = - 30

Vậy hai vế cùng bằng $- 30$ , xác nhận kết quả rút gọn đúng.

Đáp số.

x^{3} y - x y^{3}

Sai lầm thường gặp. Quên đổi dấu khi trừ

x (x^{3} + y^{3})

, dẫn tới sai dấu của hạng tử

x y^{3}

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 20

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · HĐ3★★Trang 20— Nhân đa thức với đa thức một biến

HĐ3 (trang 20). Hãy nhớ lại quy tắc nhân hai đa thức một biến bằng cách thực hiện phép nhân

(2 x + 3) \cdot (x^{2} - 5 x + 4)

Kiến thức cần nhớ

Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.

1Cách 1. Nhân phân phối từng hạng tử.

Định hướng. Nhân từng hạng tử của $2 x + 3$ với từng hạng tử của $x^{2} - 5 x + 4$ rồi cộng các tích.

(2 x + 3) (x^{2} - 5 x + 4) = 2 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot (- 5 x) + 2 x \cdot 4 + 3 \cdot x^{2} + 3 \cdot (- 5 x) + 3 \cdot 4

= 2 x^{3} - 10 x^{2} + 8 x + 3 x^{2} - 15 x + 12

= 2 x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 12

Vậy $(2 x + 3) (x^{2} - 5 x + 4) = 2 x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 12$ .

2Cách 2. Đặt tính cột dọc.

Định hướng. Nhân cả đa thức $x^{2} - 5 x + 4$ với từng hạng tử của $2 x + 3$ theo cột dọc rồi cộng các hạng tử cùng bậc.

(x^{2} - 5 x + 4) \cdot 3 = 3 x^{2} - 15 x + 12

(x^{2} - 5 x + 4) \cdot 2 x = 2 x^{3} - 10 x^{2} + 8 x

2 x^{3} - 10 x^{2} + 8 x + 3 x^{2} - 15 x + 12 = 2 x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 12

Vậy $(2 x + 3) (x^{2} - 5 x + 4) = 2 x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 12$ .

Đáp số.

2 x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 12

Sai lầm thường gặp. Cộng sai các hạng tử cùng bậc (nhầm

- 10 x^{2}

với

- 15 x

), hoặc quên nhân đủ với hằng số

4

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 20

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · HĐ4★★Trang 20— Nhân đa thức với đa thức hai biến

HĐ4 (trang 20). Bằng cách tương tự, hãy thử làm phép nhân

(2 x + 3 y) \cdot (x^{2} - 5 x y + 4 y^{2})

Kiến thức cần nhớ

Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.

1Cách 1. Nhân phân phối từng hạng tử.

Định hướng. Nhân từng hạng tử của $2 x + 3 y$ với từng hạng tử của $x^{2} - 5 x y + 4 y^{2}$ rồi cộng các tích.

(2 x + 3 y) (x^{2} - 5 x y + 4 y^{2}) = 2 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot (- 5 x y) + 2 x \cdot 4 y^{2} + 3 y \cdot x^{2} + 3 y \cdot (- 5 x y) + 3 y \cdot 4 y^{2}

= 2 x^{3} - 10 x^{2} y + 8 x y^{2} + 3 x^{2} y - 15 x y^{2} + 12 y^{3}

= 2 x^{3} - 7 x^{2} y - 7 x y^{2} + 12 y^{3}

Vậy $(2 x + 3 y) (x^{2} - 5 x y + 4 y^{2}) = 2 x^{3} - 7 x^{2} y - 7 x y^{2} + 12 y^{3}$ .

2Cách 2. Đặt tính cột dọc.

Định hướng. Nhân cả đa thức $x^{2} - 5 x y + 4 y^{2}$ với từng hạng tử của $2 x + 3 y$ theo cột dọc rồi cộng các hạng tử cùng bậc.

