Chương II. Hằng đẳng thức đáng nhớ và ứng dụng

Bài 9. Phân tích đa thức thành nhân tử

SGK Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 1 · 12 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Bài 1 · Mở đầu★★Trang 42— Đưa về phương trình tích để tìm x

Mở đầu (trang 42). Tròn nói: “Tớ biết cách tìm được tất cả số

x

để

2 x^{2} + x = 0

.” Vuông băn khoăn: “Tròn làm thế nào nhỉ?”. Em hãy tìm tất cả các số

x

thoả mãn

2 x^{2} + x = 0

Kiến thức cần nhớ

Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.
Đặt nhân tử chung: $A B + A C = A (B + C)$ .
Tích bằng không: $A \cdot B = 0$ khi và chỉ khi $A = 0$ hoặc $B = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Vế trái là đa thức bậc hai không có hạng tử tự do, hai hạng tử đều chứa

x

— dấu hiệu rõ ràng của việc đưa về dạng tích rồi dùng tính chất tích bằng

0

. Hướng đặt nhân tử chung ngắn nhất vì chỉ mất một dòng; hướng chia cho

x

tuy nhanh nhưng phải tách riêng trường hợp

x = 0

. Bẫy của đề là chia ngay cho

x

mà quên mất

x = 0

cũng là một nghiệm.

1Cách 1. Đặt nhân tử chung rồi dùng tích bằng không

Định hướng. Hai hạng tử đều có nhân tử $x$ nên đưa được vế trái về dạng tích, khi đó tích bằng $0$ cho ngay các giá trị của $x$ .

2 x^{2} + x = 0

x \cdot 2 x + x \cdot 1 = 0

x (2 x + 1) = 0

x = 0

hoặc

2 x + 1 = 0

x = 0

hoặc

x = - \frac{1}{2}

Vậy $x = 0$ hoặc $x = - \frac{1}{2}$ .

2Cách 2. Xét riêng

x = 0

rồi hạ bậc

Định hướng. Kiểm tra trực tiếp $x = 0$ , sau đó với $x \neq = 0$ thì phép chia cho $x$ đưa phương trình về bậc nhất.

Với

x = 0

2 \cdot 0^{2} + 0 = 0

, thoả mãn
Với

x \neq = 0

\frac{2 x ^{2} + x}{x} = \frac{0}{x}

2 x + 1 = 0

2 x = - 1

x = - \frac{1}{2}

Vậy $x = 0$ hoặc $x = - \frac{1}{2}$ .

3Cách 3. Thêm bớt cùng một hạng tử để có hiệu hai bình phương

Định hướng. Thêm rồi bớt cùng một số để vế trái thành hiệu hai bình phương thì dạng tích hiện ra mà không cần nhìn thấy nhân tử chung.

2 x^{2} + x = 2 (x^{2} + \frac{1}{2} x)

= 2 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{16} - \frac{1}{16})

= 2 [(x + \frac{1}{4})^{2} - (\frac{1}{4})^{2}]

= 2 (x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) (x + \frac{1}{4} + \frac{1}{4})

= 2 x (x + \frac{1}{2}) = x (2 x + 1)

x (2 x + 1) = 0

x = 0

hoặc

x = - \frac{1}{2}

Vậy $x = 0$ hoặc $x = - \frac{1}{2}$ .

Nhận xét. Ba cách khác nhau nhưng đều phải đi qua dạng tích — đó chính là lí do bài học này quan trọng: chuyển tổng thành tích thì mới “đọc” được giá trị của $x$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một dòng đặt nhân tử chung là ra dạng tích, không phải chia trường hợp như Cách 2 nên không sợ mất nghiệm

x = 0

; Cách 3 chỉ nên dùng khi đa thức không có nhân tử chung.

Đáp số.

x = 0

hoặc

x = - \frac{1}{2}

Sai lầm thường gặp. Chia ngay hai vế cho

x

mà không xét

x = 0

nên mất nghiệm: từ

2 x^{2} + x = 0

suy ra

2 x + 1 = 0

rồi kết luận chỉ có

x = - \frac{1}{2}

. Thay

x = 0

vào thấy

2 \cdot 0^{2} + 0 = 0

, vậy

x = 0

đúng là một giá trị bị bỏ sót.

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm,

a x^{2} + b x = 0

với

a \neq = 0

luôn cho đúng hai giá trị

x = 0

và

x = - \frac{b}{a}

; thử lại với

3 x^{3} - 12 x = 0

để thấy đa thức bậc ba cho tới ba giá trị của

x

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 42

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · HĐ★Trang 42— Viết đa thức thành tích — đặt nhân tử chung

HĐ (trang 42). Hãy viết đa thức

x^{2} - 2 x y

thành tích của các đa thức, khác đa thức là số.

Kiến thức cần nhớ

Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.
Đặt nhân tử chung: $A B + A C = A (B + C)$ .
Nhân tử chung của các luỹ thừa cùng một biến là luỹ thừa có số mũ nhỏ nhất.

🧠 Phân tích tư duy

Hai hạng tử

x^{2}

và

2 x y

đều chứa thừa số

x

— dấu hiệu quen thuộc nhất của việc đặt nhân tử chung. Nhân tử chung lấy luỹ thừa của

x

có số mũ nhỏ nhất, tức là

x

chứ không phải

x^{2}

. Bẫy nằm ở cụm “khác đa thức là số”: viết

x^{2} - 2 x y = 1 \cdot (x^{2} - 2 x y)

không được chấp nhận vì một thừa số chỉ là hằng số.

1Cách 1. Đặt nhân tử chung

Định hướng. Tách rõ thừa số $x$ ra khỏi từng hạng tử rồi gom lại.

x^{2} - 2 x y = x \cdot x - x \cdot 2 y

= x (x - 2 y)

Vậy $x^{2} - 2 x y = x (x - 2 y)$ , cả hai thừa số đều khác đa thức là số.

2Cách 2. Lấy thừa số còn lại bằng phép chia đa thức cho đơn thức

Định hướng. Đoán nhân tử chung là $x$ , lấy đa thức đã cho chia cho $x$ thì thương chính là thừa số còn lại.

(x^{2} - 2 x y) : x = x^{2} : x - 2 x y : x

= x - 2 y

x^{2} - 2 x y = x \cdot (x - 2 y)

Vậy $x^{2} - 2 x y = x (x - 2 y)$ .

3Cách 3. Nhìn bằng diện tích

Định hướng. Coi $x^{2}$ là diện tích hình vuông cạnh $x$ ; cắt bỏ dải hình chữ nhật kích thước $x$ và $2 y$ thì phần còn lại vẫn là một hình chữ nhật, hai kích thước của nó chính là hai nhân tử cần tìm.

Hình vuông cạnh

x

có diện tích

x^{2}

Dải bị cắt có hai kích thước

x

và

2 y

, diện tích

2 x y

Phần còn lại là hình chữ nhật hai kích thước

x

và

x - 2 y

x^{2} - 2 x y = x (x - 2 y)

Vậy $x^{2} - 2 x y = x (x - 2 y)$ .

Nhận xét. Điều kiện $x > 2 y$ chỉ cần cho cách nhìn hình; đẳng thức đại số thì đúng với mọi $x$ và $y$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ một dòng, không phải làm phép chia như Cách 2 và không lệ thuộc điều kiện

x > 2 y

như hình vẽ ở Cách 3.

