Chương II. Hằng đẳng thức đáng nhớ và ứng dụng

Bài 7. Lập phương của một tổng hay một hiệu

SGK Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 1 · 12 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Bài 1 · HĐ1★Trang 34— Nhân đa thức để tìm hằng đẳng thức lập phương của một tổng

HĐ1 (trang 34). Với hai số

a

b

bất kì, thực hiện phép tính

(a + b) \cdot (a + b)^{2}

. Từ đó rút ra liên hệ giữa

(a + b)^{3}

và

a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}

Kiến thức cần nhớ

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ là hằng đẳng thức bình phương của một tổng đã học.
Muốn nhân đa thức với đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích.

1Cách 1. Nhân trực tiếp

(a + b) \cdot (a + b)^{2}

Định hướng. Khai triển $(a + b)^{2}$ trước, sau đó nhân với $(a + b)$ và thu gọn các hạng tử đồng dạng để tìm liên hệ giữa hai vế.

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

(a + b) \cdot (a + b)^{2} = (a + b) (a^{2} + 2 ab + b^{2})

= a \cdot a^{2} + a \cdot 2 ab + a \cdot b^{2} + b \cdot a^{2} + b \cdot 2 ab + b \cdot b^{2}

= a^{3} + 2 a^{2} b + a b^{2} + a^{2} b + 2 a b^{2} + b^{3}

= a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}

Vậy $(a + b) \cdot (a + b)^{2} = (a + b)^{3}$ nên $(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ .

2Cách 2. Dùng hệ số tam giác Pascal rồi thử lại bằng số.

Định hướng. Hàng ứng với số mũ $3$ của tam giác Pascal cho các hệ số $1, 3, 3, 1$ , từ đó dự đoán khai triển của $(a + b)^{3}$ rồi thay số kiểm tra lại.

Hàng của tam giác Pascal ứng với số mũ

3

là

1, 3, 3, 1

; số mũ của

a

giảm dần từ

3

về

0

, số mũ của

b

tăng dần từ

0

đến

3

.
Dự đoán

(a + b)^{3} = 1 \cdot a^{3} + 3 \cdot a^{2} b + 3 \cdot a b^{2} + 1 \cdot b^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}

.
Thay

a = 1, b = 2

(a + b)^{3} = 3^{3} = 27

;

a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} = 1 + 6 + 12 + 8 = 27

Vậy kết quả dự đoán từ tam giác Pascal khớp với phép thử bằng số, xác nhận $(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ .

Nhận xét. Thay số chỉ kiểm tra được một trường hợp riêng, kết quả tổng quát với mọi $a, b$ vẫn dựa vào phép nhân trực tiếp ở Cách 1.

Đáp số.

(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}

Sai lầm thường gặp. Quên nhân đủ sáu tích khi nhân

(a + b)

với

(a^{2} + 2 ab + b^{2})

, hoặc cộng nhầm hai hạng tử đồng dạng

a^{2} b

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 34

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Luyện tập 1★★Trang 35— Khai triển và rút gọn biểu thức dùng hằng đẳng thức lập phương của một tổng

Luyện tập 1 (trang 35). 1. Khai triển: a)

(x + 3)^{3}

; b)

(x + 2 y)^{3}

. 2. Rút gọn biểu thức

(2 x + y)^{3} - 8 x^{3} - y^{3}

Kiến thức cần nhớ

$(A + B)^{3} = A^{3} + 3 A^{2} B + 3 A B^{2} + B^{3}$ với $A, B$ là hai biểu thức tuỳ ý.
Muốn rút gọn biểu thức chứa lập phương của một tổng, khai triển theo hằng đẳng thức rồi cộng trừ các hạng tử đồng dạng.

1Cách 1. Áp dụng trực tiếp hằng đẳng thức lập phương của một tổng.

Định hướng. Xác định $A, B$ trong từng biểu thức rồi thay vào công thức $(A + B)^{3} = A^{3} + 3 A^{2} B + 3 A B^{2} + B^{3}$ .