(x^{2} - 5 x y + 4 y^{2}) \cdot 3 y = 3 x^{2} y - 15 x y^{2} + 12 y^{3}

(x^{2} - 5 x y + 4 y^{2}) \cdot 2 x = 2 x^{3} - 10 x^{2} y + 8 x y^{2}

2 x^{3} - 10 x^{2} y + 8 x y^{2} + 3 x^{2} y - 15 x y^{2} + 12 y^{3} = 2 x^{3} - 7 x^{2} y - 7 x y^{2} + 12 y^{3}

Vậy $(2 x + 3 y) (x^{2} - 5 x y + 4 y^{2}) = 2 x^{3} - 7 x^{2} y - 7 x y^{2} + 12 y^{3}$ .

Đáp số.

2 x^{3} - 7 x^{2} y - 7 x y^{2} + 12 y^{3}

Sai lầm thường gặp. Nhầm lẫn giữa hai hạng tử đồng dạng

x^{2} y

và

x y^{2}

khi cộng.

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 20

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Luyện tập 3★★Trang 21— Nhân đa thức, nhận dạng hằng đẳng thức

Luyện tập 3 (trang 21). Thực hiện phép nhân: a)

(2 x + y) (4 x^{2} - 2 x y + y^{2})

; b)

(x^{2} y^{2} - 3) (3 + x^{2} y^{2})

Kiến thức cần nhớ

Muốn nhân đa thức với đa thức, nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích.
Có thể nhận dạng các tích đặc biệt để tính nhanh hơn.

1Cách 1. Nhân phân phối từng hạng tử.

Định hướng. Nhân phân phối đầy đủ từng cặp hạng tử rồi cộng gộp các hạng tử cùng loại.

(2 x + y) (4 x^{2} - 2 x y + y^{2}) = 2 x \cdot 4 x^{2} + 2 x \cdot (- 2 x y) + 2 x \cdot y^{2} + y \cdot 4 x^{2} + y \cdot (- 2 x y) + y \cdot y^{2}

= 8 x^{3} - 4 x^{2} y + 2 x y^{2} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2} + y^{3}

= 8 x^{3} + y^{3}

.
b)

(x^{2} y^{2} - 3) (3 + x^{2} y^{2}) = x^{2} y^{2} \cdot 3 + x^{2} y^{2} \cdot x^{2} y^{2} - 3 \cdot 3 - 3 \cdot x^{2} y^{2}

= 3 x^{2} y^{2} + x^{4} y^{4} - 9 - 3 x^{2} y^{2}

= x^{4} y^{4} - 9

Vậy $(2 x + y) (4 x^{2} - 2 x y + y^{2}) = 8 x^{3} + y^{3}$ và $(x^{2} y^{2} - 3) (3 + x^{2} y^{2}) = x^{4} y^{4} - 9$ .

2Cách 2. Nhận dạng hằng đẳng thức.

Định hướng. Nhận ra dạng đặc biệt $(a + b) (a^{2} - ab + b^{2}) = a^{3} + b^{3}$ và $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$ để tính nhanh không cần khai triển đủ.

a) Đặt

a = 2 x, b = y

4 x^{2} - 2 x y + y^{2} = a^{2} - ab + b^{2}

, suy ra tích

= a^{3} + b^{3} = (2 x)^{3} + y^{3} = 8 x^{3} + y^{3}

.
b) Đặt

a = x^{2} y^{2}

(a - 3) (3 + a) = (a - 3) (a + 3) = a^{2} - 9 = (x^{2} y^{2})^{2} - 9 = x^{4} y^{4} - 9

Vậy hai kết quả trùng với Cách 1: $8 x^{3} + y^{3}$ và $x^{4} y^{4} - 9$ .

Đáp số. a)

8 x^{3} + y^{3}

; b)

x^{4} y^{4} - 9

Sai lầm thường gặp. Không nhận ra dạng lập phương của một tổng hoặc hiệu hai bình phương nên khai triển thiếu hoặc thừa hạng tử.

