Bài 6. Hiệu hai bình phương. Bình phương của một tổng hay một hiệu

Định hướng. Khai triển vế trái của mỗi đẳng thức rồi so sánh với vế phải; nếu hai vế luôn bằng nhau với mọi giá trị của chữ thì đó là hằng đẳng thức, còn nếu chỉ bằng nhau ở một vài giá trị thì không phải.

Vậy đẳng thức a) là hằng đẳng thức, còn đẳng thức b) không là hằng đẳng thức.

Định hướng. Thay một vài giá trị cụ thể của chữ vào từng đẳng thức: nếu tìm được một giá trị làm hai vế khác nhau thì đẳng thức đó không là hằng đẳng thức; nếu thử với các giá trị khác nhau đều thấy hai vế bằng nhau thì phù hợp với kết luận là hằng đẳng thức ở Cách 1.

Vậy phép thử số khẳng định lại: a) là hằng đẳng thức, b) không là hằng đẳng thức.

Nhận xét. Với đẳng thức a), phép thử số chỉ có tính minh họa; muốn chắc chắn đó là hằng đẳng thức phải khai triển tổng quát như Cách 1.

Định hướng. Ở Hình 2.1a, tính diện tích phần xanh bằng cách lấy diện tích hình vuông lớn cạnh $a$ trừ đi diện tích hình vuông nhỏ (màu vàng) cạnh $b$; ở Hình 2.1b, phần xanh là một hình chữ nhật nên diện tích bằng tích hai kích thước.

Vậy diện tích phần xanh ở Hình 2.1a bằng $a^2-b^2$, diện tích phần xanh ở Hình 2.1b bằng $(a+b)(a-b)$.

Định hướng. Nhận xét hai mảnh xanh trong Hình 2.1a (một mảnh kích thước $(a-b)\times b$, một mảnh kích thước $a\times (a-b)$) khi ghép lại đúng bằng hình chữ nhật xanh ở Hình 2.1b, từ đó tính diện tích phần xanh ở Hình 2.1a bằng tổng diện tích hai mảnh.

Vậy diện tích hai hình ở câu a và câu b bằng nhau, đều bằng $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$.

Nhận xét. Đây chính là cách hình học chỉ ra hằng đẳng thức hiệu hai bình phương $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$.

Định hướng. Nhân phá ngoặc $(a+b)(a-b)$ theo quy tắc nhân đa thức với đa thức rồi thu gọn hai hạng tử đối nhau.

Vậy $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$, tức là $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$.

Định hướng. Đối chiếu với Hoạt động 1: diện tích phần xanh ở Hình 2.1a bằng $a^2-b^2$ và diện tích phần xanh ở Hình 2.1b (ghép từ đúng hai mảnh của Hình 2.1a) bằng $(a+b)(a-b)$, nên hai biểu thức đó phải bằng nhau.

Vậy kết quả hình học ở Hoạt động 1 khẳng định lại đúng phép tính đại số: $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

Nhận xét. Đây là hai cách tiếp cận khác nhau (đại số và hình học) cùng dẫn tới một hằng đẳng thức.

Định hướng. Đưa mỗi biểu thức về dạng $A^2-B^2$ rồi áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương để tính nhanh hoặc phân tích thành tích.

Vậy a) $99^2-1=9800$; b) $x^2-9=(x-3)(x+3)$.

Định hướng. Ở câu a, tính trực tiếp $99^2$ rồi trừ $1$ để kiểm tra chéo kết quả; ở câu b, nhân ngược tích $(x-3)(x+3)$ để kiểm tra lại đúng bằng $x^2-9$.

Vậy cả hai kết quả ở Cách 1 đều được kiểm tra đúng: a) $9800$; b) $(x-3)(x+3)$.

Định hướng. Nhận xét $198$ và $202$ đều cách đều $200$ một khoảng $2$ đơn vị, nên viết $198=200-2$, $202=200+2$ rồi áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương.

