Chương I. Đa thức

Bài 5. Phép chia đa thức cho đơn thức

SGK Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 1 · 9 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán8 #ChươngI #SGK_Tập1 #trang22–24 #CùngBàiBênSBT #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · HĐ1★Trang 22— Chia đơn thức cho đơn thức một biến

HĐ1 (trang 22). Hãy nhớ lại cách chia đơn thức cho đơn thức trong trường hợp chúng có cùng một biến và hoàn thành các yêu cầu sau: a) Thực hiện phép chia

6 x^{3} : 3 x^{2}

. b) Với

a, b \in R

và

b \neq = 0

;

m, n \in N

, hãy cho biết: khi nào thì

a x^{m}

chia hết cho

b x^{n}

; nhắc lại cách thực hiện phép chia

a x^{m}

cho

b x^{n}

Kiến thức cần nhớ

Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (trường hợp chia hết): chia hệ số của A cho hệ số của B, chia luỹ thừa của từng biến trong A cho luỹ thừa của cùng biến đó trong B, rồi nhân các kết quả tìm được với nhau.
Đơn thức $a x^{m}$ chia hết cho đơn thức $b x^{n}$ ( $b \neq = 0$ ) khi số mũ $m \geq n$ .

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu nhận dạng: đề nhắc lại phép chia hai đơn thức MỘT biến rồi yêu cầu phát biểu điều kiện tổng quát, tức đây là bước chuẩn bị để mở rộng sang nhiều biến ở HĐ2. Chọn hướng dùng quy tắc chia hai luỹ thừa cùng cơ số vì hai đơn thức chỉ khác nhau ở hệ số và số mũ của

x

. Bẫy của đề là điều kiện

m \geq n

: nếu

m

nhỏ hơn

n

thì thương còn

x

ở mẫu nên không còn là đơn thức, mà nhiều bạn chỉ nhớ công thức trừ số mũ mà quên hẳn điều kiện này.

1Cách 1. Áp dụng quy tắc chia luỹ thừa cùng cơ số.

Định hướng. Áp dụng quy tắc chia hai luỹ thừa cùng cơ số đã học: chia hệ số cho hệ số, trừ số mũ của luỹ thừa bị chia cho số mũ của luỹ thừa chia.

6 x^{3} : 3 x^{2} = (6 : 3) \cdot x^{3 - 2} = 2 x

.
b) Với

a, b \in R

b \neq = 0

m, n \in N

: đơn thức

a x^{m}

chia hết cho đơn thức

b x^{n}

khi

m \geq n

; khi đó

a x^{m} : b x^{n} = (a : b) \cdot x^{m - n}

Vậy $6 x^{3} : 3 x^{2} = 2 x$ ; và $a x^{m}$ chia hết cho $b x^{n}$ khi $m \geq n$ , với thương $a x^{m} : b x^{n} = (a : b) x^{m - n}$ .

2Cách 2. Thay số kiểm tra chéo.

Định hướng. Thay $a = 6, b = 3, m = 3, n = 2$ vào công thức tổng quát ở câu b để đối chiếu với kết quả câu a.

Với

a = 6, b = 3, m = 3, n = 2

ta có

m \geq n

vì

3 \geq 2

, nên

a x^{m}

chia hết cho

b x^{n}

a x^{m} : b x^{n} = (6 : 3) x^{3 - 2} = 2 x

Vậy công thức tổng quát ở câu b khi thay số đúng khớp với kết quả $2 x$ đã tính ở câu a.

3Cách 3. Viết thành phân thức rồi rút gọn các thừa số chung

Định hướng. Viết phép chia thành phân thức rồi khai triển luỹ thừa thành tích các thừa số bằng nhau; rút gọn từng cặp thừa số giống nhau ở tử và mẫu sẽ thấy vì sao số mũ bị trừ đi.

6 x^{3} : 3 x^{2} = \frac{6 x ^{3}}{3 x ^{2}} = \frac{6 \cdot x \cdot x \cdot x}{3 \cdot x \cdot x} = \frac{6}{3} \cdot x = 2 x

\frac{a x ^{m}}{b x ^{n}} = \frac{a}{b} \cdot \frac{x ^{m}}{x ^{n}}

Rút gọn được

n

thừa số

x

ở cả tử và mẫu
Tử còn lại

m - n

thừa số

x

, muốn kết quả là đơn thức thì cần

m - n

không âm, tức

m \geq n

Khi đó thương bằng

\frac{a}{b} x^{m - n}

Vậy a) $6 x^{3} : 3 x^{2} = 2 x$ ; b) với $b \neq = 0$ , đơn thức $a x^{m}$ chia hết cho $b x^{n}$ khi và chỉ khi $m \geq n$ , và thương của phép chia bằng $(a : b) x^{m - n}$ .

Nhận xét. Nhìn qua phân thức mới thấy điều kiện $m \geq n$ là bắt buộc chứ không phải quy ước: nếu $m$ nhỏ hơn $n$ thì sau khi rút gọn vẫn còn $x$ nằm dưới mẫu, mà biểu thức có biến ở mẫu thì không phải đơn thức.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: áp thẳng quy tắc chia hai luỹ thừa cùng cơ số, một dòng ra kết quả; Cách 3 nên dùng lúc mới học vì nó cho thấy phép trừ số mũ sinh ra từ việc rút gọn phân thức.

Đáp số. a)

2 x

; b)

a x^{m}

chia hết cho

b x^{n}

khi

m \geq n

(

b \neq = 0

); thương bằng

(a : b) x^{m - n}

Sai lầm thường gặp. Quên điều kiện

m \geq n

khi xét tính chia hết, hoặc trừ nhầm số mũ thành cộng số mũ.