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 21

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Thử thách nhỏ★★★Trang 21— Rút gọn và chứng minh chia hết dùng phép nhân đa thức

Thử thách nhỏ (trang 21). Xét biểu thức đại số với hai biến

k

và

m

P = (2 k - 3) (3 m - 2) - (3 k - 2) (2 m - 3)

. a) Rút gọn biểu thức

P

. b) Chứng minh rằng tại mọi giá trị nguyên của

k

và

m

, giá trị của biểu thức

P

luôn là một số nguyên chia hết cho 5.

Kiến thức cần nhớ

Muốn nhân đa thức với đa thức, nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích.
Một số chia hết cho 5 khi viết được dưới dạng $5 n$ với $n$ là số nguyên.

1Cách 1. Nhân phân phối rồi rút gọn.

Định hướng. Khai triển từng tích rồi trừ hai kết quả để rút gọn $P$ về dạng $5 n$ , từ đó suy ra tính chia hết cho 5.

(2 k - 3) (3 m - 2) = 6 k m - 4 k - 9 m + 6

(3 k - 2) (2 m - 3) = 6 k m - 9 k - 4 m + 6

P = (6 k m - 4 k - 9 m + 6) - (6 k m - 9 k - 4 m + 6) = 5 k - 5 m = 5 (k - m)

Vậy $P = 5 (k - m)$ ; vì $k, m$ là số nguyên nên $k - m$ cũng là số nguyên, đặt $n = k - m$ thì $P = 5 n$ chia hết cho 5 với mọi $k, m$ nguyên.

2Cách 2. Thay số kiểm tra chéo.

Định hướng. Thay vài cặp giá trị nguyên của $k, m$ vào $P$ để kiểm tra chéo công thức $P = 5 (k - m)$ .

Với

k = 2, m = 1

P = (1) (1) - (4) (- 1) = 1 + 4 = 5 = 5 (2 - 1)

.
Với

k = 0, m = 3

P = (- 3) (7) - (- 2) (3) = - 21 + 6 = - 15 = 5 (0 - 3)

Vậy cả hai phép thử đều cho $P$ chia hết cho 5, khớp với công thức tổng quát $P = 5 (k - m)$ ở Cách 1.

Nhận xét. Thay số chỉ minh hoạ một vài trường hợp, phép chứng minh đúng với mọi $k, m$ nguyên vẫn dựa vào Cách 1.

Đáp số.

P = 5 (k - m)

;

P

luôn chia hết cho 5 với mọi

k, m

nguyên.

Sai lầm thường gặp. Nhân sai dấu khi khai triển

(3 k - 2) (2 m - 3)

, làm rút gọn

P

sai và mất kết luận chia hết cho 5.

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 21

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Bài 1.24★Trang 21— Nhân hai đơn thức

Bài 1.24 (trang 21). Nhân hai đơn thức: a)

5 x^{2} y

và

2 x y^{2}

; b)

\frac{3}{4} x y

và

8 x^{3} y^{2}

; c)

1, 5 x y^{2} z^{3}

và

2 x^{3} y^{2} z

Kiến thức cần nhớ

Muốn nhân hai đơn thức, ta nhân hai hệ số với nhau và nhân hai phần biến với nhau.

1Cách 1. Nhân hệ số với hệ số, phần biến với phần biến.

Định hướng. Áp dụng quy tắc nhân hai đơn thức cho từng cặp.