1a)

(x + 3)^{3} = x^{3} + 3 \cdot x^{2} \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^{2} + 3^{3} = x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27

.
1b)

(x + 2 y)^{3} = x^{3} + 3 \cdot x^{2} \cdot (2 y) + 3 \cdot x \cdot (2 y)^{2} + (2 y)^{3} = x^{3} + 6 x^{2} y + 12 x y^{2} + 8 y^{3}

.
2)

(2 x + y)^{3} = (2 x)^{3} + 3 \cdot (2 x)^{2} \cdot y + 3 \cdot (2 x) \cdot y^{2} + y^{3} = 8 x^{3} + 12 x^{2} y + 6 x y^{2} + y^{3}

(2 x + y)^{3} - 8 x^{3} - y^{3} = (8 x^{3} + 12 x^{2} y + 6 x y^{2} + y^{3}) - 8 x^{3} - y^{3} = 12 x^{2} y + 6 x y^{2}

Vậy 1a) $(x + 3)^{3} = x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$ ; 1b) $(x + 2 y)^{3} = x^{3} + 6 x^{2} y + 12 x y^{2} + 8 y^{3}$ ; 2) $(2 x + y)^{3} - 8 x^{3} - y^{3} = 12 x^{2} y + 6 x y^{2}$ .

2Cách 2. Thay số kiểm tra chéo.

Định hướng. Thay các giá trị cụ thể của $x, y$ vào cả biểu thức gốc và kết quả đã khai triển để kiểm tra chéo.

Với

x = 1

(1 + 3)^{3} = 64

;

1 + 9 + 27 + 27 = 64

.
Với

x = 1, y = 1

(1 + 2)^{3} = 27

;

1 + 6 + 12 + 8 = 27

.
Với

x = 1, y = 1

(2 + 1)^{3} - 8 - 1 = 27 - 9 = 18

;

12 \cdot 1 \cdot 1 + 6 \cdot 1 \cdot 1 = 18

Vậy cả ba kết quả ở Cách 1 đều được xác nhận đúng qua phép thay số.

Đáp số. 1a)

x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27

; 1b)

x^{3} + 6 x^{2} y + 12 x y^{2} + 8 y^{3}

; 2)

12 x^{2} y + 6 x y^{2}

Sai lầm thường gặp. Quên nhân hệ số

3

ở các hạng tử giữa khi khai triển, hoặc cộng trừ sai dấu khi rút gọn

(2 x + y)^{3} - 8 x^{3} - y^{3}

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 35

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Luyện tập 2★★Trang 35— Nhận dạng và viết đa thức về dạng lập phương của một tổng

Luyện tập 2 (trang 35). Viết biểu thức

x^{3} + 9 x^{2} y + 27 x y^{2} + 27 y^{3}

dưới dạng lập phương của một tổng.

Kiến thức cần nhớ

$(A + B)^{3} = A^{3} + 3 A^{2} B + 3 A B^{2} + B^{3}$ .
So sánh hạng tử bậc ba đầu và hạng tử bậc ba cuối để xác định $A$ và $B$ .

1Cách 1. Nhận dạng theo hằng đẳng thức tổng quát.

Định hướng. So sánh biểu thức đã cho với dạng $A^{3} + 3 A^{2} B + 3 A B^{2} + B^{3}$ để xác định $A, B$ rồi kiểm tra lại từng hạng tử.

So sánh

x^{3} + 9 x^{2} y + 27 x y^{2} + 27 y^{3}

với dạng

A^{3} + 3 A^{2} B + 3 A B^{2} + B^{3}

, chọn

A = x

.
Từ hạng tử cuối

B^{3} = 27 y^{3}

suy ra

B = 3 y

.
Kiểm tra hạng tử thứ hai:

3 A^{2} B = 3 x^{2} \cdot 3 y = 9 x^{2} y

, đúng với đề.
Kiểm tra hạng tử thứ ba:

3 A B^{2} = 3 x \cdot (3 y)^{2} = 27 x y^{2}

, đúng với đề.

Vậy $x^{3} + 9 x^{2} y + 27 x y^{2} + 27 y^{3} = (x + 3 y)^{3}$ .

2Cách 2. Giả sử dạng

(x + a y)^{3}

rồi khai triển kiểm chứng.

Định hướng. Đặt biểu thức dưới dạng $(x + a y)^{3}$ với $a$ chưa biết, khai triển rồi so sánh hệ số của $x^{2} y$ để tìm $a$ .