🚀 Mở rộng. Tổng quát hoá: với

b \neq = 0

thì

a x^{m}

chia hết cho

b x^{n}

khi và chỉ khi

m \geq n

, và khi đó thương bằng

\frac{a}{b} x^{m - n}

; nếu

m = n

thì thương là một số, không còn chứa biến.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · HĐ2★Trang 23— Xét tính chia hết của hai đơn thức

HĐ2 (trang 23). Với mỗi trường hợp sau, hãy đoán xem đơn thức

A

có chia hết cho đơn thức

B

không; nếu chia hết, hãy tìm thương của phép chia

A

cho

B

và giải thích cách làm: a)

A = 6 x^{3} y

B = 3 x^{2} y

; b)

A = x^{2} y

B = x y^{2}

Kiến thức cần nhớ

Đơn thức A chia hết cho đơn thức B (B khác 0) khi mỗi biến của B đều là biến của A với số mũ không lớn hơn số mũ của nó trong A.
Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (trường hợp chia hết): chia hệ số cho hệ số, chia luỹ thừa từng biến trong A cho luỹ thừa cùng biến đó trong B rồi nhân các kết quả lại.

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu nhận dạng: hai cặp đơn thức ở câu a) và câu b) đều có cùng tập biến, nên việc chia hết hay không hoàn toàn do so sánh số mũ TỪNG biến quyết định. Chọn hướng so số mũ từng biến riêng rẽ vì chỉ cần một biến vi phạm là phép chia không thực hiện được. Bẫy của đề là câu b):

x^{2} y

và

x y^{2}

cùng bậc

3

nên nhìn tổng thể thấy "ngang nhau", nhưng số mũ của

y

ở

A

nhỏ hơn ở

B

nên không chia hết.

1Cách 1. So sánh số mũ từng biến.

Định hướng. So sánh số mũ của từng biến trong $B$ với số mũ của biến đó trong $A$ để xét tính chia hết, rồi chia hệ số và trừ số mũ khi thoả điều kiện.

a) Trong

A = 6 x^{3} y

và

B = 3 x^{2} y

: số mũ của

x

là

3 \geq 2

, số mũ của

y

là

1 \geq 1

, nên

A

chia hết cho

B

A : B = (6 : 3) \cdot x^{3 - 2} \cdot y^{1 - 1} = 2 x

.
b) Trong

A = x^{2} y

và

B = x y^{2}

: số mũ của

y

trong

B

là

2

, lớn hơn số mũ của

y

trong

A

là

1

, nên

A

không chia hết cho

B

Vậy a) $A$ chia hết cho $B$ với thương $2 x$ ; b) $A$ không chia hết cho $B$ .

2Cách 2. Viết thành phân thức, xét số mũ âm.

Định hướng. Viết thương dưới dạng phân thức rồi rút gọn; nếu sau khi rút gọn còn biến với số mũ âm thì phép chia không phải là phép chia hết.

\frac{A}{B} = \frac{6 x ^{3} y}{3 x ^{2} y} = 2 x^{3 - 2} y^{1 - 1} = 2 x

, mọi số mũ đều không âm nên chia hết.
b)

\frac{A}{B} = \frac{x ^{2} y}{x y ^{2}} = x^{2 - 1} y^{1 - 2} = x y^{- 1} = \frac{x}{y}

, số mũ của

y

bằng

- 1

nên không phải đơn thức, tức

A

không chia hết cho

B

Vậy kết quả trùng khớp với Cách 1: a) chia hết, thương $2 x$ ; b) không chia hết.

3Cách 3. Giả sử có thương là đơn thức rồi so khớp số mũ từng biến

Định hướng. Nếu $A$ chia hết cho $B$ thì tồn tại đơn thức $Q$ sao cho $A = B \cdot Q$ ; viết $Q$ ở dạng tổng quát rồi so khớp số mũ từng biến của hai vế, nếu ra số mũ âm thì $Q$ không phải đơn thức và phép chia không thực hiện được.

a) Đặt

Q = q x^{p} y^{r}

với

6 x^{3} y = 3 x^{2} y \cdot q x^{p} y^{r}

Hệ số:

3 q = 6

nên

q = 2

; số mũ của

x

2 + p = 3

nên

p = 1

; số mũ của

y

1 + r = 1

nên

r = 0

Q = 2 x

là một đơn thức
b) Đặt

Q = q x^{p} y^{r}

với

x^{2} y = x y^{2} \cdot q x^{p} y^{r}

Số mũ của

x

1 + p = 2

nên

p = 1

; số mũ của

y

2 + r = 1

nên

r = - 1

Số mũ

- 1

nghĩa là

y

phải nằm ở mẫu, nên

Q

không phải đơn thức

Vậy a) $A = 6 x^{3} y$ chia hết cho $B = 3 x^{2} y$ , thương bằng $2 x$ ; b) $A = x^{2} y$ không chia hết cho $B = x y^{2}$ .

Nhận xét. Số mũ $r = - 1$ ở câu b) chính là lời giải thích gọn nhất cho việc không chia hết; nó cũng cho thấy phép chia đơn thức luôn quy về ba phép trừ số mũ độc lập, một cho mỗi biến.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: so số mũ từng biến, gặp biến nào vi phạm là kết luận ngay; Cách 3 dùng khi cần giải thích rõ vì sao thương ở câu b) không thể là đơn thức.

Đáp số. a)

A

chia hết cho

B

, thương bằng

2 x

; b)

A

không chia hết cho

B

Sai lầm thường gặp. Không so sánh số mũ của từng biến riêng lẻ mà chỉ nhìn tổng quát, dẫn tới kết luận sai về tính chia hết ở câu b.

🚀 Mở rộng. Tổng quát hoá: đơn thức

A

chia hết cho đơn thức

B

khác

0

khi và chỉ khi mỗi biến của

B

đều có mặt trong

A

với số mũ không nhỏ hơn — chỉ cần MỘT biến vi phạm là phép chia không còn là phép chia hết.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Luyện tập 1★★Trang 23— Xét tính chia hết và tìm thương của đơn thức

Luyện tập 1 (trang 23). Trong các phép chia sau đây, phép chia nào không là phép chia hết? Tại sao? Tìm thương của các phép chia còn lại: a)

- 15 x^{2} y^{2}

chia cho

3 x^{2} y

; b)

6 x y

chia cho

2 y z

; c)

4 x y^{3}

chia cho

6 x y^{2}

Kiến thức cần nhớ

Đơn thức A chia hết cho đơn thức B khi mỗi biến của B đều là biến của A với số mũ không lớn hơn số mũ của nó trong A.
Khi chia hết, chia hệ số cho hệ số và trừ số mũ của từng biến chung.