5 x^{2} y \cdot 2 x y^{2} = (5 \cdot 2) (x^{2} \cdot x) (y \cdot y^{2}) = 10 x^{3} y^{3}

.
b)

\frac{3}{4} x y \cdot 8 x^{3} y^{2} = (\frac{3}{4} \cdot 8) (x \cdot x^{3}) (y \cdot y^{2}) = 6 x^{4} y^{3}

.
c)

1, 5 x y^{2} z^{3} \cdot 2 x^{3} y^{2} z = (1, 5 \cdot 2) (x \cdot x^{3}) (y^{2} \cdot y^{2}) (z^{3} \cdot z) = 3 x^{4} y^{4} z^{4}

Vậy $5 x^{2} y \cdot 2 x y^{2} = 10 x^{3} y^{3}$ ; $\frac{3}{4} x y \cdot 8 x^{3} y^{2} = 6 x^{4} y^{3}$ ; $1, 5 x y^{2} z^{3} \cdot 2 x^{3} y^{2} z = 3 x^{4} y^{4} z^{4}$ .

2Cách 2. Thay số kiểm tra chéo.

Định hướng. Thay $x = y = z = 2$ vào từng tích để kiểm tra chéo hệ số và số mũ.

5 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4 = 40 \cdot 16 = 640 = 10 \cdot 2^{3} \cdot 2^{3}

.
b)

\frac{3}{4} \cdot 2 \cdot 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 4 = 3 \cdot 256 = 768 = 6 \cdot 2^{4} \cdot 2^{3}

.
c)

1, 5 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot 2 \cdot 8 \cdot 4 \cdot 2 = 96 \cdot 128 = 12288 = 3 \cdot 2^{4} \cdot 2^{4} \cdot 2^{4}

Vậy cả ba kết quả ở Cách 1 đều được xác nhận đúng.

Đáp số. a)

10 x^{3} y^{3}

; b)

6 x^{4} y^{3}

; c)

3 x^{4} y^{4} z^{4}

Sai lầm thường gặp. Cộng sai số mũ của biến chung, hoặc tính sai tích các hệ số có phân số hay số thập phân.

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 21

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · Bài 1.25★★Trang 21— Nhân đơn thức với đa thức có hệ số phân số, thập phân

Bài 1.25 (trang 21). Tìm tích của đơn thức với đa thức: a)

(- 0, 5) x y^{2} (2 x y - x^{2} + 4 y)

; b)

(x^{3} y - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{3} x y) \cdot 6 x y^{3}

Kiến thức cần nhớ

Muốn nhân đơn thức với đa thức, nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích, giữ đúng dấu và hệ số.

1Cách 1. Nhân phân phối từng hạng tử.

Định hướng. Nhân đơn thức đã cho với từng hạng tử của đa thức, chú ý dấu và hệ số phân số, thập phân.

(- 0, 5 x y^{2}) (2 x y - x^{2} + 4 y) = (- 0, 5 x y^{2}) \cdot 2 x y + (- 0, 5 x y^{2}) \cdot (- x^{2}) + (- 0, 5 x y^{2}) \cdot 4 y

= - x^{2} y^{3} + 0, 5 x^{3} y^{2} - 2 x y^{3}

.
b)

(x^{3} y - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{3} x y) \cdot 6 x y^{3} = x^{3} y \cdot 6 x y^{3} - \frac{1}{2} x^{2} \cdot 6 x y^{3} + \frac{1}{3} x y \cdot 6 x y^{3}

= 6 x^{4} y^{4} - 3 x^{3} y^{3} + 2 x^{2} y^{4}

Vậy a) kết quả là $- x^{2} y^{3} + 0, 5 x^{3} y^{2} - 2 x y^{3}$ ; b) kết quả là $6 x^{4} y^{4} - 3 x^{3} y^{3} + 2 x^{2} y^{4}$ .

2Cách 2. Thay số kiểm tra chéo.

Định hướng. Thay $x = 2, y = 1$ vào biểu thức gốc và kết quả để kiểm tra chéo.

- 0, 5 \cdot 2 \cdot 1 \cdot (4 - 4 + 4) = - 1 \cdot 4 = - 4

;

- 4 \cdot 1 + 0, 5 \cdot 8 \cdot 1 - 2 \cdot 2 \cdot 1 = - 4 + 4 - 4 = - 4

.
b)

(8 - 2 + \frac{2}{3}) \cdot 12 = \frac{20}{3} \cdot 12 = 80

;

6 \cdot 16 - 3 \cdot 8 + 2 \cdot 4 = 96 - 24 + 8 = 80

Vậy hai cách cho cùng kết quả, xác nhận Cách 1 đúng.

