Bài tập cuối chương I

Định hướng. Tách phần hệ số (giữ nguyên lũy thừa) và cộng số mũ của các biến $x,y,z$ để tìm bậc của đơn thức.

Vậy đơn thức $-2^3{x}^{2}y{z}^3$ có hệ số $-2^3$, bậc $6$, tức là phương án D.

Định hướng. Tính giá trị số của $-2^3$ và so sánh với hệ số nêu trong từng phương án để loại các phương án sai.

Vậy chỉ còn phương án D thỏa mãn: hệ số $-2^3$, bậc $6$.

Nhận xét. Cần giữ nguyên hệ số ở dạng lũy thừa $-2^3$ như đề bài cho, không vội tính ra $-8$ rồi so với các phương án bằng số cụ thể.

Định hướng. Viết tổng và hiệu của hai đa thức theo đúng thứ tự đề cho ($T$ là đa thức thứ nhất cộng đa thức thứ hai, $H$ là đa thức thứ nhất trừ đa thức thứ hai), rồi thu gọn các hạng tử đồng dạng.

Vậy $T=x^{2}y+x{y}^2+xy+1$ và $H=5x^{2}y-5x{y}^2+xy-1$, tức là phương án B.

Định hướng. Thay một cặp giá trị cụ thể của $x,y$ vào hai đa thức đã cho để tính trực tiếp $T,H$ bằng số, rồi đối chiếu với biểu thức ở phương án B.

Vậy kết quả thay số khẳng định phương án B là đúng.

Định hướng. Nhân hệ số với hệ số, nhân lũy thừa cùng biến $x,y,z$ với nhau bằng cách cộng số mũ.

Vậy tích của hai đơn thức đã cho là $-12x^2{y}^3{z}^3$, tức là phương án B.

Định hướng. Xét dấu của tích và số mũ của biến $x$ (không đổi vì đơn thức thứ hai không chứa $x$) để loại nhanh các phương án sai.

Vậy chỉ còn phương án B thỏa mãn: $-12x^2{y}^3{z}^3$.

Định hướng. Chia lần lượt từng hạng tử của đa thức $8x^3{y}^2-6x^2{y}^3$ cho đơn thức $-2xy$ rồi cộng kết quả lại.

Vậy kết quả phép chia là $-4x^{2}y+3x{y}^2$, tức là phương án A.

Định hướng. Nhân kết quả ở phương án A với $-2xy$, nếu đúng bằng đa thức bị chia ban đầu thì phương án đó đúng.

Vậy phép thử lại xác nhận phương án A là đáp án đúng.

Định hướng. Liệt kê hết các đơn thức thu gọn (không đồng dạng với nhau) có bậc bằng $2$, bậc bằng $1$ với hai biến $x,y$, từ đó suy ra số hạng tử tối đa của cả đa thức.

Vậy a) nhiều nhất $3$ hạng tử bậc hai, ví dụ $x^2+xy+y^2$; b) nhiều nhất $2$ hạng tử bậc nhất, ví dụ $3x-5y$; c) nhiều nhất $6$ hạng tử khác $0$, ví dụ $x^2+xy+y^2+3x-5y+7$.

Định hướng. Viết một đa thức cụ thể chứa đủ mọi loại hạng tử rồi đếm trực tiếp để kiểm tra lại số lượng đã suy luận ở Cách 1.

Vậy $P$ có đúng $6$ hạng tử khác $0$, khớp với kết quả $3+2+1=6$ ở Cách 1.

Định hướng. Nhân phá ngoặc hai tích rồi thu gọn các hạng tử đối nhau để rút gọn biểu thức; sau đó đưa biểu thức về dạng chứa $y^8=(y^4{)}^2$ để thay điều kiện $y^4=x^4\sqrt{3}$.

Vậy a) biểu thức rút gọn bằng $3x^8-y^8$; b) khi $y^4=x^4\sqrt{3}$ thì giá trị biểu thức bằng $0$.

Định hướng. Chọn một giá trị cụ thể của $x$, tính $y$ thỏa mãn $y^4=x^4\sqrt{3}$ rồi thay trực tiếp vào biểu thức ban đầu để đối chiếu với kết quả $0$ ở Cách 1.

Vậy kết quả thay số bằng $0$, khớp với đáp số ở Cách 1.

Định hướng. Nhân phá ngoặc hai tích $(2x^2+y)(x-2y^2)$ và $(2x^2-y)(x+2y^2)$, cộng hai kết quả lại rồi nhân với $\frac{1}{4}$.

Vậy biểu thức đã cho rút gọn bằng $x^3-y^3$.

Định hướng. Thay một cặp giá trị cụ thể của $x,y$ vào biểu thức ban đầu và vào kết quả đã rút gọn để đối chiếu.

Vậy hai giá trị bằng nhau, xác nhận kết quả rút gọn ở Cách 1 là đúng.

Định hướng. Xác định chiều dài, chiều rộng đáy hộp (mỗi kích thước bị hụt đi $2x$ so với miếng bìa ban đầu) và chiều cao hộp bằng $x$, rồi nhân ba kích thước để được đa thức thể tích.

Vậy đa thức biểu thị thể tích chiếc hộp là $V=4x^3-2x^{2}y-2x^{2}z+xyz$ (${\text{cm}}^3$), mọi hạng tử đều có bậc $3$ nên đa thức có bậc $3$.

Định hướng. Thay một bộ số cụ thể của $x,y,z$ (thỏa mãn $y>2x,z>2x$), tính thể tích trực tiếp theo nghĩa hình học rồi so sánh với đa thức đã lập.

Vậy kết quả thay số khẳng định đa thức $V=4x^3-2x^{2}y-2x^{2}z+xyz$, bậc $3$, là đúng.

Định hướng. Từ đẳng thức $-2x^3{y}^4:D=x{y}^2$ suy ra $D$ bằng số bị chia chia cho thương; sau đó dùng $D$ vừa tìm để chia từng hạng tử của đa thức đã cho.

Vậy $D=-2x^2{y}^2$ và thương của phép chia là $-5x^3+3x{y}^2-4y^3$.

Định hướng. Nhân $D$ với $x{y}^2$ để kiểm tra lại $D$; nhân $D$ với thương vừa tìm để kiểm tra kết quả phép chia đa thức.

Vậy cả hai kết quả đều được kiểm tra đúng: $D=-2x^2{y}^2$ và thương bằng $-5x^3+3x{y}^2-4y^3$.

Định hướng. Đặt $y=2x-5$ để đưa biểu thức đã cho về đa thức chia cho đơn thức theo hai biến $x,y$ quen thuộc, chia xong rồi thay $y=2x-5$ trở lại.

Vậy kết quả phép chia là $-2x^2+15x+5$.

Định hướng. Thay một giá trị cụ thể của $x$ vào biểu thức ban đầu và vào kết quả đã rút gọn để đối chiếu, không cần qua bước đặt biến phụ.

Vậy kết quả thay số khẳng định phép chia ở Cách 1 cho kết quả đúng là $-2x^2+15x+5$.