Đáp số.

x^{2} - 2 x y = x (x - 2 y)

Sai lầm thường gặp. Đặt nhân tử chung là

x^{2}

rồi viết

x^{2} - 2 x y = x^{2} (1 - \frac{2 y}{x})

— thừa số thứ hai không còn là đa thức nên đây không phải phân tích thành nhân tử. Lỗi thứ hai là rút

x

ra khỏi

x^{2}

mà quên

x

ở hạng tử sau, viết thành

x (x - 2 x y)

: thay

x = 2

y = 1

thấy đề cho

4 - 4 = 0

còn

x (x - 2 x y) = 2 \cdot (2 - 4) = - 4

, sai.

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm,

x^{3} - 2 x^{2} y + 5 x^{2} = x^{2} (x - 2 y + 5)

vì nhân tử chung là luỹ thừa bậc thấp nhất; thử tự phân tích

6 x^{4} y^{2} - 9 x^{3} y^{3}

để thấy hệ số phải lấy ước chung lớn nhất.

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 42

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Luyện tập 1★Trang 42— Đặt nhân tử chung — nhân tử là đơn thức và nhân tử là đa thức

Luyện tập 1 (trang 42). Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a)

6 y^{3} + 2 y

; b)

4 (x - y) - 3 x (x - y)

Kiến thức cần nhớ

$A B + A C = A (B + C)$ — nhân tử chung có thể là một số, một đơn thức hoặc cả một đa thức.
Nhân tử chung của hai đơn thức: phần hệ số lấy ước chung lớn nhất, mỗi biến lấy số mũ nhỏ nhất.
Khi một biểu thức lặp lại ở nhiều hạng tử thì coi cả biểu thức đó là một khối.

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) có hai hạng tử cùng chứa

y

, hai hệ số

6

và

2

cùng chia hết cho

2

, nên nhân tử chung là đơn thức

2 y

. Câu b) đã sẵn có biểu thức

(x - y)

lặp lại ở cả hai hạng tử — nhân tử chung lần này là cả một đa thức nên tuyệt đối không khai triển ra cho dài. Bẫy ở câu a) là sau khi rút

2 y

thì hạng tử

2 y

để lại số

1

chứ không phải

0

1Cách 1. Đặt nhân tử chung trực tiếp

Định hướng. Soi hệ số và luỹ thừa để lấy nhân tử chung ở câu a), giữ nguyên khối $(x - y)$ ở câu b).

6 y^{3} + 2 y = 2 y \cdot 3 y^{2} + 2 y \cdot 1

= 2 y (3 y^{2} + 1)

4 (x - y) - 3 x (x - y) = (x - y) \cdot 4 - (x - y) \cdot 3 x

= (x - y) (4 - 3 x)

Vậy a) $6 y^{3} + 2 y = 2 y (3 y^{2} + 1)$ ; b) $4 (x - y) - 3 x (x - y) = (x - y) (4 - 3 x)$ .

2Cách 2. Lấy thừa số còn lại bằng phép chia

Định hướng. Xác định nhân tử chung trước rồi chia đa thức cho nhân tử đó; cách này khó bỏ sót hạng tử.

(6 y^{3} + 2 y) : (2 y) = 3 y^{2} + 1

6 y^{3} + 2 y = 2 y (3 y^{2} + 1)

[4 (x - y) - 3 x (x - y)] : (x - y) = 4 - 3 x

4 (x - y) - 3 x (x - y) = (x - y) (4 - 3 x)

Vậy a) $2 y (3 y^{2} + 1)$ ; b) $(x - y) (4 - 3 x)$ .

3Cách 3. Đặt ẩn phụ đưa về dạng đơn giản nhất

Định hướng. Đặt tên mới cho phần lặp lại thì cả hai câu đều trở thành bài đặt nhân tử chung ở mức dễ nhất.

a) Đặt

t = y^{2}

6 y^{3} + 2 y = 2 y \cdot 3 t + 2 y \cdot 1 = 2 y (3 t + 1) = 2 y (3 y^{2} + 1)

b) Đặt

t = x - y

4 (x - y) - 3 x (x - y) = 4 t - 3 x t = t (4 - 3 x) = (x - y) (4 - 3 x)

Vậy a) $2 y (3 y^{2} + 1)$ ; b) $(x - y) (4 - 3 x)$ .

Nhận xét. Ở câu b) nếu khai triển hết rồi mới nhóm cũng ra kết quả ấy: $4 x - 4 y - 3 x^{2} + 3 x y = x (4 - 3 x) - y (4 - 3 x) = (4 - 3 x) (x - y)$ , nhưng dài hơn hẳn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhìn thẳng ra nhân tử chung rồi viết một dòng; Cách 2 chỉ nên dùng khi đa thức nhiều hạng tử dễ sót, còn Cách 3 hợp lúc biểu thức lặp lại cồng kềnh.

Đáp số. a)

2 y (3 y^{2} + 1)

; b)

(x - y) (4 - 3 x)

Sai lầm thường gặp. Câu a) rút

2 y

rồi bỏ mất số

1

, viết

6 y^{3} + 2 y = 2 y \cdot 3 y^{2}

: thay

y = 1

thấy vế trái bằng

8

còn

2 y \cdot 3 y^{2}

bằng

6

, sai ngay. Câu b) quên dấu trừ đứng trước

3 x (x - y)

nên ra

(x - y) (4 + 3 x)

: thay

x = 1

y = 0

thấy đề cho

4 - 3 = 1

còn

(1 - 0) (4 + 3) = 7

, sai.

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm,

5 (a + b)^{2} - 10 a (a + b) = 5 (a + b) (b - a)

; thử tự phân tích

7 (2 x - 1)^{3} - 14 x (2 x - 1)^{2}

để luyện việc coi cả một luỹ thừa của đa thức là nhân tử chung.

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 42

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Luyện tập 2★★Trang 43— Nhóm hạng tử để xuất hiện nhân tử chung

Luyện tập 2 (trang 43). Phân tích đa thức

2 x^{2} - 4 x y + 2 y - x

thành nhân tử.

Kiến thức cần nhớ

Nhóm hạng tử: chọn cách nhóm sao cho mỗi nhóm phân tích được và các nhóm có chung một nhân tử.
Đặt dấu trừ ra ngoài thì mọi hạng tử trong ngoặc đổi dấu: $- A + B = - (A - B)$ .
Một đa thức có thể có nhiều cách nhóm khác nhau nhưng kết quả phân tích chỉ có một.

🧠 Phân tích tư duy

Đa thức có bốn hạng tử mà cả bốn không có nhân tử chung — dấu hiệu của phương pháp nhóm hạng tử. Cặp

2 x^{2}

và

- 4 x y

cho nhân tử

x - 2 y

, cặp

2 y

và

- x

cũng cho

x - 2 y

sau khi đặt dấu trừ ra ngoài, nên hai nhóm gặp nhau. Bẫy lớn nhất nằm đúng ở nhóm thứ hai:

2 y - x = - (x - 2 y)

, quên dấu trừ là hai nhóm không còn nhân tử chung.