Đáp số. a)

- x^{2} y^{3} + 0, 5 x^{3} y^{2} - 2 x y^{3}

; b)

6 x^{4} y^{4} - 3 x^{3} y^{3} + 2 x^{2} y^{4}

Sai lầm thường gặp. Nhân sai dấu khi đơn thức có hệ số âm, hoặc tính sai các hệ số phân số

\frac{1}{2}, \frac{1}{3}

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 21

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · Bài 1.26★★Trang 21— Rút gọn tổng ba tích đơn thức với đa thức

Bài 1.26 (trang 21). Rút gọn biểu thức:

x (x^{2} - y) - x^{2} (x + y) + x y (x - 1)

Kiến thức cần nhớ

Muốn nhân đơn thức với đa thức, nhân đơn thức với từng hạng tử rồi cộng các tích.
Khi bỏ ngoặc có dấu trừ đứng trước, phải đổi dấu tất cả các hạng tử trong ngoặc.

1Cách 1. Nhân phân phối từng tích rồi thu gọn.

Định hướng. Nhân phân phối từng tích trong biểu thức rồi cộng trừ các hạng tử cùng loại.

x (x^{2} - y) = x^{3} - x y

x^{2} (x + y) = x^{3} + x^{2} y

x y (x - 1) = x^{2} y - x y

x (x^{2} - y) - x^{2} (x + y) + x y (x - 1) = (x^{3} - x y) - (x^{3} + x^{2} y) + (x^{2} y - x y)

= x^{3} - x y - x^{3} - x^{2} y + x^{2} y - x y

= - 2 x y

Vậy $x (x^{2} - y) - x^{2} (x + y) + x y (x - 1) = - 2 x y$ .

2Cách 2. Thay số kiểm tra chéo.

Định hướng. Thay $x = 2, y = 3$ vào biểu thức gốc và vào kết quả để kiểm tra chéo.

2 (4 - 3) - 4 (5) + 6 (1) = 2 - 20 + 6 = - 12

- 2 \cdot 2 \cdot 3 = - 12

Vậy hai vế cùng bằng $- 12$ , xác nhận kết quả rút gọn $- 2 x y$ đúng.

Đáp số.

- 2 x y

Sai lầm thường gặp. Quên đổi dấu khi trừ ngoặc thứ hai

- x^{2} (x + y)

, dẫn tới sai dấu của hạng tử

x^{2} y

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 21

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · Bài 1.27★★Trang 21— Nhân đa thức với đa thức

Bài 1.27 (trang 21). Làm tính nhân: a)

(x^{2} - x y + 1) (x y + 3)

; b)

(x^{2} y^{2} - \frac{1}{2} x y + 2) (x - 2 y)

Kiến thức cần nhớ

Muốn nhân đa thức với đa thức, nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích.

1Cách 1. Nhân phân phối từng hạng tử.

Định hướng. Nhân từng hạng tử của đa thức thứ nhất với từng hạng tử của đa thức thứ hai rồi cộng các tích.

(x^{2} - x y + 1) (x y + 3) = x^{2} \cdot x y + x^{2} \cdot 3 - x y \cdot x y - x y \cdot 3 + 1 \cdot x y + 1 \cdot 3

= x^{3} y + 3 x^{2} - x^{2} y^{2} - 3 x y + x y + 3

= x^{3} y + 3 x^{2} - x^{2} y^{2} - 2 x y + 3

.
b)

(x^{2} y^{2} - \frac{1}{2} x y + 2) (x - 2 y) = x^{2} y^{2} \cdot x - x^{2} y^{2} \cdot 2 y - \frac{1}{2} x y \cdot x + \frac{1}{2} x y \cdot 2 y + 2 \cdot x - 2 \cdot 2 y