Giả sử

x^{3} + 9 x^{2} y + 27 x y^{2} + 27 y^{3} = (x + a y)^{3}

.
Khai triển

(x + a y)^{3} = x^{3} + 3 a x^{2} y + 3 a^{2} x y^{2} + a^{3} y^{3}

.
So sánh hệ số của

x^{2} y

3 a = 9

, suy ra

a = 3

.
Thay

a = 3

(x + 3 y)^{3} = x^{3} + 9 x^{2} y + 27 x y^{2} + 27 y^{3}

, đúng khớp với đề.

Vậy $x^{3} + 9 x^{2} y + 27 x y^{2} + 27 y^{3} = (x + 3 y)^{3}$ .

Đáp số.

(x + 3 y)^{3}

Sai lầm thường gặp. Nhầm

B = 3 y

với

B = 9 y

do lấy trực tiếp hệ số của hạng tử thứ hai thay vì khai căn bậc ba của hạng tử cuối.

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 35

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · HĐ2★Trang 35— Suy ra hằng đẳng thức lập phương của một hiệu từ hằng đẳng thức lập phương của một tổng

HĐ2 (trang 35). Với hai số

a

b

bất kì, viết

a - b = a + (- b)

và áp dụng hằng đẳng thức lập phương của một tổng để tính

(a - b)^{3}

. Từ đó rút ra liên hệ giữa

(a - b)^{3}

và

a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}

Kiến thức cần nhớ

$(A + B)^{3} = A^{3} + 3 A^{2} B + 3 A B^{2} + B^{3}$ (đã có ở HĐ1).
Có thể viết $a - b = a + (- b)$ để đưa phép tính $(a - b)^{3}$ về dạng lập phương của một tổng.

1Cách 1. Đưa về lập phương của một tổng với

B

là

- b

Định hướng. Viết $a - b = a + (- b)$ rồi thay $B = - b$ vào hằng đẳng thức lập phương của một tổng đã biết ở HĐ1.

a - b = a + (- b)

(a - b)^{3} = [a + (- b)]^{3} = a^{3} + 3 a^{2} \cdot (- b) + 3 a \cdot (- b)^{2} + (- b)^{3}

= a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}

Vậy $(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$ .

2Cách 2. Nhân trực tiếp

(a - b) (a - b)^{2}

rồi thu gọn.

Định hướng. Khai triển $(a - b)^{2}$ trước, sau đó nhân với $(a - b)$ và thu gọn các hạng tử đồng dạng.

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

(a - b) \cdot (a - b)^{2} = (a - b) (a^{2} - 2 ab + b^{2})

= a \cdot a^{2} + a \cdot (- 2 ab) + a \cdot b^{2} - b \cdot a^{2} - b \cdot (- 2 ab) - b \cdot b^{2}

= a^{3} - 2 a^{2} b + a b^{2} - a^{2} b + 2 a b^{2} - b^{3}

= a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}

Vậy nhân trực tiếp cũng cho cùng kết quả $(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$ , khớp với Cách 1.

Đáp số.

(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}

Sai lầm thường gặp. Quên đổi dấu khi thay

B = - b

vào các hạng tử bậc lẻ

3 A^{2} B

và

B^{3}

, dẫn tới sai dấu của các hạng tử

- 3 a^{2} b

và

- b^{3}

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 35

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Luyện tập 3★Trang 35— Khai triển biểu thức theo hằng đẳng thức lập phương của một hiệu

Luyện tập 3 (trang 35). Khai triển

(2 x - y)^{3}

Kiến thức cần nhớ

$(A - B)^{3} = A^{3} - 3 A^{2} B + 3 A B^{2} - B^{3}$ .

1Cách 1. Áp dụng trực tiếp hằng đẳng thức lập phương của một hiệu.

Định hướng. Xác định $A = 2 x, B = y$ rồi thay vào công thức $(A - B)^{3} = A^{3} - 3 A^{2} B + 3 A B^{2} - B^{3}$ .

(2 x - y)^{3} = (2 x)^{3} - 3 \cdot (2 x)^{2} \cdot y + 3 \cdot (2 x) \cdot y^{2} - y^{3}

= 8 x^{3} - 12 x^{2} y + 6 x y^{2} - y^{3}

Vậy $(2 x - y)^{3} = 8 x^{3} - 12 x^{2} y + 6 x y^{2} - y^{3}$ .

2Cách 2. Nhân phá ngoặc từng bước rồi thu gọn.