1Cách 1. Nhóm theo mẫu bạn Nam — hai nhóm cùng chứa

x - 2 y

Định hướng. Gom hai hạng tử đầu để rút $2 x$ , gom hai hạng tử cuối rồi đặt dấu trừ ra ngoài; khi đó cả hai nhóm cùng chứa $x - 2 y$ .

2 x^{2} - 4 x y + 2 y - x = (2 x^{2} - 4 x y) + (2 y - x)

= 2 x (x - 2 y) - (x - 2 y)

= (x - 2 y) (2 x - 1)

Vậy $2 x^{2} - 4 x y + 2 y - x = (x - 2 y) (2 x - 1)$ .

2Cách 2. Nhóm theo mẫu bạn Hà — hai nhóm cùng chứa

2 x - 1

Định hướng. Ghép $2 x^{2}$ với $- x$ để rút $x$ , ghép $- 4 x y$ với $2 y$ để rút $- 2 y$ ; hai nhóm cùng chứa $2 x - 1$ .

2 x^{2} - 4 x y + 2 y - x = (2 x^{2} - x) + (2 y - 4 x y)

= x (2 x - 1) - 2 y (2 x - 1)

= (2 x - 1) (x - 2 y)

Vậy $2 x^{2} - 4 x y + 2 y - x = (2 x - 1) (x - 2 y)$ .

3Cách 3. Coi là đa thức bậc hai của

x

rồi nhẩm nghiệm

Định hướng. Sắp xếp theo luỹ thừa giảm dần của $x$ ; nhẩm được hai giá trị của $x$ làm đa thức bằng $0$ thì viết ngay được dạng tích.

2 x^{2} - 4 x y + 2 y - x = 2 x^{2} - (4 y + 1) x + 2 y

Với

x = 2 y

2 (2 y)^{2} - (4 y + 1) \cdot 2 y + 2 y = 8 y^{2} - 8 y^{2} - 2 y + 2 y = 0

Với

x = \frac{1}{2}

2 \cdot \frac{1}{4} - (4 y + 1) \cdot \frac{1}{2} + 2 y = \frac{1}{2} - 2 y - \frac{1}{2} + 2 y = 0

2 x^{2} - (4 y + 1) x + 2 y = 2 (x - 2 y) (x - \frac{1}{2})

= (x - 2 y) (2 x - 1)

Vậy $2 x^{2} - 4 x y + 2 y - x = (x - 2 y) (2 x - 1)$ .

Nhận xét. Bạn Nam và bạn Hà trong sách nhóm theo hai kiểu khác nhau mà vẫn ra một kết quả — điều đó là bình thường, vì cách viết một đa thức thành tích là duy nhất, không kể thứ tự các nhân tử và dấu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: hai nhóm

(2 x^{2} - x)

và

(2 y - 4 x y)

rút nhân tử rất tự nhiên, ít phải đổi dấu hơn Cách 1 nên khó sai; Cách 3 để dành cho lúc không nhìn ra cách nhóm nào.

Đáp số.

(x - 2 y) (2 x - 1)

Sai lầm thường gặp. Quên đổi dấu khi nhóm có dấu trừ đứng trước: viết

(2 x^{2} - 4 x y) + (2 y - x) = 2 x (x - 2 y) + (x - 2 y)

rồi kết luận

(x - 2 y) (2 x + 1)

. Thử

x = 1

y = 0

: đa thức gốc bằng

2 - 1 = 1

, còn

(1 - 0) (2 + 1) = 3

— sai. Phải viết

2 y - x = - (x - 2 y)

🚀 Mở rộng. Cùng cách nhóm,

3 x^{2} - 6 x y + 4 y - 2 x = (x - 2 y) (3 x - 2)

; tổng quát, mọi đa thức dạng

m x (x - 2 y) + n (x - 2 y)

đều gọn lại thành

(x - 2 y) (m x + n)

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 43

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Vận dụng 1★★Trang 43— Phân tích thành nhân tử để tìm x

Vận dụng 1 (trang 43). Giải bài toán mở đầu bằng cách phân tích

2 x^{2} + x

thành nhân tử. (Bài toán mở đầu: tìm tất cả các số

x

để

2 x^{2} + x = 0

Kiến thức cần nhớ

$A B + A C = A (B + C)$ .
$A \cdot B = 0$ khi và chỉ khi $A = 0$ hoặc $B = 0$ .
Nếu $x = x_{0}$ làm đa thức $P (x)$ bằng $0$ thì $P (x)$ chia hết cho $x - x_{0}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề chỉ đích danh con đường phải đi: phân tích

2 x^{2} + x

thành nhân tử rồi mới tìm

x

. Vậy trọng tâm là “viết đa thức thành tích” — có bao nhiêu cách viết thành tích thì có bấy nhiêu lời giải, và cách nào cũng phải cho cùng một kết quả. Bẫy là dừng lại ở

x (2 x + 1)

mà quên trả lời câu hỏi của đề về giá trị của

x

1Cách 1. Đặt nhân tử chung

Định hướng. Cả hai hạng tử đều chứa $x$ nên rút $x$ ra là xong dạng tích.

2 x^{2} + x = 2 x \cdot x + 1 \cdot x

= x (2 x + 1)

x (2 x + 1) = 0

x = 0

hoặc

2 x + 1 = 0

x = 0

hoặc

x = - \frac{1}{2}

Vậy $2 x^{2} + x = x (2 x + 1)$ , do đó $x = 0$ hoặc $x = - \frac{1}{2}$ .

2Cách 2. Nhẩm nghiệm rồi viết thành tích

Định hướng. Đa thức bậc hai có hệ số cao nhất bằng $2$ ; nhẩm được hai giá trị làm nó bằng $0$ thì viết ngay được thành tích của $2$ với hai nhân tử bậc nhất.

Với

x = 0

2 \cdot 0^{2} + 0 = 0

Với

x = - \frac{1}{2}

2 \cdot \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = 0

2 x^{2} + x = 2 (x - 0) (x + \frac{1}{2})

= x (2 x + 1)

x (2 x + 1) = 0

x = 0

hoặc

x = - \frac{1}{2}

Vậy $2 x^{2} + x = x (2 x + 1)$ , do đó $x = 0$ hoặc $x = - \frac{1}{2}$ .

3Cách 3. Hệ số bất định

Định hướng. Giả sử đa thức viết được thành tích hai nhân tử bậc nhất rồi so khớp hệ số của hai vế.

2 x^{2} + x = (a x + b) (c x + d)

2 x^{2} + x = a c x^{2} + (a d + b c) x + b d

a c = 2

;

a d + b c = 1

;

b d = 0

Chọn

b = 0

a d = 1

Chọn

a = 1

d = 1

c = 2

2 x^{2} + x = x (2 x + 1)

x (2 x + 1) = 0

x = 0

hoặc

x = - \frac{1}{2}

Vậy $2 x^{2} + x = x (2 x + 1)$ , do đó $x = 0$ hoặc $x = - \frac{1}{2}$ .

Nhận xét. Hệ số bất định là cách chậm nhất ở bài này, nhưng lại là cách còn dùng được khi đa thức bậc cao không nhẩm ra giá trị đẹp nào.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đúng yêu cầu “phân tích thành nhân tử” của đề, chỉ hai dòng, không phải nhẩm như Cách 2 hay giải hệ hệ số như Cách 3.