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu nhận dạng: ba phép chia được chọn để đụng ba tình huống khác nhau — chia hết bình thường, có biến lạ ở số chia, và hệ số không chia hết cho nhau. Chọn hướng so số mũ từng biến trước rồi mới chia hệ số, vì điều kiện chia hết chỉ phụ thuộc phần biến. Bẫy của đề gồm hai chỗ: câu b) có biến

z

chỉ xuất hiện ở số chia nên phép chia không thực hiện được, còn câu c) có hệ số

4 : 6

không phải số nguyên nhưng vẫn là phép chia hết vì hệ số của đơn thức được phép là phân số.

1Cách 1. So sánh số mũ rồi chia trực tiếp.

Định hướng. Xét từng biến của số chia có mặt trong số bị chia với số mũ không lớn hơn hay không, sau đó chia hệ số và trừ số mũ.

- 15 x^{2} y^{2}

và

3 x^{2} y

: số mũ

x

là

2 \geq 2

, số mũ

y

là

2 \geq 1

, chia hết.

(- 15 x^{2} y^{2}) : (3 x^{2} y) = (- 15 : 3) x^{2 - 2} y^{2 - 1} = - 5 y

.
b)

6 x y

và

2 y z

: biến

z

có mặt trong số chia với số mũ

1

nhưng không có mặt trong số bị chia (số mũ

0

), nên

6 x y

không chia hết cho

2 y z

.
c)

4 x y^{3}

và

6 x y^{2}

: số mũ

x

là

1 \geq 1

, số mũ

y

là

3 \geq 2

, chia hết.

(4 x y^{3}) : (6 x y^{2}) = (4 : 6) x^{1 - 1} y^{3 - 2} = \frac{2}{3} y

Vậy phép chia ở câu b không phải phép chia hết; câu a có thương $- 5 y$ , câu c có thương $\frac{2}{3} y$ .

2Cách 2. Thử lại bằng phép nhân ngược.

Định hướng. Nhân thương vừa tìm với số chia, nếu ra đúng số bị chia thì phép chia là chia hết; với câu b thử xem có đơn thức nào nhân với $2 y z$ ra $6 x y$ hay không.

3 x^{2} y \cdot (- 5 y) = - 15 x^{2} y^{2}

, đúng bằng số bị chia.
c)

6 x y^{2} \cdot \frac{2}{3} y = 4 x y^{3}

, đúng bằng số bị chia.
b) Một đơn thức nhân với

2 y z

luôn còn chứa biến

z

, không thể ra

6 x y

(không chứa

z

), nên không tồn tại thương, tức không chia hết.

Vậy kết quả kiểm tra lại khớp với Cách 1: câu b không chia hết; câu a thương $- 5 y$ , câu c thương $\frac{2}{3} y$ .

3Cách 3. Viết mỗi phép chia thành phân thức rồi rút gọn thừa số chung

Định hướng. Viết thành phân thức rồi rút gọn: phần nào rút hết biến ở mẫu thì phép chia là phép chia hết, phần nào còn biến ở mẫu thì không.

\frac{- 15 x ^{2} y ^{2}}{3 x ^{2} y} = \frac{- 15}{3} \cdot \frac{x ^{2}}{x ^{2}} \cdot \frac{y ^{2}}{y} = - 5 y

\frac{6 x y}{2 y z} = \frac{6}{2} \cdot x \cdot \frac{y}{y} \cdot \frac{1}{z} = \frac{3 x}{z}

— vẫn còn

z

ở mẫu
c)

\frac{4 x y ^{3}}{6 x y ^{2}} = \frac{4}{6} \cdot \frac{x}{x} \cdot \frac{y ^{3}}{y ^{2}} = \frac{2}{3} y

Vậy b) $6 x y$ chia cho $2 y z$ không là phép chia hết vì biến $z$ chỉ có ở số chia nên không rút gọn được; a) thương bằng $- 5 y$ ; c) thương bằng $\frac{2}{3} y$ .

Nhận xét. Hai câu a) và c) cho thấy hệ số ra số nguyên hay phân số đều không ảnh hưởng tới tính chia hết; chỉ phần BIẾN mới quyết định, và câu b) hỏng đúng vì một biến không rút gọn được.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: so số mũ rồi chia thẳng, ba câu xử lí trong ba dòng; Cách 3 tiện ở câu c) vì viết thành phân thức là hệ số tự rút gọn về

\frac{2}{3}

Đáp số. a)

- 5 y

; b) không là phép chia hết; c)

\frac{2}{3} y

Sai lầm thường gặp. Không kiểm tra biến

z

ở câu b nên nhầm tưởng vẫn chia được, hoặc quên rút gọn phân số hệ số ở câu c.

🚀 Mở rộng. Bài cùng dạng ở mức khó hơn: tìm tất cả các đơn thức

B

có hai biến

x

y

sao cho

4 x y^{3}

chia hết cho

B

— có bao nhiêu phần biến khác nhau thoả mãn?

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Vận dụng 1★★Trang 23— Ứng dụng chia đơn thức tính chiều cao khối hộp

Vận dụng 1 (trang 23). Giải bài toán mở đầu: Cho hai khối hộp chữ nhật: khối hộp thứ nhất có ba kích thước là

x

2 x

và

3 y

; khối hộp thứ hai có diện tích đáy là

2 x y

. Tính chiều cao (cạnh bên) của khối hộp thứ hai, biết rằng hai khối hộp có cùng thể tích.

Kiến thức cần nhớ

Thể tích khối hộp chữ nhật bằng tích ba kích thước, hoặc bằng diện tích đáy nhân với chiều cao.
Muốn tìm một thừa số chưa biết trong tích, ta chia tích cho thừa số đã biết.