Định hướng. Viết $(2 x - y)^{3} = (2 x - y) (2 x - y)^{2}$ , khai triển $(2 x - y)^{2}$ rồi nhân phân phối và thu gọn, không dùng trực tiếp công thức đóng gói.

(2 x - y)^{2} = 4 x^{2} - 4 x y + y^{2}

(2 x - y) (4 x^{2} - 4 x y + y^{2}) = 2 x \cdot 4 x^{2} + 2 x \cdot (- 4 x y) + 2 x \cdot y^{2} - y \cdot 4 x^{2} - y \cdot (- 4 x y) - y \cdot y^{2}

= 8 x^{3} - 8 x^{2} y + 2 x y^{2} - 4 x^{2} y + 4 x y^{2} - y^{3}

= 8 x^{3} - 12 x^{2} y + 6 x y^{2} - y^{3}

Vậy nhân phá ngoặc trực tiếp cũng cho cùng kết quả $8 x^{3} - 12 x^{2} y + 6 x y^{2} - y^{3}$ , khớp với Cách 1.

Đáp số.

8 x^{3} - 12 x^{2} y + 6 x y^{2} - y^{3}

Sai lầm thường gặp. Quên đổi dấu ở hai hạng tử bậc lẻ khi áp dụng công thức, làm mất dấu trừ của

- 12 x^{2} y

hoặc

- y^{3}

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 35

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Luyện tập 4★★Trang 36— Nhận dạng và viết đa thức về dạng lập phương của một hiệu

Luyện tập 4 (trang 36). Viết biểu thức sau dưới dạng lập phương của một hiệu:

8 x^{3} - 36 x^{2} y + 54 x y^{2} - 27 y^{3}

Kiến thức cần nhớ

$(A - B)^{3} = A^{3} - 3 A^{2} B + 3 A B^{2} - B^{3}$ .
So sánh hạng tử bậc ba đầu và hạng tử bậc ba cuối để xác định $A$ và $B$ .

1Cách 1. Nhận dạng theo hằng đẳng thức tổng quát.

Định hướng. So sánh biểu thức đã cho với dạng $A^{3} - 3 A^{2} B + 3 A B^{2} - B^{3}$ để xác định $A, B$ rồi kiểm tra lại từng hạng tử.

Từ hạng tử đầu

A^{3} = 8 x^{3}

suy ra

A = 2 x

; từ hạng tử cuối

B^{3} = 27 y^{3}

suy ra

B = 3 y

.
Kiểm tra hạng tử thứ hai:

3 A^{2} B = 3 (2 x)^{2} \cdot 3 y = 36 x^{2} y

, đúng với đề (mang dấu trừ).
Kiểm tra hạng tử thứ ba:

3 A B^{2} = 3 \cdot 2 x \cdot (3 y)^{2} = 54 x y^{2}

, đúng với đề.

Vậy $8 x^{3} - 36 x^{2} y + 54 x y^{2} - 27 y^{3} = (2 x - 3 y)^{3}$ .

2Cách 2. Khai triển ngược để kiểm chứng.

Định hướng. Khai triển trực tiếp $(2 x - 3 y)^{3}$ rồi đối chiếu từng hạng tử với biểu thức đã cho.

(2 x - 3 y)^{3} = (2 x)^{3} - 3 (2 x)^{2} (3 y) + 3 (2 x) (3 y)^{2} - (3 y)^{3}

= 8 x^{3} - 36 x^{2} y + 54 x y^{2} - 27 y^{3}

Vậy khai triển $(2 x - 3 y)^{3}$ đúng bằng biểu thức đã cho, xác nhận $8 x^{3} - 36 x^{2} y + 54 x y^{2} - 27 y^{3} = (2 x - 3 y)^{3}$ .

Đáp số.

(2 x - 3 y)^{3}

Sai lầm thường gặp. Lấy nhầm

B

từ căn bậc ba sai, chẳng hạn lấy

B = 27 y

thay vì

B = 3 y

do quên khai căn bậc ba của hệ số

27

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 36

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Vận dụng★★Trang 36— Rút gọn tổng hai lập phương của một hiệu và một tổng

Vận dụng (trang 36). Rút gọn biểu thức

(x - y)^{3} + (x + y)^{3}

Kiến thức cần nhớ

$(A - B)^{3} = A^{3} - 3 A^{2} B + 3 A B^{2} - B^{3}$ và $(A + B)^{3} = A^{3} + 3 A^{2} B + 3 A B^{2} + B^{3}$ .
Khi cộng hai khai triển đối xứng, các hạng tử chứa luỹ thừa lẻ của $B$ triệt tiêu nhau, chỉ còn lại các hạng tử chứa luỹ thừa chẵn của $B$ .