Vậy bạn đó đã đưa $198\cdot 202$ về dạng $(200-2)(200+2)$ để tính nhanh ra kết quả $39996$.

Định hướng. Tính trực tiếp tích $198\cdot 202$ bằng cách tách $202=200+2$ rồi nhân phân phối, để kiểm tra lại kết quả tính nhanh ở Cách 1.

Vậy kết quả tính trực tiếp cũng bằng $39996$, khớp với Cách 1.

Định hướng. Nhân phá ngoặc $(a+b)(a+b)$ theo quy tắc nhân đa thức với đa thức rồi cộng hai hạng tử đồng dạng $ab$.

Vậy $(a+b{)}^2=(a+b)(a+b)=a^2+2ab+b^2$.

Định hướng. Thay một cặp giá trị cụ thể của $a,b$ vào $(a+b{)}^2$ và vào $a^2+2ab+b^2$ để kiểm tra hai biểu thức luôn cho cùng kết quả.

Vậy hai cách tính cho cùng kết quả $64$, khớp với hằng đẳng thức $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ ở Cách 1.

Định hướng. Ở ý 1, đưa về dạng $(A+B{)}^2$ với $A=2b,B=1$ rồi khai triển. Ở ý 2, nhận ra $9y^2=(3y{)}^2$ và hạng tử giữa $6yx=2\cdot 3y\cdot x$ để nhận dạng $A=3y,B=x$.

Vậy 1. $(2b+1{)}^2=4b^2+4b+1$; 2. $9y^2+6yx+x^2=(3y+x{)}^2$.

Định hướng. Ở ý 1, nhân phá ngoặc trực tiếp $(2b+1)(2b+1)$ mà không dùng công thức. Ở ý 2, khai triển ngược $(3y+x{)}^2$ để kiểm tra đúng bằng biểu thức đã cho.

Vậy kết quả ở Cách 1 được kiểm tra khớp: 1. $4b^2+4b+1$; 2. $(3y+x{)}^2$.

Định hướng. Viết $a-b=a+(-b)$ rồi áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng với $A=a,B=-b$.

Vậy $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$.

Định hướng. Nhân phá ngoặc trực tiếp $(a-b)(a-b)$ theo quy tắc nhân đa thức với đa thức, không cần đổi phép trừ thành phép cộng.

Vậy kết quả khớp với Cách 1: $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$.

Định hướng. Nhận dạng $A=3x,B=2y$ rồi áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu.

Vậy $(3x-2y{)}^2=9x^2-12xy+4y^2$.

Định hướng. Nhân phá ngoặc trực tiếp $(3x-2y)(3x-2y)$ để kiểm tra lại kết quả ở Cách 1.

Vậy kết quả trùng khớp với Cách 1: $(3x-2y{)}^2=9x^2-12xy+4y^2$.

Định hướng. Viết $1002=1000+2$ rồi áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng để tính nhanh.

Vậy Nam đã viết $1002=1000+2$ rồi dùng hằng đẳng thức bình phương của một tổng để tính nhanh ra $1004004$.

Định hướng. Tính trực tiếp $1002\cdot 1002$ bằng cách tách $1002\cdot 1002=1002\cdot 1000+1002\cdot 2$ để kiểm tra lại kết quả tính nhanh ở Cách 1.

Vậy kết quả tính trực tiếp cũng bằng $1004004$, khớp với Cách 1.

Định hướng. Khai triển vế trái của b), c) rồi so sánh với vế phải; xét hiệu hai vế của a), d) để thấy hiệu đó phụ thuộc vào biến, không luôn bằng $0$.

Vậy các đẳng thức b) và c) là hằng đẳng thức; a) và d) không là hằng đẳng thức.

Định hướng. Thay một giá trị cụ thể vào từng đẳng thức: nếu hai vế khác nhau thì chắc chắn không là hằng đẳng thức; với b), c) thử thêm số để kiểm tra lại kết luận ở Cách 1.