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu nhận dạng: đề cho hai khối hộp CÙNG THỂ TÍCH và hỏi chiều cao của khối thứ hai, nên đường đi bắt buộc là lập đẳng thức thể tích rồi chia. Chọn hướng tính thể tích khối thứ nhất trước vì nó có đủ ba kích thước, sau đó lấy thể tích chia cho diện tích đáy của khối thứ hai. Bẫy của đề là ba kích thước

x

2 x

3 y

: phải nhân đủ cả ba mới ra thể tích

6 x^{2} y

, nhân sót một kích thước là chiều cao tìm được sai hẳn.

1Cách 1. Lập đẳng thức thể tích rồi chia đơn thức.

Định hướng. Tính thể tích khối hộp thứ nhất theo tích ba kích thước, cho bằng thể tích khối hộp thứ hai (diện tích đáy nhân chiều cao), rồi chia để tìm chiều cao.

Thể tích khối hộp thứ nhất:

V_{1} = x \cdot 2 x \cdot 3 y = 6 x^{2} y

.
Gọi

h

là chiều cao khối hộp thứ hai, thể tích khối hộp thứ hai là

V_{2} = 2 x y \cdot h

.
Vì hai khối hộp có cùng thể tích nên

6 x^{2} y = 2 x y \cdot h

, suy ra

h = 6 x^{2} y : 2 x y = 3 x

Vậy chiều cao của khối hộp thứ hai là $3 x$ .

2Cách 2. Thay số kiểm tra chéo.

Định hướng. Thay giá trị cụ thể của $x, y$ vào cả hai khối hộp để kiểm tra chéo công thức chiều cao vừa tìm.

Với

x = 2, y = 1

V_{1} = 2 \cdot 4 \cdot 3 = 24

; diện tích đáy khối hộp thứ hai

2 x y = 4

.
Chiều cao

h = 24 : 4 = 6

, đúng bằng

3 x = 3 \cdot 2 = 6

Vậy kết quả thay số khớp với công thức $h = 3 x$ ở Cách 1.

3Cách 3. Dùng quan hệ tỉ lệ nghịch giữa chiều cao và diện tích đáy

Định hướng. Hai khối hộp cùng thể tích nên tích của diện tích đáy với chiều cao là như nhau; so diện tích đáy của hai khối rồi suy ngược ra chiều cao, không cần tính thể tích.

Diện tích đáy khối thứ nhất:

x \cdot 2 x = 2 x^{2}

; chiều cao của nó là

3 y

Diện tích đáy khối thứ hai:

2 x y

Tỉ số hai diện tích đáy:

2 x^{2} : 2 x y = \frac{x}{y}

Vì thể tích bằng nhau nên chiều cao tỉ lệ nghịch với diện tích đáy
Chiều cao khối thứ hai

= 3 y \cdot \frac{x}{y} = 3 x

Kiểm lại:

2 x y \cdot 3 x = 6 x^{2} y

và

x \cdot 2 x \cdot 3 y = 6 x^{2} y

Vậy chiều cao của khối hộp thứ hai là $3 x$ .

Nhận xét. Dòng kiểm lại cuối cùng chính là phép thử an toàn nhất cho mọi bài chia đơn thức: lấy thương nhân với số chia phải ra đúng số bị chia $6 x^{2} y$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: lập đẳng thức thể tích rồi chia đơn thức, đúng một phép chia là ra đáp số; Cách 3 hay ở chỗ không cần tính thể tích mà vẫn ra kết quả, hợp với những bài chỉ cho tỉ lệ.

Đáp số. Chiều cao khối hộp thứ hai là

3 x

Sai lầm thường gặp. Nhầm thể tích khối hộp thứ nhất do tính thiếu một kích thước, hoặc chia sai đơn thức

6 x^{2} y : 2 x y

🚀 Mở rộng. Tổng quát hoá: hai khối hộp có cùng thể tích thì chiều cao tỉ lệ nghịch với diện tích đáy; nếu đáy khối thứ hai gấp

k

lần đáy khối thứ nhất thì chiều cao của nó chỉ bằng

\frac{1}{k}

chiều cao khối thứ nhất.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Luyện tập 2★★Trang 24— Chia đa thức cho đơn thức

Luyện tập 2 (trang 24). Làm tính chia

(6 x^{4} y^{3} - 8 x^{3} y^{4} + 3 x^{2} y^{2}) : 2 x y^{2}

Kiến thức cần nhớ

Đa thức A chia hết cho đơn thức B nếu mọi hạng tử của A đều chia hết cho B.
Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp chia hết), ta chia từng hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu nhận dạng: một đa thức ba hạng tử chia cho một đơn thức, nên phép chia được thực hiện với TỪNG hạng tử rồi cộng kết quả lại. Chọn hướng chia từng hạng tử vì cả ba hạng tử đều chia hết cho

2 x y^{2}

. Bẫy của đề là hạng tử thứ ba

3 x^{2} y^{2}

: chia cho

2 x y^{2}

cho

\frac{3}{2} x

, hệ số là phân số chứ không phải số nguyên, nhiều bạn tưởng hạng tử này không chia hết.

1Cách 1. Chia từng hạng tử.

Định hướng. Chia từng hạng tử của đa thức bị chia cho đơn thức $2 x y^{2}$ rồi cộng các kết quả lại.

(6 x^{4} y^{3} - 8 x^{3} y^{4} + 3 x^{2} y^{2}) : 2 x y^{2} = (6 x^{4} y^{3} : 2 x y^{2}) + (- 8 x^{3} y^{4} : 2 x y^{2}) + (3 x^{2} y^{2} : 2 x y^{2})

= 3 x^{3} y - 4 x^{2} y^{2} + \frac{3}{2} x

Vậy $(6 x^{4} y^{3} - 8 x^{3} y^{4} + 3 x^{2} y^{2}) : 2 x y^{2} = 3 x^{3} y - 4 x^{2} y^{2} + \frac{3}{2} x$ .

2Cách 2. Thử lại bằng phép nhân.

Định hướng. Nhân thương vừa tìm với đơn thức $2 x y^{2}$ , nếu ra đúng đa thức bị chia thì phép chia đúng.