= x^{3} y^{2} - 2 x^{2} y^{3} - \frac{1}{2} x^{2} y + x y^{2} + 2 x - 4 y

Vậy a) kết quả là $x^{3} y + 3 x^{2} - x^{2} y^{2} - 2 x y + 3$ ; b) kết quả là $x^{3} y^{2} - 2 x^{2} y^{3} - \frac{1}{2} x^{2} y + x y^{2} + 2 x - 4 y$ .

2Cách 2. Đặt tính cột dọc.

Định hướng. Nhân cả đa thức thứ nhất với từng hạng tử của đa thức thứ hai theo cột dọc rồi cộng lại.

(x^{2} - x y + 1) \cdot 3 = 3 x^{2} - 3 x y + 3

(x^{2} - x y + 1) \cdot x y = x^{3} y - x^{2} y^{2} + x y

x^{3} y - x^{2} y^{2} + x y + 3 x^{2} - 3 x y + 3 = x^{3} y + 3 x^{2} - x^{2} y^{2} - 2 x y + 3

.
b)

(x^{2} y^{2} - \frac{1}{2} x y + 2) \cdot x = x^{3} y^{2} - \frac{1}{2} x^{2} y + 2 x

(x^{2} y^{2} - \frac{1}{2} x y + 2) \cdot (- 2 y) = - 2 x^{2} y^{3} + x y^{2} - 4 y

x^{3} y^{2} - \frac{1}{2} x^{2} y + 2 x - 2 x^{2} y^{3} + x y^{2} - 4 y = x^{3} y^{2} - 2 x^{2} y^{3} - \frac{1}{2} x^{2} y + x y^{2} + 2 x - 4 y

Vậy hai kết quả trùng khớp với Cách 1.

Đáp số. a)

x^{3} y + 3 x^{2} - x^{2} y^{2} - 2 x y + 3

; b)

x^{3} y^{2} - 2 x^{2} y^{3} - \frac{1}{2} x^{2} y + x y^{2} + 2 x - 4 y

Sai lầm thường gặp. Bỏ sót một cặp tích khi nhân đủ ba hạng tử với hai hạng tử, hoặc cộng nhầm hai hạng tử đồng dạng

- 3 x y

và

x y

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 21

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · Bài 1.28★★★Trang 21— Rút gọn chứng minh biểu thức không phụ thuộc biến

Bài 1.28 (trang 21). Rút gọn biểu thức sau để thấy rằng giá trị của nó không phụ thuộc vào giá trị của biến:

(x - 5) (2 x + 3) - 2 x (x - 3) + x + 7

Kiến thức cần nhớ

Muốn nhân đa thức với đa thức, nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích.
Biểu thức không phụ thuộc biến khi sau khi rút gọn chỉ còn lại một hằng số.

1Cách 1. Nhân phân phối rồi rút gọn.

Định hướng. Khai triển từng tích rồi cộng trừ các hạng tử để kiểm tra biểu thức có còn chứa $x$ hay không.

(x - 5) (2 x + 3) = 2 x^{2} + 3 x - 10 x - 15 = 2 x^{2} - 7 x - 15

2 x (x - 3) = 2 x^{2} - 6 x

(x - 5) (2 x + 3) - 2 x (x - 3) + x + 7 = (2 x^{2} - 7 x - 15) - (2 x^{2} - 6 x) + x + 7

= 2 x^{2} - 7 x - 15 - 2 x^{2} + 6 x + x + 7

= - 8

Vậy biểu thức rút gọn bằng $- 8$ , một hằng số không chứa $x$ , nên giá trị của nó không phụ thuộc vào giá trị của biến.

2Cách 2. Thay số kiểm tra chéo.