Vậy phép thử số khẳng định lại: b), c) là hằng đẳng thức; a), d) không là hằng đẳng thức.

Nhận xét. Phản ví dụ đủ để bác bỏ (như ở a, d), nhưng để khẳng định một đẳng thức luôn đúng thì phải khai triển tổng quát như Cách 1.

Định hướng. Đối chiếu từng đẳng thức với hằng đẳng thức tương ứng để xác định $A,B$ rồi suy ra biểu thức cần điền.

Vậy a) $9y^2$; b) $x^2$; c) $16y^2$ và $x$; d) $4x^2$ và $3y$.

Định hướng. Sau khi điền, khai triển lại vế phải để kiểm tra đúng khớp với vế trái của đề bài.

Vậy mọi kết quả điền ở Cách 1 đều được kiểm tra khớp bằng cách khai triển ngược lại.

Định hướng. Nhận xét $54,66$ cách đều $60$ và $203=200+3$, rồi áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương và bình phương của một tổng.

Vậy a) $54\cdot 66=3564$; b) $203^2=41209$.

Định hướng. Tính trực tiếp bằng cách nhân, cộng thông thường để kiểm tra lại kết quả tính nhanh ở Cách 1.

Vậy cả hai kết quả tính trực tiếp đều khớp với Cách 1: a) $3564$; b) $41209$.

Định hướng. Xác định $A,B$ sao cho biểu thức đã cho khớp với dạng $A^2\pm 2AB+B^2$.

Vậy a) $x^2+4x+4=(x+2{)}^2$; b) $16a^2-16ab+4b^2=(4a-2b{)}^2$.

Định hướng. Khai triển lại kết quả ở Cách 1 để kiểm tra đúng bằng biểu thức ban đầu.

Vậy kết quả ở Cách 1 được kiểm tra đúng: a) $(x+2{)}^2$; b) $(4a-2b{)}^2$.

Nhận xét. Biểu thức b) còn có thể viết gọn hơn dưới dạng $4(2a-b{)}^2$ vì $16a^2-16ab+4b^2=4(4a^2-4ab+b^2)=4(2a-b{)}^2$.

Định hướng. Ở câu a), coi $(x-3y{)}^2-(x+3y{)}^2$ là hiệu hai bình phương với $A=x-3y,B=x+3y$ để phân tích thành tích. Ở câu b), khai triển trực tiếp từng bình phương rồi cộng, thu gọn các hạng tử đối nhau chứa $xy$.

Vậy a) $(x-3y{)}^2-(x+3y{)}^2=-12xy$; b) $(3x+4y{)}^2+(4x-3y{)}^2=25x^2+25y^2$.

Định hướng. Ở câu a), khai triển trực tiếp từng bình phương rồi trừ để kiểm tra lại kết quả. Ở câu b), thay một cặp giá trị cụ thể của $x,y$ để kiểm tra kết quả rút gọn.

Vậy cả hai kết quả ở Cách 1 đều được kiểm tra đúng: a) $-12xy$; b) $25x^2+25y^2$.

Định hướng. Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương với $A=n+2,B=n$ để phân tích $(n+2{)}^2-n^2$ thành tích, từ đó chỉ ra thừa số $4$.

Vậy $(n+2{)}^2-n^2=4(n+1)$, mà $n+1$ là số tự nhiên nên $(n+2{)}^2-n^2$ chia hết cho $4$ với mọi số tự nhiên $n$.

Định hướng. Khai triển trực tiếp $(n+2{)}^2$ theo hằng đẳng thức bình phương của một tổng rồi trừ $n^2$, không cần phân tích thành nhân tử.

Vậy $(n+2{)}^2-n^2=4(n+1)$ chia hết cho $4$ với mọi số tự nhiên $n$, khớp với kết quả ở Cách 1.