1Cách 1. Khai triển từng lập phương rồi cộng, thu gọn.

Định hướng. Khai triển riêng $(x - y)^{3}$ và $(x + y)^{3}$ theo hằng đẳng thức rồi cộng lại, các hạng tử trái dấu sẽ triệt tiêu.

(x - y)^{3} = x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3}

(x + y)^{3} = x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3}

(x - y)^{3} + (x + y)^{3} = (x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3}) + (x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3})

= 2 x^{3} + 6 x y^{2}

Vậy $(x - y)^{3} + (x + y)^{3} = 2 x^{3} + 6 x y^{2}$ .

2Cách 2. Thay số kiểm tra chéo.

Định hướng. Thay một cặp giá trị cụ thể của $x, y$ vào biểu thức ban đầu và vào kết quả đã rút gọn để đối chiếu.

Với

x = 2, y = 1

(x - y)^{3} + (x + y)^{3} = 1^{3} + 3^{3} = 1 + 27 = 28

2 x^{3} + 6 x y^{2} = 2 \cdot 8 + 6 \cdot 2 \cdot 1 = 16 + 12 = 28

Vậy kết quả thay số khớp với $2 x^{3} + 6 x y^{2}$ , xác nhận Cách 1 đúng.

Đáp số.

2 x^{3} + 6 x y^{2}

Sai lầm thường gặp. Quên đổi dấu khi khai triển

(x - y)^{3}

, làm mất đúng cặp hạng tử

3 x^{2} y

và

- 3 x^{2} y

cần triệt tiêu khi cộng.

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 36

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 2.7★★Trang 36— Khai triển biểu thức theo hằng đẳng thức lập phương của một tổng, một hiệu

Bài 2.7 (trang 36). Khai triển: a)

(x^{2} + 2 y)^{3}

; b)

(\frac{1}{2} x - 1)^{3}

Kiến thức cần nhớ

$(A + B)^{3} = A^{3} + 3 A^{2} B + 3 A B^{2} + B^{3}$ và $(A - B)^{3} = A^{3} - 3 A^{2} B + 3 A B^{2} - B^{3}$ .

1Cách 1. Áp dụng trực tiếp hằng đẳng thức.

Định hướng. Xác định $A, B$ trong từng câu rồi thay vào công thức lập phương của một tổng hoặc một hiệu.

(x^{2} + 2 y)^{3} = (x^{2})^{3} + 3 (x^{2})^{2} \cdot 2 y + 3 x^{2} \cdot (2 y)^{2} + (2 y)^{3} = x^{6} + 6 x^{4} y + 12 x^{2} y^{2} + 8 y^{3}

.
b)

(\frac{1}{2} x - 1)^{3} = (\frac{1}{2} x)^{3} - 3 (\frac{1}{2} x)^{2} \cdot 1 + 3 \cdot \frac{1}{2} x \cdot 1^{2} - 1^{3} = \frac{1}{8} x^{3} - \frac{3}{4} x^{2} + \frac{3}{2} x - 1

Vậy a) $(x^{2} + 2 y)^{3} = x^{6} + 6 x^{4} y + 12 x^{2} y^{2} + 8 y^{3}$ ; b) $(\frac{1}{2} x - 1)^{3} = \frac{1}{8} x^{3} - \frac{3}{4} x^{2} + \frac{3}{2} x - 1$ .

2Cách 2. Thay số kiểm tra chéo.

Định hướng. Thay giá trị cụ thể của $x, y$ vào biểu thức gốc và kết quả đã khai triển để kiểm tra chéo.

a) Với

x = 1, y = 1

(1 + 2)^{3} = 27

;

1 + 6 + 12 + 8 = 27

.
b) Với

x = 2

(\frac{1}{2} \cdot 2 - 1)^{3} = 0^{3} = 0

;

\frac{1}{8} \cdot 8 - \frac{3}{4} \cdot 4 + \frac{3}{2} \cdot 2 - 1 = 1 - 3 + 3 - 1 = 0

Vậy cả hai kết quả ở Cách 1 đều được xác nhận đúng.