Đáp số.

2 x^{2} + x = x (2 x + 1)

;

x = 0

hoặc

x = - \frac{1}{2}

Sai lầm thường gặp. Phân tích xong rồi chỉ lấy

2 x + 1 = 0

nên mất giá trị

x = 0

. Lỗi thứ hai là rút nhân tử sai: viết

2 x^{2} + x = x \cdot 2 x

, thay

x = 1

thấy đề cho

3

còn

x \cdot 2 x

cho

2

— sai, vì hạng tử

x

khi rút

x

ra phải để lại

1

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm,

3 x^{2} - 5 x = x (3 x - 5)

cho

x = 0

hoặc

x = \frac{5}{3}

; tổng quát,

a x^{n} + b x^{n - 1} = x^{n - 1} (a x + b)

nên luôn có

x = 0

và

x = - \frac{b}{a}

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 43

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Luyện tập 3★★Trang 44— Dùng hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử

Luyện tập 3 (trang 44). Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a)

(x + 1)^{2} - y^{2}

; b)

x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1

; c)

8 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x - 1

Kiến thức cần nhớ

$A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)$ .
$(A + B)^{3} = A^{3} + 3 A^{2} B + 3 A B^{2} + B^{3}$ .
$(A - B)^{3} = A^{3} - 3 A^{2} B + 3 A B^{2} - B^{3}$ .
$A^{3} + B^{3} = (A + B) (A^{2} - A B + B^{2})$ và $A^{3} - B^{3} = (A - B) (A^{2} + A B + B^{2})$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) là hiệu hai bình phương với

A = x + 1

và

B = y

— nhận ra ngay vì cả hai số hạng đã ở sẵn dạng bình phương, nên tuyệt đối không khai triển

(x + 1)^{2}

. Câu b) và c) có bốn hạng tử với bộ hệ số

1; 3; 3; 1

và

8; - 12; 6; - 1

— đúng dáng của lập phương một tổng và lập phương một hiệu, phải thử hằng đẳng thức trước khi nghĩ tới nhóm hạng tử. Bẫy ở câu c) là dấu: các dấu đan xen báo hiệu

(A - B)^{3}

chứ không phải

(A + B)^{3}

1Cách 1. Nhận dạng hằng đẳng thức

Định hướng. Đưa mỗi đa thức về đúng dáng của một hằng đẳng thức rồi viết ngay kết quả.

(x + 1)^{2} - y^{2} = (x + 1 - y) (x + 1 + y)

x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1 = x^{3} + 3 \cdot x^{2} \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^{2} + 1^{3}

= (x + 1)^{3}

8 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x - 1 = (2 x)^{3} - 3 \cdot (2 x)^{2} \cdot 1 + 3 \cdot 2 x \cdot 1^{2} - 1^{3}

= (2 x - 1)^{3}

Vậy a) $(x + 1 - y) (x + 1 + y)$ ; b) $(x + 1)^{3}$ ; c) $(2 x - 1)^{3}$ .

2Cách 2. Đặt ẩn phụ và tách cặp lập phương rồi nhóm

Định hướng. Câu a) đặt tên mới cho $x + 1$ để trở về hiệu hai bình phương cơ bản; câu b) và c) tách riêng cặp lập phương ở hai đầu, phần còn lại sẽ chứa cùng một nhân tử.

a) Đặt

u = x + 1

u^{2} - y^{2} = (u - y) (u + y) = (x + 1 - y) (x + 1 + y)

x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1 = (x^{3} + 1) + (3 x^{2} + 3 x)

= (x + 1) (x^{2} - x + 1) + 3 x (x + 1)

= (x + 1) (x^{2} - x + 1 + 3 x)

= (x + 1) (x^{2} + 2 x + 1) = (x + 1)^{3}

8 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x - 1 = (8 x^{3} - 1) - (12 x^{2} - 6 x)

= (2 x - 1) (4 x^{2} + 2 x + 1) - 6 x (2 x - 1)

= (2 x - 1) (4 x^{2} + 2 x + 1 - 6 x)

= (2 x - 1) (4 x^{2} - 4 x + 1) = (2 x - 1)^{3}

Vậy a) $(x + 1 - y) (x + 1 + y)$ ; b) $(x + 1)^{3}$ ; c) $(2 x - 1)^{3}$ .

3Cách 3. Nhẩm nghiệm rồi chia đa thức

Định hướng. Tìm một giá trị làm đa thức bằng $0$ , chia đa thức cho nhân tử bậc nhất tương ứng, phần thương thường lại là một hằng đẳng thức quen thuộc.

a) Coi là đa thức của

y

(x + 1)^{2} - y^{2}

bằng

0

khi

y = x + 1

hoặc

y = - (x + 1)

(x + 1)^{2} - y^{2} = - [y - (x + 1)] [y + (x + 1)] = (x + 1 - y) (x + 1 + y)

b) Với

x = - 1

(- 1)^{3} + 3 \cdot 1 - 3 + 1 = 0

(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) : (x + 1) = x^{2} + 2 x + 1

x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1 = (x + 1) (x^{2} + 2 x + 1) = (x + 1)^{3}

c) Với

x = \frac{1}{2}

8 \cdot \frac{1}{8} - 12 \cdot \frac{1}{4} + 3 - 1 = 0

(8 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x - 1) : (2 x - 1) = 4 x^{2} - 4 x + 1

8 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x - 1 = (2 x - 1) (4 x^{2} - 4 x + 1) = (2 x - 1)^{3}

Vậy a) $(x + 1 - y) (x + 1 + y)$ ; b) $(x + 1)^{3}$ ; c) $(2 x - 1)^{3}$ .

Nhận xét. Cả ba câu đều đã dừng đúng chỗ: $(x + 1)^{3}$ và $(2 x - 1)^{3}$ chỉ gồm nhân tử bậc nhất, còn ở câu a) hai nhân tử cũng đều bậc nhất nên không tách thêm được nữa.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhận ra bộ hệ số

1; 3; 3; 1

hay

8; - 12; 6; - 1

là viết được kết quả trong một dòng, trong khi Cách 2 và Cách 3 đều mất thêm vài phép biến đổi.

Đáp số. a)

(x + 1 - y) (x + 1 + y)

; b)

(x + 1)^{3}

; c)

(2 x - 1)^{3}

Sai lầm thường gặp. Câu c) nhầm dấu, viết

8 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x - 1 = (2 x + 1)^{3}

: khai triển ra được

8 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x + 1

, khác hẳn đề. Câu a) khai triển

(x + 1)^{2}

rồi loay hoay với

x^{2} + 2 x + 1 - y^{2}

và bỏ dở — cứ giữ nguyên

(x + 1)

như một khối là xong ngay.

🚀 Mở rộng. Cùng cách nhận dạng,

(2 a - b)^{2} - 9 c^{2} = (2 a - b - 3 c) (2 a - b + 3 c)

; thử phân tích

27 x^{3} + 27 x^{2} + 9 x + 1

để thấy bộ hệ số

27; 27; 9; 1

chính là

(3 x + 1)^{3}

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 44

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Tranh luận★★Trang 44— Phân tích triệt để — nhận xét lời giải

Tranh luận (trang 44). Phân tích

x^{3} - x

thành nhân tử. Vuông viết

x^{3} - x = x (x^{2} - 1)

, còn Tròn viết

x^{3} - x = x (x - 1) (x + 1)

. Em hãy nêu ý kiến của em về lời giải của Tròn và Vuông.