Định hướng. Thay hai giá trị khác nhau của $x$ để kiểm tra chéo xem biểu thức có luôn ra cùng một kết quả hay không.

Với

x = 0

(- 5) (3) - 0 + 0 + 7 = - 15 + 7 = - 8

.
Với

x = 4

(- 1) (11) - 8 (1) + 4 + 7 = - 11 - 8 + 11 = - 8

Vậy cả hai giá trị đều cho kết quả $- 8$ , khớp với Cách 1.

Nhận xét. Thay số chỉ minh hoạ vài trường hợp, kết luận đúng với mọi $x$ dựa vào phép rút gọn ở Cách 1.

Đáp số.

- 8

với mọi giá trị của biến

x

Sai lầm thường gặp. Quên đổi dấu khi trừ ngoặc

- 2 x (x - 3)

nên kết quả còn sót hạng tử chứa

x

hoặc

x^{2}

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 21

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · Bài 1.29★★★Trang 21— Chứng minh đẳng thức bằng phép nhân đa thức

Bài 1.29 (trang 21). Chứng minh đẳng thức sau:

(2 x + y) (2 x^{2} + x y - y^{2}) = (2 x - y) (2 x^{2} + 3 x y + y^{2})

Kiến thức cần nhớ

Muốn nhân đa thức với đa thức, nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích.
Chứng minh đẳng thức bằng cách khai triển riêng hai vế rồi so sánh kết quả.

1Cách 1. Khai triển riêng hai vế rồi so sánh.

Định hướng. Khai triển vế trái và vế phải một cách độc lập rồi so sánh hai kết quả.

(2 x + y) (2 x^{2} + x y - y^{2}) = 2 x \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot x y + 2 x \cdot (- y^{2}) + y \cdot 2 x^{2} + y \cdot x y + y \cdot (- y^{2})

= 4 x^{3} + 2 x^{2} y - 2 x y^{2} + 2 x^{2} y + x y^{2} - y^{3}

= 4 x^{3} + 4 x^{2} y - x y^{2} - y^{3}

(2 x - y) (2 x^{2} + 3 x y + y^{2}) = 2 x \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 3 x y + 2 x \cdot y^{2} - y \cdot 2 x^{2} - y \cdot 3 x y - y \cdot y^{2}

= 4 x^{3} + 6 x^{2} y + 2 x y^{2} - 2 x^{2} y - 3 x y^{2} - y^{3}

= 4 x^{3} + 4 x^{2} y - x y^{2} - y^{3}

Vậy hai vế cùng bằng $4 x^{3} + 4 x^{2} y - x y^{2} - y^{3}$ , nên đẳng thức đã cho được chứng minh đúng với mọi $x, y$ .

2Cách 2. Thay số kiểm tra chéo.

Định hướng. Thay vài cặp giá trị của $x, y$ vào cả hai vế để kiểm tra chéo đẳng thức.

Với

x = 1, y = 2

(4) (2 + 2 - 4) = 4 \cdot 0 = 0

;

(0) (2 + 6 + 4) = 0 \cdot 12 = 0

.
Với

x = 2, y = 1

(5) (8 + 2 - 1) = 5 \cdot 9 = 45

;

(3) (8 + 6 + 1) = 3 \cdot 15 = 45

Vậy hai vế cùng giá trị ở cả hai phép thử, phù hợp với kết quả chứng minh ở Cách 1.

Nhận xét. Thay số chỉ minh hoạ một vài trường hợp, phép chứng minh đúng với mọi $x, y$ vẫn dựa vào khai triển ở Cách 1.

Đáp số. Hai vế đều bằng

4 x^{3} + 4 x^{2} y - x y^{2} - y^{3}

, đẳng thức đúng với mọi

x, y

Sai lầm thường gặp. Nhân sai dấu khi khai triển vế phải chứa

(2 x - y)

, làm hai vế không khớp dù đẳng thức đúng.

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 21

Mở bài này trong app ↗