(3 x^{3} y - 4 x^{2} y^{2} + \frac{3}{2} x) \cdot 2 x y^{2} = 6 x^{4} y^{3} - 8 x^{3} y^{4} + 3 x^{2} y^{2}

Vậy kết quả nhân lại đúng bằng đa thức ban đầu, xác nhận thương ở Cách 1 là $3 x^{3} y - 4 x^{2} y^{2} + \frac{3}{2} x$ .

3Cách 3. Rút nhân tử chung của đa thức bị chia rồi rút gọn với đơn thức chia

Định hướng. Ba hạng tử của đa thức bị chia đều chứa $x^{2} y^{2}$ ; rút nhân tử chung ấy ra ngoài rồi chỉ việc rút gọn nó với đơn thức chia, phần trong ngoặc giữ nguyên.

6 x^{4} y^{3} - 8 x^{3} y^{4} + 3 x^{2} y^{2} = x^{2} y^{2} (6 x^{2} y - 8 x y^{2} + 3)

(6 x^{4} y^{3} - 8 x^{3} y^{4} + 3 x^{2} y^{2}) : 2 x y^{2} = \frac{x ^{2} y ^{2}}{2 x y ^{2}} \cdot (6 x^{2} y - 8 x y^{2} + 3)

= \frac{x}{2} (6 x^{2} y - 8 x y^{2} + 3)

= 3 x^{3} y - 4 x^{2} y^{2} + \frac{3}{2} x

Vậy $(6 x^{4} y^{3} - 8 x^{3} y^{4} + 3 x^{2} y^{2}) : 2 x y^{2} = 3 x^{3} y - 4 x^{2} y^{2} + \frac{3}{2} x$ .

Nhận xét. Nhân tử chung $x^{2} y^{2}$ cho biết ngay đa thức này chia hết cho mọi đơn thức có phần biến là ước của $x^{2} y^{2}$ ; và vì $2 x y^{2}$ đúng là một ước như vậy nên phép chia thực hiện được, dù hệ số cuối cùng là phân số.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chia lần lượt ba hạng tử, mỗi hạng tử một dòng, rõ và dễ chấm; Cách 3 ngắn hơn nhưng phải nhìn ra nhân tử chung nên chỉ dùng khi đã quen.

Đáp số.

3 x^{3} y - 4 x^{2} y^{2} + \frac{3}{2} x

Sai lầm thường gặp. Chia sai hạng tử

3 x^{2} y^{2} : 2 x y^{2}

(quên đưa hệ số về phân số

\frac{3}{2}

), hoặc cộng sai dấu các hạng tử.

🚀 Mở rộng. Tổng quát hoá: đa thức chia hết cho đơn thức

B

khi và chỉ khi MỌI hạng tử của nó chia hết cho

B

, nghĩa là

B

phải là ước của nhân tử chung lớn nhất của các hạng tử.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Vận dụng 2★★Trang 24— Tìm đa thức chưa biết từ đẳng thức tích với đơn thức

Vận dụng 2 (trang 24). Tìm đa thức

A

sao cho

A \cdot (- 3 x y) = 9 x^{3} y + 3 x y^{3} - 6 x^{2} y^{2}

Kiến thức cần nhớ

Nếu $A \cdot B = C$ ( $B \neq = 0$ ) thì $A = C : B$ .
Chia đa thức cho đơn thức: chia từng hạng tử của đa thức cho đơn thức rồi cộng các kết quả.

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu nhận dạng: đề cho tích và một thừa số, hỏi thừa số còn lại — đây là dạng "tìm thừa số chưa biết", quy về phép chia đa thức cho đơn thức. Chọn hướng chia từng hạng tử của tích cho

- 3 x y

vì cả ba hạng tử đều chia hết. Bẫy của đề là dấu âm của

- 3 x y

: mọi hạng tử của thương đều đổi dấu so với hạng tử tương ứng của tích, nên

A

có tới hai hạng tử âm dù tích chỉ có một.

1Cách 1. Suy luận rồi chia từng hạng tử.

Định hướng. Từ $A \cdot (- 3 x y) = 9 x^{3} y + 3 x y^{3} - 6 x^{2} y^{2}$ suy ra $A = (9 x^{3} y + 3 x y^{3} - 6 x^{2} y^{2}) : (- 3 x y)$ , rồi chia từng hạng tử.

A = (9 x^{3} y : (- 3 x y)) + (3 x y^{3} : (- 3 x y)) + (- 6 x^{2} y^{2} : (- 3 x y))

= - 3 x^{2} - y^{2} + 2 x y

Vậy $A = - 3 x^{2} + 2 x y - y^{2}$ .

2Cách 2. Thử lại bằng phép nhân.

Định hướng. Nhân đa thức $A$ vừa tìm với $- 3 x y$ , nếu ra đúng vế phải đã cho thì kết quả đúng.

(- 3 x^{2} + 2 x y - y^{2}) \cdot (- 3 x y) = 9 x^{3} y - 6 x^{2} y^{2} + 3 x y^{3}

Vậy kết quả trùng với vế phải đã cho (chỉ khác thứ tự các hạng tử), xác nhận $A = - 3 x^{2} + 2 x y - y^{2}$ đúng.

3Cách 3. Viết A gồm ba hạng tử chưa biết rồi so khớp từng hạng tử của tích

Định hướng. Tích có ba hạng tử nên $A$ cũng có ba hạng tử; đặt mỗi hạng tử của $A$ là một đơn thức chưa biết, nhân với $- 3 x y$ rồi so khớp với đúng hạng tử tương ứng của tích để tìm ra từng hạng tử một.

Hạng tử cho ra

9 x^{3} y

: cần

u

với

u \cdot (- 3 x y) = 9 x^{3} y

nên

u = - 3 x^{2}

Hạng tử cho ra

3 x y^{3}

: cần

v

với

v \cdot (- 3 x y) = 3 x y^{3}

nên

v = - y^{2}

Hạng tử cho ra

- 6 x^{2} y^{2}

: cần

w

với

w \cdot (- 3 x y) = - 6 x^{2} y^{2}

nên

w = 2 x y

A = u + v + w = - 3 x^{2} - y^{2} + 2 x y

Thử lại:

(- 3 x^{2} + 2 x y - y^{2}) (- 3 x y) = 9 x^{3} y - 6 x^{2} y^{2} + 3 x y^{3}

Vậy $A = - 3 x^{2} + 2 x y - y^{2}$ .