Kiến thức cần nhớ

Phân tích đa thức thành nhân tử phải làm đến khi không còn nhân tử nào tách được nữa.
$A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)$ .
Kiểm tra nhanh: nhân các nhân tử lại phải ra đúng đa thức ban đầu.

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai bạn đều biến đổi đúng, nên câu hỏi thực chất là “đã phân tích hết chưa”. Nhìn nhân tử

x^{2} - 1

của Vuông thấy ngay đó là hiệu hai bình phương, tức là còn tách tiếp được — dấu hiệu của một phép phân tích chưa triệt để. Bẫy là đánh đồng “sai” với “chưa triệt để”: bài của Vuông không sai, chỉ là chưa xong.

1Cách 1. Đặt nhân tử chung rồi soi tiếp nhân tử vừa thu được

Định hướng. Rút $x$ ra trước, sau đó xét xem nhân tử còn lại có phải một hằng đẳng thức hay không.

x^{3} - x = x \cdot x^{2} - x \cdot 1

= x (x^{2} - 1)

= x (x^{2} - 1^{2})

= x (x - 1) (x + 1)

Vậy $x^{3} - x = x (x - 1) (x + 1)$ : Vuông biến đổi đúng nhưng dừng lại khi $x^{2} - 1$ vẫn còn tách được, còn Tròn mới là người phân tích triệt để.

2Cách 2. Tách một hạng tử rồi nhóm

Định hướng. Thêm rồi bớt $x^{2}$ để có bốn hạng tử, khi đó nhóm hai cặp là ra đủ ba nhân tử.

x^{3} - x = x^{3} - x^{2} + x^{2} - x

= x^{2} (x - 1) + x (x - 1)

= (x - 1) (x^{2} + x)

= (x - 1) \cdot x (x + 1) = x (x - 1) (x + 1)

Vậy $x^{3} - x = x (x - 1) (x + 1)$ , kết quả của Tròn là kết quả cuối cùng.

3Cách 3. Nhẩm nghiệm và đối chiếu bậc

Định hướng. Đa thức bậc ba có hệ số cao nhất bằng $1$ ; nhẩm đủ ba giá trị làm nó bằng $0$ thì viết được ngay thành tích ba nhân tử bậc nhất.

Với

x = 0

0^{3} - 0 = 0

Với

x = 1

1 - 1 = 0

Với

x = - 1

- 1 + 1 = 0

x^{3} - x = (x - 0) (x - 1) [x - (- 1)]

= x (x - 1) (x + 1)

x (x - 1) (x + 1) = x (x^{2} - 1) = x^{3} - x

Vậy $x^{3} - x = x (x - 1) (x + 1)$ ; lời giải của Vuông đúng nhưng chưa đầy đủ, lời giải của Tròn mới trọn vẹn.

Nhận xét. Ba nhân tử $x$ , $x - 1$ , $x + 1$ đều bậc nhất nên không thể tách thêm — đó là dấu hiệu chắc chắn rằng phép phân tích đã dừng đúng chỗ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đặt nhân tử chung rồi soi lại từng nhân tử xem có hằng đẳng thức nào không — chính thói quen “soi lại nhân tử” ấy giúp không mắc lỗi dừng sớm như Vuông.

Đáp số.

x^{3} - x = x (x - 1) (x + 1)

; Vuông làm đúng nhưng chưa triệt để, Tròn làm đúng và đầy đủ.

Sai lầm thường gặp. Phân tích chưa triệt để: dừng ở

x (x^{2} - 1)

và coi là xong, trong khi mọi nhân tử dạng

A^{2} - B^{2}

hay

A^{2} \pm 2 A B + B^{2}

đều phải tách tiếp. Lỗi ngược lại là nhớ nhầm hằng đẳng thức, tách

x^{2} - 1

thành

(x - 1)^{2}

: thay

x = 2

thấy

x^{2} - 1 = 3

còn

(x - 1)^{2} = 1

, sai.

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm,

x^{5} - x = x (x - 1) (x + 1) (x^{2} + 1)

— tới nhân tử

x^{2} + 1

thì dừng được vì nó không viết được thành hiệu hai bình phương với hệ số hữu tỉ.

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 44

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Vận dụng 2★★Trang 44— Phân tích thành nhân tử để tính nhanh giá trị biểu thức

Vận dụng 2 (trang 44). Tính nhanh giá trị của biểu thức

A = x^{2} + 2 y - 2 x - x y

tại

x = 2022

y = 2020

Kiến thức cần nhớ

Nhóm hạng tử rồi đặt nhân tử chung.
Đặt dấu trừ ra ngoài thì mọi hạng tử trong ngoặc đổi dấu: $- A + B = - (A - B)$ .
Muốn tính nhanh giá trị một biểu thức, hãy phân tích nó thành nhân tử trước khi thay số.

🧠 Phân tích tư duy

Hai số

2022

và

2020

quá lớn để thay thẳng vào — chữ “tính nhanh” là dấu hiệu phải phân tích

A

thành nhân tử trước rồi mới thay số. Bốn hạng tử không có nhân tử chung nên phải nhóm: cặp

x^{2}

với

- 2 x

cho nhân tử

x - 2

, cặp

2 y

với

- x y

cũng cho

x - 2

sau khi đổi dấu. Bẫy nằm đúng ở chỗ đổi dấu ấy:

2 y - x y = - y (x - 2)

chứ không phải

y (x - 2)

1Cách 1. Nhóm hai cặp cùng chứa

x - 2

Định hướng. Ghép $x^{2}$ với $- 2 x$ để rút $x$ , ghép $2 y$ với $- x y$ rồi đặt $- y$ ra ngoài; hai nhóm cùng chứa $x - 2$ .

A = x^{2} + 2 y - 2 x - x y

= (x^{2} - 2 x) + (2 y - x y)

= x (x - 2) - y (x - 2)

= (x - 2) (x - y)

A = (2022 - 2) (2022 - 2020)

= 2020 \cdot 2 = 4040

Vậy $A = (x - 2) (x - y)$ và $A = 4040$ tại $x = 2022$ , $y = 2020$ .

2Cách 2. Nhóm hai cặp cùng chứa

x - y

Định hướng. Ghép $x^{2}$ với $- x y$ để rút $x$ , ghép $2 y$ với $- 2 x$ rồi đặt $- 2$ ra ngoài; hai nhóm cùng chứa $x - y$ .

A = (x^{2} - x y) + (2 y - 2 x)

= x (x - y) - 2 (x - y)

= (x - y) (x - 2)

A = (2022 - 2020) (2022 - 2)

= 2 \cdot 2020 = 4040

Vậy $A = (x - y) (x - 2)$ và $A = 4040$ .

3Cách 3. Dùng ngay quan hệ giữa hai số đã cho

Định hướng. Hai số đã cho hơn kém nhau đúng $2$ đơn vị, tức là $y = x - 2$ ; thế vào rồi thu gọn thì biểu thức chỉ còn bậc nhất.

y = 2020 = 2022 - 2 = x - 2

A = x^{2} + 2 (x - 2) - 2 x - x (x - 2)

= x^{2} + 2 x - 4 - 2 x - x^{2} + 2 x

= 2 x - 4

A = 2 \cdot 2022 - 4 = 4040

Vậy $A = 4040$ .