Đáp số. a)

x^{6} + 6 x^{4} y + 12 x^{2} y^{2} + 8 y^{3}

; b)

\frac{1}{8} x^{3} - \frac{3}{4} x^{2} + \frac{3}{2} x - 1

Sai lầm thường gặp. Nhân sai số mũ khi tính

(x^{2})^{3}

hoặc

(x^{2})^{2}

, hoặc tính sai các hệ số chứa phân số

\frac{1}{2}

khi khai triển câu b.

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 36

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Bài 2.8★★Trang 36— Nhận dạng và viết đa thức về dạng lập phương của một tổng hoặc một hiệu

Bài 2.8 (trang 36). Viết các biểu thức sau dưới dạng lập phương của một tổng hoặc một hiệu. a)

27 + 54 x + 36 x^{2} + 8 x^{3}

; b)

64 x^{3} + 144 x^{2} y + 108 x y^{2} + 27 y^{3}

Kiến thức cần nhớ

$(A + B)^{3} = A^{3} + 3 A^{2} B + 3 A B^{2} + B^{3}$ .
Sắp xếp đa thức theo luỹ thừa tăng hoặc giảm dần rồi so sánh hạng tử đầu, hạng tử cuối để xác định $A, B$ .

1Cách 1. Nhận dạng theo hằng đẳng thức tổng quát.

Định hướng. Sắp xếp mỗi đa thức theo luỹ thừa của biến rồi so sánh hạng tử bậc ba đầu và cuối để xác định $A, B$ , sau đó kiểm tra các hạng tử giữa.

a) Sắp theo luỹ thừa tăng dần của

x

27 + 54 x + 36 x^{2} + 8 x^{3}

, ta thấy

A^{3} = 27 = 3^{3}

nên

A = 3

, và

B^{3} = 8 x^{3} = (2 x)^{3}

nên

B = 2 x

.
Kiểm tra:

3 A^{2} B = 3 \cdot 9 \cdot 2 x = 54 x

đúng;

3 A B^{2} = 3 \cdot 3 \cdot 4 x^{2} = 36 x^{2}

đúng.
b) Từ hạng tử đầu

A^{3} = 64 x^{3} = (4 x)^{3}

và hạng tử cuối

B^{3} = 27 y^{3} = (3 y)^{3}

, chọn

A = 4 x, B = 3 y

.
Kiểm tra:

3 A^{2} B = 3 (4 x)^{2} \cdot 3 y = 144 x^{2} y

đúng;

3 A B^{2} = 3 \cdot 4 x \cdot (3 y)^{2} = 108 x y^{2}

đúng.

Vậy a) $27 + 54 x + 36 x^{2} + 8 x^{3} = (3 + 2 x)^{3}$ ; b) $64 x^{3} + 144 x^{2} y + 108 x y^{2} + 27 y^{3} = (4 x + 3 y)^{3}$ .

2Cách 2. Khai triển ngược để kiểm chứng.

Định hướng. Khai triển trực tiếp biểu thức lập phương vừa tìm được rồi đối chiếu với đa thức đã cho.

(2 x + 3)^{3} = (2 x)^{3} + 3 (2 x)^{2} \cdot 3 + 3 \cdot 2 x \cdot 3^{2} + 3^{3} = 8 x^{3} + 36 x^{2} + 54 x + 27

, đúng bằng biểu thức đã cho.
b)

(4 x + 3 y)^{3} = (4 x)^{3} + 3 (4 x)^{2} (3 y) + 3 (4 x) (3 y)^{2} + (3 y)^{3} = 64 x^{3} + 144 x^{2} y + 108 x y^{2} + 27 y^{3}

, đúng khớp với đề.

Vậy cả hai kết quả ở Cách 1 đều được khai triển ngược xác nhận đúng.