Nhận xét. So khớp từng hạng tử cho thấy rõ quy luật đổi dấu: hạng tử dương của tích sinh ra hạng tử âm của $A$ và ngược lại, vì số chia $- 3 x y$ mang dấu âm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chia ba hạng tử là ra

A

ngay, rồi nhân thử lại cho chắc; Cách 3 chặt chẽ hơn vì nó tìm

A

bằng cách so khớp từng hạng tử nên không thể lạc dấu.

Đáp số.

A = - 3 x^{2} + 2 x y - y^{2}

Sai lầm thường gặp. Nhân sai dấu khi chia cho đơn thức có hệ số âm

- 3 x y

, dẫn tới đổi dấu sai ở các hạng tử của

A

🚀 Mở rộng. Bài cùng dạng ở mức khó hơn: tìm đa thức

A

sao cho

A \cdot (- 3 x y) = 9 x^{3} y + 3 x y^{3} - 6 x^{2} y^{2} + x

— hãy chỉ ra vì sao lần này không tồn tại đa thức

A

nào thoả mãn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 1.30★★Trang 24— Tìm đơn thức chưa biết trong phép chia đơn thức

Bài 1.30 (trang 24). a) Tìm đơn thức

M

, biết rằng

\frac{7}{3} x^{3} y^{2} : M = 7 x y^{2}

. b) Tìm đơn thức

N

sao cho

N : 0, 5 x y^{2} z = - x y

Kiến thức cần nhớ

Nếu $A : M = Q$ ( $M \neq = 0$ ) thì $M = A : Q$ .
Nếu $N : B = Q$ thì $N = B \cdot Q$ .

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu nhận dạng: hai câu đều tìm đơn thức chưa biết nhưng ở hai vị trí khác nhau — câu a) đơn thức là SỐ CHIA, câu b) đơn thức là SỐ BỊ CHIA — nên hai công thức tìm phải khác nhau. Chọn hướng dùng quan hệ giữa phép chia và phép nhân: số chia bằng số bị chia chia cho thương, còn số bị chia bằng thương nhân số chia. Bẫy của đề chính là chỗ đó: dùng nhầm công thức của câu này cho câu kia là ra kết quả lộn ngược hoàn toàn.

1Cách 1. Dùng quan hệ chia - nhân ngược.

Định hướng. Từ đẳng thức phép chia, suy ra $M$ bằng số bị chia chia cho thương, còn $N$ bằng số chia nhân với thương.

a) Từ

\frac{7}{3} x^{3} y^{2} : M = 7 x y^{2}

suy ra

M = \frac{7}{3} x^{3} y^{2} : 7 x y^{2} = \frac{1}{3} x^{2}

.
b) Từ

N : 0, 5 x y^{2} z = - x y

suy ra

N = 0, 5 x y^{2} z \cdot (- x y) = - 0, 5 x^{2} y^{3} z

Vậy a) $M = \frac{1}{3} x^{2}$ ; b) $N = - 0, 5 x^{2} y^{3} z$ .

2Cách 2. Thử lại bằng phép chia trực tiếp.

Định hướng. Thay $M, N$ vừa tìm vào đẳng thức ban đầu để kiểm tra lại kết quả.

\frac{7}{3} x^{3} y^{2} : \frac{1}{3} x^{2} = 7 x y^{2}

, đúng như đề bài.
b)

(- 0, 5 x^{2} y^{3} z) : 0, 5 x y^{2} z = - x y

, đúng như đề bài.

Vậy cả hai kết quả ở Cách 1 đều thoả mãn đẳng thức đã cho.

3Cách 3. Đặt đơn thức cần tìm ở dạng tổng quát rồi so khớp hệ số và số mũ

Định hướng. Viết đơn thức cần tìm dưới dạng hệ số nhân luỹ thừa các biến, thay vào đẳng thức của đề rồi so khớp riêng phần hệ số và riêng số mũ của từng biến.

a) Đặt

M = a x^{p} y^{q}

với

\frac{7}{3} x^{3} y^{2} : M = 7 x y^{2}

Hệ số:

\frac{7}{3} : a = 7

nên

a = \frac{1}{3}

Số mũ của

x

3 - p = 1

nên

p = 2

; số mũ của

y

2 - q = 2

nên

q = 0

M = \frac{1}{3} x^{2}

b) Đặt

N = b x^{p} y^{q} z^{r}

với

N : 0, 5 x y^{2} z = - x y

Hệ số:

b : 0, 5 = - 1

nên

b = - 0, 5

Số mũ của

x

p - 1 = 1

nên

p = 2

; của

y

q - 2 = 1

nên

q = 3

; của

z

r - 1 = 0

nên

r = 1

N = - 0, 5 x^{2} y^{3} z

Vậy a) $M = \frac{1}{3} x^{2}$ ; b) $N = - 0, 5 x^{2} y^{3} z$ .

Nhận xét. Cách này tự phân biệt hai vai trò mà không cần nhớ công thức: ở câu a) số mũ của $M$ bị TRỪ khỏi số mũ của số bị chia, còn ở câu b) số mũ của $N$ là số bị trừ — dấu của phép trừ chỉ ra ngay vai trò.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: xác định vai trò rồi áp đúng công thức, mỗi câu một dòng; Cách 3 an toàn hơn khi còn phân vân, vì nó tìm trực tiếp hệ số và số mũ chứ không dựa vào việc nhớ công thức.

Đáp số. a)

M = \frac{1}{3} x^{2}

; b)

N = - 0, 5 x^{2} y^{3} z

Sai lầm thường gặp. Nhầm lẫn giữa vai trò số bị chia và số chia khi suy luận công thức tìm

M

so với

N

, dẫn tới đặt sai phép tính.