Nhận xét. Cách 3 còn cho thấy một điều thú vị: với mọi cặp số hơn kém nhau $2$ đơn vị thì $A$ chỉ phụ thuộc $x$ theo công thức $A = 2 x - 4$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhóm theo

x - 2

rồi thay số, chỉ hai phép tính nhẩm là xong; Cách 3 tuy đẹp nhưng phải nhìn ra quan hệ

y = x - 2

, không phải bài nào cũng có.

Đáp số.

A = (x - 2) (x - y)

;

A = 4040

Sai lầm thường gặp. Quên đổi dấu khi nhóm: viết

(x^{2} - 2 x) + (2 y - x y) = x (x - 2) + y (x - 2) = (x - 2) (x + y)

rồi ra

2020 \cdot 4042 = 8164840

. Thử

x = 3

y = 1

vào đề được

9 + 2 - 6 - 3 = 2

, còn

(x - 2) (x + y) = 1 \cdot 4 = 4

— sai; kết quả đúng là

(x - 2) (x - y) = 1 \cdot 2 = 2

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm,

B = x^{2} + 3 y - 3 x - x y = (x - 3) (x - y)

; tổng quát

x^{2} + a y - a x - x y = (x - a) (x - y)

với mọi số

a

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 44

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Bài 2.22★★Trang 44— Đặt nhân tử chung rồi phân tích tiếp bằng hằng đẳng thức

Bài 2.22 (trang 44). Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a)

x^{2} + x y

; b)

6 a^{2} b - 18 ab

; c)

x^{3} - 4 x

; d)

x^{4} - 8 x

Kiến thức cần nhớ

$A B + A C = A (B + C)$ ; hệ số của nhân tử chung lấy ước chung lớn nhất, mỗi biến lấy số mũ nhỏ nhất.
$A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)$ .
$A^{3} - B^{3} = (A - B) (A^{2} + A B + B^{2})$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả bốn câu đều có nhân tử chung nên việc đầu tiên là đặt nhân tử chung. Điều quyết định điểm nằm ở câu c) và d): sau khi rút

x

ra, phần còn lại

x^{2} - 4

là hiệu hai bình phương và

x^{3} - 8

là hiệu hai lập phương — vẫn phân tích tiếp được. Bẫy của đề chính là dừng ở

x (x^{2} - 4)

và

x (x^{3} - 8)

rồi tưởng đã xong.

1Cách 1. Đặt nhân tử chung rồi soi tiếp nhân tử còn lại

Định hướng. Rút nhân tử chung trước, sau đó kiểm tra xem nhân tử còn lại có phải một hằng đẳng thức hay không.

x^{2} + x y = x \cdot x + x \cdot y = x (x + y)

6 a^{2} b - 18 ab = 6 ab \cdot a - 6 ab \cdot 3 = 6 ab (a - 3)

x^{3} - 4 x = x (x^{2} - 4) = x (x^{2} - 2^{2}) = x (x - 2) (x + 2)

x^{4} - 8 x = x (x^{3} - 8) = x (x^{3} - 2^{3}) = x (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)

Vậy a) $x (x + y)$ ; b) $6 ab (a - 3)$ ; c) $x (x - 2) (x + 2)$ ; d) $x (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ .

2Cách 2. Tách hạng tử để nhóm, không dùng hằng đẳng thức

Định hướng. Khi chưa nhớ hằng đẳng thức, tách một hạng tử thành hai để đa thức có đủ số hạng tử mà nhóm.

x^{2} + x y = x \cdot x + x \cdot y = x (x + y)

6 a^{2} b - 18 ab = 6 ab \cdot a - 6 ab \cdot 3 = 6 ab (a - 3)

x^{3} - 4 x = x^{3} - 2 x^{2} + 2 x^{2} - 4 x

= x^{2} (x - 2) + 2 x (x - 2)

= (x - 2) (x^{2} + 2 x) = x (x - 2) (x + 2)

x^{4} - 8 x = x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{3} - 4 x^{2} + 4 x^{2} - 8 x

= x^{3} (x - 2) + 2 x^{2} (x - 2) + 4 x (x - 2)

= (x - 2) (x^{3} + 2 x^{2} + 4 x) = x (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)

Vậy a) $x (x + y)$ ; b) $6 ab (a - 3)$ ; c) $x (x - 2) (x + 2)$ ; d) $x (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ .

3Cách 3. Nhẩm nghiệm rồi chia đa thức

Định hướng. Tìm những giá trị làm đa thức bằng $0$ rồi chia đa thức cho nhân tử tương ứng để lấy phần còn lại.

x^{2} + x y

bằng

0

khi

x = 0

(x^{2} + x y) : x = x + y

x^{2} + x y = x (x + y)

6 a^{2} b - 18 ab

bằng

0

khi

a = 0

, khi

b = 0

và khi

a = 3

(6 a^{2} b - 18 ab) : (6 ab) = a - 3

6 a^{2} b - 18 ab = 6 ab (a - 3)

x^{3} - 4 x

bằng

0

khi

x = 0

x = 2

x = - 2

x^{3} - 4 x = x (x - 2) (x + 2)

x^{4} - 8 x

bằng

0

khi

x = 0

và

x = 2

(x^{4} - 8 x) : x = x^{3} - 8

(x^{3} - 8) : (x - 2) = x^{2} + 2 x + 4

x^{4} - 8 x = x (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)

Vậy a) $x (x + y)$ ; b) $6 ab (a - 3)$ ; c) $x (x - 2) (x + 2)$ ; d) $x (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ .

Nhận xét. Ở câu d), nhân tử $x^{2} + 2 x + 4 = (x + 1)^{2} + 3$ luôn dương nên không tách thêm được — phép phân tích đã dừng đúng chỗ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đặt nhân tử chung rồi soi nhân tử còn lại xem có hằng đẳng thức không — nhanh nhất và đúng tinh thần “phân tích triệt để”; Cách 2 và Cách 3 dài hơn, chỉ dùng khi không nhớ hằng đẳng thức.

Đáp số. a)

x (x + y)

; b)

6 ab (a - 3)

; c)

x (x - 2) (x + 2)

; d)

x (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)

Sai lầm thường gặp. Phân tích chưa triệt để: dừng ở

x^{3} - 4 x = x (x^{2} - 4)

và

x^{4} - 8 x = x (x^{3} - 8)

trong khi hai nhân tử ấy còn tách được. Câu b) lấy nhân tử chung thiếu, viết

6 a^{2} b - 18 ab = ab (6 a - 18)

mà quên

6 a - 18

vẫn còn nhân tử

6

. Câu d) hay nhầm

x^{3} - 8 = (x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)

: khai triển ra được

x^{3} - 4 x^{2} + 8 x - 8

, khác đề.