Đáp số. a)

(2 x + 3)^{3}

; b)

(4 x + 3 y)^{3}

Sai lầm thường gặp. Không sắp xếp đa thức theo luỹ thừa trước khi nhận dạng nên nhầm vai trò hạng tử

A, B

, dẫn tới chọn sai

A

hoặc

B

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 36

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Bài 2.9★★Trang 36— Đưa biểu thức về dạng lập phương của một tổng, một hiệu để tính nhanh giá trị

Bài 2.9 (trang 36). Tính nhanh giá trị của biểu thức: a)

x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27

tại

x = 7

; b)

27 - 54 x + 36 x^{2} - 8 x^{3}

tại

x = 6, 5

Kiến thức cần nhớ

Đưa biểu thức về dạng $(A + B)^{3}$ hoặc $(A - B)^{3}$ rồi thay số vào dạng đã rút gọn để tính nhanh hơn tính trực tiếp.

1Cách 1. Đưa về hằng đẳng thức lập phương rồi thay số.

Định hướng. Nhận dạng biểu thức là lập phương của một tổng hoặc một hiệu, rồi thay giá trị của $x$ vào dạng đã rút gọn để tính nhanh.

x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27 = x^{3} + 3 \cdot x^{2} \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^{2} + 3^{3} = (x + 3)^{3}

.
Tại

x = 7

(x + 3)^{3} = (7 + 3)^{3} = 1 0^{3} = 1000

.
b)

27 - 54 x + 36 x^{2} - 8 x^{3} = 3^{3} - 3 \cdot 3^{2} \cdot 2 x + 3 \cdot 3 \cdot (2 x)^{2} - (2 x)^{3} = (3 - 2 x)^{3}

.
Tại

x = 6, 5

(3 - 2 x)^{3} = (3 - 13)^{3} = (- 10)^{3} = - 1000

Vậy a) giá trị biểu thức tại $x = 7$ bằng $1000$ ; b) giá trị biểu thức tại $x = 6, 5$ bằng $- 1000$ .

2Cách 2. Thay trực tiếp

x

vào biểu thức ban đầu.

Định hướng. Tính trực tiếp giá trị biểu thức ban đầu bằng cách thay số vào từng hạng tử, không qua bước đưa về lập phương, để kiểm tra chéo kết quả ở Cách 1.

a) Tại

x = 7

x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27 = 343 + 441 + 189 + 27 = 1000

.
b) Tại

x = 6, 5

2 x = 13

;

27 - 54 \cdot 6, 5 + 36 \cdot 6, 5^{2} - 8 \cdot 6, 5^{3} = 27 - 351 + 1521 - 2197 = - 1000

Vậy hai cách tính đều cho cùng kết quả $1000$ và $- 1000$ , xác nhận Cách 1 đúng.

Đáp số. a)

1000

; b)

- 1000

Sai lầm thường gặp. Tính trực tiếp luỹ thừa của số thập phân

6, 5

dễ sai, nên không nhận ra dạng hằng đẳng thức làm mất lợi thế tính nhanh; hoặc quên đổi dấu khi xác định

B = 2 x

trong câu b.

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 36

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · Bài 2.10★★Trang 36— Rút gọn tổng hai lập phương đối xứng dùng hằng đẳng thức lập phương của một tổng, một hiệu

Bài 2.10 (trang 36). Rút gọn các biểu thức sau: a)

(x - 2 y)^{3} + (x + 2 y)^{3}

; b)

(3 x + 2 y)^{3} + (3 x - 2 y)^{3}

Kiến thức cần nhớ

$(A - B)^{3} = A^{3} - 3 A^{2} B + 3 A B^{2} - B^{3}$ và $(A + B)^{3} = A^{3} + 3 A^{2} B + 3 A B^{2} + B^{3}$ .
Khi cộng hai khai triển đối xứng, các hạng tử chứa luỹ thừa lẻ của $B$ triệt tiêu nhau, chỉ còn lại các hạng tử chứa luỹ thừa chẵn của $B$ .

1Cách 1. Khai triển từng lập phương rồi cộng, thu gọn.

Định hướng. Khai triển riêng từng lập phương theo hằng đẳng thức rồi cộng lại, các hạng tử bậc lẻ theo biến thứ hai sẽ triệt tiêu.