🚀 Mở rộng. Tổng quát hoá: trong phép chia hết, ba đại lượng số bị chia, số chia và thương luôn liên hệ bởi một đẳng thức nhân duy nhất, nên biết hai đại lượng bất kì là tìm được đại lượng thứ ba.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 1.31★★Trang 24— Xét tính chia hết của đa thức cho đơn thức

Bài 1.31 (trang 24). Cho đa thức

A = 9 x y^{4} - 12 x^{2} y^{3} + 6 x^{3} y^{2}

. Với mỗi trường hợp sau đây, xét xem

A

có chia hết cho đơn thức

B

hay không? Thực hiện phép chia trong trường hợp

A

chia hết cho

B

: a)

B = 3 x^{2} y

; b)

B = - 3 x y^{2}

Kiến thức cần nhớ

Đa thức A chia hết cho đơn thức B nếu mọi hạng tử của A đều chia hết cho B.
Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp chia hết), chia từng hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả.

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu nhận dạng: cùng một đa thức

A

đem chia cho hai đơn thức khác nhau, nên điều quyết định là mỗi hạng tử của

A

có chia hết cho

B

hay không. Chọn hướng kiểm từng hạng tử theo số mũ, và chỉ cần một hạng tử vi phạm là kết luận không chia hết. Bẫy của đề là câu a): hai hạng tử

- 12 x^{2} y^{3}

và

6 x^{3} y^{2}

đều chia hết cho

3 x^{2} y

khiến ta tưởng cả đa thức chia hết, trong khi hạng tử đầu

9 x y^{4}

chỉ có

x

bậc

1

nên hỏng.

1Cách 1. Kiểm tra từng hạng tử theo số mũ.

Định hướng. Xét từng hạng tử của $A$ xem có chia hết cho $B$ hay không bằng cách so sánh số mũ của $x$ và $y$ , sau đó chia nếu tất cả hạng tử đều thoả mãn.

a) Với

B = 3 x^{2} y

: hạng tử

9 x y^{4}

có số mũ của

x

là

1

, nhỏ hơn số mũ

2

của

x

trong

B

, nên hạng tử này không chia hết cho

B

.
Do đó

A

không chia hết cho

B = 3 x^{2} y

.
b) Với

B = - 3 x y^{2}

: cả ba hạng tử

9 x y^{4}

- 12 x^{2} y^{3}

6 x^{3} y^{2}

đều có số mũ

x

và

y

không nhỏ hơn số mũ tương ứng trong

B

, nên

A

chia hết cho

B

A : B = (9 x y^{4} : (- 3 x y^{2})) + (- 12 x^{2} y^{3} : (- 3 x y^{2})) + (6 x^{3} y^{2} : (- 3 x y^{2}))

= - 3 y^{2} + 4 x y - 2 x^{2}

Vậy a) $A$ không chia hết cho $B = 3 x^{2} y$ ; b) $A$ chia hết cho $B = - 3 x y^{2}$ với thương $- 2 x^{2} + 4 x y - 3 y^{2}$ .

2Cách 2. Thử lại bằng phân thức và phép nhân.

Định hướng. Với câu a, viết thử một hạng tử dưới dạng phân thức để thấy số mũ âm; với câu b, nhân thương vừa tìm với $B$ để kiểm tra lại có đúng ra $A$ hay không.

\frac{9 x y ^{4}}{3 x ^{2} y} = 3 x^{- 1} y^{3}

, số mũ của

x

âm nên hạng tử này không chia hết cho

B

, suy ra

A

không chia hết cho

B

.
b)

(- 3 x y^{2}) \cdot (- 2 x^{2} + 4 x y - 3 y^{2}) = 6 x^{3} y^{2} - 12 x^{2} y^{3} + 9 x y^{4}

, đúng bằng

A

(chỉ khác thứ tự các hạng tử).

Vậy kết quả kiểm tra lại khớp với Cách 1: a) không chia hết; b) chia hết với thương $- 2 x^{2} + 4 x y - 3 y^{2}$ .

3Cách 3. Rút nhân tử chung của A rồi xét ước của nhân tử chung ấy

Định hướng. Rút nhân tử chung của ba hạng tử ra ngoài; khi đó $A$ chia hết cho $B$ nếu $B$ là ước của nhân tử chung đó, và thương tìm được ngay bằng cách rút gọn.

A = 9 x y^{4} - 12 x^{2} y^{3} + 6 x^{3} y^{2} = 3 x y^{2} (3 y^{2} - 4 x y + 2 x^{2})

B = 3 x^{2} y

đòi

x

với số mũ

2

, mà nhân tử chung chỉ có

x

số mũ

1

Phần còn lại

3 y^{2} - 4 x y + 2 x^{2}

có hạng tử

3 y^{2}

không chứa

x

nên không bù thêm được
b)

B = - 3 x y^{2}

là ước của nhân tử chung

3 x y^{2}

A : (- 3 x y^{2}) = \frac{3 x y ^{2}}{- 3 x y ^{2}} (3 y^{2} - 4 x y + 2 x^{2}) = - (3 y^{2} - 4 x y + 2 x^{2})

= - 2 x^{2} + 4 x y - 3 y^{2}

Vậy a) $A$ không chia hết cho $B = 3 x^{2} y$ ; b) $A$ chia hết cho $B = - 3 x y^{2}$ và thương bằng $- 2 x^{2} + 4 x y - 3 y^{2}$ .

Nhận xét. Dạng $3 x y^{2} (3 y^{2} - 4 x y + 2 x^{2})$ trả lời được mọi câu hỏi chia hết của bài chỉ trong một dòng: $A$ chia hết cho đúng những đơn thức có phần biến là ước của $x y^{2}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: rút nhân tử chung

3 x y^{2}

của

A

ra trước thì cả hai câu được trả lời cùng lúc, và thương của câu b) hiện ra ngay mà không phải chia ba lần.

Đáp số. a)

A

không chia hết cho

B = 3 x^{2} y

; b)

A

chia hết cho

B = - 3 x y^{2}

, thương bằng

- 2 x^{2} + 4 x y - 3 y^{2}

Sai lầm thường gặp. Chỉ kiểm tra một vài hạng tử rồi vội kết luận chia hết, bỏ sót hạng tử không thoả điều kiện số mũ.