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm,

x^{5} - 27 x^{2} = x^{2} (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)

; tổng quát

x^{n + 1} - a^{n} x = x (x^{n} - a^{n})

nên luôn có nhân tử

x - a

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 44

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Bài 2.23★★★Trang 44— Nhóm hạng tử kết hợp hằng đẳng thức

Bài 2.23 (trang 44). Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a)

x^{2} - 9 + x y + 3 y

; b)

x^{2} y + x^{2} + x y - 1

Kiến thức cần nhớ

$A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)$ .
Nhóm hạng tử: được phép đổi chỗ các hạng tử trước khi nhóm.
Khi một biến chỉ có bậc nhất, có thể gom hết hạng tử chứa biến đó lại để tìm nhân tử chung.

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) có

x^{2} - 9

là hiệu hai bình phương cho nhân tử

x + 3

, còn

x y + 3 y

rút

y

cũng cho

x + 3

— nhóm đúng hai cặp ấy là ra. Câu b) khó hơn vì bốn hạng tử không chia thành hai cặp đẹp theo thứ tự viết sẵn: phải để

x^{2} - 1

đứng riêng thì hằng đẳng thức mới lộ ra, tức là ghép hạng tử thứ nhất với thứ ba và hạng tử thứ hai với thứ tư. Bẫy chung là nhóm theo thứ tự có sẵn, thấy bế tắc rồi bỏ cuộc thay vì thử đảo chỗ.

1Cách 1. Nhóm hạng tử làm xuất hiện hằng đẳng thức

Định hướng. Tách riêng phần là hiệu hai bình phương, phần còn lại đặt nhân tử chung; hai nhóm sẽ gặp nhau.

x^{2} - 9 + x y + 3 y = (x^{2} - 9) + (x y + 3 y)

= (x - 3) (x + 3) + y (x + 3)

= (x + 3) (x - 3 + y)

x^{2} y + x^{2} + x y - 1 = (x^{2} y + x y) + (x^{2} - 1)

= x y (x + 1) + (x - 1) (x + 1)

= (x + 1) (x y + x - 1)

Vậy a) $(x + 3) (x + y - 3)$ ; b) $(x + 1) (x y + x - 1)$ .

2Cách 2. Gom theo biến

y

Định hướng. Trong cả hai câu, biến $y$ chỉ có bậc nhất nên gom hết hạng tử chứa $y$ lại rồi xét phần còn lại.

x^{2} - 9 + x y + 3 y = y (x + 3) + (x^{2} - 9)

= y (x + 3) + (x - 3) (x + 3)

= (x + 3) (y + x - 3)

x^{2} y + x^{2} + x y - 1 = y (x^{2} + x) + (x^{2} - 1)

= y x (x + 1) + (x - 1) (x + 1)

= (x + 1) (x y + x - 1)

Vậy a) $(x + 3) (x + y - 3)$ ; b) $(x + 1) (x y + x - 1)$ .

3Cách 3. Nhẩm nghiệm theo biến

x

rồi chia đa thức

Định hướng. Coi mỗi đa thức là đa thức của $x$ với hệ số chứa $y$ ; nhẩm một giá trị của $x$ làm nó bằng $0$ rồi chia.

a) Với

x = - 3

9 - 9 - 3 y + 3 y = 0

(x^{2} + x y - 9 + 3 y) : (x + 3) = x + y - 3

x^{2} - 9 + x y + 3 y = (x + 3) (x + y - 3)

b) Với

x = - 1

y + 1 - y - 1 = 0

(x^{2} y + x^{2} + x y - 1) : (x + 1) = x y + x - 1

x^{2} y + x^{2} + x y - 1 = (x + 1) (x y + x - 1)

Vậy a) $(x + 3) (x + y - 3)$ ; b) $(x + 1) (x y + x - 1)$ .

Nhận xét. Cách 3 mạnh ở chỗ không phải đoán cách nhóm: tìm được một giá trị làm đa thức bằng $0$ là chắc chắn tách được nhân tử bậc nhất tương ứng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 cho câu a) vì hằng đẳng thức

x^{2} - 9

đập ngay vào mắt, và dùng Cách 3 cho câu b) vì cách nhóm ở câu b) phải đảo chỗ hạng tử nên dễ mò lâu.

Đáp số. a)

(x + 3) (x + y - 3)

; b)

(x + 1) (x y + x - 1)

Sai lầm thường gặp. Câu a) nhóm máy móc theo thứ tự:

(x^{2} + x y) + (3 y - 9) = x (x + y) + 3 (y - 3)

— hai nhóm không có nhân tử chung nên phải quay lại chọn cách nhóm khác chứ không phải bài không làm được. Câu b) hay viết nhầm thành

(x + 1) (x y + x + 1)

: thay

x = 1

y = 1

vào đề được

1 + 1 + 1 - 1 = 2

, còn

(1 + 1) (1 + 1 + 1) = 6

— sai.

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm,

x^{2} - 16 + x y + 4 y = (x + 4) (x + y - 4)

; tổng quát

x^{2} - a^{2} + x y + a y = (x + a) (x + y - a)

với mọi số

a

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 44

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · Bài 2.24★★Trang 44— Tìm x bằng cách đưa về phương trình tích

Bài 2.24 (trang 44). Tìm

x

, biết: a)

x^{2} - 4 x = 0

; b)

2 x^{3} - 2 x = 0

Kiến thức cần nhớ

$A \cdot B = 0$ khi và chỉ khi $A = 0$ hoặc $B = 0$ .
$A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)$ .
Một đa thức bậc $n$ có không quá $n$ giá trị của biến làm nó bằng $0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Vế trái là đa thức không có hạng tử tự do, vế phải bằng

0

— dấu hiệu kinh điển của việc phân tích vế trái thành nhân tử rồi dùng tính chất tích bằng không. Câu b) đòi hỏi phân tích triệt để: sau khi rút

2 x

thì

x^{2} - 1

vẫn tách được, mà mỗi nhân tử bỏ sót là một giá trị của

x

bỏ sót. Bẫy chung là chia hai vế cho

x

ngay từ đầu, làm mất giá trị

x = 0

1Cách 1. Đưa về phương trình tích

Định hướng. $x$ nằm trong một đa thức bằng $0$ ; đưa đa thức về dạng tích thì mỗi nhân tử bằng $0$ cho một giá trị của $x$ .

x^{2} - 4 x = 0

x (x - 4) = 0

x = 0

hoặc

x - 4 = 0

x = 0

hoặc

x = 4

2 x^{3} - 2 x = 0

2 x (x^{2} - 1) = 0

2 x (x - 1) (x + 1) = 0

x = 0

hoặc

x - 1 = 0

hoặc

x + 1 = 0

x = 0

hoặc

x = 1

hoặc

x = - 1

Vậy a) $x = 0$ hoặc $x = 4$ ; b) $x = - 1$ , $x = 0$ hoặc $x = 1$ .

2Cách 2. Xét riêng

x = 0

rồi hạ bậc

Định hướng. Kiểm tra trực tiếp $x = 0$ ; với $x \neq = 0$ thì phép chia cho $x$ làm phương trình hạ bậc.

a) Với

x = 0

0^{2} - 4 \cdot 0 = 0

, thoả mãn
Với

x \neq = 0

\frac{x ^{2} - 4 x}{x} = 0

x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 4

b) Với

x = 0

2 \cdot 0^{3} - 2 \cdot 0 = 0

, thoả mãn
Với

x \neq = 0

\frac{2 x ^{3} - 2 x}{2 x} = 0

x^{2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x^{2} = 1 \Leftrightarrow x = 1

hoặc

x = - 1

Vậy a) $x = 0$ hoặc $x = 4$ ; b) $x = - 1$ , $x = 0$ hoặc $x = 1$ .