(x - 2 y)^{3} = x^{3} - 3 x^{2} (2 y) + 3 x (2 y)^{2} - (2 y)^{3} = x^{3} - 6 x^{2} y + 12 x y^{2} - 8 y^{3}

(x + 2 y)^{3} = x^{3} + 6 x^{2} y + 12 x y^{2} + 8 y^{3}

(x - 2 y)^{3} + (x + 2 y)^{3} = 2 x^{3} + 24 x y^{2}

.
b)

(3 x + 2 y)^{3} = (3 x)^{3} + 3 (3 x)^{2} (2 y) + 3 (3 x) (2 y)^{2} + (2 y)^{3} = 27 x^{3} + 54 x^{2} y + 36 x y^{2} + 8 y^{3}

(3 x - 2 y)^{3} = 27 x^{3} - 54 x^{2} y + 36 x y^{2} - 8 y^{3}

(3 x + 2 y)^{3} + (3 x - 2 y)^{3} = 54 x^{3} + 72 x y^{2}

Vậy a) $(x - 2 y)^{3} + (x + 2 y)^{3} = 2 x^{3} + 24 x y^{2}$ ; b) $(3 x + 2 y)^{3} + (3 x - 2 y)^{3} = 54 x^{3} + 72 x y^{2}$ .

2Cách 2. Thay số kiểm tra chéo.

Định hướng. Thay một cặp giá trị cụ thể của $x, y$ vào biểu thức ban đầu và vào kết quả đã rút gọn để đối chiếu.

a) Với

x = 1, y = 1

(1 - 2)^{3} + (1 + 2)^{3} = - 1 + 27 = 26

;

2 + 24 = 26

.
b) Với

x = 1, y = 1

(3 + 2)^{3} + (3 - 2)^{3} = 125 + 1 = 126

;

54 + 72 = 126

Vậy cả hai kết quả ở Cách 1 đều được xác nhận đúng.

Đáp số. a)

2 x^{3} + 24 x y^{2}

; b)

54 x^{3} + 72 x y^{2}

Sai lầm thường gặp. Quên đổi dấu các hạng tử bậc lẻ theo

B

khi khai triển

(x - 2 y)^{3}

hoặc

(3 x - 2 y)^{3}

, làm các hạng tử không triệt tiêu đúng khi cộng.

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 36

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · Bài 2.11★★Trang 36— Chứng minh đẳng thức liên hệ giữa lập phương của hai hiệu đối nhau

Bài 2.11 (trang 36). Chứng minh

(a - b)^{3} = - (b - a)^{3}

Kiến thức cần nhớ

$(A - B)^{3} = A^{3} - 3 A^{2} B + 3 A B^{2} - B^{3}$ .
Hai biểu thức đối nhau $a - b$ và $b - a$ thoả mãn $b - a = - (a - b)$ .

1Cách 1. Khai triển hai vế rồi so sánh.

Định hướng. Khai triển $(a - b)^{3}$ và $(b - a)^{3}$ theo hằng đẳng thức rồi so sánh $(a - b)^{3}$ với $- (b - a)^{3}$ .

(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}

(b - a)^{3} = b^{3} - 3 b^{2} a + 3 b a^{2} - a^{3} = - a^{3} + 3 a^{2} b - 3 a b^{2} + b^{3}

- (b - a)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}

Vậy $(a - b)^{3} = - (b - a)^{3}$ với mọi $a, b$ , vì hai vế cùng bằng $a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$ .

2Cách 2. Dùng tính chất luỹ thừa bậc lẻ của số đối.

Định hướng. Viết $b - a = - (a - b)$ rồi dùng tính chất luỹ thừa bậc lẻ của một số đối để suy ra ngay đẳng thức, không cần khai triển đầy đủ.

Ta có

b - a = - (a - b)

.
Với mọi số

m

, luỹ thừa bậc lẻ thoả mãn

(- m)^{3} = - m^{3}

, nên

(b - a)^{3} = [- (a - b)]^{3} = - (a - b)^{3}

.
Suy ra

- (b - a)^{3} = - [- (a - b)^{3}] = (a - b)^{3}

Vậy $(a - b)^{3} = - (b - a)^{3}$ với mọi $a, b$ .

Đáp số. Đẳng thức

(a - b)^{3} = - (b - a)^{3}

đúng với mọi

a, b

Sai lầm thường gặp. Nhầm lẫn

(- m)^{3} = - m^{3}

chỉ đúng với số mũ lẻ, áp dụng sai quy tắc dấu này cho luỹ thừa bậc chẵn.

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 36

Mở bài này trong app ↗