🚀 Mở rộng. Tổng quát hoá: đa thức

A

chia hết cho đơn thức

B

khi và chỉ khi

B

là ước của nhân tử chung của mọi hạng tử của

A

; ở đây nhân tử chung ấy là

3 x y^{2}

nên mọi ước của

3 x y^{2}

đều chia hết

A

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Bài 1.32★★Trang 24— Chia đa thức cho đơn thức có hệ số thập phân

Bài 1.32 (trang 24). Thực hiện phép chia

(7 y^{5} z^{2} - 14 y^{4} z^{3} + 2, 1 y^{3} z^{4}) : (- 7 y^{3} z^{2})

Kiến thức cần nhớ

Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp chia hết), chia từng hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả.

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu nhận dạng: đa thức ba hạng tử chia cho một đơn thức ÂM, và cả ba hạng tử đều chứa

y^{3} z^{2}

— đúng bằng phần biến của số chia. Chọn hướng chia từng hạng tử vì điều kiện chia hết đã thoả sẵn. Bẫy của đề là dấu và hệ số thập phân: mọi hạng tử đều đổi dấu vì số chia âm, và phép chia hệ số

2, 1 : (- 7)

phải cho đúng

- 0, 3

, rất dễ đặt sai vị trí dấu phẩy thành

- 3

hoặc

- 0, 03

1Cách 1. Chia từng hạng tử.

Định hướng. Chia từng hạng tử của đa thức bị chia cho đơn thức $- 7 y^{3} z^{2}$ , chú ý dấu và hệ số thập phân.

(7 y^{5} z^{2} - 14 y^{4} z^{3} + 2, 1 y^{3} z^{4}) : (- 7 y^{3} z^{2}) = (7 y^{5} z^{2} : (- 7 y^{3} z^{2})) + (- 14 y^{4} z^{3} : (- 7 y^{3} z^{2})) + (2, 1 y^{3} z^{4} : (- 7 y^{3} z^{2}))

= - y^{2} + 2 y z - 0, 3 z^{2}

Vậy $(7 y^{5} z^{2} - 14 y^{4} z^{3} + 2, 1 y^{3} z^{4}) : (- 7 y^{3} z^{2}) = - y^{2} + 2 y z - 0, 3 z^{2}$ .

2Cách 2. Thử lại bằng phép nhân.

Định hướng. Nhân thương vừa tìm với $- 7 y^{3} z^{2}$ , nếu ra đúng đa thức bị chia thì kết quả đúng.

(- y^{2} + 2 y z - 0, 3 z^{2}) \cdot (- 7 y^{3} z^{2}) = 7 y^{5} z^{2} - 14 y^{4} z^{3} + 2, 1 y^{3} z^{4}

Vậy kết quả nhân lại đúng bằng đa thức ban đầu, xác nhận thương $- y^{2} + 2 y z - 0, 3 z^{2}$ đúng.

3Cách 3. Rút nhân tử chung của đa thức bị chia rồi chỉ chia phần hệ số

Định hướng. Cả ba hạng tử đều chứa $y^{3} z^{2}$ — đúng bằng phần biến của số chia; rút nhân tử chung ấy ra thì phần biến triệt tiêu hoàn toàn và chỉ còn một phép chia hệ số duy nhất cho cả ba hạng tử.

7 y^{5} z^{2} - 14 y^{4} z^{3} + 2, 1 y^{3} z^{4} = y^{3} z^{2} (7 y^{2} - 14 y z + 2, 1 z^{2})

(7 y^{5} z^{2} - 14 y^{4} z^{3} + 2, 1 y^{3} z^{4}) : (- 7 y^{3} z^{2}) = \frac{y ^{3} z ^{2}}{- 7 y ^{3} z ^{2}} (7 y^{2} - 14 y z + 2, 1 z^{2})

= - \frac{1}{7} (7 y^{2} - 14 y z + 2, 1 z^{2})

= - y^{2} + 2 y z - 0, 3 z^{2}

Vậy $(7 y^{5} z^{2} - 14 y^{4} z^{3} + 2, 1 y^{3} z^{4}) : (- 7 y^{3} z^{2}) = - y^{2} + 2 y z - 0, 3 z^{2}$ .

Nhận xét. Rút nhân tử chung xong thì dấu âm chỉ còn phải xử lí đúng một lần ở hệ số $- \frac{1}{7}$ , thay vì đổi dấu ba lần như khi chia từng hạng tử — đó là chỗ cách này an toàn hơn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chia ba hạng tử là xong, dễ trình bày; Cách 3 chỉ phải chia hệ số MỘT lần cho cả ba hạng tử nên tránh được lỗi dấu lặp lại ba lần.

Đáp số.

- y^{2} + 2 y z - 0, 3 z^{2}

Sai lầm thường gặp. Nhân/chia sai dấu do số chia

- 7 y^{3} z^{2}

âm, hoặc tính sai hệ số thập phân

2, 1 : (- 7)

🚀 Mở rộng. Bài cùng dạng ở mức khó hơn: tìm tất cả các đơn thức

B

để phép chia

(7 y^{5} z^{2} - 14 y^{4} z^{3} + 2, 1 y^{3} z^{4}) : B

là phép chia hết và thương có bậc bằng

1

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

‹ Bài trướcBài 4. Phép nhân đa thức Bài tiếp theo ›Luyện tập chung

📚 Cùng chương: Chương I. Đa thức

📘 Sách & 🎓 khóa học cùng chủ đề

Học sâu hơn về Đa thức, hằng đẳng thức, phân thức — đọc thử miễn phí trước khi mua.

📘 Sách

Bài 5. Phép chia đa thức cho đơn thức

🎯 Học tiếp

📚 Cùng chương: Chương I. Đa thức

📘 Sách & 🎓 khóa học cùng chủ đề

Toán 8 Luxury – Trọn bộ

Tuyển tập 100 đề giữa kì I Toán 8

Đề HSG Toán 8 – Lời giải chi tiết

Toán 8 – Bản Luxury

Bồi dưỡng HSG THCS