3Cách 3. Nhẩm giá trị rồi đối chiếu bậc của đa thức

Định hướng. Nhẩm ra đủ số giá trị bằng đúng bậc của đa thức thì chắc chắn không còn giá trị nào khác.

a) Với

x = 0

0 - 0 = 0

; với

x = 4

16 - 16 = 0

x^{2} - 4 x

có bậc

2

nên có không quá hai giá trị của

x

làm nó bằng

0

x = 0

hoặc

x = 4

b) Với

x = 0

0 - 0 = 0

; với

x = 1

2 - 2 = 0

; với

x = - 1

- 2 + 2 = 0

2 x^{3} - 2 x

có bậc

3

nên có không quá ba giá trị của

x

làm nó bằng

0

x = 0

hoặc

x = 1

hoặc

x = - 1

Vậy a) $x = 0$ hoặc $x = 4$ ; b) $x = - 1$ , $x = 0$ hoặc $x = 1$ .

Nhận xét. Cách 3 chỉ dùng được khi nhẩm ra đủ số giá trị bằng đúng bậc; nhẩm thiếu một giá trị là phải quay về Cách 1 mới chắc chắn không sót.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: phân tích thành nhân tử rồi cho từng nhân tử bằng

0

— đầy đủ, không phải chia trường hợp như Cách 2 và không phụ thuộc may rủi khi nhẩm như Cách 3.

Đáp số. a)

x = 0

hoặc

x = 4

; b)

x = - 1

x = 0

hoặc

x = 1

Sai lầm thường gặp. Câu a) chia hai vế cho

x

được

x - 4 = 0

rồi kết luận chỉ có

x = 4

, mất giá trị

x = 0

(thay

x = 0

vào thấy

0 - 0 = 0

đúng). Câu b) phân tích chưa triệt để: dừng ở

2 x (x^{2} - 1) = 0

rồi chỉ lấy

x = 0

, bỏ mất

x = 1

và

x = - 1

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm,

3 x^{4} - 3 x^{2} = 0

cho

3 x^{2} (x - 1) (x + 1) = 0

với ba giá trị

x = 0

x = 1

x = - 1

; tổng quát, mỗi nhân tử bậc nhất trong dạng tích cho đúng một giá trị của

x

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 44

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · Bài 2.25★★★Trang 44— Bài toán thực tế — lập biểu thức diện tích rồi phân tích thành nhân tử

Bài 2.25 (trang 44). Một mảnh vườn hình vuông có độ dài cạnh bằng

x

(mét). Người ta làm đường đi xung quanh mảnh vườn, có độ rộng như nhau và bằng

y

(mét) (H.2.2).
a) Viết biểu thức tính diện tích

S

của đường bao quanh mảnh vườn theo

x

và

y

.
b) Phân tích

S

thành nhân tử rồi tính

S

khi

x = 102

y = 2

Kiến thức cần nhớ

Diện tích hình vuông cạnh $a$ bằng $a^{2}$ .
$A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)$ .
Điều kiện để bài toán có nghĩa: $0 < 2 y < x$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đường đi là phần nằm giữa hai hình vuông cùng tâm: hình vuông ngoài cạnh

x

và hình vuông trong cạnh

x - 2 y

, vì mỗi cặp cạnh đối diện đều bị đường đi ăn vào

y

mét — dấu hiệu của phép trừ hai diện tích. Có

S = x^{2} - (x - 2 y)^{2}

rồi thì thấy ngay hiệu hai bình phương, phân tích xong thay số vào là tính nhẩm được. Bẫy là viết cạnh hình vuông trong thành

x - y

vì chỉ trừ bề rộng đường đi ở một phía.

1Cách 1. Hiệu hai hình vuông rồi dùng hiệu hai bình phương

Định hướng. Lấy diện tích hình vuông lớn trừ diện tích hình vuông nhỏ bên trong, sau đó áp thẳng hằng đẳng thức.

a) Hình vuông bên trong có cạnh

x - 2 y

S = x^{2} - (x - 2 y)^{2}

S = x^{2} - (x - 2 y)^{2}

= [x - (x - 2 y)] [x + (x - 2 y)]

= 2 y (2 x - 2 y)

= 4 y (x - y)

S = 4 \cdot 2 \cdot (102 - 2)

= 8 \cdot 100 = 800

Vậy a) $S = x^{2} - (x - 2 y)^{2}$ ; b) $S = 4 y (x - y)$ và $S = 800$ m $^{2}$ .

2Cách 2. Khai triển rồi đặt nhân tử chung

Định hướng. Khai triển bình phương của một hiệu trước, phần còn lại chỉ là đặt nhân tử chung.

S = x^{2} - (x - 2 y)^{2}

= x^{2} - (x^{2} - 4 x y + 4 y^{2})

= x^{2} - x^{2} + 4 x y - 4 y^{2}

= 4 x y - 4 y^{2}

= 4 y (x - y)

S = 4 \cdot 2 \cdot (102 - 2) = 800

Vậy $S = 4 y (x - y)$ và $S = 800$ m $^{2}$ .

3Cách 3. Cắt đường đi thành bốn hình chữ nhật bằng nhau

Định hướng. Cắt vành đường đi bằng bốn nhát ở bốn góc thì được bốn hình chữ nhật bằng nhau, cộng diện tích lại là xong.

Mỗi hình chữ nhật có hai kích thước

y

và

x - y

S = 4 \cdot y (x - y)

= 4 y (x - y)

S = 4 \cdot 2 \cdot (102 - 2) = 800

Vậy $S = 4 y (x - y)$ và $S = 800$ m $^{2}$ .

Nhận xét. Con đường đại số ở Cách 1, Cách 2 và con đường hình học ở Cách 3 cho cùng một biểu thức $4 y (x - y)$ — đó là kiểu kiểm tra chéo đáng tin nhất.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: viết

S

dưới dạng hiệu hai bình phương rồi áp hằng đẳng thức, không phải khai triển như Cách 2 nên không sợ sai dấu ở

- (x^{2} - 4 x y + 4 y^{2})

Đáp số. a)

S = x^{2} - (x - 2 y)^{2}

; b)

S = 4 y (x - y)

và

S = 800

^{2}

Sai lầm thường gặp. Lấy cạnh hình vuông trong là

x - y

nên ra

S = x^{2} - (x - y)^{2} = y (2 x - y)

, với

x = 102

y = 2

cho

404

^{2}

— sai, vì đường đi ăn vào cả hai phía đối diện, mỗi phía

y

mét. Lỗi thứ hai là quên đổi dấu khi bỏ ngoặc ở Cách 2: viết

x^{2} - x^{2} - 4 x y + 4 y^{2}

rồi ra

S = - 4 y (x - y)

, một diện tích âm.

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm, nếu mảnh vườn là hình chữ nhật hai kích thước

a

và

b

thì đường đi rộng

y

bao quanh phía trong có diện tích

S = ab - (a - 2 y) (b - 2 y) = 2 y (a + b - 2 y)

; thay

a = b = x

sẽ trở lại đúng

4 y (x - y)

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 44

Mở bài này trong app ↗